Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
1. Cộng hai đa thức một biến
Câu hỏi (trang 32)
Đề bài: Tìm tổng của hai đa thức: $x^3 – 5x + 2$ và $x^3 – x^2 + 6x – 4$.
Lời giải:
Ta có thể trình bày theo một trong hai cách.
Cách 1 (bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc):
$$(x^3 – 5x + 2) + (x^3 – x^2 + 6x – 4)$$
$$= x^3 – 5x + 2 + x^3 – x^2 + 6x – 4 \qquad \text{(bỏ dấu ngoặc)}$$
$$= (x^3 + x^3) – x^2 + (-5x + 6x) + (2 – 4) \qquad \text{(nhóm các hạng tử cùng bậc)}$$
$$= 2x^3 – x^2 + x – 2.$$
Cách 2 (đặt tính cộng): Xếp các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau (đa thức thứ nhất khuyết hạng tử bậc $2$ nên ta để khoảng trống ứng với cột $x^2$). Cộng theo từng cột:
Cột $x^3$: $1 + 1 = 2$, được $2x^3$.
Cột $x^2$: $0 + (-1) = -1$, được $-x^2$.
Cột $x$: $-5 + 6 = 1$, được $x$.
Hằng số: $2 + (-4) = -2$.
Vậy tổng hai đa thức là $2x^3 – x^2 + x – 2$.
Luyện tập 1 (trang 32)
Đề bài: Cho hai đa thức $M = 0{,}5x^4 – 4x^3 + 2x – 2{,}5$ và $N = 2x^3 + x^2 + 1{,}5$. Hãy tính tổng $M + N$ (trình bày theo hai cách).
Lời giải:
Cách 1 (bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc):
$$M + N = (0{,}5x^4 – 4x^3 + 2x – 2{,}5) + (2x^3 + x^2 + 1{,}5)$$
$$= 0{,}5x^4 – 4x^3 + 2x – 2{,}5 + 2x^3 + x^2 + 1{,}5$$
$$= 0{,}5x^4 + (-4x^3 + 2x^3) + x^2 + 2x + (-2{,}5 + 1{,}5)$$
$$= 0{,}5x^4 – 2x^3 + x^2 + 2x – 1.$$
Cách 2 (đặt tính cộng): Xếp các hạng tử cùng bậc thẳng cột (đa thức $M$ khuyết bậc $2$; đa thức $N$ khuyết bậc $4$ và bậc $1$). Cộng theo từng cột:
Cột $x^4$: $0{,}5 + 0 = 0{,}5$.
Cột $x^3$: $-4 + 2 = -2$.
Cột $x^2$: $0 + 1 = 1$.
Cột $x$: $2 + 0 = 2$.
Hằng số: $-2{,}5 + 1{,}5 = -1$.
Vậy $M + N = 0{,}5x^4 – 2x^3 + x^2 + 2x – 1$.
Vận dụng 1 (trang 32)
Đề bài: Đặt tính cộng để tìm tổng của ba đa thức sau:
$$A = 2x^3 – 5x^2 + x – 7; \qquad B = x^2 – 2x + 6; \qquad C = -x^3 + 4x^2 – 1.$$
Lời giải:
Đặt tính cộng, xếp các hạng tử cùng bậc của ba đa thức thẳng cột với nhau. Cộng theo từng cột:
Cột $x^3$: $2 + 0 + (-1) = 1$, được $x^3$.
Cột $x^2$: $-5 + 1 + 4 = 0$ (triệt tiêu).
Cột $x$: $1 + (-2) + 0 = -1$, được $-x$.
Hằng số: $-7 + 6 + (-1) = -2$.
Vậy $A + B + C = x^3 – x – 2$.
2. Trừ hai đa thức một biến
Hoạt động 1 (trang 32)
Đề bài: Cho hai đa thức $P = x^4 + 3x^3 – 5x^2 + 7x$ và $Q = -x^3 + 4x^2 – 2x + 1$. Tìm hiệu $P – Q$ bằng cách bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.
Lời giải:
Khi bỏ dấu ngoặc đứng trước dấu trừ, ta đổi dấu các hạng tử bên trong:
$$P – Q = (x^4 + 3x^3 – 5x^2 + 7x) – (-x^3 + 4x^2 – 2x + 1)$$
$$= x^4 + 3x^3 – 5x^2 + 7x + x^3 – 4x^2 + 2x – 1 \qquad \text{(bỏ dấu ngoặc)}$$
$$= x^4 + (3x^3 + x^3) + (-5x^2 – 4x^2) + (7x + 2x) – 1 \qquad \text{(nhóm các hạng tử cùng bậc)}$$
$$= x^4 + 4x^3 – 9x^2 + 9x – 1.$$
Vậy $P – Q = x^4 + 4x^3 – 9x^2 + 9x – 1$.
