1. Tỉ lệ thức

Hoạt động 1 (trang 5)

Đề bài: Lá quốc kì cắm trên đỉnh cột cờ Lũng Cú, Tuyên Quang có chiều rộng $6$ m, chiều dài $9$ m. Lá quốc kì bố Linh treo tại nhà mỗi dịp lễ có chiều rộng $0{,}8$ m, chiều dài $1{,}2$ m.

a) Tính tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của mỗi lá cờ. Viết kết quả này dưới dạng phân số tối giản.

b) So sánh hai tỉ số nhận được.

Lời giải:

a) Tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của lá cờ ở cột cờ Lũng Cú là:

$$\dfrac{6}{9} = \dfrac{6 : 3}{9 : 3} = \dfrac{2}{3}.$$

Tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của lá cờ bố Linh treo là:

$$\dfrac{0{,}8}{1{,}2} = \dfrac{0{,}8 \cdot 10}{1{,}2 \cdot 10} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{8 : 4}{12 : 4} = \dfrac{2}{3}.$$

b) Hai tỉ số tìm được ở câu a) đều bằng $\dfrac{2}{3}$. Vậy hai tỉ số đó bằng nhau, tức là:

$$\dfrac{6}{9} = \dfrac{0{,}8}{1{,}2}.$$

Luyện tập 1 (trang 6)

Đề bài: Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập tỉ lệ thức:

$$4 : 20; \qquad 0{,}5 : 1{,}25; \qquad \dfrac{3}{5} : \dfrac{3}{2}.$$

Lời giải:

Ta lần lượt rút gọn từng tỉ số về dạng đơn giản nhất rồi so sánh.

$$4 : 20 = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}.$$

$$0{,}5 : 1{,}25 = \dfrac{0{,}5}{1{,}25} = \dfrac{0{,}5 \cdot 4}{1{,}25 \cdot 4} = \dfrac{2}{5}.$$

$$\dfrac{3}{5} : \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{5}.$$

So sánh: $\dfrac{1}{5} \neq \dfrac{2}{5}$ nhưng $0{,}5 : 1{,}25 = \dfrac{3}{5} : \dfrac{3}{2}$ (cùng bằng $\dfrac{2}{5}$).

Vậy ta lập được tỉ lệ thức: $0{,}5 : 1{,}25 = \dfrac{3}{5} : \dfrac{3}{2}$.

Tranh luận (trang 6)

Đề bài: Bạn Tròn nói: “Tỉ lệ thức là một đẳng thức giữa hai phân số mà thôi.” Bạn Vuông thắc mắc: “Điều này có đúng không nhỉ?” Em hãy giúp Vuông trả lời câu hỏi trên.

Lời giải:

Bạn Tròn nói chưa đúng. Theo định nghĩa, tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, trong đó $a, b, c, d$ có thể là các số bất kì (số nguyên, số thập phân, số hữu tỉ,…), không nhất thiết phải là phân số (vì phân số có tử và mẫu là số nguyên).

Chẳng hạn ngay ở HĐ1, ta có tỉ lệ thức $\dfrac{6}{9} = \dfrac{0{,}8}{1{,}2}$, trong đó $\dfrac{0{,}8}{1{,}2}$ không phải là một phân số vì tử và mẫu của nó là số thập phân.

Vận dụng 1 (trang 7)

Đề bài: Mặt sân cỏ trong sân vận động Quốc gia Mỹ Đình có dạng hình chữ nhật có chiều dài $105$ m và chiều rộng $68$ m. Nam vẽ mô phỏng mặt sân cỏ này bằng một hình chữ nhật có chiều dài $21$ cm và chiều rộng $13{,}6$ cm. Hỏi Nam đã vẽ mô phỏng mặt sân cỏ đúng tỉ lệ thực tế hay chưa?

Lời giải:

Nam vẽ đúng tỉ lệ thực tế khi tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của hình vẽ bằng tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của sân cỏ thật.

Tỉ số chiều dài và chiều rộng của sân cỏ thật là: $\dfrac{105}{68}$.

Tỉ số chiều dài và chiều rộng của hình Nam vẽ là: $\dfrac{21}{13{,}6}$.

Ta xét tích chéo:

$$105 \cdot 13{,}6 = 1\,428; \qquad 68 \cdot 21 = 1\,428.$$

Vì hai tích chéo bằng nhau ($105 \cdot 13{,}6 = 68 \cdot 21$) nên $\dfrac{105}{68} = \dfrac{21}{13{,}6}$.

Vậy Nam đã vẽ mô phỏng mặt sân cỏ đúng tỉ lệ thực tế.

2. Tính chất của tỉ lệ thức

Hoạt động 2 (trang 7)

Đề bài: Quay trở lại tỉ lệ thức tìm được ở HĐ1: $\dfrac{6}{9} = \dfrac{0{,}8}{1{,}2}$, em hãy tính các tích chéo $6 \cdot 1{,}2$ và $9 \cdot 0{,}8$ rồi so sánh kết quả.

