1. Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

Hoạt động 1 (trang 70)

Đề bài: Vẽ $\widehat{xAy} = 60^\circ$. Lấy điểm $B$ trên tia $Ax$ và điểm $C$ trên tia $Ay$ sao cho $AB = 4$ cm, $AC = 3$ cm. Nối điểm $B$ với điểm $C$ ta được tam giác $ABC$ (H.4.27). Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài cạnh $BC$ của tam giác $ABC$

Lời giải:

Em vẽ theo các bước sau:

Bước 1: Vẽ góc $\widehat{xAy} = 60^\circ$ bằng thước đo độ

Bước 2: Trên tia $Ax$ lấy điểm $B$ sao cho $AB = 4$ cm; trên tia $Ay$ lấy điểm $C$ sao cho $AC = 3$ cm

Bước 3: Nối $B$ với $C$ ta được tam giác $ABC$

Dùng thước thẳng có vạch chia đo cạnh $BC$, em sẽ thu được kết quả $BC \approx 3{,}6$ cm (kết quả thực tế có thể chênh lệch một chút do sai số khi vẽ và đo)

Hoạt động 2 (trang 70)

Đề bài: Vẽ thêm tam giác $A’B’C’$ với $\widehat{B’A’C’} = 60^\circ$, $A’B’ = 4$ cm và $A’C’ = 3$ cm (H.4.28). Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa để so sánh độ dài các cạnh tương ứng của hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$

– Hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có bằng nhau không?

– Độ dài các cạnh $A’B’$ và $A’C’$ của hai tam giác em vừa vẽ có bằng các cạnh $A’B’$ và $A’C’$ của hai tam giác các bạn khác vẽ không?

– Hai tam giác em vừa vẽ có bằng hai tam giác mà các bạn khác vẽ không?

Lời giải:

Em vẽ tam giác $A’B’C’$ theo cùng các bước như HĐ1 (với góc và hai cạnh có cùng số đo). Đo các cạnh tương ứng của hai tam giác, em sẽ thấy:

– Độ dài các cạnh tương ứng của hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ bằng nhau: $BC = B’C’$, $AB = A’B’$, $AC = A’C’$

– Hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ bằng nhau

– Mọi bạn trong lớp dù vẽ độc lập, vì cùng dùng các số đo $A’B’ = 4$ cm, $A’C’ = 3$ cm và góc $60^\circ$ nên đều cho ra tam giác giống nhau. Vậy hai tam giác em vẽ cũng bằng hai tam giác mà các bạn khác vẽ

Nhận xét: Khi hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và góc xen giữa hai cặp cạnh đó cũng bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau. Đây chính là trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

Câu hỏi 1 (trang 71)

Đề bài: Trong Hình 4.29, hai tam giác nào bằng nhau?

Lời giải:

Quan sát các kí hiệu trên cạnh và góc trong Hình 4.29, ta nhận thấy hai tam giác $ABC$ và $MNP$ có hai cặp cạnh và góc xen giữa bằng nhau

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle MNP$ có:

$$AB = MN \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

$$\widehat{BAC} = \widehat{NMP} \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

$$AC = MP \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

Do đó:

$$\triangle ABC = \triangle MNP \ (\text{c.g.c})$$

Luyện tập 1 (trang 72)

Đề bài: Hai tam giác $ABC$ và $MNP$ trong Hình 4.31 có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Quan sát Hình 4.31, tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 60^\circ$, hai cạnh $AB$ và $AC$ có đánh dấu trùng với hai cạnh $MN$ và $MP$ của tam giác $MNP$, tức là $AB = MN$ và $AC = MP$. Còn tam giác $MNP$ có $\widehat{N} = 50^\circ$ và $\widehat{P} = 70^\circ$, ta chưa biết $\widehat{M}$, nên cần tính trước

Tính $\widehat{M}$: Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác $MNP$:

$$\widehat{M} + \widehat{N} + \widehat{P} = 180^\circ$$

$$\widehat{M} + 50^\circ + 70^\circ = 180^\circ$$

Suy ra $\widehat{M} = 180^\circ – 50^\circ – 70^\circ = 60^\circ$

So sánh hai tam giác: Xét $\triangle ABC$ và $\triangle MNP$ có:

$$AB = MN \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

$$\widehat{BAC} = \widehat{NMP} \quad (= 60^\circ)$$

$$AC = MP \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

Do đó:

$$\triangle ABC = \triangle MNP \ (\text{c.g.c})$$

Vận dụng (trang 72)