Hoạt động 2 (trang 32)
Đề bài: Tìm hiệu $P – Q$ bằng cách đặt tính trừ: đặt đa thức $Q$ dưới đa thức $P$ sao cho các hạng tử cùng bậc thẳng cột với nhau rồi trừ theo từng cột.
Lời giải:
Đặt tính trừ, xếp các hạng tử cùng bậc thẳng cột (đa thức $P$ khuyết hằng số nên cột hằng số của $P$ để trống; đa thức $Q$ khuyết bậc $4$ nên cột $x^4$ của $Q$ để trống). Trừ theo từng cột (lấy hệ số ở $P$ trừ hệ số ở $Q$):
Cột $x^4$: $1 – 0 = 1$, được $x^4$.
Cột $x^3$: $3 – (-1) = 4$, được $4x^3$.
Cột $x^2$: $-5 – 4 = -9$, được $-9x^2$.
Cột $x$: $7 – (-2) = 9$, được $9x$.
Hằng số: $0 – 1 = -1$.
Vậy $P – Q = x^4 + 4x^3 – 9x^2 + 9x – 1$ (cùng kết quả với Cách 1).
Luyện tập 2 (trang 32)
Đề bài: Cho hai đa thức $M = 0{,}5x^4 – 4x^3 + 2x – 2{,}5$ và $N = 2x^3 + x^2 + 1{,}5$. Hãy tính hiệu $M – N$ (trình bày theo hai cách).
Lời giải:
Cách 1 (bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc):
$$M – N = (0{,}5x^4 – 4x^3 + 2x – 2{,}5) – (2x^3 + x^2 + 1{,}5)$$
$$= 0{,}5x^4 – 4x^3 + 2x – 2{,}5 – 2x^3 – x^2 – 1{,}5 \qquad \text{(đổi dấu các hạng tử của } N\text{)}$$
$$= 0{,}5x^4 + (-4x^3 – 2x^3) – x^2 + 2x + (-2{,}5 – 1{,}5)$$
$$= 0{,}5x^4 – 6x^3 – x^2 + 2x – 4.$$
Cách 2 (đặt tính trừ): Xếp các hạng tử cùng bậc thẳng cột. Trừ theo từng cột:
Cột $x^4$: $0{,}5 – 0 = 0{,}5$.
Cột $x^3$: $-4 – 2 = -6$.
Cột $x^2$: $0 – 1 = -1$.
Cột $x$: $2 – 0 = 2$.
Hằng số: $-2{,}5 – 1{,}5 = -4$.
Vậy $M – N = 0{,}5x^4 – 6x^3 – x^2 + 2x – 4$.
Vận dụng 2 (trang 33)
Đề bài: Cho đa thức $A = x^4 – 3x^2 – 2x + 1$. Tìm các đa thức $B$ và $C$ sao cho:
$$A + B = 2x^5 + 5x^3 – 2; \qquad A – C = x^3.$$
Lời giải:
Theo Chú ý: nếu $Q + R = P$ thì $R = P – Q$. Áp dụng cho từng câu:
Tìm $B$: Từ $A + B = 2x^5 + 5x^3 – 2$ ta có $B = (2x^5 + 5x^3 – 2) – A$. Tính:
$$B = (2x^5 + 5x^3 – 2) – (x^4 – 3x^2 – 2x + 1)$$
$$= 2x^5 + 5x^3 – 2 – x^4 + 3x^2 + 2x – 1 \qquad \text{(đổi dấu các hạng tử của } A\text{)}$$
$$= 2x^5 – x^4 + 5x^3 + 3x^2 + 2x + (-2 – 1)$$
$$= 2x^5 – x^4 + 5x^3 + 3x^2 + 2x – 3.$$
Tìm $C$: Từ $A – C = x^3$ ta có $C = A – x^3$. Tính:
$$C = (x^4 – 3x^2 – 2x + 1) – x^3 = x^4 – x^3 – 3x^2 – 2x + 1.$$
Vậy $B = 2x^5 – x^4 + 5x^3 + 3x^2 + 2x – 3$ và $C = x^4 – x^3 – 3x^2 – 2x + 1$.
