Bài toán mở đầu

Câu hỏi mở đầu (trang 60)

Đề bài: Người ta có thể xếp các viên gạch hình tam giác giống hệt nhau để trang trí như Hình 4.1. Em có nhận xét gì về ba góc tại mỗi đỉnh chung của ba tam giác? Từ đó em rút ra kết luận gì về vị trí của ba điểm $A$, $B$, $C$?

Lời giải:

Quan sát Hình 4.1, tại mỗi đỉnh chung (chẳng hạn tại $B$) có ba góc của ba tam giác đặt kề nhau và cùng nằm về một phía của đường thẳng đi qua $A$ và $C$. Ba góc đó ghép lại tạo thành một góc bẹt nên tổng của chúng bằng $180^\circ$

Vì ba góc tại $B$ tạo thành góc bẹt, nghĩa là tia $BA$ và tia $BC$ là hai tia đối nhau. Do đó ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng

Tổng các góc trong một tam giác

Hoạt động 1 (trang 60)

Đề bài: Vẽ tam giác $MNP$ bất kì, đo ba góc của tam giác đó

– Tổng số đo ba góc của tam giác $MNP$ bằng bao nhiêu?

– So sánh kết quả của em với các bạn và rút ra nhận xét

Lời giải:

Đây là hoạt động thực hành. Em vẽ một tam giác $MNP$ bất kì, sau đó dùng thước đo độ đo lần lượt ba góc $\widehat{M}$, $\widehat{N}$, $\widehat{P}$ rồi cộng ba số đo lại

Ví dụ minh họa: nếu em đo được $\widehat{M} = 70^\circ$, $\widehat{N} = 60^\circ$, $\widehat{P} = 50^\circ$ thì tổng ba góc là $70^\circ + 60^\circ + 50^\circ = 180^\circ$

So sánh với các bạn trong lớp, dù mỗi bạn vẽ một tam giác khác nhau thì tổng số đo ba góc đo được đều xấp xỉ $180^\circ$ (có thể chênh lệch một chút do sai số khi đo)

Nhận xét: Tổng số đo ba góc của một tam giác bất kì luôn bằng $180^\circ$

Hoạt động 2 (trang 61)

Đề bài: Cắt một hình tam giác bằng giấy bất kì (H.4.2a). Đánh dấu ba góc là $x$, $y$, $z$. Cắt hai góc $y$, $z$ và ghép lên góc $x$ như Hình 4.2b. Từ đó, em hãy dự đoán tổng số đo các góc $x$, $y$, $z$ của tam giác ban đầu

Lời giải:

Sau khi cắt hai góc $y$, $z$ và ghép lên góc $x$ như Hình 4.2b, ta thấy ba góc $x$, $y$, $z$ đặt kề nhau và tạo thành một góc bẹt

Vì góc bẹt có số đo bằng $180^\circ$ nên ta dự đoán:

$$x + y + z = 180^\circ$$

Tức là tổng số đo ba góc của tam giác ban đầu bằng $180^\circ$

Câu hỏi 1 (trang 61)

Đề bài: Trở lại tình huống mở đầu, tổng ba góc tại mỗi đỉnh chung của ba tam giác (chẳng hạn tại $B$ trong Hình 4.1) bằng bao nhiêu độ? Ba điểm $A$, $B$, $C$ có thẳng hàng không?

Lời giải:

Vì ba viên gạch là ba tam giác giống hệt nhau, nên ba góc tại đỉnh chung $B$ chính là ba góc khác nhau của một tam giác. Theo định lí, tổng ba góc của một tam giác bằng $180^\circ$, do đó tổng ba góc tại $B$ bằng $180^\circ$

Tổng ba góc tại $B$ bằng $180^\circ$ tức là chúng tạo thành một góc bẹt, vậy ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng

Luyện tập (trang 62)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Tính tổng hai góc $B$ và $C$

Lời giải:

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{A} = 90^\circ$

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác cho tam giác $ABC$:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$$

Thay $\widehat{A} = 90^\circ$:

$$90^\circ + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$$

Suy ra:

$$\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ – 90^\circ = 90^\circ$$

Vậy tổng hai góc $B$ và $C$ trong tam giác vuông tại $A$ bằng $90^\circ$

Vận dụng (trang 62)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ và $Cx$ là tia đối của tia $CB$ (H.4.5). Chứng minh rằng $\widehat{ACx} = \widehat{BAC} + \widehat{CBA}$

Lời giải:

Vì $Cx$ là tia đối của tia $CB$ nên hai góc $\widehat{ACB}$ và $\widehat{ACx}$ là hai góc kề bù, do đó:

$$\widehat{ACB} + \widehat{ACx} = 180^\circ$$

Suy ra:

$$\widehat{ACx} = 180^\circ – \widehat{ACB} \quad (1)$$

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác $ABC$:

$$\widehat{BAC} + \widehat{CBA} + \widehat{ACB} = 180^\circ$$

Suy ra:

$$\widehat{BAC} + \widehat{CBA} = 180^\circ – \widehat{ACB} \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:

$$\widehat{ACx} = \widehat{BAC} + \widehat{CBA}$$

(điều phải chứng minh)

Bài tập (trang 62)

Bài 4.1 (trang 62)

