1. Tam giác cân và tính chất

Câu hỏi 1 (trang 80)

Đề bài: Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong Hình 4.59. Với mỗi tam giác cân đó, hãy nêu tên cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của chúng

Lời giải:

Theo Hình 4.59, các đoạn $AB$, $AC$, $AD$ đều dài $3$ cm nên ta có ba tam giác cân tại đỉnh $A$

Tam giác $ABD$ cân tại $A$ (vì $AB = AD = 3$ cm):

– Cạnh bên: $AB$ và $AD$

– Cạnh đáy: $BD$

– Góc ở đỉnh: $\widehat{A}$ (tức $\widehat{BAD}$)

– Hai góc ở đáy: $\widehat{B}$ và $\widehat{D}$

Tam giác $ACD$ cân tại $A$ (vì $AC = AD = 3$ cm):

– Cạnh bên: $AC$ và $AD$

– Cạnh đáy: $DC$

– Góc ở đỉnh: $\widehat{A}$ (tức $\widehat{CAD}$)

– Hai góc ở đáy: $\widehat{C}$ và $\widehat{D}$

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (vì $AB = AC = 3$ cm):

– Cạnh bên: $AB$ và $AC$

– Cạnh đáy: $BC$

– Góc ở đỉnh: $\widehat{A}$ (tức $\widehat{BAC}$)

– Hai góc ở đáy: $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$

Hoạt động 1 (trang 81)

Đề bài: Quan sát tam giác $ABC$ cân tại $A$ như Hình 4.60. Lấy $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$

a) Chứng minh rằng $\triangle ABD = \triangle ACD$ theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh

b) Hai góc $B$ và $C$ của tam giác $ABC$ có bằng nhau không?

Lời giải:

a) Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ có:

$$AB = AC \quad (\text{vì } \triangle ABC \text{ cân tại } A)$$

$$BD = CD \quad (\text{vì } D \text{ là trung điểm của } BC)$$

$$AD \text{ là cạnh chung}$$

Do đó:

$$\triangle ABD = \triangle ACD \ (\text{c.c.c})$$

b) Từ $\triangle ABD = \triangle ACD$ (câu a), suy ra $\widehat{B} = \widehat{C}$ (hai góc tương ứng)

Vậy trong tam giác $ABC$ cân tại $A$, hai góc đáy $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ bằng nhau

Hoạt động 2 (trang 81)

Đề bài: Cho tam giác $MNP$ có $\widehat{M} = \widehat{N}$. Vẽ tia phân giác $PK$ của góc $MPN$ ($K \in MN$). Chứng minh rằng:

a) $\widehat{MKP} = \widehat{NKP}$ b) $\triangle MPK = \triangle NPK$ c) Tam giác $MNP$ có cân tại $P$ không?

Lời giải:

a) Áp dụng định lí tổng ba góc trong mỗi tam giác:

Trong $\triangle MPK$: $\widehat{MKP} + \widehat{MPK} + \widehat{KMP} = 180^\circ$

Trong $\triangle NPK$: $\widehat{NKP} + \widehat{NPK} + \widehat{KNP} = 180^\circ$

Mà $\widehat{KMP} = \widehat{KNP}$ (giả thiết $\widehat{M} = \widehat{N}$) và $\widehat{MPK} = \widehat{NPK}$ (vì $PK$ là tia phân giác của $\widehat{MPN}$), nên:

$$\widehat{MKP} = \widehat{NKP}$$

b) Xét $\triangle MPK$ và $\triangle NPK$ có:

$$\widehat{MPK} = \widehat{NPK} \quad (PK \text{ là tia phân giác})$$

$$PK \text{ là cạnh chung}$$

$$\widehat{MKP} = \widehat{NKP} \quad (\text{theo câu a})$$

Do đó:

$$\triangle MPK = \triangle NPK \ (\text{g.c.g})$$

c) Từ $\triangle MPK = \triangle NPK$ (câu b), suy ra $MP = NP$ (hai cạnh tương ứng)

Tam giác $MNP$ có hai cạnh $MP$ và $NP$ bằng nhau nên tam giác $MNP$ cân tại $P$

Nhận xét: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại, một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân

Luyện tập 1 (trang 82)

Đề bài: Tính số đo các góc và các cạnh chưa biết của tam giác $DEF$ trong Hình 4.62 (biết $DF = FE = 4$ cm, $\widehat{E} = 60^\circ$)

Lời giải:

Vì $DF = FE = 4$ cm nên tam giác $DEF$ cân tại $F$. Khi đó hai góc đáy $\widehat{D}$ và $\widehat{E}$ bằng nhau:

$$\widehat{D} = \widehat{E} = 60^\circ$$

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác $DEF$:

$$\widehat{D} + \widehat{E} + \widehat{F} = 180^\circ$$

$$60^\circ + 60^\circ + \widehat{F} = 180^\circ$$

Suy ra $\widehat{F} = 180^\circ – 60^\circ – 60^\circ = 60^\circ$

Tam giác $DEF$ có cả ba góc bằng $60^\circ$ nên $DEF$ là tam giác đều. Suy ra ba cạnh bằng nhau:

$$DE = DF = FE = 4 \text{ cm}$$

Vậy $\widehat{D} = \widehat{E} = \widehat{F} = 60^\circ$ và $DE = DF = FE = 4$ cm

Thử thách nhỏ (trang 82)

Đề bài: Một tam giác có gì đặc biệt nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau:

a) Tam giác có ba góc bằng nhau?

b) Tam giác cân có một góc bằng $60^\circ$?

Lời giải:

a) Gọi ba góc của tam giác là $\widehat{A}, \widehat{B}, \widehat{C}$ và $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C}$. Theo định lí tổng ba góc:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$$

Suy ra $3 \widehat{A} = 180^\circ$, tức $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = 60^\circ$

Vì hai góc $\widehat{A} = \widehat{B}$ nên tam giác cân (tại đỉnh đối diện hai góc này); tương tự $\widehat{B} = \widehat{C}$ cho thêm một cặp cạnh bằng nhau. Suy ra ba cạnh bằng nhau, tức tam giác đều

b) Tam giác cân có một góc bằng $60^\circ$. Ta xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Góc $60^\circ$ là góc ở đỉnh. Khi đó hai góc đáy bằng nhau và có tổng $180^\circ – 60^\circ = 120^\circ$. Vậy mỗi góc đáy là $60^\circ$. Cả ba góc đều bằng $60^\circ$

Trường hợp 2: Góc $60^\circ$ là một góc ở đáy. Vì hai góc đáy bằng nhau nên cả hai đều bằng $60^\circ$. Góc ở đỉnh bằng $180^\circ – 60^\circ – 60^\circ = 60^\circ$. Cả ba góc đều bằng $60^\circ$

Cả hai trường hợp đều cho ba góc bằng $60^\circ$, suy ra tam giác đó là tam giác đều

2. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Hoạt động 3 (trang 82)

Đề bài: Đánh dấu hai điểm $A$ và $B$ nằm trên hai mép tờ giấy A4, nối $A$ và $B$ để được đoạn thẳng $AB$. Gấp mảnh giấy lại như Hình 4.63 sao cho vị trí các điểm $A$ và $B$ trùng nhau. Mở mảnh giấy ra, kẻ một đường thẳng $d$ theo nếp gấp

a) Gọi $O$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và $AB$. $O$ có là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ không?

b) Dùng thước đo góc, kiểm tra đường thẳng $d$ có vuông góc với $AB$ không?

Lời giải:

Đây là hoạt động thực hành gấp giấy. Khi gấp sao cho hai điểm $A$ và $B$ trùng nhau, nếp gấp $d$ đi qua điểm “ở giữa” của $AB$ và làm cho hai nửa đoạn $OA$, $OB$ chồng khít lên nhau

a) Sau khi mở mảnh giấy, ta thấy $OA = OB$, tức là $O$ chính là trung điểm của đoạn thẳng $AB$

b) Dùng thước đo góc kiểm tra, ta thấy đường thẳng $d$ vuông góc với đoạn thẳng $AB$ tại $O$

Nhận xét: Đường thẳng $d$ vừa vuông góc với $AB$ vừa đi qua trung điểm của $AB$ được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$

Câu hỏi 2 (trang 83)

Đề bài: Trong Hình 4.64, bạn Lan vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng. Theo em, hình nào Lan vẽ đúng?

Lời giải:

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Cần kiểm tra đồng thời hai điều kiện: (1) vuông góc và (2) đi qua trung điểm

Quan sát Hình 4.64:

Hình a): Đường thẳng có kí hiệu vuông góc với $AB$ và hai đoạn được đánh dấu bằng nhau (tức cắt $AB$ tại trung điểm) → vẽ đúng

Hình b): Đường thẳng cắt $CD$ tại trung điểm (vì hai đoạn được đánh dấu bằng nhau) nhưng không vuông góc với $CD$ → vẽ sai

Hình c): Đường thẳng vuông góc với $EF$ nhưng không cắt $EF$ tại trung điểm → vẽ sai

Vậy Lan vẽ đúng ở hình a)

Hoạt động 4 (trang 83)

Đề bài: Trên mảnh giấy trong HĐ3, lấy điểm $M$ bất kì trên đường thẳng $d$. Dùng thước thẳng có vạch chia kiểm tra xem $AM$ có bằng $BM$ không (H.4.65)

Lời giải:

Lấy điểm $M$ bất kì trên đường thẳng $d$, dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài hai đoạn $AM$ và $BM$, ta thấy:

$$AM = BM$$

Như vậy mọi điểm $M$ trên đường trung trực $d$ đều cách đều hai mút $A$ và $B$

Nhận xét: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó

Luyện tập 2 (trang 83)

Đề bài: Cho $M$ là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Biết $AM = 3$ cm và $\widehat{MAB} = 60^\circ$ (H.4.67). Tính $BM$ và số đo góc $\widehat{MBA}$

Lời giải:

Vì $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $M$ cách đều hai mút $A$ và $B$, tức:

$$MA = MB$$

Mà $MA = 3$ cm nên $MB = 3$ cm

Tam giác $MAB$ có $MA = MB$ nên tam giác $MAB$ cân tại $M$. Hai góc ở đáy bằng nhau:

$$\widehat{MAB} = \widehat{MBA}$$

Mà $\widehat{MAB} = 60^\circ$ nên $\widehat{MBA} = 60^\circ$

Vậy $BM = 3$ cm và $\widehat{MBA} = 60^\circ$

Thực hành (trang 83)

Đề bài: Sử dụng thước thẳng và compa để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng $AB$

Lời giải:

Ta vẽ theo các bước sau:

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng $AB$ bằng thước thẳng

Bước 2: Mở compa với khẩu độ lớn hơn $\dfrac{AB}{2}$. Lấy $A$ làm tâm, vẽ một cung tròn. Giữ nguyên khẩu độ compa, lấy $B$ làm tâm, vẽ một cung tròn khác. Hai cung tròn này cắt nhau tại hai điểm, gọi là $M$ và $N$

Bước 3: Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng đi qua $M$ và $N$. Đường thẳng $MN$ chính là đường trung trực của đoạn $AB$ (H.4.68)

Ngoài ra, giao điểm của $MN$ với $AB$ chính là trung điểm của đoạn $AB$, vì vậy cách này cũng dùng để vẽ trung điểm của một đoạn thẳng

Bài tập (trang 84)

Bài 4.23 (trang 84)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và các điểm $E$, $F$ lần lượt nằm trên các cạnh $AC$, $AB$ sao cho $BE \perp AC$, $CF \perp AB$ (H.4.69). Chứng minh rằng $BE = CF$

Lời giải:

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên hai góc ở đáy bằng nhau:

$$\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$$

Vì $CF \perp AB$ tại $F$ nên $\triangle BFC$ vuông tại $F$; vì $BE \perp AC$ tại $E$ nên $\triangle CEB$ vuông tại $E$. Hai tam giác vuông này có chung cạnh huyền $BC$

Xét $\triangle BFC$ (vuông tại $F$) và $\triangle CEB$ (vuông tại $E$) có:

$$BC \text{ là cạnh huyền chung}$$

$$\widehat{FBC} = \widehat{ECB} \quad (\text{chính là } \widehat{ABC} = \widehat{ACB})$$

Do đó:

$$\triangle BFC = \triangle CEB \ (\text{cạnh huyền – góc nhọn})$$

Suy ra $CF = BE$ (hai cạnh tương ứng)

Bài 4.24 (trang 84)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Chứng minh $AM$ vuông góc với $BC$ và $AM$ là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$

Lời giải:

Xét $\triangle AMB$ và $\triangle AMC$ có:

$$AB = AC \quad (\triangle ABC \text{ cân tại } A)$$

$$MB = MC \quad (M \text{ là trung điểm của } BC)$$

$$AM \text{ là cạnh chung}$$

Do đó:

$$\triangle AMB = \triangle AMC \ (\text{c.c.c})$$

Chứng minh $AM$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$: Từ $\triangle AMB = \triangle AMC$, suy ra $\widehat{BAM} = \widehat{CAM}$ (hai góc tương ứng). Vì tia $AM$ nằm trong góc $\widehat{BAC}$ nên $AM$ là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$

Chứng minh $AM \perp BC$: Cũng từ $\triangle AMB = \triangle AMC$, ta có $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng). Mặt khác, $\widehat{AMB}$ và $\widehat{AMC}$ là hai góc kề bù (vì $M$ nằm giữa $B$ và $C$ trên đoạn $BC$), nên:

$$\widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^\circ$$

Kết hợp với $\widehat{AMB} = \widehat{AMC}$, suy ra:

$$\widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^\circ$$

Vậy $AM \perp BC$

Bài 4.25 (trang 84)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$

a) Giả sử $AM$ vuông góc với $BC$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân tại $A$

b) Giả sử $AM$ là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân tại $A$

Lời giải:

a) Vì $AM \perp BC$ tại $M$ nên $\triangle AMB$ vuông tại $M$ và $\triangle AMC$ vuông tại $M$