Lời giải:

Ta tính:

$$6 \cdot 1{,}2 = 7{,}2; \qquad 9 \cdot 0{,}8 = 7{,}2.$$

Hai kết quả đều bằng $7{,}2$, vậy $6 \cdot 1{,}2 = 9 \cdot 0{,}8$. Hai tích chéo bằng nhau.

Hoạt động 3 (trang 7)

Đề bài: Từ đẳng thức $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$, ta có thể suy ra những tỉ lệ thức nào?

Lời giải:

Đẳng thức $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$ có dạng $ad = bc$ với $a = 2$, $d = 6$, $b = 3$, $c = 4$. Áp dụng tính chất: nếu $ad = bc$ (các số khác $0$) thì ta lập được bốn tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$; $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$; $\dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a}$; $\dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}$.

Thay số ta được bốn tỉ lệ thức sau:

$$\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}; \qquad \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6}; \qquad \dfrac{6}{3} = \dfrac{4}{2}; \qquad \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}.$$

Luyện tập 2 (trang 7)

Đề bài: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức $0{,}2 \cdot 4{,}5 = 0{,}6 \cdot 1{,}5$.

Lời giải:

Đẳng thức $0{,}2 \cdot 4{,}5 = 0{,}6 \cdot 1{,}5$ có dạng $ad = bc$ với $a = 0{,}2$, $d = 4{,}5$, $b = 0{,}6$, $c = 1{,}5$ (các số đều khác $0$).

Theo tính chất tỉ lệ thức, ta lập được bốn tỉ lệ thức:

$$\dfrac{0{,}2}{0{,}6} = \dfrac{1{,}5}{4{,}5}; \qquad \dfrac{0{,}2}{1{,}5} = \dfrac{0{,}6}{4{,}5};$$

$$\dfrac{4{,}5}{0{,}6} = \dfrac{1{,}5}{0{,}2}; \qquad \dfrac{4{,}5}{1{,}5} = \dfrac{0{,}6}{0{,}2}.$$

Vận dụng 2 (trang 7)

Đề bài: Để gói $10$ chiếc bánh chưng, bà Nam cần $5$ kg gạo nếp. Nếu bà muốn gói $45$ chiếc bánh chưng cùng loại gửi cho người dân vùng lũ thì bà cần bao nhiêu kilôgam gạo nếp?

Lời giải:

Gọi $x$ (kg) là số gạo nếp cần để gói $45$ chiếc bánh chưng ($x > 0$).

Vì các bánh chưng là cùng loại nên tỉ số giữa số gạo và số bánh chưng cần gói là không đổi. Ta có tỉ lệ thức:

$$\dfrac{x}{45} = \dfrac{5}{10}.$$

Từ tỉ lệ thức trên, áp dụng tính chất ($x = \dfrac{bc}{d}$), ta tính được:

$$x = \dfrac{45 \cdot 5}{10} = \dfrac{225}{10} = 22{,}5 \text{ (kg).}$$

Vậy bà Nam cần $22{,}5$ kg gạo nếp để gói $45$ chiếc bánh chưng.

Bài tập (trang 7)

Bài 6.1 (trang 7)

Đề bài: Thay tỉ số sau đây bằng tỉ số giữa các số nguyên:

a) $\dfrac{10}{16} : \dfrac{4}{21}$;

b) $1{,}3 : 2{,}75$;

c) $\dfrac{-2}{5} : 0{,}25$.

Lời giải:

a) $\dfrac{10}{16} : \dfrac{4}{21} = \dfrac{10}{16} \cdot \dfrac{21}{4} = \dfrac{10 \cdot 21}{16 \cdot 4} = \dfrac{210}{64} = \dfrac{105}{32}.$

Vậy $\dfrac{10}{16} : \dfrac{4}{21} = 105 : 32$.

b) $1{,}3 : 2{,}75 = \dfrac{1{,}3}{2{,}75} = \dfrac{1{,}3 \cdot 100}{2{,}75 \cdot 100} = \dfrac{130}{275} = \dfrac{130 : 5}{275 : 5} = \dfrac{26}{55}.$

Vậy $1{,}3 : 2{,}75 = 26 : 55$.

c) Trước hết viết $0{,}25 = \dfrac{1}{4}$. Khi đó:

$$\dfrac{-2}{5} : 0{,}25 = \dfrac{-2}{5} : \dfrac{1}{4} = \dfrac{-2}{5} \cdot 4 = \dfrac{-8}{5}.$$

Vậy $\dfrac{-2}{5} : 0{,}25 = (-8) : 5$.

