1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác

Câu hỏi mục 1 (trang 72)

Đề bài: Mỗi tam giác có mấy đường trung tuyến?

Lời giải:

Theo định nghĩa, đường trung tuyến là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Tam giác có $3$ đỉnh, mỗi đỉnh ứng với một đường trung tuyến đi qua nó. Vậy mỗi tam giác có $3$ đường trung tuyến.

Hoạt động 1 (trang 72)

Đề bài: Hãy lấy một mảnh giấy hình tam giác, gấp giấy đánh dấu trung điểm của các cạnh. Sau đó, gấp giấy để được các nếp gấp đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện (tức là các đường trung tuyến của tam giác). Mở tờ giấy ra, quan sát và cho biết ba nếp gấp (ba đường trung tuyến) có cùng đi qua một điểm không (H.9.28).

Lời giải:

Em thực hành gấp giấy theo hướng dẫn của SGK. Khi mở tờ giấy ra và quan sát, em sẽ thấy: ba nếp gấp (ba đường trung tuyến) cùng đi qua một điểm.

Hoạt động 2 (trang 73)

Đề bài: Trên mảnh giấy kẻ ô vuông, mỗi chiều $10$ ô, hãy đếm dòng, đánh dấu các đỉnh $A$, $B$, $C$ rồi vẽ tam giác $ABC$ (H.9.29). Vẽ hai đường trung tuyến $BN$, $CP$, chúng cắt nhau tại $G$, tia $AG$ cắt cạnh $BC$ tại $M$.

• $AM$ có phải là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ không?
• Hãy xác định các tỉ số $\dfrac{GA}{MA}, \dfrac{GB}{NB}, \dfrac{GC}{PC}$.

Lời giải:

Quan sát Hình 9.29, ta đếm các ô vuông để xác định vị trí của $M$ trên cạnh $BC$. Ta thấy $MB = MC$ và $M$ nằm giữa $B$ và $C$, do đó $M$ là trung điểm của $BC$.

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ và $A$ là một đỉnh của tam giác, nên đoạn $AM$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$.

Đếm các ô vuông trên Hình 9.29 và tính các tỉ số, ta được:

$$\dfrac{GA}{MA} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}; \qquad \dfrac{GB}{NB} = \dfrac{2}{3}; \qquad \dfrac{GC}{PC} = \dfrac{2}{3}.$$

Như vậy ba tỉ số đều bằng $\dfrac{2}{3}$, gợi ý cho ta định lí về sự đồng quy của ba đường trung tuyến: ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm (trọng tâm), và điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\dfrac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Luyện tập 1 (trang 73)

Đề bài: Trong tam giác $ABC$ ở Ví dụ 1, cho trung tuyến $BN$ và $GN = 1$ cm. Tính $GB$ và $NB$.

Lời giải:

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, theo Định lí 1 ta có:

$$\dfrac{GB}{NB} = \dfrac{2}{3} ;\Longleftrightarrow; GB = \dfrac{2}{3} \cdot NB.$$

Mặt khác, vì $G$ nằm giữa $B$ và $N$ trên đường trung tuyến $BN$, ta có:

$$GN = NB – GB = NB – \dfrac{2}{3} \cdot NB = \dfrac{1}{3} \cdot NB.$$

Theo đề bài $GN = 1$ cm, nên:

$$\dfrac{1}{3} \cdot NB = 1 ;\Longrightarrow; NB = 3 \text{ (cm).}$$

Từ đó:

$$GB = \dfrac{2}{3} \cdot NB = \dfrac{2}{3} \cdot 3 = 2 \text{ (cm).}$$

Vậy $GB = 2$ cm và $NB = 3$ cm.

Tranh luận (trang 74)

Đề bài: Bạn Vuông nói: “Tớ tìm trọng tâm của một tam giác bằng cách lấy giao điểm của hai đường trung tuyến.” Bạn Tròn nói: “Tớ còn cách khác nữa cơ.” Các em có những cách nào?

Lời giải:

Có hai cách thường dùng để xác định trọng tâm của một tam giác:

Cách 1 (cách của Vuông): Vẽ hai đường trung tuyến của tam giác. Giao điểm của chúng chính là trọng tâm (theo Định lí 1, ba đường trung tuyến đồng quy nên chỉ cần xác định giao điểm của hai đường là đủ).

