Bài tập (trang 44)

Bài 7.36 (trang 44)

Đề bài: Rút gọn biểu thức sau:

$$(5x^3 – 4x^2) : 2x^2 + (3x^4 + 6x) : 3x – x(x^2 – 1).$$

Lời giải:

Em rút gọn từng phần rồi cộng/trừ lại.

Phần 1: Chia đa thức cho đơn thức (chia từng hạng tử cho $2x^2$):

$$(5x^3 – 4x^2) : 2x^2 = \dfrac{5x^3}{2x^2} + \dfrac{-4x^2}{2x^2} = \dfrac{5}{2}x – 2.$$

Phần 2: Chia đa thức cho đơn thức (chia từng hạng tử cho $3x$):

$$(3x^4 + 6x) : 3x = \dfrac{3x^4}{3x} + \dfrac{6x}{3x} = x^3 + 2.$$

Phần 3: Nhân đơn thức với đa thức:

$$x(x^2 – 1) = x^3 – x.$$

Cộng/trừ các phần lại:

$$\left(\dfrac{5}{2}x – 2\right) + (x^3 + 2) – (x^3 – x)$$

$$= \dfrac{5}{2}x – 2 + x^3 + 2 – x^3 + x$$

$$= (x^3 – x^3) + \left(\dfrac{5}{2}x + x\right) + (-2 + 2)$$

$$= 0 + \dfrac{7}{2}x + 0 = \dfrac{7}{2}x.$$

(Có thể viết $\dfrac{7}{2}x = 3{,}5x$.)

Vậy biểu thức rút gọn bằng $\dfrac{7}{2}x$ (hay $3{,}5x$).

Bài 7.37 (trang 44)

Đề bài: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2x(x + 3) – 3x^2(x + 2) + x(3x^2 + 4x – 6)$;

b) $3x(2x^2 – x) – 2x^2(3x + 1) + 5(x^2 – 1)$.

Lời giải:

a) Em khai triển từng tích bằng cách nhân đơn thức với đa thức:

$$2x(x + 3) = 2x^2 + 6x.$$

$$3x^2(x + 2) = 3x^3 + 6x^2.$$

$$x(3x^2 + 4x – 6) = 3x^3 + 4x^2 – 6x.$$

Thay vào biểu thức ban đầu:

$$(2x^2 + 6x) – (3x^3 + 6x^2) + (3x^3 + 4x^2 – 6x)$$

$$= 2x^2 + 6x – 3x^3 – 6x^2 + 3x^3 + 4x^2 – 6x$$

$$= (-3x^3 + 3x^3) + (2x^2 – 6x^2 + 4x^2) + (6x – 6x)$$

$$= 0 + 0 + 0 = 0.$$

Vậy biểu thức rút gọn bằng $0$.

b) Khai triển từng tích:

$$3x(2x^2 – x) = 6x^3 – 3x^2.$$

$$2x^2(3x + 1) = 6x^3 + 2x^2.$$

$$5(x^2 – 1) = 5x^2 – 5.$$

Thay vào biểu thức ban đầu:

$$(6x^3 – 3x^2) – (6x^3 + 2x^2) + (5x^2 – 5)$$

$$= 6x^3 – 3x^2 – 6x^3 – 2x^2 + 5x^2 – 5$$

$$= (6x^3 – 6x^3) + (-3x^2 – 2x^2 + 5x^2) – 5$$

$$= 0 + 0 – 5 = -5.$$

Vậy biểu thức rút gọn bằng $-5$.

Bài 7.38 (trang 44)

Đề bài: Tìm giá trị của $x$, biết rằng:

a) $3x^2 – 3x(x – 2) = 36$;

b) $5x(4x^2 – 2x + 1) – 2x(10x^2 – 5x + 2) = -36$.