Bài tập (trang 33)
Bài 7.12 (trang 33)
Đề bài: Tìm tổng của hai đa thức sau bằng cách nhóm các hạng tử cùng bậc: $x^2 – 3x + 2$ và $4x^3 – x^2 + x – 1$.
Lời giải:
$$(x^2 – 3x + 2) + (4x^3 – x^2 + x – 1)$$
$$= x^2 – 3x + 2 + 4x^3 – x^2 + x – 1 \qquad \text{(bỏ dấu ngoặc)}$$
$$= 4x^3 + (x^2 – x^2) + (-3x + x) + (2 – 1) \qquad \text{(nhóm các hạng tử cùng bậc)}$$
$$= 4x^3 + 0 + (-2x) + 1$$
$$= 4x^3 – 2x + 1.$$
Vậy tổng của hai đa thức là $4x^3 – 2x + 1$.
Bài 7.13 (trang 33)
Đề bài: Tìm hiệu sau theo cách đặt tính trừ: $(-x^3 – 5x + 2) – (3x + 8)$.
Lời giải:
Đặt tính trừ, xếp các hạng tử cùng bậc thẳng cột (đa thức thứ nhất khuyết bậc $2$; đa thức thứ hai khuyết bậc $3$ và bậc $2$). Trừ theo từng cột:
Cột $x^3$: $-1 – 0 = -1$, được $-x^3$.
Cột $x^2$: $0 – 0 = 0$.
Cột $x$: $-5 – 3 = -8$, được $-8x$.
Hằng số: $2 – 8 = -6$.
Vậy $(-x^3 – 5x + 2) – (3x + 8) = -x^3 – 8x – 6$.
Bài 7.14 (trang 33)
Đề bài: Cho hai đa thức $A = 6x^4 – 4x^3 + x – \dfrac{1}{3}$ và $B = -3x^4 – 2x^3 – 5x^2 + x + \dfrac{2}{3}$. Tính $A + B$ và $A – B$.
Lời giải:
Tính $A + B$ (đặt tính cộng, cộng theo từng cột):
Cột $x^4$: $6 + (-3) = 3$, được $3x^4$.
Cột $x^3$: $-4 + (-2) = -6$, được $-6x^3$.
Cột $x^2$: $0 + (-5) = -5$, được $-5x^2$.
Cột $x$: $1 + 1 = 2$, được $2x$.
Hằng số: $-\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$.
Vậy $A + B = 3x^4 – 6x^3 – 5x^2 + 2x + \dfrac{1}{3}$.
Tính $A – B$ (đặt tính trừ, trừ theo từng cột):
Cột $x^4$: $6 – (-3) = 9$, được $9x^4$.
Cột $x^3$: $-4 – (-2) = -2$, được $-2x^3$.
Cột $x^2$: $0 – (-5) = 5$, được $5x^2$.
Cột $x$: $1 – 1 = 0$.
Hằng số: $-\dfrac{1}{3} – \dfrac{2}{3} = -1$.
Vậy $A – B = 9x^4 – 2x^3 + 5x^2 – 1$.
Bài 7.15 (trang 33)
Đề bài: Cho các đa thức $A = 3x^4 – 2x^3 – x + 1$; $B = -2x^3 + 4x^2 + 5x$ và $C = -3x^4 + 2x^2 + 5$. Tính $A + B + C$; $A – B + C$ và $A – B – C$.
Lời giải:
Để giải nhanh, em lập bảng các hệ số theo từng bậc rồi thực hiện cộng/trừ theo cột.
Tính $A + B + C$:
Cột $x^4$: $3 + 0 + (-3) = 0$ (triệt tiêu).
Cột $x^3$: $-2 + (-2) + 0 = -4$, được $-4x^3$.
Cột $x^2$: $0 + 4 + 2 = 6$, được $6x^2$.
Cột $x$: $-1 + 5 + 0 = 4$, được $4x$.
Hằng số: $1 + 0 + 5 = 6$.
Vậy $A + B + C = -4x^3 + 6x^2 + 4x + 6$.
Tính $A – B + C$ (đổi dấu các hệ số của $B$):
Cột $x^4$: $3 – 0 + (-3) = 0$ (triệt tiêu).
Cột $x^3$: $-2 – (-2) + 0 = 0$ (triệt tiêu).
Cột $x^2$: $0 – 4 + 2 = -2$, được $-2x^2$.
Cột $x$: $-1 – 5 + 0 = -6$, được $-6x$.
Hằng số: $1 – 0 + 5 = 6$.
Vậy $A – B + C = -2x^2 – 6x + 6$.