Cách 2: Chỉ cần vẽ một đường trung tuyến của tam giác (ví dụ $AM$ từ đỉnh $A$ đến trung điểm $M$ của cạnh đối diện). Sau đó lấy điểm $G$ nằm trên đoạn $AM$ và cách đỉnh $A$ một khoảng bằng $\dfrac{2}{3} AM$ (tức là $GA = \dfrac{2}{3} AM$). Điểm $G$ đó chính là trọng tâm của tam giác (theo Định lí 1).

Vận dụng 1 (trang 74)

Đề bài: Trong tình huống mở đầu, người ta chứng minh được $G$ chính là trọng tâm của tam giác $ABC$. Em hãy cắt một mảnh bìa hình tam giác. Xác định trọng tâm của tam giác và đặt mảnh bìa đó lên một giá nhọn tại trọng tâm vừa xác định. Quan sát xem mảnh bìa có thăng bằng không.

Lời giải:

Em thực hành theo các bước sau:

Bước 1: Cắt một mảnh bìa hình tam giác (em có thể chọn tam giác bất kì — thường, cân, đều, tuỳ ý).

Bước 2: Trên mảnh bìa, kẻ hai đường trung tuyến (chẳng hạn nối đỉnh $A$ với trung điểm cạnh $BC$ và nối đỉnh $B$ với trung điểm cạnh $AC$). Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại điểm $G$ — chính là trọng tâm.

Bước 3: Đặt mảnh bìa lên một giá nhọn (chẳng hạn đầu nhọn của một chiếc bút chì) sao cho điểm $G$ tiếp xúc với đầu nhọn.

Quan sát kết quả: mảnh bìa giữ được thăng bằng tại điểm $G$. Đây chính là tính chất vật lí thú vị của trọng tâm — nó chính là điểm cân bằng của miếng bìa hình tam giác.

2. Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác

Câu hỏi mục 2 (trang 74)

Đề bài: Mỗi tam giác có mấy đường phân giác?

Lời giải:

Theo định nghĩa, đường phân giác của tam giác xuất phát từ một đỉnh là đoạn thẳng nối đỉnh đó với điểm trên cạnh đối diện sao cho tia phân giác của góc tại đỉnh đi qua điểm đó. Tam giác có $3$ đỉnh, mỗi đỉnh ứng với một đường phân giác. Vậy mỗi tam giác có $3$ đường phân giác.

Hoạt động 3 (trang 74)

Đề bài: Cắt một tam giác bằng giấy. Hãy gấp tam giác vừa cắt để được ba đường phân giác của nó. Mở tờ giấy ra, hãy quan sát và cho biết ba nếp gấp đó có cùng đi qua một điểm không (H.9.33).

Lời giải:

Em thực hành gấp giấy theo hướng dẫn của SGK. Khi mở tờ giấy ra và quan sát, em sẽ thấy: ba nếp gấp (ba đường phân giác) cùng đi qua một điểm.

Luyện tập 2 (trang 75)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có hai đường phân giác $AM$, $BN$ cắt nhau tại điểm $I$. Hỏi $CI$ có là đường phân giác của góc $C$ không?

Lời giải:

Theo Định lí 2, ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Trong tam giác $ABC$, hai đường phân giác $AM$ và $BN$ cắt nhau tại $I$, nên đường phân giác còn lại (xuất phát từ đỉnh $C$) cũng phải đi qua $I$.

Đường phân giác xuất phát từ đỉnh $C$ đi qua $I$ chính là đường thẳng chứa đoạn $CI$ (kéo dài tới cạnh $AB$).

Vậy $CI$ là đường phân giác của góc $C$.

Vận dụng 2 (trang 75)

Đề bài: Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.

Lời giải:

Cho tam giác $ABC$ đều. Gọi $I$ là điểm cách đều ba cạnh của tam giác.

Theo Định lí 2 (mệnh đề đảo: điểm cách đều ba cạnh là giao điểm của ba đường phân giác), $I$ chính là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác $ABC$. Tức là $AI$, $BI$, $CI$ đều là các đường phân giác.

Tam giác đều $ABC$ có $AB = AC$ nên cân tại $A$. Áp dụng Ví dụ 2: trong tam giác cân tại $A$, giao điểm của ba đường phân giác nằm trên đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$. Tức là $AI$ chính là đường trung tuyến từ $A$.

Tương tự, tam giác đều $ABC$ cũng cân tại $B$ (vì $BA = BC$), nên $BI$ là đường trung tuyến từ $B$. Cân tại $C$ thì $CI$ là đường trung tuyến từ $C$.

Vậy $I$ là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác $ABC$, tức là $I$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ (đpcm).

Chú ý: Trong tam giác đều, giao điểm của ba đường trung tuyến (trọng tâm) cũng đồng thời là giao điểm của ba đường phân giác.

