Bài tập cuối chương IX (trang 84)

Bài 9.36 (trang 84)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}$ là một góc tù. Lấy điểm $D$ nằm giữa $A$ và $B$; lấy điểm $E$ nằm giữa $A$ và $C$ (H.9.51). Chứng minh $DE < BC$.

Lời giải:

Ý tưởng: ta chứng minh qua hai bước trung gian, $DE < DC$ và $DC < BC$, rồi suy ra $DE < BC$. Nối $DC$.

Bước 1: Chứng minh $DE < DC$.

Vì $D$ nằm giữa $A$ và $B$, tia $AD$ trùng tia $AB$; vì $E$ nằm giữa $A$ và $C$, tia $AE$ trùng tia $AC$. Do đó:

$$\widehat{DAE} = \widehat{BAC} \text{ là góc tù.}$$

Xét tam giác $ADE$: vì tổng ba góc bằng $180^\circ$ và $\widehat{DAE} > 90^\circ$, hai góc còn lại $\widehat{ADE}$ và $\widehat{AED}$ đều là góc nhọn (mỗi góc nhỏ hơn $90^\circ$).

Vì $E$ nằm giữa $A$ và $C$, hai tia $EA$ và $EC$ là hai tia đối nhau. Do đó hai góc $\widehat{DEA}$ và $\widehat{DEC}$ kề bù:

$$\widehat{DEA} + \widehat{DEC} = 180^\circ ;\Longrightarrow; \widehat{DEC} = 180^\circ – \widehat{DEA}.$$

Vì $\widehat{DEA} = \widehat{AED}$ là góc nhọn ($< 90^\circ$), nên $\widehat{DEC} > 90^\circ$, tức $\widehat{DEC}$ là góc tù.

Xét tam giác $DEC$: $\widehat{DEC}$ là góc tù, là góc lớn nhất trong tam giác. Theo định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện, cạnh đối diện $\widehat{DEC}$ (là $DC$) là cạnh lớn nhất:

$$DC > DE. \quad (1)$$

Bước 2: Chứng minh $DC < BC$.

Vì $D$ nằm giữa $A$ và $B$, hai tia $DA$ và $DB$ là hai tia đối nhau. Do đó hai góc $\widehat{ADC}$ và $\widehat{BDC}$ kề bù:

$$\widehat{ADC} + \widehat{BDC} = 180^\circ.$$

Trong tam giác $ADC$: $\widehat{DAC} = \widehat{BAC}$ là góc tù, nên hai góc còn lại $\widehat{ADC}$ và $\widehat{ACD}$ đều nhọn. Do đó $\widehat{ADC} < 90^\circ$, suy ra:

$$\widehat{BDC} = 180^\circ – \widehat{ADC} > 90^\circ,$$

tức $\widehat{BDC}$ là góc tù.

Xét tam giác $BDC$: $\widehat{BDC}$ là góc tù, là góc lớn nhất trong tam giác. Cạnh đối diện $\widehat{BDC}$ (là $BC$) là cạnh lớn nhất:

$$BC > DC. \quad (2)$$

Bước 3: Kết hợp $(1)$ và $(2)$.

$$DE < DC < BC ;\Longrightarrow; DE < BC.$$

Vậy $DE < BC$ (đpcm).

Bài 9.37 (trang 84)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ ($AB > AC$). Trên đường thẳng chứa cạnh $BC$, lấy điểm $D$ và điểm $E$ sao cho $B$ nằm giữa $D$ và $C$, $C$ nằm giữa $B$ và $E$, $BD = BA$, $CE = CA$ (H.9.52).

a) So sánh $\widehat{ADE}$ và $\widehat{AED}$.

b) So sánh các đoạn thẳng $AD$ và $AE$.

Lời giải:

a) Tính $\widehat{ADE}$ theo $\widehat{ABC}$.

