Bài tập cuối chương III (trang 59, 60)

Bài 3.32 (trang 59)

Đề bài: Chứng minh rằng: Cho điểm $A$ và đường thẳng $d$ thì có duy nhất đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$, tức là nếu có hai đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $d$ thì chúng phải trùng nhau.

Lời giải:

Giả sử có hai đường thẳng $a$ và $a’$ cùng đi qua điểm $A$ và cùng vuông góc với đường thẳng $d$. Ta sẽ chứng minh $a$ và $a’$ trùng nhau.

Vì $a \perp d$ và $a’ \perp d$ nên theo định lí “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”, nếu $a$ và $a’$ phân biệt thì $a // a’$.

Tuy nhiên, $a$ và $a’$ đều đi qua điểm $A$, tức là có điểm chung. Hai đường thẳng song song thì không có điểm chung, nên $a$ và $a’$ không thể phân biệt. Do đó $a \equiv a’$ (trùng nhau).

Vậy có duy nhất một đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$ (đpcm)

Bài 3.33 (trang 60)

Đề bài: Vẽ ba đường thẳng phân biệt $a$, $b$, $c$ sao cho $a // b$, $b // c$ và hai đường thẳng phân biệt $m$, $n$ cùng vuông góc với $a$. Hỏi trên hình có bao nhiêu cặp đường thẳng song song, có bao nhiêu cặp đường thẳng vuông góc?

Lời giải:

Tìm các cặp đường thẳng song song:

Vì $a // b$ và $b // c$ nên $a // c$ (hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau)

Vì $m \perp a$ và $n \perp a$ nên $m // n$ (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau)

Vậy các cặp đường thẳng song song là: $a // b$; $a // c$; $b // c$; $m // n$ — tổng cộng 4 cặp

Tìm các cặp đường thẳng vuông góc:

Theo giả thiết $m \perp a$ và $n \perp a$ nên ta có $a \perp m$ và $a \perp n$ (2 cặp).

Áp dụng nhận xét “đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại”:

Vì $a // b$ và $a \perp m$ nên $b \perp m$

Vì $a // b$ và $a \perp n$ nên $b \perp n$

Vì $a // c$ và $a \perp m$ nên $c \perp m$

Vì $a // c$ và $a \perp n$ nên $c \perp n$

Vậy các cặp đường thẳng vuông góc là: $a \perp m$; $a \perp n$; $b \perp m$; $b \perp n$; $c \perp m$; $c \perp n$ — tổng cộng 6 cặp

Bài 3.34 (trang 60)

Đề bài: Cho Hình 3.50, trong đó hai tia $Ax$ và $By$ nằm trên hai đường thẳng song song. Chứng minh rằng $\widehat{C} = \widehat{A} + \widehat{B}$.

Lời giải:

Qua $C$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $Ax$.

Vì $Ax // By$ và $d // Ax$ nên $d // By$ (hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau).

Khi đó tia $d$ chia góc $\widehat{ACB}$ thành hai góc $\widehat{C_1}$ (kề với phía $A$) và $\widehat{C_2}$ (kề với phía $B$), tức:

$$\widehat{C} = \widehat{C_1} + \widehat{C_2}$$

Tính $\widehat{C_1}$: Vì $d // Ax$, đường thẳng $AC$ là cát tuyến, hai góc $\widehat{A}$ và $\widehat{C_1}$ ở vị trí so le trong nên:

$$\widehat{A} = \widehat{C_1}$$

Tính $\widehat{C_2}$: Vì $d // By$, đường thẳng $BC$ là cát tuyến, hai góc $\widehat{B}$ và $\widehat{C_2}$ ở vị trí so le trong nên:

$$\widehat{B} = \widehat{C_2}$$

Cộng hai đẳng thức:

$$\widehat{A} + \widehat{B} = \widehat{C_1} + \widehat{C_2} = \widehat{C}$$

Vậy $\widehat{C} = \widehat{A} + \widehat{B}$ (đpcm)

Bài 3.35 (trang 60)

Đề bài: Cho Hình 3.51, trong đó $Ox$ và $Ox’$ là hai tia đối nhau.

a) Tính tổng số đo ba góc $\widehat{O_1}$, $\widehat{O_2}$, $\widehat{O_3}$.

Gợi ý: $\widehat{O_1} + \widehat{O_2} + \widehat{O_3} = (\widehat{O_1} + \widehat{O_2}) + \widehat{O_3}$, trong đó $\widehat{O_1} + \widehat{O_2} = \widehat{x’Oy}$. $\widehat{x’Oy}$ và $\widehat{yOx}$ là hai góc kề bù.

b) Cho $\widehat{O_1} = 60^\circ$, $\widehat{O_3} = 70^\circ$. Tính $\widehat{O_2}$.

Lời giải:

a) Theo gợi ý, ta có:

$$\widehat{O_1} + \widehat{O_2} + \widehat{O_3} = (\widehat{O_1} + \widehat{O_2}) + \widehat{O_3} = \widehat{x’Oy} + \widehat{O_3}$$

Vì $\widehat{O_3} = \widehat{yOx}$, và $\widehat{x’Oy}$ với $\widehat{yOx}$ là hai góc kề bù (chung cạnh $Oy$, hai cạnh $Ox’$ và $Ox$ là hai tia đối nhau), nên:

$$\widehat{x’Oy} + \widehat{yOx} = 180^\circ$$

Vậy:

$$\widehat{O_1} + \widehat{O_2} + \widehat{O_3} = 180^\circ$$

b) Áp dụng kết quả phần a:

$$\widehat{O_1} + \widehat{O_2} + \widehat{O_3} = 180^\circ$$

$$60^\circ + \widehat{O_2} + 70^\circ = 180^\circ$$

Suy ra:

$$\widehat{O_2} = 180^\circ – 60^\circ – 70^\circ = 50^\circ$$

Vậy $\widehat{O_2} = 50^\circ$

Bài 3.36 (trang 60)

Đề bài: Cho Hình 3.52, biết $\widehat{xOy} = 120^\circ$, $\widehat{yOz} = 110^\circ$. Tính số đo góc $\widehat{zOx}$. Gợi ý: kẻ thêm tia đối của tia $Oy$.

Lời giải:

Kẻ $Ot$ là tia đối của tia $Oy$.

Tính $\widehat{O_1} = \widehat{xOt}$: Hai góc $\widehat{xOt}$ và $\widehat{xOy}$ là hai góc kề bù (chung cạnh $Ox$, hai cạnh $Ot$ và $Oy$ là hai tia đối nhau) nên:

$$\widehat{xOt} + \widehat{xOy} = 180^\circ$$

$$\widehat{xOt} + 120^\circ = 180^\circ$$

Suy ra:

$$\widehat{xOt} = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ$$

Tính $\widehat{O_2} = \widehat{zOt}$: Hai góc $\widehat{zOt}$ và $\widehat{zOy}$ là hai góc kề bù (chung cạnh $Oz$, hai cạnh $Ot$ và $Oy$ là hai tia đối nhau) nên:

$$\widehat{zOt} + \widehat{zOy} = 180^\circ$$

$$\widehat{zOt} + 110^\circ = 180^\circ$$

Suy ra:

$$\widehat{zOt} = 180^\circ – 110^\circ = 70^\circ$$

Tính $\widehat{zOx}$: Vì tia $Ot$ nằm giữa hai tia $Ox$ và $Oz$ (theo hình vẽ) nên:

$$\widehat{zOx} = \widehat{xOt} + \widehat{zOt} = 60^\circ + 70^\circ = 130^\circ$$

Vậy $\widehat{zOx} = 130^\circ$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du