1. Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác

Câu hỏi mục 1 (trang 77)

Đề bài: Mỗi tam giác có mấy đường trung trực?

Lời giải:

Theo định nghĩa, đường trung trực của tam giác là đường trung trực ứng với mỗi cạnh của tam giác. Tam giác có $3$ cạnh, mỗi cạnh ứng với một đường trung trực. Vậy mỗi tam giác có $3$ đường trung trực.

Hoạt động 1 (trang 78)

Đề bài: Vẽ tam giác $ABC$ (không tù) và ba đường trung trực của các đoạn $BC$, $CA$, $AB$. Quan sát hình và cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm hay không?

Lời giải:

Em dùng thước và êke vẽ tam giác $ABC$ (không tù) trên giấy. Sau đó với mỗi cạnh ($BC$, $CA$, $AB$), em xác định trung điểm rồi vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh đó tại trung điểm – đó là đường trung trực của cạnh.

Quan sát hình vẽ, em sẽ thấy: ba đường trung trực cùng đi qua một điểm.

Hoạt động 2 (trang 78)

Đề bài: Dùng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy lập luận để suy ra tính chất nói ở HĐ1 bằng cách trả lời các câu hỏi sau: Cho $O$ là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh $BC$ và $CA$ (H.9.38).

a) Tại sao $OB = OC$, $OC = OA$?

b) Điểm $O$ có nằm trên đường trung trực của $AB$ không?

Lời giải:

Áp dụng tính chất: điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó (và ngược lại).

a) Vì $O$ nằm trên đường trung trực của đoạn $BC$, theo tính chất trên, $O$ cách đều hai đầu mút $B$ và $C$, tức là:

$$OB = OC.$$

Tương tự, vì $O$ nằm trên đường trung trực của đoạn $CA$, $O$ cách đều hai đầu mút $C$ và $A$, tức là:

$$OC = OA.$$

b) Từ hai đẳng thức $OB = OC$ và $OC = OA$, ta suy ra $OA = OB$. Tức là $O$ cách đều hai đầu mút $A$ và $B$.

Theo tính chất (mệnh đề đảo): điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Vậy $O$ nằm trên đường trung trực của đoạn $AB$.

Kết luận: Cả ba đường trung trực của tam giác $ABC$ cùng đi qua điểm $O$, đồng thời $O$ cách đều ba đỉnh $A$, $B$, $C$ (vì $OA = OB = OC$).

Luyện tập 1 (trang 79)

Đề bài: Chứng minh rằng trong tam giác đều $ABC$, trọng tâm $G$ cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Lời giải:

Tam giác $ABC$ đều nên $AB = BC = CA$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $AC$, $P$ là trung điểm $AB$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (vì $AB = AC$). Theo Ví dụ 1 (đã học): trong tam giác cân tại $A$, đường trung tuyến $AM$ ứng với cạnh đáy $BC$ đồng thời là đường trung trực của $BC$. Tức là $AM$ là đường trung trực của cạnh $BC$.

Tam giác $ABC$ cân tại $B$ (vì $BA = BC$). Tương tự, đường trung tuyến $BN$ ứng với cạnh đáy $AC$ là đường trung trực của $AC$.

Tam giác $ABC$ cân tại $C$ (vì $CA = CB$). Tương tự, đường trung tuyến $CP$ ứng với cạnh đáy $AB$ là đường trung trực của $AB$.

Như vậy, ba đường trung tuyến $AM$, $BN$, $CP$ của tam giác đều $ABC$ cũng chính là ba đường trung trực của nó. Trọng tâm $G$ là giao điểm của ba đường trung tuyến, đồng thời cũng là giao điểm của ba đường trung trực.

Theo Định lí 1, giao điểm của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của tam giác. Vậy $GA = GB = GC$, tức là trọng tâm $G$ cách đều ba đỉnh $A$, $B$, $C$.

Vận dụng (trang 79)

Đề bài: Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu: Có thể coi ba ngôi nhà của ba anh em trong một khu vườn là ba đỉnh của một tam giác (không tù). Họ muốn khoan một giếng chung trong vườn cách đều ba ngôi nhà (H.9.36). Em có thể giúp họ chọn địa điểm để khoan giếng không?