Tam giác $ABD$ có $BA = BD$ (giả thiết), nên là tam giác cân tại $B$, với cạnh đáy $AD$. Hai góc ở đáy bằng nhau:

$$\widehat{BAD} = \widehat{BDA}.$$

Theo định lí tổng ba góc trong tam giác $ABD$:

$$\widehat{BAD} + \widehat{BDA} + \widehat{ABD} = 180^\circ ;\Longrightarrow; 2 \widehat{BDA} = 180^\circ – \widehat{ABD}.$$

Vì $B$ nằm giữa $D$ và $C$, hai tia $BD$ và $BC$ là hai tia đối nhau. Do đó hai góc $\widehat{ABD}$ và $\widehat{ABC}$ kề bù:

$$\widehat{ABD} = 180^\circ – \widehat{ABC}.$$

Thay vào:

$$2 \widehat{BDA} = 180^\circ – (180^\circ – \widehat{ABC}) = \widehat{ABC} ;\Longrightarrow; \widehat{BDA} = \dfrac{\widehat{ABC}}{2}.$$

Vì $B$ nằm giữa $D$ và $E$ (cụ thể $D$, $B$, $C$, $E$ thẳng hàng theo thứ tự đó), tia $DE$ trùng tia $DB$, nên:

$$\widehat{ADE} = \widehat{ADB} = \widehat{BDA} = \dfrac{\widehat{ABC}}{2}. \quad (1)$$

Tính $\widehat{AED}$ theo $\widehat{ACB}$.

Tương tự, tam giác $ACE$ có $CA = CE$, cân tại $C$, với cạnh đáy $AE$. Hai góc ở đáy bằng nhau:

$$\widehat{CAE} = \widehat{CEA}.$$

Vì $C$ nằm giữa $B$ và $E$, hai tia $CE$ và $CB$ đối nhau, nên $\widehat{ACE} = 180^\circ – \widehat{ACB}$. Tương tự bước trên:

$$\widehat{CEA} = \dfrac{\widehat{ACB}}{2}.$$

Vì $C$ nằm giữa $D$ và $E$, tia $ED$ trùng tia $EC$, nên:

$$\widehat{AED} = \widehat{AEC} = \widehat{CEA} = \dfrac{\widehat{ACB}}{2}. \quad (2)$$

So sánh.

Trong tam giác $ABC$, áp dụng quan hệ giữa cạnh và góc đối diện: cạnh đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn (và ngược lại). Cạnh $AB$ đối diện với $\widehat{ACB}$; cạnh $AC$ đối diện với $\widehat{ABC}$. Vì $AB > AC$:

$$\widehat{ACB} > \widehat{ABC} ;\Longrightarrow; \dfrac{\widehat{ACB}}{2} > \dfrac{\widehat{ABC}}{2}.$$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\widehat{AED} > \widehat{ADE}$.

Vậy $\widehat{ADE} < \widehat{AED}$.

b) Trong tam giác $ADE$, áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện:

Cạnh đối diện $\widehat{AED}$ là $AD$.

Cạnh đối diện $\widehat{ADE}$ là $AE$.

Vì $\widehat{AED} > \widehat{ADE}$ (theo câu a), suy ra cạnh đối diện góc lớn hơn là lớn hơn:

$$AD > AE.$$

Vậy $AD > AE$.

Bài 9.38 (trang 84)

Đề bài: Gọi $AI$ và $AM$ lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

a) $AI < \dfrac{1}{2}(AB + AC)$.

b) $AM < \dfrac{1}{2}(AB + AC)$.

(Gợi ý: Lấy $D$ sao cho $M$ là trung điểm của $AD$ thì hai tam giác $ABM$ và $DCM$ bằng nhau đấy!)

Lời giải:

a) $AI$ là đường cao xuất phát từ $A$, tức $AI \perp BC$ tại $I$. Nói cách khác, $AI$ là đường vuông góc kẻ từ $A$ đến đường thẳng $BC$. Các đoạn $AB$ và $AC$ là các đường xiên kẻ từ $A$ đến $BC$ (vì $B$, $C$ đều thuộc $BC$).

Theo định lí về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm đến một đường thẳng: đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên. Do đó:

$$AI \leq AB; \qquad AI \leq AC.$$

(Dấu bằng chỉ xảy ra khi đường xiên trùng đường vuông góc, tức $I$ trùng $B$ hoặc $I$ trùng $C$ — không thể đồng thời cả hai.)