Tính $A – B – C$ (đổi dấu các hệ số của $B$ và $C$):
Cột $x^4$: $3 – 0 – (-3) = 6$, được $6x^4$.
Cột $x^3$: $-2 – (-2) – 0 = 0$ (triệt tiêu).
Cột $x^2$: $0 – 4 – 2 = -6$, được $-6x^2$.
Cột $x$: $-1 – 5 – 0 = -6$, được $-6x$.
Hằng số: $1 – 0 – 5 = -4$.
Vậy $A – B – C = 6x^4 – 6x^2 – 6x – 4$.
Bài 7.16 (trang 33)
Đề bài: Bạn Nam được phân công mua một số sách làm quà tặng trong buổi tổng kết cuối năm học của lớp. Nam dự định mua ba loại sách với giá bán như bảng sau:
| Loại sách | Giá bán một cuốn (đồng) |
|---|---|
| Truyện tranh | $15\,000$ |
| Sách tham khảo | $12\,500$ |
| Sách khoa học | $21\,500$ |
Giả sử Nam cần mua $x$ cuốn sách khoa học, $x + 8$ cuốn sách tham khảo và $x + 5$ cuốn truyện tranh.
a) Viết các đa thức biểu thị số tiền Nam phải trả cho từng loại sách.
b) Tìm đa thức biểu thị tổng số tiền Nam phải trả để mua số sách đó.
Lời giải:
a) Số tiền phải trả cho mỗi loại sách $=$ giá một cuốn $\times$ số cuốn.
Số tiền mua $x$ cuốn sách khoa học là:
$$21\,500 \cdot x = 21\,500x \text{ (đồng).}$$
Số tiền mua $x + 8$ cuốn sách tham khảo là:
$$12\,500 \cdot (x + 8) = 12\,500x + 12\,500 \cdot 8 = 12\,500x + 100\,000 \text{ (đồng).}$$
Số tiền mua $x + 5$ cuốn truyện tranh là:
$$15\,000 \cdot (x + 5) = 15\,000x + 15\,000 \cdot 5 = 15\,000x + 75\,000 \text{ (đồng).}$$
b) Tổng số tiền Nam phải trả bằng tổng số tiền của ba loại sách:
$$21\,500x + (12\,500x + 100\,000) + (15\,000x + 75\,000)$$
$$= (21\,500 + 12\,500 + 15\,000)x + (100\,000 + 75\,000)$$
$$= 49\,000x + 175\,000 \text{ (đồng).}$$
Vậy đa thức biểu thị tổng số tiền Nam phải trả là $49\,000x + 175\,000$ (đồng).
Bài 7.17 (trang 33)
Đề bài: Trên một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài $65$ m, người ta định làm một bể bơi có chiều rộng là $x$ mét, chiều dài gấp $3$ lần chiều rộng. Sơ đồ và kích thước cụ thể (tính bằng mét) được cho trong Hình 7.1. Tìm đa thức (biến $x$):
a) Biểu thị diện tích của bể bơi.
b) Biểu thị diện tích mảnh đất.
c) Biểu thị diện tích phần đất xung quanh bể bơi.
Lời giải:
Theo đề bài và Hình 7.1:
Bể bơi hình chữ nhật có chiều rộng là $x$ (m), chiều dài là $3x$ (m).
Mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài là $65$ (m), chiều rộng (đo theo chiều dọc) bằng tổng khoảng cách phía trên bể $4$ m, chiều rộng bể $x$ m và khoảng cách phía dưới bể $5$ m, tức là $4 + x + 5 = x + 9$ (m).
a) Diện tích bể bơi $=$ chiều dài $\times$ chiều rộng:
$$3x \cdot x = 3x^2 \text{ (m}^2\text{).}$$
b) Diện tích mảnh đất $=$ chiều dài $\times$ chiều rộng:
$$65 \cdot (x + 9) = 65x + 65 \cdot 9 = 65x + 585 \text{ (m}^2\text{).}$$
c) Diện tích phần đất xung quanh bể bơi $=$ diện tích mảnh đất $-$ diện tích bể bơi:
$$(65x + 585) – 3x^2 = -3x^2 + 65x + 585 \text{ (m}^2\text{).}$$
Vậy:
a) Đa thức biểu thị diện tích bể bơi: $3x^2$ (m$^2$).
b) Đa thức biểu thị diện tích mảnh đất: $65x + 585$ (m$^2$).
c) Đa thức biểu thị diện tích phần đất xung quanh bể bơi: $-3x^2 + 65x + 585$ (m$^2$).
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du