Lời giải:

Để tìm $x$, em rút gọn vế trái trước rồi giải phương trình đơn giản.

a) Rút gọn vế trái:

$$3x(x – 2) = 3x^2 – 6x.$$

$$3x^2 – 3x(x – 2) = 3x^2 – (3x^2 – 6x) = 3x^2 – 3x^2 + 6x = 6x.$$

Phương trình trở thành:

$$6x = 36 ;\Longrightarrow; x = \dfrac{36}{6} = 6.$$

Vậy $x = 6$.

b) Rút gọn vế trái:

$$5x(4x^2 – 2x + 1) = 20x^3 – 10x^2 + 5x.$$

$$2x(10x^2 – 5x + 2) = 20x^3 – 10x^2 + 4x.$$

$$5x(4x^2 – 2x + 1) – 2x(10x^2 – 5x + 2) = (20x^3 – 10x^2 + 5x) – (20x^3 – 10x^2 + 4x)$$

$$= 20x^3 – 10x^2 + 5x – 20x^3 + 10x^2 – 4x = (5x – 4x) = x.$$

Phương trình trở thành:

$$x = -36.$$

Vậy $x = -36$.

Bài 7.39 (trang 44)

Đề bài: Thực hiện các phép tính sau:

a) $(x^3 – 8) : (x – 2)$;

b) $(x – 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

Lời giải:

a) Để dễ thực hiện đặt tính, ta viết đa thức bị chia là $x^3 + 0x^2 + 0x – 8$ (thêm các hạng tử $0x^2$ và $0x$).

Thực hiện phép chia $(x^3 + 0x^2 + 0x – 8) : (x – 2)$ theo từng bước:

Bước 1: $x^3 : x = x^2$ (hạng tử đầu tiên của thương).

Bước 2: $x^2 \cdot (x – 2) = x^3 – 2x^2$.

Bước 3: Lấy đa thức bị chia trừ tích vừa tính:

$$(x^3 + 0x^2 + 0x – 8) – (x^3 – 2x^2) = 2x^2 + 0x – 8 ;;(\text{dư thứ nhất}).$$

Bước 4: $2x^2 : x = 2x$ (hạng tử tiếp theo của thương).

Bước 5: $2x \cdot (x – 2) = 2x^2 – 4x$.

Bước 6: Lấy dư thứ nhất trừ tích vừa tính:

$$(2x^2 + 0x – 8) – (2x^2 – 4x) = 4x – 8 ;;(\text{dư thứ hai}).$$

Bước 7: $4x : x = 4$ (hạng tử tiếp theo của thương).

Bước 8: $4 \cdot (x – 2) = 4x – 8$.

Bước 9: $(4x – 8) – (4x – 8) = 0$.

Dư cuối cùng bằng $0$, phép chia kết thúc. Thương là $x^2 + 2x + 4$.

Vậy $(x^3 – 8) : (x – 2) = x^2 + 2x + 4$.

b) Ta nhân lần lượt, bắt đầu từ hai đa thức đầu:

$$(x – 1)(x + 1) = x \cdot x + x \cdot 1 – 1 \cdot x – 1 \cdot 1 = x^2 + x – x – 1 = x^2 – 1.$$

Nhân tiếp với $(x^2 + 1)$:

$$(x^2 – 1)(x^2 + 1) = x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot 1 – 1 \cdot x^2 – 1 \cdot 1 = x^4 + x^2 – x^2 – 1 = x^4 – 1.$$

Vậy $(x – 1)(x + 1)(x^2 + 1) = x^4 – 1$.

Bài 7.40 (trang 44)

Đề bài: Trong một trò chơi ở câu lạc bộ Toán học, chủ trò viết lên bảng biểu thức:

$$P(x) = x^2(7x – 5) – (28x^5 – 20x^4 – 12x^3) : 4x^2.$$

Luật chơi là sau khi chủ trò đọc một số $a$ nào đó, các đội chơi phải tính giá trị của $P(x)$ tại $x = a$. Đội nào tính đúng và tính nhanh nhất thì thắng cuộc. Khi chủ trò vừa đọc $a = 5$, Vuông đã tính ngay được $P(a) = 15$ và thắng cuộc. Em có biết Vuông làm cách nào không?