Đề bài: Cho Hình 4.32, biết $\widehat{OAB} = \widehat{ODC}$, $OA = OD$ và $AB = CD$. Chứng minh rằng:

a) $AC = DB$ b) $\triangle OAC = \triangle ODB$

Lời giải:

Theo Hình 4.32, bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng nằm trên một đường thẳng (theo thứ tự $A$, $B$, $C$, $D$), và $O$ là điểm nằm ngoài đường thẳng đó

a) Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên $AC = AB + BC$. Tương tự, vì $C$ nằm giữa $B$ và $D$ nên $DB = DC + CB = CD + BC$

Vì $AB = CD$ (giả thiết), cộng cả hai vế với $BC$:

$$AB + BC = CD + BC$$

Suy ra:

$$AC = DB$$

b) Xét $\triangle OAC$ và $\triangle ODB$ có:

$$OA = OD \quad (\text{giả thiết})$$

$$\widehat{OAC} = \widehat{ODB} \quad (\text{vì } \widehat{OAC} = \widehat{OAB},\ \widehat{ODB} = \widehat{ODC} \text{ và } \widehat{OAB} = \widehat{ODC} \text{ theo giả thiết})$$

$$AC = DB \quad (\text{theo câu a})$$

Do đó:

$$\triangle OAC = \triangle ODB \ (\text{c.g.c})$$

2. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (g.c.g)

Hoạt động 3 (trang 72)

Đề bài: Vẽ đoạn thẳng $BC = 3$ cm. Vẽ hai tia $Bx$ và $Cy$ sao cho $\widehat{xBC} = 80^\circ$, $\widehat{yCB} = 40^\circ$ như Hình 4.33. Lấy giao điểm $A$ của hai tia $Bx$ và $Cy$, ta được tam giác $ABC$ (H.4.33). Dùng thước thẳng có vạch chia đo độ dài hai cạnh $AB$, $AC$ của tam giác $ABC$

Lời giải:

Em vẽ theo các bước sau:

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng $BC$ dài $3$ cm

Bước 2: Tại $B$ vẽ tia $Bx$ tạo với $BC$ một góc $80^\circ$; tại $C$ vẽ tia $Cy$ tạo với $CB$ một góc $40^\circ$

Bước 3: Hai tia $Bx$ và $Cy$ cắt nhau tại điểm $A$. Ta được tam giác $ABC$

Đo độ dài $AB$ và $AC$, em sẽ thu được:

$$AB \approx 2{,}2 \text{ cm};\qquad AC \approx 3{,}4 \text{ cm}$$

(Kết quả thực tế có thể chênh lệch một chút do sai số khi vẽ và đo)

Hoạt động 4 (trang 73)

Đề bài: Vẽ thêm tam giác $A’B’C’$ sao cho $B’C’ = 3$ cm, $\widehat{A’B’C’} = 80^\circ$, $\widehat{A’C’B’} = 40^\circ$ (H.4.34). Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa so sánh độ dài các cạnh của hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$. Hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có bằng nhau không?

Lời giải:

Vẽ tam giác $A’B’C’$ theo cùng các bước như HĐ3 (với cùng số đo cạnh $B’C’ = 3$ cm và hai góc kề $80^\circ$, $40^\circ$). Đo các cạnh, em sẽ thấy:

$$A’B’ \approx 2{,}2 \text{ cm};\qquad A’C’ \approx 3{,}4 \text{ cm}$$

Như vậy độ dài các cạnh tương ứng của hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ bằng nhau ($AB = A’B’$, $AC = A’C’$, $BC = B’C’$), suy ra hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ bằng nhau

Nhận xét: Khi hai tam giác có một cạnh bằng nhau và hai góc kề cạnh đó cũng bằng nhau từng đôi thì hai tam giác đó bằng nhau. Đây chính là trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc (g.c.g)

Câu hỏi 2 (trang 73)

Đề bài: Hai tam giác nào trong Hình 4.35 bằng nhau?