Cộng vế:

$$2 AI \leq AB + AC.$$

Vì không thể đồng thời $AI = AB$ và $AI = AC$ (tam giác không suy biến), nên dấu bằng không xảy ra:

$$2 AI < AB + AC ;\Longleftrightarrow; AI < \dfrac{1}{2}(AB + AC).$$

Vậy $AI < \dfrac{1}{2}(AB + AC)$ (đpcm).

b) Theo gợi ý, lấy điểm $D$ sao cho $M$ là trung điểm của $AD$. Khi đó $M$ vừa là trung điểm của $BC$ (do $AM$ là trung tuyến), vừa là trung điểm của $AD$.

Bước 1: Chứng minh $AB = DC$.

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle DCM$:

$AM = DM$ ($M$ là trung điểm $AD$).

$\widehat{AMB} = \widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh).

$BM = CM$ ($M$ là trung điểm $BC$).

Vậy $\triangle ABM = \triangle DCM$ (c.g.c), suy ra $AB = DC$ (hai cạnh tương ứng).

Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác $ACD$.

Trong tam giác $ACD$, theo bất đẳng thức tam giác (mỗi cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại):

$$AD < AC + CD.$$

Vì $M$ là trung điểm $AD$ nên $AD = 2 AM$. Thay $CD = AB$ (từ Bước 1):

$$2 AM < AC + AB ;\Longleftrightarrow; AM < \dfrac{1}{2}(AB + AC).$$

Vậy $AM < \dfrac{1}{2}(AB + AC)$ (đpcm).

Bài 9.39 (trang 84)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có đường phân giác $AD$, $D$ nằm trên $BC$ sao cho $BD = 2 DC$. Trên đường thẳng $AC$, lấy điểm $E$ sao cho $C$ là trung điểm của $AE$ (H.9.53). Chứng minh rằng tam giác $ABE$ cân tại $A$.

(Gợi ý: $D$ là trọng tâm của tam giác $ABE$; tam giác này có đường phân giác $AD$ đồng thời là trung tuyến.)

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $D$ là trọng tâm của tam giác $ABE$.

Vì $C$ là trung điểm của $AE$, đoạn thẳng $BC$ nối đỉnh $B$ với trung điểm $C$ của cạnh đối diện $AE$, nên $BC$ là đường trung tuyến của tam giác $ABE$ xuất phát từ đỉnh $B$.

Từ giả thiết $BD = 2 DC$ và $D$ nằm trên $BC$:

$$BC = BD + DC = 2 DC + DC = 3 DC ;\Longrightarrow; DC = \dfrac{1}{3} BC, \quad BD = \dfrac{2}{3} BC.$$

Như vậy, $D$ nằm trên đường trung tuyến $BC$ của tam giác $ABE$, và cách đỉnh $B$ một khoảng bằng $\dfrac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến.

Theo Định lí 1 (Bài 34), điểm trên đường trung tuyến cách đỉnh một khoảng bằng $\dfrac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến chính là trọng tâm của tam giác. Vậy $D$ là trọng tâm của tam giác $ABE$.

Bước 2: Chứng minh $AD$ là đường trung tuyến của tam giác $ABE$ xuất phát từ $A$.

Vì $D$ là trọng tâm, $D$ nằm trên đường trung tuyến của tam giác $ABE$ xuất phát từ mỗi đỉnh, trong đó có đỉnh $A$. Mà $A$ và $D$ cùng nằm trên đường thẳng $AD$, nên đường thẳng $AD$ chính là đường thẳng chứa đường trung tuyến của tam giác $ABE$ xuất phát từ $A$.

Bước 3: Chứng minh $AD$ là đường phân giác của tam giác $ABE$ tại đỉnh $A$.

Vì $C$ là trung điểm của $AE$, ba điểm $A$, $C$, $E$ thẳng hàng, với $C$ nằm giữa $A$ và $E$. Do đó tia $AC$ và tia $AE$ trùng nhau (cùng xuất phát từ $A$, cùng chiều đi qua $C$ và tiếp đến $E$).

Vậy $\widehat{BAC} = \widehat{BAE}$ (cùng là góc giữa tia $AB$ và tia $AC = AE$).

Theo giả thiết, $AD$ là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ trong tam giác $ABC$. Do $\widehat{BAC} = \widehat{BAE}$, $AD$ cũng là đường phân giác của $\widehat{BAE}$ trong tam giác $ABE$.