Đề bài: Tính các số đo $x$, $y$, $z$ trong Hình 4.6

Lời giải:

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$ cho từng tam giác

Tam giác thứ nhất (có ba góc $x$, $120^\circ$, $35^\circ$):

$$x + 120^\circ + 35^\circ = 180^\circ$$

$$x + 155^\circ = 180^\circ$$

Suy ra $x = 180^\circ – 155^\circ = 25^\circ$

Tam giác thứ hai (có ba góc $70^\circ$, $y$, $60^\circ$):

$$70^\circ + y + 60^\circ = 180^\circ$$

Suy ra $y = 180^\circ – 70^\circ – 60^\circ = 50^\circ$

Tam giác thứ ba (có ba góc $90^\circ$, $55^\circ$, $z$):

$$90^\circ + 55^\circ + z = 180^\circ$$

Suy ra $z = 180^\circ – 90^\circ – 55^\circ = 35^\circ$

Vậy $x = 25^\circ$, $y = 50^\circ$, $z = 35^\circ$

Bài 4.2 (trang 62)

Đề bài: Trong các tam giác ở Hình 4.7, tam giác nào là tam giác nhọn, tam giác vuông, tam giác tù?

Lời giải:

Nhắc lại: tam giác nhọn có cả ba góc đều nhọn (nhỏ hơn $90^\circ$); tam giác vuông có một góc bằng $90^\circ$; tam giác tù có một góc tù (lớn hơn $90^\circ$). Ta cần tính góc còn thiếu của mỗi tam giác rồi đối chiếu

Tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 50^\circ$, $\widehat{C} = 40^\circ$. Theo định lí tổng ba góc:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$$

$$50^\circ + \widehat{B} + 40^\circ = 180^\circ$$

Suy ra $\widehat{B} = 180^\circ – 50^\circ – 40^\circ = 90^\circ$

Tam giác $ABC$ có một góc bằng $90^\circ$ nên là tam giác vuông

Tam giác $DEF$ có $\widehat{E} = 55^\circ$, $\widehat{F} = 63^\circ$. Theo định lí tổng ba góc:

$$\widehat{D} + \widehat{E} + \widehat{F} = 180^\circ$$

$$\widehat{D} + 55^\circ + 63^\circ = 180^\circ$$

Suy ra $\widehat{D} = 180^\circ – 55^\circ – 63^\circ = 62^\circ$

Cả ba góc $\widehat{D} = 62^\circ$, $\widehat{E} = 55^\circ$, $\widehat{F} = 63^\circ$ đều nhỏ hơn $90^\circ$ nên tam giác $DEF$ là tam giác nhọn

Tam giác $MNP$ có $\widehat{M} = 50^\circ$, $\widehat{P} = 30^\circ$. Theo định lí tổng ba góc:

$$\widehat{M} + \widehat{N} + \widehat{P} = 180^\circ$$

$$50^\circ + \widehat{N} + 30^\circ = 180^\circ$$

Suy ra $\widehat{N} = 180^\circ – 50^\circ – 30^\circ = 100^\circ$

Tam giác $MNP$ có một góc $\widehat{N} = 100^\circ > 90^\circ$ nên là tam giác tù

Bài 4.3 (trang 62)

Đề bài: Tính các số đo $x$, $y$, $z$ trong Hình 4.8

Lời giải:

Quan sát Hình 4.8: hai tam giác $ABC$ và $CDE$ có chung đỉnh $C$, hai góc tại $C$ là hai góc đối đỉnh; góc $120^\circ$ kề bù với góc $x$ tại đỉnh $B$; góc $70^\circ$ kề bù với góc $z$ tại đỉnh $D$. Ta đi tính lần lượt $x$, $y$ rồi $z$

Tính $x$: Góc $x$ và góc $120^\circ$ là hai góc kề bù nên:

$$x + 120^\circ = 180^\circ$$

Suy ra $x = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ$

Tính $y$: Trong tam giác $ABC$, ta có $\widehat{A} = 80^\circ$, $\widehat{B} = x = 60^\circ$, $\widehat{C} = y$. Theo định lí tổng ba góc:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$$

$$80^\circ + 60^\circ + y = 180^\circ$$

Suy ra $y = 180^\circ – 80^\circ – 60^\circ = 40^\circ$

Tính $z$: Tại đỉnh $C$, góc $\widehat{DCE}$ đối đỉnh với góc $y$ nên:

$$\widehat{DCE} = y = 40^\circ$$

Trong tam giác $CDE$, ta có $\widehat{DCE} = 40^\circ$, $\widehat{E} = 70^\circ$, $\widehat{D}$ chưa biết. Theo định lí tổng ba góc:

$$\widehat{DCE} + \widehat{D} + \widehat{E} = 180^\circ$$

$$40^\circ + \widehat{D} + 70^\circ = 180^\circ$$

Suy ra $\widehat{D} = 180^\circ – 40^\circ – 70^\circ = 70^\circ$

Mà góc $z$ và góc $\widehat{D}$ là hai góc kề bù nên:

$$z + \widehat{D} = 180^\circ$$

Suy ra $z = 180^\circ – 70^\circ = 110^\circ$

Vậy $x = 60^\circ$, $y = 40^\circ$, $z = 110^\circ$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du