Bài tập (trang 34)

Bài 7.18 (trang 34)

Đề bài: Cho các đơn thức: $2x^6$; $-5x^3$; $-3x^5$; $x^3$; $\dfrac{3}{5}x^2$; $-\dfrac{1}{2}x^2$; $8$; $-3x$. Gọi $A$ là tổng của các đơn thức đã cho.

a) Hãy thu gọn tổng $A$ và sắp xếp các hạng tử để được một đa thức.

b) Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do và hệ số của $x^2$ của đa thức thu được.

Lời giải:

a) Viết tổng $A$ và nhóm các hạng tử cùng bậc:

$$A = 2x^6 + (-5x^3) + (-3x^5) + x^3 + \dfrac{3}{5}x^2 + \left(-\dfrac{1}{2}x^2\right) + 8 + (-3x).$$

Cộng các hạng tử cùng bậc:

Bậc $6$: $2x^6$.

Bậc $5$: $-3x^5$.

Bậc $3$: $-5x^3 + x^3 = (-5 + 1)x^3 = -4x^3$.

Bậc $2$: $\dfrac{3}{5}x^2 + \left(-\dfrac{1}{2}x^2\right) = \left(\dfrac{3}{5} – \dfrac{1}{2}\right)x^2 = \left(\dfrac{6}{10} – \dfrac{5}{10}\right)x^2 = \dfrac{1}{10}x^2$.

Bậc $1$: $-3x$.

Bậc $0$: $8$.

Sắp xếp theo luỹ thừa giảm của biến, ta được đa thức:

$$A = 2x^6 – 3x^5 – 4x^3 + \dfrac{1}{10}x^2 – 3x + 8.$$

b) Trong đa thức $A$ thu được, hạng tử có bậc cao nhất là $2x^6$ và hạng tử bậc $0$ là $8$.

Hệ số cao nhất: $2$.

Hệ số tự do: $8$.

Hệ số của $x^2$: $\dfrac{1}{10}$.

Bài 7.19 (trang 34)

Đề bài: Một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật được thiết kế với kích thước theo tỉ lệ:

$$\text{Chiều cao : chiều rộng : chiều dài} = 1 : 2 : 3.$$

Trong bể hiện còn $0{,}7$ m$^3$ nước. Gọi chiều cao của bể là $x$ (mét). Hãy viết đa thức biểu thị số mét khối nước cần phải bơm thêm vào bể để bể đầy nước. Xác định bậc của đa thức đó.

Lời giải:

Vì tỉ lệ chiều cao : chiều rộng : chiều dài $= 1 : 2 : 3$ và chiều cao là $x$ (m), nên:

Chiều rộng của bể là $2x$ (m).

Chiều dài của bể là $3x$ (m).

Thể tích bể (khi đầy nước) bằng tích ba kích thước:

$$x \cdot 2x \cdot 3x = (1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (x \cdot x \cdot x) = 6x^3 \text{ (m}^3\text{).}$$

Trong bể hiện đã có $0{,}7$ m$^3$ nước, nên số mét khối nước cần phải bơm thêm để bể đầy là:

$$6x^3 – 0{,}7 \text{ (m}^3\text{).}$$

Đa thức $6x^3 – 0{,}7$ có hạng tử bậc cao nhất là $6x^3$, do đó bậc của đa thức là $3$.

Bài 7.20 (trang 34)

Đề bài: Ngoài thang nhiệt độ Celsius (độ C), nhiều nước còn dùng thang nhiệt độ Fahrenheit, gọi là độ F để đo nhiệt độ trong dự báo thời tiết. Muốn tính xem $x,^{\circ}$C tương ứng với bao nhiêu độ F, ta dùng công thức:

$$T(x) = 1{,}8x + 32.$$

Chẳng hạn, $0,^{\circ}$C tương ứng với $T(0) = 32,(^{\circ}\text{F})$.

a) Hỏi $0,^{\circ}$F tương ứng với bao nhiêu độ C?

b) Nhiệt độ vào một ngày mùa hè ở Hà Nội là $35,^{\circ}$C. Nhiệt độ đó tương ứng với bao nhiêu độ F?

c) Nhiệt độ vào một ngày mùa đông ở New York (Mỹ) là $41,^{\circ}$F. Nhiệt độ đó tương ứng với bao nhiêu độ C?