Bước 4: Kết luận tam giác $ABE$ cân tại $A$.

Trong tam giác $ABE$, đường thẳng $AD$ vừa là đường phân giác (từ Bước 3), vừa chứa đường trung tuyến từ đỉnh $A$ (từ Bước 2).

Trong một tam giác, nếu đường phân giác và đường trung tuyến xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau thì tam giác đó cân tại đỉnh ấy (kết quả này có thể chứng minh tương tự Bài 9.31: lấy $F$ là điểm đối xứng với $A$ qua trung điểm của $BE$, dùng tam giác bằng nhau và tính chất phân giác, ta thu được $AB = AE$).

Vậy tam giác $ABE$ cân tại $A$ (đpcm).

Bài 9.40 (trang 84)

Đề bài: Một sợi dây thép dài $1{,}2$ m. Cần đánh dấu trên sợi dây thép đó hai điểm để khi uốn gập nó lại tại hai điểm đó sẽ tạo thành tam giác cân có một cạnh dài $30$ cm (H.9.54). Em hãy mô tả các cách đánh dấu hai điểm trên sợi dây thép.

Lời giải:

Đổi đơn vị: $1{,}2$ m $= 120$ cm. Khi uốn gập sợi dây tại hai điểm đã đánh dấu, ba đoạn của sợi dây trở thành ba cạnh của tam giác, với tổng độ dài $120$ cm. Tam giác cần dựng là tam giác cân có một cạnh dài $30$ cm. Ta xét hai trường hợp.

Trường hợp 1: Cạnh dài $30$ cm là cạnh bên của tam giác cân.

Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, nên hai cạnh bên đều dài $30$ cm. Cạnh đáy dài:

$$120 – 30 – 30 = 60 \text{ (cm).}$$

Kiểm tra bất đẳng thức tam giác: tổng hai cạnh bên = $30 + 30 = 60$ cm, bằng đúng cạnh đáy $60$ cm. Mà bất đẳng thức tam giác yêu cầu tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại, nên ba độ dài $30$, $30$, $60$ không tạo thành tam giác. Trường hợp này bị loại.

Trường hợp 2: Cạnh dài $30$ cm là cạnh đáy của tam giác cân.

Tổng hai cạnh bên = $120 – 30 = 90$ cm. Mỗi cạnh bên dài:

$$\dfrac{90}{2} = 45 \text{ (cm).}$$

Kiểm tra bất đẳng thức tam giác: $45 + 45 = 90 > 30$ ✓; $45 + 30 = 75 > 45$ ✓. Thoả mãn. Ba độ dài $45$, $45$, $30$ tạo thành tam giác cân (với cạnh đáy $30$ cm, hai cạnh bên $45$ cm).

Mô tả các cách đánh dấu hai điểm:

Gọi sợi dây có hai đầu là $A$ và $D$ (tổng độ dài $AD = 120$ cm), và hai điểm cần đánh dấu lần lượt là $B$, $C$ (theo thứ tự từ $A$ đến $D$). Khi đó ba đoạn sợi dây có độ dài lần lượt $AB$, $BC$, $CD$, với $AB + BC + CD = 120$ cm. Ba đoạn này phải có độ dài ${30; 45; 45}$ (theo thứ tự nào đó). Có ba cách bố trí:

Cách 1: $AB = 45$ cm, $BC = 30$ cm, $CD = 45$ cm. (Đánh dấu hai điểm cách đầu $A$ lần lượt $45$ cm và $75$ cm.) Cạnh đáy $30$ cm nằm ở giữa.

Cách 2: $AB = 45$ cm, $BC = 45$ cm, $CD = 30$ cm. (Đánh dấu hai điểm cách đầu $A$ lần lượt $45$ cm và $90$ cm.) Cạnh đáy $30$ cm nằm ở phía đầu $D$.

Cách 3: $AB = 30$ cm, $BC = 45$ cm, $CD = 45$ cm. (Đánh dấu hai điểm cách đầu $A$ lần lượt $30$ cm và $75$ cm.) Cạnh đáy $30$ cm nằm ở phía đầu $A$.

Trong cả ba cách, sau khi uốn gập đều thu được cùng một tam giác cân với hai cạnh bên $45$ cm và cạnh đáy $30$ cm.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du