Bài tập (trang 85)

Bài 4.29 (trang 85)

Đề bài: Cho Hình 4.73. Hãy tìm số đo $x$, $y$ của các góc và độ dài $a$, $b$ của các đoạn thẳng trên hình vẽ

Lời giải:

Quan sát Hình 4.73, đoạn $AB$ chia tứ giác thành hai tam giác $ABC$ (phía trên) và $ABD$ (phía dưới). Các số liệu đọc được từ hình: $\widehat{CAB} = 45^\circ$, $\widehat{ABD} = 60^\circ$, $\widehat{C} = \widehat{D} = 75^\circ$, $AC = 4$ cm, $BD = 3{,}3$ cm. Cần tìm $y = \widehat{ABC}$, $x = \widehat{DAB}$, $a = BC$, $b = AD$

Tính $y$: Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác $ABC$:

$$\widehat{CAB} + \widehat{ABC} + \widehat{C} = 180^\circ$$

$$45^\circ + y + 75^\circ = 180^\circ$$

Suy ra $y = 180^\circ – 45^\circ – 75^\circ = 60^\circ$

Tính $x$: Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác $ABD$:

$$\widehat{DAB} + \widehat{ABD} + \widehat{D} = 180^\circ$$

$$x + 60^\circ + 75^\circ = 180^\circ$$

Suy ra $x = 180^\circ – 60^\circ – 75^\circ = 45^\circ$

Tính $a$ và $b$: Sau khi tính được $x$ và $y$, ta thấy:

$$\widehat{CAB} = \widehat{DAB} \quad (= 45^\circ)$$

$$\widehat{ABC} = \widehat{ABD} \quad (= 60^\circ)$$

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ABD$ có:

$$\widehat{CAB} = \widehat{DAB} \quad (= 45^\circ)$$

$$AB \text{ là cạnh chung}$$

$$\widehat{ABC} = \widehat{ABD} \quad (= 60^\circ)$$

Do đó:

$$\triangle ABC = \triangle ABD \ (\text{g.c.g})$$

Suy ra $BC = BD$ và $AC = AD$ (các cặp cạnh tương ứng)

– Vì $BD = 3{,}3$ cm nên $a = BC = 3{,}3$ cm

– Vì $AC = 4$ cm nên $b = AD = 4$ cm

Vậy $x = 45^\circ$, $y = 60^\circ$, $a = 3{,}3$ cm, $b = 4$ cm

Bài 4.30 (trang 85)

Đề bài: Cho góc $xOy$. Trên tia $Ox$ lấy hai điểm $A$, $M$; trên tia $Oy$ lấy hai điểm $B$, $N$ sao cho $OA = OB$, $OM = ON$, $OA > OM$. Chứng minh rằng:

a) $\triangle OAN = \triangle OBM$

b) $\triangle AMN = \triangle BNM$

Lời giải:

Vì $OA > OM$ nên trên tia $Ox$, điểm $M$ nằm giữa $O$ và $A$. Do $OA = OB$ và $OM = ON$ nên $OB > ON$, trên tia $Oy$ điểm $N$ nằm giữa $O$ và $B$

a) Xét $\triangle OAN$ và $\triangle OBM$ có:

$$OA = OB \quad (\text{giả thiết})$$

$$\widehat{O} \text{ là góc chung (chính là góc } xOy)$$

$$ON = OM \quad (\text{giả thiết})$$

Do đó:

$$\triangle OAN = \triangle OBM \ (\text{c.g.c})$$

b) Từ $\triangle OAN = \triangle OBM$ (câu a), suy ra:

$$AN = BM \quad (\text{hai cạnh tương ứng})$$

$$\widehat{OAN} = \widehat{OBM} \quad (\text{hai góc tương ứng})$$

Vì $M$ nằm giữa $O$ và $A$ nên tia $AM$ trùng với tia $AO$, do đó $\widehat{NAM} = \widehat{NAO} = \widehat{OAN}$. Tương tự, vì $N$ nằm giữa $O$ và $B$ nên tia $BN$ trùng với tia $BO$, do đó $\widehat{MBN} = \widehat{MBO} = \widehat{OBM}$. Suy ra:

$$\widehat{NAM} = \widehat{MBN}$$

Mặt khác, vì $M$ nằm giữa $O$ và $A$ trên tia $Ox$ nên $OA = OM + MA$, suy ra $MA = OA – OM$. Tương tự $NB = OB – ON$. Mà $OA = OB$ và $OM = ON$ nên:

$$AM = BN$$

Xét $\triangle AMN$ và $\triangle BNM$ có:

$$AN = BM \quad (\text{chứng minh trên})$$

$$\widehat{NAM} = \widehat{MBN} \quad (\text{chứng minh trên})$$

$$AM = BN \quad (\text{chứng minh trên})$$

Do đó:

$$\triangle AMN = \triangle BNM \ (\text{c.g.c})$$

Bài 4.31 (trang 85)

Đề bài: Cho Hình 4.74, biết $OA = OB$, $OC = OD$. Chứng minh rằng:

a) $AC = BD$

b) $\triangle ACD = \triangle BDC$

Lời giải:

Quan sát Hình 4.74, ba điểm $A$, $O$, $D$ thẳng hàng (tạo thành một đường thẳng) và ba điểm $B$, $O$, $C$ cũng thẳng hàng. Hai đường thẳng này cắt nhau tại $O$. Khi đó các cặp góc đỉnh $O$ là các góc đối đỉnh

a) Xét $\triangle ACO$ và $\triangle BDO$ có:

$$OA = OB \quad (\text{giả thiết})$$

$$\widehat{AOC} = \widehat{BOD} \quad (\text{hai góc đối đỉnh})$$

$$OC = OD \quad (\text{giả thiết})$$

Do đó:

$$\triangle ACO = \triangle BDO \ (\text{c.g.c})$$

Suy ra $AC = BD$ (hai cạnh tương ứng)

b) Vì $A$, $O$, $D$ thẳng hàng nên $AD = AO + OD$; tương tự $BC = BO + OC$. Mà $OA = OB$ và $OC = OD$ nên:

$$AD = BC$$

Xét $\triangle ACD$ và $\triangle BDC$ có:

$$AC = BD \quad (\text{theo câu a})$$

$$AD = BC \quad (\text{chứng minh trên})$$

$$CD \text{ là cạnh chung}$$

Do đó:

$$\triangle ACD = \triangle BDC \ (\text{c.c.c})$$

Bài 4.32 (trang 85)

Đề bài: Cho tam giác $MBC$ vuông tại $M$ có $\widehat{B} = 60^\circ$. Gọi $A$ là điểm nằm trên tia đối của tia $MB$ sao cho $MA = MB$. Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác đều

Lời giải:

Ta sẽ chứng minh tam giác $ABC$ cân tại $C$ và có một góc bằng $60^\circ$, từ đó suy ra $ABC$ là tam giác đều

Vì $A$ nằm trên tia đối của tia $MB$ nên tia $MA$ và tia $MB$ là hai tia đối nhau. Do đó hai góc $\widehat{BMC}$ và $\widehat{AMC}$ là hai góc kề bù:

$$\widehat{BMC} + \widehat{AMC} = 180^\circ$$

Mà $\widehat{BMC} = 90^\circ$ (vì $\triangle MBC$ vuông tại $M$), nên:

$$\widehat{AMC} = 180^\circ – 90^\circ = 90^\circ$$

Vậy $\triangle AMC$ cũng vuông tại $M$

Xét $\triangle CMB$ và $\triangle CMA$ (đều vuông tại $M$) có:

$$MB = MA \quad (\text{giả thiết — cạnh góc vuông})$$

$$MC \text{ là cạnh góc vuông chung}$$

Do đó:

$$\triangle CMB = \triangle CMA \ (\text{hai cạnh góc vuông})$$

Suy ra $CB = CA$ (hai cạnh tương ứng), tức tam giác $ABC$ cân tại $C$

Vì $M$ nằm trên đoạn $AB$ (giữa $A$ và $B$, do $A$ thuộc tia đối của tia $MB$) nên tia $BA$ trùng với tia $BM$, do đó:

$$\widehat{ABC} = \widehat{MBC} = 60^\circ$$

Tam giác $ABC$ cân tại $C$ và có $\widehat{B} = 60^\circ$, vậy tam giác $ABC$ là tam giác đều

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du