Lời giải:

a) $0,^{\circ}$F tương ứng với giá trị $x$ sao cho $T(x) = 0$. Ta giải:

$$1{,}8x + 32 = 0 ;\Longrightarrow; 1{,}8x = -32 ;\Longrightarrow; x = \dfrac{-32}{1{,}8} = -\dfrac{160}{9} \approx -17{,}78.$$

Vậy $0,^{\circ}$F tương ứng với khoảng $-17{,}78,^{\circ}$C (chính xác là $-\dfrac{160}{9},^{\circ}$C).

b) Để biết $35,^{\circ}$C tương ứng với bao nhiêu độ F, ta tính $T(35)$ bằng cách thay $x = 35$ vào công thức:

$$T(35) = 1{,}8 \cdot 35 + 32 = 63 + 32 = 95.$$

Vậy $35,^{\circ}$C tương ứng với $95,^{\circ}$F.

c) $41,^{\circ}$F tương ứng với giá trị $x$ sao cho $T(x) = 41$. Ta giải:

$$1{,}8x + 32 = 41 ;\Longrightarrow; 1{,}8x = 41 – 32 = 9 ;\Longrightarrow; x = \dfrac{9}{1{,}8} = 5.$$

Vậy $41,^{\circ}$F tương ứng với $5,^{\circ}$C.

Bài 7.21 (trang 34)

Đề bài: Cho hai đa thức $P = -5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + x – 3$ và $Q = 5x^4 – 4x^3 – x^2 + 3x + 3$.

a) Xác định bậc của mỗi đa thức $P + Q$ và $P – Q$.

b) Tính giá trị của mỗi đa thức $P + Q$ và $P – Q$ tại $x = 1$; $x = -1$.

c) Đa thức nào trong hai đa thức $P + Q$ và $P – Q$ có nghiệm là $x = 0$?

Lời giải:

a) Tính $P + Q$ bằng cách đặt tính cộng (cộng theo từng cột):

Cột $x^4$: $-5 + 5 = 0$ (triệt tiêu).

Cột $x^3$: $3 + (-4) = -1$, được $-x^3$.

Cột $x^2$: $7 + (-1) = 6$, được $6x^2$.

Cột $x$: $1 + 3 = 4$, được $4x$.

Hằng số: $-3 + 3 = 0$.

Vậy $P + Q = -x^3 + 6x^2 + 4x$. Hạng tử có bậc cao nhất là $-x^3$, do đó bậc của $P + Q$ là $3$.

Tính $P – Q$ bằng cách đặt tính trừ (trừ theo từng cột, lấy hệ số ở $P$ trừ hệ số ở $Q$):

Cột $x^4$: $-5 – 5 = -10$, được $-10x^4$.

Cột $x^3$: $3 – (-4) = 7$, được $7x^3$.

Cột $x^2$: $7 – (-1) = 8$, được $8x^2$.

Cột $x$: $1 – 3 = -2$, được $-2x$.

Hằng số: $-3 – 3 = -6$.

Vậy $P – Q = -10x^4 + 7x^3 + 8x^2 – 2x – 6$. Hạng tử có bậc cao nhất là $-10x^4$, do đó bậc của $P – Q$ là $4$.

b) Tính giá trị của $P + Q = -x^3 + 6x^2 + 4x$:

Tại $x = 1$: $(P + Q)(1) = -1^3 + 6 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 = -1 + 6 + 4 = 9$.

Tại $x = -1$: $(P + Q)(-1) = -(-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1) = -(-1) + 6 – 4 = 1 + 6 – 4 = 3$.

Tính giá trị của $P – Q = -10x^4 + 7x^3 + 8x^2 – 2x – 6$:

Tại $x = 1$: $(P – Q)(1) = -10 + 7 + 8 – 2 – 6 = -3$.

