Bài tập (trang 57)

Bài 8.8 (trang 57)

Đề bài: Một túi đựng các tấm thẻ được ghi số $9; 12; 15; 18; 21; 24$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong túi. Chọn từ thích hợp (chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên) thay vào dấu “?” trong các câu sau:

• Biến cố $A$: “Rút được thẻ ghi số là số chẵn” là biến cố $\boxed{?}$.
• Biến cố $B$: “Rút được thẻ ghi số chia hết cho $3$” là biến cố $\boxed{?}$.
• Biến cố $C$: “Rút được thẻ ghi số chia hết cho $10$” là biến cố $\boxed{?}$.

Lời giải:

Ta phân tích từng biến cố dựa trên các số $9, 12, 15, 18, 21, 24$ trong túi:

Biến cố $A$: “Rút được thẻ ghi số là số chẵn”.

Trong các số trong túi, các số chẵn là $12, 18, 24$ (có $3$ số), các số lẻ là $9, 15, 21$ (cũng có $3$ số). Vậy khi rút ngẫu nhiên, có thể rút được thẻ ghi số chẵn hoặc số lẻ. → Biến cố $A$ là biến cố ngẫu nhiên.

Biến cố $B$: “Rút được thẻ ghi số chia hết cho $3$”.

Ta kiểm tra: $9 = 3 \cdot 3$; $12 = 3 \cdot 4$; $15 = 3 \cdot 5$; $18 = 3 \cdot 6$; $21 = 3 \cdot 7$; $24 = 3 \cdot 8$ — tất cả các số trong túi đều chia hết cho $3$. Vậy dù rút thẻ nào, ta cũng được số chia hết cho $3$. → Biến cố $B$ là biến cố chắc chắn.

Biến cố $C$: “Rút được thẻ ghi số chia hết cho $10$”.

Số chia hết cho $10$ phải có chữ số tận cùng là $0$. Trong các số $9, 12, 15, 18, 21, 24$, không có số nào tận cùng là $0$, nên không có số nào chia hết cho $10$. Vậy biến cố $C$ không bao giờ xảy ra. → Biến cố $C$ là biến cố không thể.

Bài 8.9 (trang 57)

Đề bài: Vuông và Tròn mỗi người gieo một con xúc xắc. Tìm xác suất để:

a) Hiệu giữa số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng $6$.

b) Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều bé hơn $7$.

Lời giải:

Số chấm trên mỗi con xúc xắc luôn là một số trong các số $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

a) Hiệu giữa hai số chấm có giá trị lớn nhất khi một số là $6$ và số kia là $1$, khi đó hiệu bằng $6 – 1 = 5$. Vậy hiệu giữa số chấm trên hai con xúc xắc không bao giờ vượt quá $5$, tức là không thể bằng $6$.

Đây là biến cố không thể, nên xác suất của biến cố bằng $0$.

b) Vì số chấm trên mỗi con xúc xắc luôn là một trong các số $1, 2, 3, 4, 5, 6$, mà các số này đều bé hơn $7$, nên số chấm trên cả hai con xúc xắc luôn đều bé hơn $7$.

Đây là biến cố chắc chắn, nên xác suất của biến cố bằng $1$.

Bài 8.10 (trang 57)

Đề bài: Trong một chiếc hộp có $15$ quả cầu màu xanh, $15$ quả cầu màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ trong hộp. Xét hai biến cố sau:

$A$: “Lấy được quả cầu màu đỏ” và $B$: “Lấy được quả cầu màu xanh”.

a) Hai biến cố $A$ và $B$ có đồng khả năng không? Vì sao?

b) Tìm xác suất của biến cố $A$ và biến cố $B$.

Lời giải:

a) Trong hộp có $15$ quả cầu màu xanh và $15$ quả cầu màu đỏ, tức là số quả cầu xanh bằng số quả cầu đỏ. Khi lấy ngẫu nhiên một quả cầu, khả năng lấy được quả cầu mỗi loại là như nhau. Vì số quả cầu đỏ bằng số quả cầu xanh nên khả năng lấy được quả cầu đỏ bằng khả năng lấy được quả cầu xanh.

Vậy hai biến cố $A$ và $B$ là đồng khả năng.

b) Vì trong hộp chỉ có hai loại quả cầu (đỏ và xanh), nên quả cầu lấy ra hoặc là màu đỏ hoặc là màu xanh, tức là luôn xảy ra duy nhất một trong hai biến cố $A$ và $B$.

Hai biến cố $A$, $B$ đồng khả năng và luôn xảy ra một trong hai, nên xác suất của mỗi biến cố đều bằng $\dfrac{1}{2}$.

Vậy $P(A) = \dfrac{1}{2}$ và $P(B) = \dfrac{1}{2}$.

Bài 8.11 (trang 57)

Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một số trong bốn số $11; 12; 13$ và $14$. Tìm xác suất để:

a) Chọn được số chia hết cho $5$.

b) Chọn được số có hai chữ số.

c) Chọn được số nguyên tố.

d) Chọn được số chia hết cho $6$.

Lời giải:

Vì chọn ngẫu nhiên một số trong bốn số $11, 12, 13, 14$, nên có bốn biến cố đồng khả năng:

$E_1$: “Chọn được số $11$”; $E_2$: “Chọn được số $12$”; $E_3$: “Chọn được số $13$”; $E_4$: “Chọn được số $14$”.

Vì luôn xảy ra duy nhất một trong bốn biến cố này nên xác suất của mỗi biến cố đều bằng $\dfrac{1}{4}$.

a) Ta kiểm tra các số: $11, 12, 13, 14$ — không có số nào chia hết cho $5$ (vì chữ số tận cùng không phải là $0$ hoặc $5$).

Vậy biến cố “Chọn được số chia hết cho $5$” là biến cố không thể, nên xác suất bằng $0$.

b) Cả bốn số $11, 12, 13, 14$ đều có hai chữ số. Vậy dù chọn số nào cũng là số có hai chữ số.

Biến cố “Chọn được số có hai chữ số” là biến cố chắc chắn, nên xác suất bằng $1$.

c) Trong bốn số $11, 12, 13, 14$:

$11$: là số nguyên tố (vì $11$ chỉ chia hết cho $1$ và chính nó).

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$: không là số nguyên tố.

$13$: là số nguyên tố.

$14 = 2 \cdot 7$: không là số nguyên tố.

Vậy có $2$ số nguyên tố ($11$ và $13$) trong $4$ số. Biến cố “Chọn được số nguyên tố” xảy ra khi chọn được $11$ hoặc $13$, tức là có $2$ trong $4$ biến cố đồng khả năng làm cho biến cố này xảy ra. Vậy xác suất bằng:

$$\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.$$

d) Ta kiểm tra: $11$ không chia hết cho $6$; $12 = 6 \cdot 2$ chia hết cho $6$; $13$ không chia hết cho $6$; $14$ không chia hết cho $6$.

Chỉ có một số ($12$) trong bốn số chia hết cho $6$. Biến cố “Chọn được số chia hết cho $6$” xảy ra khi chọn được số $12$, tức là chỉ xảy ra trong $1$ trong $4$ biến cố đồng khả năng. Vậy xác suất bằng:

$$\dfrac{1}{4}.$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du