Lời giải:

Vuông đã rút gọn biểu thức $P(x)$ trước, sau đó mới thay $x = 5$ vào — như vậy phép tính trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

Rút gọn $P(x)$:

Nhân đơn thức với đa thức:

$$x^2(7x – 5) = 7x^3 – 5x^2.$$

Chia đa thức cho đơn thức (chia từng hạng tử cho $4x^2$):

$$(28x^5 – 20x^4 – 12x^3) : 4x^2 = \dfrac{28x^5}{4x^2} – \dfrac{20x^4}{4x^2} – \dfrac{12x^3}{4x^2} = 7x^3 – 5x^2 – 3x.$$

Thay vào $P(x)$:

$$P(x) = (7x^3 – 5x^2) – (7x^3 – 5x^2 – 3x)$$

$$= 7x^3 – 5x^2 – 7x^3 + 5x^2 + 3x$$

$$= (7x^3 – 7x^3) + (-5x^2 + 5x^2) + 3x = 3x.$$

Vậy $P(x) = 3x$.

Tính $P(5)$:

$$P(5) = 3 \cdot 5 = 15.$$

Như vậy với $a = 5$, ta có $P(a) = 15$ — đúng đáp số của Vuông.

Bí quyết của Vuông là rút gọn biểu thức trước thành $P(x) = 3x$ (đơn giản hơn nhiều so với biểu thức ban đầu), sau đó chỉ cần nhân $3 \cdot a$ là ra kết quả.

Bài 7.41 (trang 44)

Đề bài: Tìm số $b$ sao cho đa thức $x^3 – 3x^2 + 2x – b$ chia hết cho đa thức $x – 3$.

Lời giải:

Để đa thức $x^3 – 3x^2 + 2x – b$ chia hết cho $x – 3$, ta cần dư của phép chia bằng $0$. Em thực hiện phép chia rồi tìm $b$.

Thực hiện phép chia $(x^3 – 3x^2 + 2x – b) : (x – 3)$ theo từng bước:

Bước 1: $x^3 : x = x^2$ (hạng tử đầu tiên của thương).

Bước 2: $x^2 \cdot (x – 3) = x^3 – 3x^2$.

Bước 3: Lấy đa thức bị chia trừ tích vừa tính:

$$(x^3 – 3x^2 + 2x – b) – (x^3 – 3x^2) = 2x – b ;;(\text{dư thứ nhất}).$$

Bước 4: $2x : x = 2$ (hạng tử tiếp theo của thương).

Bước 5: $2 \cdot (x – 3) = 2x – 6$.

Bước 6: Lấy dư thứ nhất trừ tích vừa tính:

$$(2x – b) – (2x – 6) = 2x – b – 2x + 6 = 6 – b ;;(\text{dư thứ hai}).$$

Dư cuối cùng là $6 – b$ (bậc $0$, nhỏ hơn bậc $1$ của đa thức chia).

Để đa thức $x^3 – 3x^2 + 2x – b$ chia hết cho $x – 3$, ta cần dư bằng $0$:

$$6 – b = 0 ;\Longrightarrow; b = 6.$$

Kiểm tra: Với $b = 6$, đa thức bị chia là $x^3 – 3x^2 + 2x – 6$. Theo các bước trên, thương là $x^2 + 2$ và dư là $0$. Thử lại:

$$(x – 3)(x^2 + 2) = x \cdot x^2 + x \cdot 2 – 3 \cdot x^2 – 3 \cdot 2 = x^3 + 2x – 3x^2 – 6 = x^3 – 3x^2 + 2x – 6. ;\checkmark$$

Vậy $b = 6$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du