Lời giải:

Quan sát Hình 4.35, ta nhận thấy hai tam giác $ABC$ và $MNP$ có một cạnh bằng nhau và hai góc kề bằng nhau

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle MNP$ có:

$$\widehat{B} = \widehat{N} \quad (= 50^\circ)$$

$$BC = NP \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

$$\widehat{C} = \widehat{P} \quad (= 70^\circ)$$

Do đó:

$$\triangle ABC = \triangle MNP \ (\text{g.c.g})$$

Luyện tập 2 (trang 73)

Đề bài: Chứng minh hai tam giác $ABD$ và $CBD$ trong Hình 4.37 bằng nhau

Lời giải:

Quan sát Hình 4.37, các dấu kí hiệu cho biết $\widehat{ABD} = \widehat{CBD}$ và $\widehat{ADB} = \widehat{CDB}$. Hai tam giác $ABD$ và $CBD$ có chung cạnh $BD$, ta áp dụng trường hợp g.c.g

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle CBD$ có:

$$\widehat{ABD} = \widehat{CBD} \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

$$BD \text{ là cạnh chung}$$

$$\widehat{ADB} = \widehat{CDB} \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

Do đó:

$$\triangle ABD = \triangle CBD \ (\text{g.c.g})$$

Thử thách nhỏ (trang 73)

Đề bài: Bạn Lan nói rằng: “Nếu tam giác này có một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện tương ứng bằng một cạnh cùng một góc kề và góc đối diện của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau” (H.4.38). Theo em bạn Lan nói có đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Bạn Lan nói đúng. Ta giải thích như sau

Giả sử hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có: $AC = A’C’$ (cạnh), $\widehat{A} = \widehat{A’}$ (góc kề cạnh $AC$ tại đỉnh $A$) và $\widehat{B} = \widehat{B’}$ (góc đối diện cạnh $AC$, tức ở đỉnh $B$)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong mỗi tam giác:

$$\widehat{C} = 180^\circ – \widehat{A} – \widehat{B}$$

$$\widehat{C’} = 180^\circ – \widehat{A’} – \widehat{B’}$$

Vì $\widehat{A} = \widehat{A’}$ và $\widehat{B} = \widehat{B’}$ nên $\widehat{C} = \widehat{C’}$

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle A’B’C’$ có:

$$\widehat{A} = \widehat{A’} \quad (\text{giả thiết})$$

$$AC = A’C’ \quad (\text{giả thiết})$$

$$\widehat{C} = \widehat{C’} \quad (\text{chứng minh trên})$$

Do đó:

$$\triangle ABC = \triangle A’B’C’ \ (\text{g.c.g})$$

Vậy bạn Lan nói đúng

Bài tập (trang 73)

Bài 4.12 (trang 73)

Đề bài: Trong mỗi hình bên (H.4.39), hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau

Lời giải:

Hình 4.39a: Quan sát các kí hiệu trên hình, tứ giác $ABCD$ có $AB = CD$ và $\widehat{ABD} = \widehat{CDB}$. Hai tam giác $ABD$ và $CDB$ có cạnh $BD$ chung

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle CDB$ có:

$$AB = CD \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

$$\widehat{ABD} = \widehat{CDB} \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

$$BD \text{ là cạnh chung}$$

Do đó:

$$\triangle ABD = \triangle CDB \ (\text{c.g.c})$$

Hình 4.39b: Hai đoạn thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$, với $OA = OC$ và $OB = OD$ (theo dấu tích trên hình). Hai góc $\widehat{AOD}$ và $\widehat{COB}$ là hai góc đối đỉnh nên bằng nhau

Xét $\triangle OAD$ và $\triangle OCB$ có:

$$OA = OC \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

$$\widehat{AOD} = \widehat{COB} \quad (\text{hai góc đối đỉnh})$$

$$OD = OB \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

Do đó:

$$\triangle OAD = \triangle OCB \ (\text{c.g.c})$$

Bài 4.13 (trang 73)

Đề bài: Cho hai đoạn thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $O$ sao cho $OA = OC$, $OB = OD$ như Hình 4.40

a) Hãy tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh $O$ bằng nhau

b) Chứng minh rằng $\triangle DAB = \triangle BCD$

Lời giải:

a) Hai đoạn thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ nên tạo ra bốn tam giác chung đỉnh $O$ là $\triangle AOB$, $\triangle COD$, $\triangle AOD$, $\triangle COB$. Các cặp góc đối đỉnh tại $O$ bằng nhau nên ta có

Cặp thứ nhất: Xét $\triangle AOB$ và $\triangle COD$ có:

$$OA = OC \quad (\text{giả thiết})$$

$$\widehat{AOB} = \widehat{COD} \quad (\text{hai góc đối đỉnh})$$

$$OB = OD \quad (\text{giả thiết})$$

Do đó $\triangle AOB = \triangle COD$ (c.g.c)