Bài tập (trang 76)

Bài 9.20 (trang 76)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ với hai đường trung tuyến $BN$, $CP$ và trọng tâm $G$. Hãy tìm số thích hợp đặt vào dấu “?” để được các đẳng thức:

$$BG = ?, BN, \quad CG = ?, CP; \qquad BG = ?, GN, \quad CG = ?, GP.$$

Lời giải:

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, theo Định lí 1, ta có:

$$BG = \dfrac{2}{3} BN; \qquad CG = \dfrac{2}{3} CP.$$

Vì $G$ nằm giữa $B$ và $N$ trên đoạn $BN$, nên:

$$GN = BN – BG = BN – \dfrac{2}{3} BN = \dfrac{1}{3} BN ;\Longrightarrow; BN = 3 GN.$$

Suy ra:

$$BG = \dfrac{2}{3} BN = \dfrac{2}{3} \cdot 3 GN = 2 GN.$$

Tương tự, $GP = \dfrac{1}{3} CP$, nên $CP = 3 GP$ và $CG = \dfrac{2}{3} CP = \dfrac{2}{3} \cdot 3 GP = 2 GP$.

Vậy điền các số thích hợp:

$$BG = \dfrac{2}{3} BN; \qquad CG = \dfrac{2}{3} CP; \qquad BG = 2 GN; \qquad CG = 2 GP.$$

Bài 9.21 (trang 76)

Đề bài: Chứng minh rằng:

a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Lời giải:

a) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, tức là $AB = AC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$, $N$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $BM$ và $CN$ là hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên $AC$ và $AB$. Ta cần chứng minh $BM = CN$.

Vì $M$ là trung điểm $AC$, $N$ là trung điểm $AB$, ta có:

$$AM = \dfrac{1}{2} AC; \qquad AN = \dfrac{1}{2} AB.$$

Mà $AB = AC$ (tam giác cân), nên $AM = AN$.

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACN$:

$AB = AC$ (giả thiết).

$\widehat{A}$ chung.

$AM = AN$ (chứng minh trên).

Vậy $\triangle ABM = \triangle ACN$ (c.g.c), suy ra $BM = CN$ (hai cạnh tương ứng).

Vậy trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau.

b) Cho tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ (với $M$ là trung điểm $AC$) và $CN$ (với $N$ là trung điểm $AB$) bằng nhau, tức là $BM = CN$. Ta cần chứng minh tam giác $ABC$ cân.

Gọi $G$ là giao điểm của $BM$ và $CN$. Theo Định lí 1, $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Ta có:

$$GB = \dfrac{2}{3} BM; \qquad GC = \dfrac{2}{3} CN.$$

Vì $BM = CN$, suy ra $GB = GC$.

Trong tam giác $GBC$, $GB = GC$ nên tam giác $GBC$ cân tại $G$, do đó $\widehat{GBC} = \widehat{GCB}$.

Xét $\triangle BCN$ và $\triangle CBM$:

$BC$ là cạnh chung.

$CN = BM$ (giả thiết).

$\widehat{NCB} = \widehat{GCB} = \widehat{GBC} = \widehat{MBC}$ (chứng minh trên).

Vậy $\triangle BCN = \triangle CBM$ (c.g.c), suy ra $\widehat{NBC} = \widehat{MCB}$ (hai góc tương ứng).

Vì $N$ là trung điểm của $AB$ nên tia $BN$ trùng tia $BA$, do đó $\widehat{NBC} = \widehat{ABC}$. Tương tự $\widehat{MCB} = \widehat{ACB}$.

Suy ra $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$, nên tam giác $ABC$ cân tại $A$ (tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân).

Bài 9.22 (trang 76)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có các đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$. Biết góc $GBC$ lớn hơn góc $GCB$. Hãy so sánh $BM$ và $CN$.

Lời giải:

Trong tam giác $GBC$, theo định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác: cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Ta có $\widehat{GBC} > \widehat{GCB}$, nên cạnh đối diện $\widehat{GBC}$ (là $GC$) lớn hơn cạnh đối diện $\widehat{GCB}$ (là $GB$):

$$GC > GB. \quad (1)$$

Mặt khác, vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, theo Định lí 1:

$$GB = \dfrac{2}{3} BM; \qquad GC = \dfrac{2}{3} CN. \quad (2)$$

Thay $(2)$ vào $(1)$:

$$\dfrac{2}{3} CN > \dfrac{2}{3} BM ;\Longleftrightarrow; CN > BM.$$

Vậy $BM < CN$ (hay $CN > BM$).

