Bài tập (trang 20)

Bài 6.33 (trang 20)

Đề bài: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ bốn số sau: $0{,}2; 0{,}3; 0{,}8; 1{,}2$.

Lời giải:

Trước hết, ta tìm đẳng thức tích chéo từ bốn số đã cho. Thử nhân các cặp:

$$0{,}2 \cdot 1{,}2 = 0{,}24; \qquad 0{,}3 \cdot 0{,}8 = 0{,}24.$$

Vậy $0{,}2 \cdot 1{,}2 = 0{,}3 \cdot 0{,}8$. Đẳng thức này có dạng $ad = bc$ với $a = 0{,}2$, $d = 1{,}2$, $b = 0{,}3$, $c = 0{,}8$ (các số đều khác $0$).

Theo tính chất tỉ lệ thức, ta lập được bốn tỉ lệ thức:

$$\dfrac{0{,}2}{0{,}3} = \dfrac{0{,}8}{1{,}2}; \qquad \dfrac{0{,}2}{0{,}8} = \dfrac{0{,}3}{1{,}2};$$

$$\dfrac{1{,}2}{0{,}3} = \dfrac{0{,}8}{0{,}2}; \qquad \dfrac{1{,}2}{0{,}8} = \dfrac{0{,}3}{0{,}2}.$$

Bài 6.34 (trang 20)

Đề bài: Tìm thành phần chưa biết $x$ trong tỉ lệ thức: $\dfrac{x}{2{,}5} = \dfrac{10}{15}$.

Lời giải:

Từ tỉ lệ thức $\dfrac{x}{2{,}5} = \dfrac{10}{15}$, áp dụng tính chất tích chéo ta có:

$$x \cdot 15 = 2{,}5 \cdot 10 ;\Longrightarrow; x = \dfrac{2{,}5 \cdot 10}{15} = \dfrac{25}{15} = \dfrac{5}{3}.$$

Vậy $x = \dfrac{5}{3}$.

Bài 6.35 (trang 20)

Đề bài: Từ tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ (với $a, b, c, d$ khác $0$) có thể suy ra những tỉ lệ thức nào?

Lời giải:

Từ tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, áp dụng tính chất tích chéo ta có $ad = bc$. Đẳng thức $ad = bc$ với $a, b, c, d$ khác $0$ cho ta lập được bốn tỉ lệ thức (kể cả tỉ lệ thức ban đầu):

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}; \qquad \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}; \qquad \dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a}; \qquad \dfrac{d}{c} = \dfrac{b}{a}.$$

Bài 6.36 (trang 20)

Đề bài: Inch (đọc là in-sơ và viết tắt là in) là tên của một đơn vị đo chiều dài trong Hệ đo lường Mỹ. Biết rằng $1$ in $= 2{,}54$ cm.

a) Hỏi một người cao $170$ cm sẽ có chiều cao là bao nhiêu inch (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

b) Chiều cao của một người tính theo xentimét có tỉ lệ thuận với chiều cao của người đó tính theo inch không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Gọi $x$ (in) là chiều cao của người đó tính theo inch ($x > 0$).

Vì $1$ in $= 2{,}54$ cm, ta có $x$ in $= 2{,}54 \cdot x$ cm. Theo đề bài, chiều cao $170$ cm nên:

$$2{,}54 \cdot x = 170 ;\Longrightarrow; x = \dfrac{170}{2{,}54} \approx 66{,}93 \text{ (in).}$$

Làm tròn đến hàng đơn vị, $x \approx 67$ in.

Vậy người cao $170$ cm có chiều cao khoảng $67$ in.

b) Gọi $x$ (in) là chiều cao của một người tính theo inch và $y$ (cm) là chiều cao của người đó tính theo xentimét; điều kiện $x, y > 0$.

Vì $1$ in $= 2{,}54$ cm, nên $x$ in $= 2{,}54 \cdot x$ cm, tức là:

$$y = 2{,}54 \cdot x.$$

Đây là công thức dạng $y = a \cdot x$ với $a = 2{,}54$ là hằng số khác $0$. Vậy chiều cao tính theo xentimét tỉ lệ thuận với chiều cao tính theo inch theo hệ số tỉ lệ $2{,}54$.

Bài 6.37 (trang 20)

Đề bài: Số đo ba góc $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC$ tỉ lệ với $5; 6; 7$. Tính số đo ba góc của tam giác đó.

Lời giải:

Gọi số đo ba góc $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC$ lần lượt là $x$, $y$, $z$ (độ); điều kiện $x, y, z > 0$.

Vì tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$, ta có:

$$x + y + z = 180.$$

Vì số đo ba góc tỉ lệ với $5; 6; 7$ nên:

$$\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{7}.$$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{x + y + z}{5 + 6 + 7} = \dfrac{180}{18} = 10.$$

Từ đây tính được:

$$x = 10 \cdot 5 = 50; \quad y = 10 \cdot 6 = 60; \quad z = 10 \cdot 7 = 70.$$

Vậy số đo ba góc của tam giác $ABC$ lần lượt là $\widehat{A} = 50^\circ$, $\widehat{B} = 60^\circ$ và $\widehat{C} = 70^\circ$.

Bài 6.38 (trang 20)

Đề bài: Ba đội công nhân làm đường được giao ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong $4$ ngày, đội thứ hai trong $5$ ngày và đội thứ ba trong $6$ ngày. Tính số công nhân của mỗi đội, biết đội thứ nhất nhiều hơn đội thứ hai là $3$ người và năng suất lao động của các công nhân là như nhau trong suốt quá trình làm việc.

Lời giải:

Gọi số công nhân của đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba lần lượt là $x$, $y$, $z$ (người); điều kiện $x, y, z$ là số nguyên dương.

Vì ba đội được giao ba khối lượng công việc như nhau và năng suất các công nhân là như nhau, nên số công nhân của mỗi đội tỉ lệ nghịch với số ngày đội đó hoàn thành công việc. Do đó tích (số công nhân) $\cdot$ (số ngày) ở mỗi đội đều bằng nhau:

$$4x = 5y = 6z.$$

Chia cả ba biểu thức cho $60$ (là BCNN của $4$, $5$ và $6$):

$$\dfrac{4x}{60} = \dfrac{5y}{60} = \dfrac{6z}{60} ;\Longleftrightarrow; \dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{12} = \dfrac{z}{10}.$$

Theo đề bài, đội thứ nhất nhiều hơn đội thứ hai là $3$ người, tức là $x – y = 3$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho hiệu:

$$\dfrac{x}{15} = \dfrac{y}{12} = \dfrac{z}{10} = \dfrac{x – y}{15 – 12} = \dfrac{3}{3} = 1.$$

Từ đây tính được:

$$x = 1 \cdot 15 = 15; \quad y = 1 \cdot 12 = 12; \quad z = 1 \cdot 10 = 10.$$

Vậy đội thứ nhất có $15$ công nhân, đội thứ hai có $12$ công nhân và đội thứ ba có $10$ công nhân.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du