Bài tập (trang 74)

Bài 4.16 (trang 74)

Đề bài: Cho hai tam giác $ABC$ và $DEF$ thoả mãn $AB = DE$, $AC = DF$, $\widehat{BAC} = \widehat{EDF} = 60^\circ$, $BC = 6$ cm, $\widehat{ABC} = 45^\circ$. Tính độ dài cạnh $EF$ và số đo các góc $\widehat{ACB}$, $\widehat{DEF}$, $\widehat{EFD}$

Lời giải:

Trước hết ta chứng minh hai tam giác $ABC$ và $DEF$ bằng nhau, sau đó dùng các cặp cạnh, cặp góc tương ứng để tính

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ có:

$$AB = DE \quad (\text{giả thiết})$$

$$\widehat{BAC} = \widehat{EDF} \quad (= 60^\circ)$$

$$AC = DF \quad (\text{giả thiết})$$

Do đó:

$$\triangle ABC = \triangle DEF \ (\text{c.g.c})$$

Từ đây, các cặp cạnh và cặp góc tương ứng bằng nhau

Tính $EF$: Cạnh $BC$ tương ứng với cạnh $EF$, nên $EF = BC = 6$ cm

Tính $\widehat{DEF}$: Góc $\widehat{ABC}$ tương ứng với góc $\widehat{DEF}$, nên $\widehat{DEF} = \widehat{ABC} = 45^\circ$

Tính $\widehat{ACB}$: Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác $ABC$:

$$\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circ$$

$$60^\circ + 45^\circ + \widehat{ACB} = 180^\circ$$

Suy ra $\widehat{ACB} = 180^\circ – 60^\circ – 45^\circ = 75^\circ$

Tính $\widehat{EFD}$: Góc $\widehat{ACB}$ tương ứng với góc $\widehat{DFE}$ (hay $\widehat{EFD}$), nên $\widehat{EFD} = \widehat{ACB} = 75^\circ$

Vậy $EF = 6$ cm, $\widehat{ACB} = 75^\circ$, $\widehat{DEF} = 45^\circ$, $\widehat{EFD} = 75^\circ$

Bài 4.17 (trang 74)

Đề bài: Cho hai tam giác $ABC$ và $DEF$ thoả mãn $AB = DE$, $\widehat{ABC} = \widehat{DEF} = 70^\circ$, $\widehat{BAC} = \widehat{EDF} = 60^\circ$, $AC = 6$ cm. Tính độ dài cạnh $DF$

Lời giải:

Trong tam giác $ABC$, cạnh $AB$ có hai đầu mút là $A$ và $B$; hai góc kề cạnh $AB$ chính là $\widehat{BAC}$ (tại $A$) và $\widehat{ABC}$ (tại $B$). Tương tự, hai góc kề cạnh $DE$ trong tam giác $DEF$ là $\widehat{EDF}$ và $\widehat{DEF}$. Ta thấy đầy đủ một cạnh và hai góc kề bằng nhau

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ có:

$$\widehat{BAC} = \widehat{EDF} \quad (= 60^\circ)$$

$$AB = DE \quad (\text{giả thiết})$$

$$\widehat{ABC} = \widehat{DEF} \quad (= 70^\circ)$$

Do đó:

$$\triangle ABC = \triangle DEF \ (\text{g.c.g})$$

Suy ra $AC = DF$ (hai cạnh tương ứng). Mà $AC = 6$ cm nên $DF = 6$ cm

Vậy $DF = 6$ cm

Bài 4.18 (trang 74)

Đề bài: Cho Hình 4.44, biết $EC = ED$ và $\widehat{AEC} = \widehat{AED}$. Chứng minh rằng:

a) $\triangle AEC = \triangle AED$

b) $\triangle ABC = \triangle ABD$

Lời giải:

Quan sát Hình 4.44, ba điểm $A$, $E$, $B$ thẳng hàng ($E$ nằm trên đoạn $AB$); hai điểm $C$ và $D$ nằm về hai phía của đường thẳng $AB$

a) Xét $\triangle AEC$ và $\triangle AED$ có:

$$EC = ED \quad (\text{giả thiết})$$

$$\widehat{AEC} = \widehat{AED} \quad (\text{giả thiết})$$

$$AE \text{ là cạnh chung}$$

Do đó:

$$\triangle AEC = \triangle AED \ (\text{c.g.c})$$

b) Từ $\triangle AEC = \triangle AED$ (câu a), suy ra:

$$AC = AD \quad (\text{hai cạnh tương ứng})$$

$$\widehat{CAE} = \widehat{DAE} \quad (\text{hai góc tương ứng})$$

Vì $E$ nằm trên đoạn $AB$ nên tia $AE$ trùng với tia $AB$, do đó $\widehat{CAE} = \widehat{CAB}$ và $\widehat{DAE} = \widehat{DAB}$. Suy ra:

$$\widehat{CAB} = \widehat{DAB}$$

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ABD$ có:

$$AC = AD \quad (\text{chứng minh trên})$$

$$\widehat{CAB} = \widehat{DAB} \quad (\text{chứng minh trên})$$

$$AB \text{ là cạnh chung}$$

Do đó:

$$\triangle ABC = \triangle ABD \ (\text{c.g.c})$$

Bài 4.19 (trang 74)

Đề bài: Cho tia $Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$. Lấy các điểm $A$, $B$, $C$ lần lượt thuộc các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ sao cho $\widehat{CAO} = \widehat{CBO}$

a) Chứng minh rằng $\triangle OAC = \triangle OBC$

b) Lấy điểm $M$ trên tia đối của tia $CO$. Chứng minh rằng $\triangle MAC = \triangle MBC$

Lời giải:

a) Vì $Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$ nên:

$$\widehat{AOC} = \widehat{BOC} \quad (\text{tia phân giác chia góc thành hai góc bằng nhau})$$

Áp dụng định lí tổng ba góc trong mỗi tam giác:

Trong $\triangle OAC$: $\widehat{AOC} + \widehat{OAC} + \widehat{OCA} = 180^\circ$

Trong $\triangle OBC$: $\widehat{BOC} + \widehat{OBC} + \widehat{OCB} = 180^\circ$

Vì $\widehat{AOC} = \widehat{BOC}$ (chứng minh trên) và $\widehat{OAC} = \widehat{OBC}$ (chính là $\widehat{CAO} = \widehat{CBO}$ theo giả thiết), nên:

$$\widehat{OCA} = \widehat{OCB}$$

Xét $\triangle OAC$ và $\triangle OBC$ có:

$$\widehat{AOC} = \widehat{BOC} \quad (\text{chứng minh trên})$$

$$OC \text{ là cạnh chung}$$

$$\widehat{OCA} = \widehat{OCB} \quad (\text{chứng minh trên})$$

Do đó:

$$\triangle OAC = \triangle OBC \ (\text{g.c.g})$$

b) Từ $\triangle OAC = \triangle OBC$ (câu a), suy ra:

$$AC = BC \quad (\text{hai cạnh tương ứng})$$

$$\widehat{ACO} = \widehat{BCO} \quad (\text{hai góc tương ứng})$$

Vì $M$ nằm trên tia đối của tia $CO$, nên tia $CM$ và tia $CO$ là hai tia đối nhau. Khi đó:

$$\widehat{ACO} + \widehat{ACM} = 180^\circ \quad (\text{hai góc kề bù})$$

$$\widehat{BCO} + \widehat{BCM} = 180^\circ \quad (\text{hai góc kề bù})$$

Mà $\widehat{ACO} = \widehat{BCO}$ (chứng minh trên) nên:

$$\widehat{ACM} = \widehat{BCM}$$

Xét $\triangle MAC$ và $\triangle MBC$ có:

$$AC = BC \quad (\text{chứng minh trên})$$

$$\widehat{ACM} = \widehat{BCM} \quad (\text{chứng minh trên})$$

$$CM \text{ là cạnh chung}$$

Do đó:

$$\triangle MAC = \triangle MBC \ (\text{c.g.c})$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du