Bài 9.23 (trang 76)

Đề bài: Kí hiệu $I$ là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác $ABC$. Tính góc $BIC$ khi biết góc $BAC$ bằng $120^\circ$.

Lời giải:

Trong tam giác $ABC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:

$$\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circ.$$

Thay $\widehat{BAC} = 120^\circ$:

$$\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ. \quad (1)$$

Vì $I$ là giao điểm của ba đường phân giác nên $BI$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ và $CI$ là tia phân giác của $\widehat{ACB}$. Do đó:

$$\widehat{IBC} = \dfrac{1}{2} \widehat{ABC}; \qquad \widehat{ICB} = \dfrac{1}{2} \widehat{ACB}.$$

Cộng hai đẳng thức:

$$\widehat{IBC} + \widehat{ICB} = \dfrac{1}{2}(\widehat{ABC} + \widehat{ACB}) = \dfrac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ.$$

Xét tam giác $BIC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$:

$$\widehat{BIC} + \widehat{IBC} + \widehat{ICB} = 180^\circ ;\Longrightarrow; \widehat{BIC} = 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ.$$

Vậy $\widehat{BIC} = 150^\circ$.

Bài 9.24 (trang 76)

Đề bài: Gọi $BE$ và $CF$ là hai đường phân giác của tam giác $ABC$ cân tại $A$. Chứng minh $BE = CF$.

Lời giải:

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$, ta có $AB = AC$ và $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.

Vì $BE$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên:

$$\widehat{ABE} = \dfrac{1}{2} \widehat{ABC}.$$

Vì $CF$ là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên:

$$\widehat{ACF} = \dfrac{1}{2} \widehat{ACB}.$$

Do $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$, suy ra $\widehat{ABE} = \widehat{ACF}$.

Xét $\triangle ABE$ và $\triangle ACF$:

$\widehat{A}$ chung.

$AB = AC$ (giả thiết).

$\widehat{ABE} = \widehat{ACF}$ (chứng minh trên).

Vậy $\triangle ABE = \triangle ACF$ (g.c.g), suy ra $BE = CF$ (hai cạnh tương ứng).

Bài 9.25 (trang 76)

Đề bài: Trong tam giác $ABC$, hai đường phân giác của các góc $B$ và $C$ cắt nhau tại $D$. Kẻ $DP$ vuông góc với $BC$, $DQ$ vuông góc với $CA$, $DR$ vuông góc với $AB$.

a) Hãy giải thích tại sao $DP = DR$.

b) Hãy giải thích tại sao $DP = DQ$.

c) Từ câu a và b suy ra $DR = DQ$. Tại sao $D$ nằm trên tia phân giác của góc $A$? (Đây là một cách chứng minh Định lí 2.)

Lời giải:

a) Vì $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{DBP} = \widehat{DBR}$ (cùng bằng $\dfrac{1}{2} \widehat{ABC}$).

Xét $\triangle BDP$ vuông tại $P$ và $\triangle BDR$ vuông tại $R$:

Cạnh huyền $BD$ chung.

$\widehat{DBP} = \widehat{DBR}$ (chứng minh trên).

Vậy $\triangle BDP = \triangle BDR$ (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra $DP = DR$ (hai cạnh tương ứng). (1)

b) Vì $CD$ là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{DCP} = \widehat{DCQ}$ (cùng bằng $\dfrac{1}{2} \widehat{ACB}$).

Xét $\triangle CDP$ vuông tại $P$ và $\triangle CDQ$ vuông tại $Q$:

Cạnh huyền $CD$ chung.

$\widehat{DCP} = \widehat{DCQ}$ (chứng minh trên).

Vậy $\triangle CDP = \triangle CDQ$ (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra $DP = DQ$ (hai cạnh tương ứng). (2)

c) Từ $(1)$ và $(2)$, ta có $DR = DP$ và $DQ = DP$, nên $DR = DQ$.

Như vậy, $D$ là điểm nằm bên trong $\widehat{BAC}$ và cách đều hai cạnh của góc đó ($DR$ là khoảng cách từ $D$ đến $AB$, $DQ$ là khoảng cách từ $D$ đến $AC$, mà $DR = DQ$).

Theo tính chất tia phân giác (đã nêu trong hộp lưu ý của SGK): mọi điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Vậy $D$ nằm trên tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (đpcm).

Kết quả này chứng tỏ ba đường phân giác của tam giác $ABC$ cùng đi qua điểm $D$ — đây chính là một cách chứng minh Định lí 2.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du