Tại $x = -1$: $(P – Q)(-1) = -10 \cdot (-1)^4 + 7 \cdot (-1)^3 + 8 \cdot (-1)^2 – 2 \cdot (-1) – 6 = -10 – 7 + 8 + 2 – 6 = -13$.

c) Để kiểm tra xem $x = 0$ có phải là nghiệm hay không, ta tính giá trị của mỗi đa thức tại $x = 0$ (chính là hệ số tự do):

$(P + Q)(0) = 0$ (vì $P + Q = -x^3 + 6x^2 + 4x$ không có hằng số, tức là hệ số tự do bằng $0$).

$(P – Q)(0) = -6 \neq 0$.

Vậy đa thức $P + Q$ có nghiệm là $x = 0$.

Bài 7.22 (trang 34)

Đề bài: Một xe khách đi từ Hà Nội lên Yên Bái (trên đường cao tốc Hà Nội – Lào Cai) với vận tốc $60$ km/h. Sau đó $25$ phút, một xe du lịch cũng đi từ Hà Nội lên Yên Bái (đi cùng đường với xe khách) với vận tốc $85$ km/h. Cả hai xe đều không nghỉ dọc đường.

a) Gọi $D(x)$ là đa thức biểu thị quãng đường xe du lịch đi được và $K(x)$ là đa thức biểu thị quãng đường xe khách đi được kể từ khi xuất phát cho đến khi xe du lịch đi được $x$ giờ. Tìm $D(x)$ và $K(x)$.

b) Chứng tỏ rằng đa thức $f(x) = K(x) – D(x)$ có nghiệm là $x = 1$. Hãy giải thích ý nghĩa nghiệm $x = 1$ của đa thức $f(x)$.

Lời giải:

Trước hết đổi $25$ phút sang giờ: $25$ phút $= \dfrac{25}{60}$ giờ $= \dfrac{5}{12}$ giờ.

a) Xe du lịch đi với vận tốc $85$ km/h trong $x$ giờ, nên quãng đường xe du lịch đi được là:

$$D(x) = 85 \cdot x = 85x \text{ (km).}$$

Vì xe khách xuất phát trước xe du lịch $\dfrac{5}{12}$ giờ, nên tại thời điểm xe du lịch đã đi được $x$ giờ, xe khách đã đi được tổng cộng $\left(x + \dfrac{5}{12}\right)$ giờ. Xe khách đi với vận tốc $60$ km/h, nên quãng đường xe khách đi được là:

$$K(x) = 60 \cdot \left(x + \dfrac{5}{12}\right) = 60x + 60 \cdot \dfrac{5}{12} = 60x + 25 \text{ (km).}$$

b) Tính $f(x)$:

$$f(x) = K(x) – D(x) = (60x + 25) – 85x = (60 – 85)x + 25 = -25x + 25.$$

Thay $x = 1$ vào $f(x)$:

$$f(1) = -25 \cdot 1 + 25 = -25 + 25 = 0.$$

Vì $f(1) = 0$ nên $x = 1$ là một nghiệm của đa thức $f(x)$.

Ý nghĩa của nghiệm $x = 1$:

Đa thức $f(x) = K(x) – D(x)$ biểu thị hiệu giữa quãng đường xe khách và quãng đường xe du lịch tính từ Hà Nội. Khi $f(x) = 0$, tức là $K(x) = D(x)$, hai xe đã đi được quãng đường bằng nhau (cả hai xe ở cùng một điểm trên đường).

Vậy nghiệm $x = 1$ có ý nghĩa: sau $1$ giờ kể từ khi xe du lịch xuất phát, xe du lịch đuổi kịp xe khách (hai xe gặp nhau).

(Kiểm tra: tại $x = 1$, quãng đường xe du lịch là $D(1) = 85 \cdot 1 = 85$ km và quãng đường xe khách là $K(1) = 60 \cdot 1 + 25 = 85$ km — đúng là hai xe đã đi được quãng đường bằng nhau.)

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du