Bài 6.2 (trang 7)

Đề bài: Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập tỉ lệ thức:

$$12 : 30; \qquad \dfrac{3}{7} : \dfrac{18}{24}; \qquad 2{,}5 : 6{,}25.$$

Lời giải:

Ta rút gọn từng tỉ số:

$$12 : 30 = \dfrac{12}{30} = \dfrac{12 : 6}{30 : 6} = \dfrac{2}{5}.$$

$$\dfrac{3}{7} : \dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{24}{18} = \dfrac{3 \cdot 24}{7 \cdot 18} = \dfrac{72}{126} = \dfrac{72 : 18}{126 : 18} = \dfrac{4}{7}.$$

$$2{,}5 : 6{,}25 = \dfrac{2{,}5}{6{,}25} = \dfrac{2{,}5 \cdot 100}{6{,}25 \cdot 100} = \dfrac{250}{625} = \dfrac{250 : 125}{625 : 125} = \dfrac{2}{5}.$$

So sánh: $12 : 30 = 2{,}5 : 6{,}25 = \dfrac{2}{5}$ (riêng $\dfrac{3}{7} : \dfrac{18}{24} = \dfrac{4}{7}$ không bằng hai tỉ số trên).

Vậy ta lập được tỉ lệ thức: $12 : 30 = 2{,}5 : 6{,}25$.

Bài 6.3 (trang 7)

Đề bài: Tìm $x$ trong các tỉ lệ thức sau:

a) $\dfrac{x}{6} = \dfrac{-3}{4}$;

b) $\dfrac{5}{x} = \dfrac{15}{-20}$.

Lời giải:

a) Từ tỉ lệ thức $\dfrac{x}{6} = \dfrac{-3}{4}$, áp dụng tính chất tích chéo ta có:

$$x \cdot 4 = 6 \cdot (-3) ;\Longrightarrow; x = \dfrac{6 \cdot (-3)}{4} = \dfrac{-18}{4} = \dfrac{-9}{2}.$$

Vậy $x = \dfrac{-9}{2}$.

b) Từ tỉ lệ thức $\dfrac{5}{x} = \dfrac{15}{-20}$, áp dụng tính chất tích chéo ta có:

$$5 \cdot (-20) = x \cdot 15 ;\Longrightarrow; x = \dfrac{5 \cdot (-20)}{15} = \dfrac{-100}{15} = \dfrac{-20}{3}.$$

Vậy $x = \dfrac{-20}{3}$.

Bài 6.4 (trang 7)

Đề bài: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức $14 \cdot (-15) = (-10) \cdot 21$.

Lời giải:

Đẳng thức $14 \cdot (-15) = (-10) \cdot 21$ có dạng $ad = bc$ với $a = 14$, $d = -15$, $b = -10$, $c = 21$ (các số đều khác $0$).

Theo tính chất tỉ lệ thức, ta lập được bốn tỉ lệ thức:

$$\dfrac{14}{-10} = \dfrac{21}{-15}; \qquad \dfrac{14}{21} = \dfrac{-10}{-15};$$

$$\dfrac{-15}{-10} = \dfrac{21}{14}; \qquad \dfrac{-15}{21} = \dfrac{-10}{14}.$$

Bài 6.5 (trang 7)

Đề bài: Để pha nước muối sinh lí, người ta cần pha theo đúng tỉ lệ. Biết rằng cứ $3$ lít nước tinh khiết thì pha với $27$ g muối. Hỏi nếu có $45$ g muối thì cần pha với bao nhiêu lít nước tinh khiết để được nước muối sinh lí?

Lời giải:

Gọi $x$ (lít) là số lít nước tinh khiết cần dùng để pha với $45$ g muối ($x > 0$).

Vì pha nước muối sinh lí theo đúng tỉ lệ nên tỉ số giữa số lít nước tinh khiết và số gam muối là không đổi. Ta có tỉ lệ thức:

$$\dfrac{x}{45} = \dfrac{3}{27}.$$

Từ tỉ lệ thức trên, áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta tính được:

$$x = \dfrac{45 \cdot 3}{27} = \dfrac{135}{27} = 5 \text{ (lít).}$$

Vậy cần pha $45$ g muối với $5$ lít nước tinh khiết để được nước muối sinh lí.

Bài 6.6 (trang 7)

Đề bài: Để cày hết một cánh đồng trong $14$ ngày phải sử dụng $18$ máy cày. Hỏi muốn cày hết cánh đồng đó trong $12$ ngày thì phải sử dụng bao nhiêu máy cày (biết năng suất của các máy cày là như nhau)?

Lời giải:

Gọi $x$ là số máy cày cần dùng để cày hết cánh đồng trong $12$ ngày ($x > 0$).

Vì cùng một cánh đồng và năng suất của các máy cày là như nhau nên tổng “lượng công việc” cần làm là cố định, tức là tích (số máy) $\cdot$ (số ngày) là một số không đổi. Do đó:

$$18 \cdot 14 = x \cdot 12.$$

Đẳng thức trên có dạng $ad = bc$, từ đó ta lập được tỉ lệ thức:

$$\dfrac{x}{18} = \dfrac{14}{12}.$$

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức:

$$x = \dfrac{18 \cdot 14}{12} = \dfrac{252}{12} = 21 \text{ (máy).}$$

Vậy muốn cày hết cánh đồng đó trong $12$ ngày thì phải sử dụng $21$ máy cày.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du