Cặp thứ hai: Xét $\triangle AOD$ và $\triangle COB$ có:

$$OA = OC \quad (\text{giả thiết})$$

$$\widehat{AOD} = \widehat{COB} \quad (\text{hai góc đối đỉnh})$$

$$OD = OB \quad (\text{giả thiết})$$

Do đó $\triangle AOD = \triangle COB$ (c.g.c)

b) Từ $\triangle AOD = \triangle COB$ (chứng minh ở câu a), suy ra:

$$AD = CB \quad (\text{hai cạnh tương ứng})$$

$$\widehat{ADO} = \widehat{CBO} \quad (\text{hai góc tương ứng})$$

Vì $O$ nằm trên đoạn $BD$ nên $\widehat{ADO} = \widehat{ADB}$ và $\widehat{CBO} = \widehat{CBD}$, do đó $\widehat{ADB} = \widehat{CBD}$

Xét $\triangle DAB$ và $\triangle BCD$ có:

$$DA = BC \quad (\text{chứng minh trên})$$

$$\widehat{ADB} = \widehat{CBD} \quad (\text{chứng minh trên})$$

$$DB \text{ là cạnh chung}$$

Do đó:

$$\triangle DAB = \triangle BCD \ (\text{c.g.c})$$

Bài 4.14 (trang 73)

Đề bài: Chứng minh rằng hai tam giác $ADE$ và $BCE$ trong Hình 4.41 bằng nhau

Lời giải:

Quan sát Hình 4.41, hai đoạn $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $E$ (tức $A$, $E$, $B$ thẳng hàng và $D$, $E$, $C$ thẳng hàng). Trên hình có các kí hiệu cho biết $AE = BE$ và $\widehat{A} = \widehat{B}$ (tức $\widehat{DAE} = \widehat{CBE}$). Ngoài ra, hai góc $\widehat{AED}$ và $\widehat{BEC}$ là hai góc đối đỉnh tại $E$ nên bằng nhau

Xét $\triangle ADE$ và $\triangle BCE$ có:

$$\widehat{DAE} = \widehat{CBE} \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

$$AE = BE \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

$$\widehat{AED} = \widehat{BEC} \quad (\text{hai góc đối đỉnh})$$

Do đó:

$$\triangle ADE = \triangle BCE \ (\text{g.c.g})$$

Bài 4.15 (trang 73)

Đề bài: Cho đoạn thẳng $AB$ song song và bằng đoạn thẳng $CD$ như Hình 4.42. Gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $AD$ và $BC$. Hai điểm $G$ và $H$ lần lượt nằm trên $AB$ và $CD$ sao cho $G$, $E$, $H$ thẳng hàng. Chứng minh rằng:

a) $\triangle ABE = \triangle DCE$

b) $EG = EH$

Lời giải:

a) Vì $AB$ song song với $CD$, đường thẳng $AD$ cắt $AB$ tại $A$ và cắt $CD$ tại $D$ nên $AD$ là một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song. Khi đó hai góc so le trong bằng nhau:

$$\widehat{BAE} = \widehat{CDE} \quad (\text{so le trong, do } AB \parallel CD)$$

Tương tự, đường thẳng $BC$ cắt hai đường thẳng song song $AB$ và $CD$, ta có:

$$\widehat{ABE} = \widehat{DCE} \quad (\text{so le trong, do } AB \parallel CD)$$

Xét $\triangle ABE$ và $\triangle DCE$ có:

$$\widehat{BAE} = \widehat{CDE} \quad (\text{chứng minh trên})$$

$$AB = DC \quad (\text{giả thiết})$$

$$\widehat{ABE} = \widehat{DCE} \quad (\text{chứng minh trên})$$

Do đó:

$$\triangle ABE = \triangle DCE \ (\text{g.c.g})$$

b) Từ $\triangle ABE = \triangle DCE$ (câu a) suy ra $BE = CE$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\triangle BEG$ và $\triangle CEH$ có:

$$\widehat{BEG} = \widehat{CEH} \quad (\text{hai góc đối đỉnh, do } B, E, C \text{ thẳng hàng và } G, E, H \text{ thẳng hàng})$$

$$BE = CE \quad (\text{chứng minh trên})$$

$$\widehat{EBG} = \widehat{ECH} \quad (\text{so le trong, do } AB \parallel CD \text{ và } BC \text{ là đường cắt})$$

Do đó:

$$\triangle BEG = \triangle CEH \ (\text{g.c.g})$$

Suy ra $EG = EH$ (hai cạnh tương ứng)

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du