Xét $\triangle AMB$ và $\triangle AMC$ (đều vuông tại $M$) có:

$$AM \text{ là cạnh góc vuông chung}$$

$$MB = MC \quad (M \text{ là trung điểm của } BC)$$

Do đó:

$$\triangle AMB = \triangle AMC \ (\text{hai cạnh góc vuông})$$

Suy ra $AB = AC$ (hai cạnh tương ứng), nên tam giác $ABC$ cân tại $A$

b) Từ $M$, kẻ $MH \perp AB$ tại $H$ (với $H \in AB$) và $MG \perp AC$ tại $G$ (với $G \in AC$)

Bước 1: Xét $\triangle AHM$ (vuông tại $H$) và $\triangle AGM$ (vuông tại $G$) có:

$$AM \text{ là cạnh huyền chung}$$

$$\widehat{HAM} = \widehat{GAM} \quad (AM \text{ là tia phân giác của } \widehat{BAC})$$

Do đó $\triangle AHM = \triangle AGM$ (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra $HM = GM$ (hai cạnh tương ứng)

Bước 2: Xét $\triangle BHM$ (vuông tại $H$) và $\triangle CGM$ (vuông tại $G$) có:

$$BM = CM \quad (M \text{ là trung điểm của } BC)$$

$$HM = GM \quad (\text{chứng minh trên})$$

Do đó $\triangle BHM = \triangle CGM$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra $\widehat{HBM} = \widehat{GCM}$ (hai góc tương ứng), tức $\widehat{ABM} = \widehat{ACM}$ hay $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

Tam giác $ABC$ có hai góc đáy bằng nhau nên tam giác $ABC$ cân tại $A$

Bài 4.26 (trang 84)

Đề bài: Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân. Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng $45^\circ$

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng $45^\circ$ là tam giác vuông cân

Lời giải:

a) Tam giác vuông có một góc bằng $90^\circ$ và hai góc nhọn (vì nếu có hai góc đều bằng $90^\circ$ thì tổng đã là $180^\circ$, không còn chỗ cho góc thứ ba)

Khi tam giác này cân thì hai góc bằng nhau chỉ có thể là hai góc nhọn (không thể là hai góc vuông). Hai góc nhọn này chính là hai góc đáy, nên đỉnh cân là đỉnh còn lại — chính là đỉnh có góc vuông

Vậy tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông

b) Gọi $x$ là số đo của mỗi góc nhọn trong tam giác vuông cân. Theo định lí tổng ba góc:

$$x + x + 90^\circ = 180^\circ$$

$$2x = 90^\circ$$

Suy ra $x = 45^\circ$

Vậy tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng $45^\circ$

c) Gọi tam giác vuông có một góc vuông $90^\circ$, một góc nhọn $45^\circ$ và góc nhọn còn lại là $x$. Áp dụng định lí tổng ba góc:

$$90^\circ + 45^\circ + x = 180^\circ$$

Suy ra $x = 180^\circ – 90^\circ – 45^\circ = 45^\circ$

Hai góc nhọn đều bằng $45^\circ$ nên bằng nhau. Theo định lí ngược, tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân, mà cân tại đỉnh đối diện cạnh nối hai góc đó (đỉnh góc vuông)

Vậy tam giác vuông có một góc nhọn bằng $45^\circ$ là tam giác vuông cân

Bài 4.27 (trang 84)

Đề bài: Trong Hình 4.70, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$?

Lời giải:

Đường trung trực của một đoạn thẳng phải đồng thời thoả mãn hai điều kiện: vuông góc với đoạn thẳng và đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó

Quan sát Hình 4.70: trong các đường thẳng được vẽ, chỉ có đường thẳng $m$ vừa vuông góc với $AB$ vừa đi qua trung điểm của $AB$ (dựa vào lưới ô vuông để xác định trung điểm). Các đường thẳng còn lại hoặc không vuông góc, hoặc không đi qua trung điểm

Vậy đường thẳng $m$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$

Bài 4.28 (trang 84)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có đường cao $AD$. Chứng minh rằng đường thẳng $AD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$

Lời giải:

Vì $AD$ là đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$ xuống cạnh $BC$ nên $AD \perp BC$ tại $D$. Khi đó $\triangle ADB$ vuông tại $D$ và $\triangle ADC$ vuông tại $D$

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$

Xét $\triangle ADB$ (vuông tại $D$) và $\triangle ADC$ (vuông tại $D$) có:

$$AB = AC \quad (\text{cạnh huyền — do } \triangle ABC \text{ cân tại } A)$$

$$AD \text{ là cạnh góc vuông chung}$$

Do đó:

$$\triangle ADB = \triangle ADC \ (\text{cạnh huyền – cạnh góc vuông})$$

Suy ra $DB = DC$ (hai cạnh tương ứng), tức $D$ là trung điểm của $BC$

Đường thẳng $AD$ vừa đi qua trung điểm $D$ của $BC$ vừa vuông góc với $BC$ tại $D$, vậy $AD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du