Lời giải:

Gọi ba ngôi nhà là ba điểm $A$, $B$, $C$. Vì ba ngôi nhà không thẳng hàng nên $A$, $B$, $C$ là ba đỉnh của một tam giác.

Điểm khoan giếng cần cách đều ba ngôi nhà, tức là cách đều ba đỉnh $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC$. Theo Định lí 1, điểm cách đều ba đỉnh của tam giác chính là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

Cách xác định địa điểm khoan giếng:

Bước 1: Vẽ đường trung trực của đoạn $AB$ (đường vuông góc với $AB$ tại trung điểm của $AB$).

Bước 2: Vẽ đường trung trực của đoạn $BC$ (tương tự).

Bước 3: Hai đường trung trực này cắt nhau tại một điểm $O$. Điểm $O$ chính là địa điểm cần khoan giếng (vì $O$ cách đều ba ngôi nhà $A$, $B$, $C$).

Thử thách nhỏ (trang 79)

Đề bài: Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy giải thích nếu điểm $Q$ cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$ thì $Q$ phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác $ABC$.

Lời giải:

Vì $Q$ cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$, ta có:

$$QA = QB = QC.$$

Áp dụng tính chất: điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Vì $QA = QB$, nên $Q$ cách đều hai đầu mút $A$ và $B$ của đoạn $AB$. Suy ra $Q$ nằm trên đường trung trực của đoạn $AB$.

Vì $QB = QC$, tương tự, $Q$ nằm trên đường trung trực của đoạn $BC$.

Vì $QC = QA$, tương tự, $Q$ nằm trên đường trung trực của đoạn $CA$.

Vậy $Q$ nằm đồng thời trên cả ba đường trung trực của tam giác $ABC$, tức là $Q$ là giao điểm ba đường trung trực của tam giác $ABC$.

2. Sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác

Câu hỏi mục 2 (trang 79)

Đề bài: Mỗi tam giác có mấy đường cao?

Lời giải:

Theo định nghĩa, đường cao của tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. Tam giác có $3$ đỉnh, mỗi đỉnh ứng với một đường cao. Vậy mỗi tam giác có $3$ đường cao.

Hoạt động 3 (trang 79)

Đề bài: Vẽ tam giác $ABC$ và ba đường cao của nó. Quan sát hình và cho biết ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm không?

Lời giải:

Em dùng êke vẽ tam giác $ABC$ và ba đường cao xuất phát từ ba đỉnh $A$, $B$, $C$ (mỗi đường cao là đoạn thẳng từ đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện).

Quan sát hình vẽ, em sẽ thấy: ba đường cao cùng đi qua một điểm. Điểm này được gọi là trực tâm của tam giác.

Luyện tập 2 (trang 81)

Đề bài:

a) Chứng minh rằng trong tam giác $ABC$ cân tại $A$, đường trung trực của cạnh $BC$ là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác đó.

b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

Lời giải:

a) Gọi $D$ là trung điểm của $BC$. Đường trung trực của $BC$ là đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $D$; gọi đường này là $d$.

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$, $AB = AC$, nên $A$ cách đều hai đầu mút $B$ và $C$. Theo tính chất, $A$ nằm trên đường trung trực của $BC$, tức $A \in d$.

Vậy đường trung trực $d$ của $BC$ chính là đường thẳng đi qua $A$ và $D$, hay $d = AD$.

Chứng minh $AD$ là đường cao xuất phát từ $A$:

Vì $d \perp BC$ tại $D$ (theo định nghĩa đường trung trực), nên $AD \perp BC$. Mà $D$ thuộc $BC$, nên $AD$ là đường cao xuất phát từ $A$ của tam giác $ABC$.

Chứng minh $AD$ là đường phân giác xuất phát từ $A$:

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$:

$AB = AC$ (giả thiết).

$BD = CD$ ($D$ là trung điểm $BC$).

$AD$ chung.

Vậy $\triangle ABD = \triangle ACD$ (c.c.c), suy ra $\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$ (hai góc tương ứng). Do đó $AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$, tức $AD$ là đường phân giác xuất phát từ $A$.

Kết luận: Trong tam giác cân tại $A$, đường trung trực của cạnh đáy $BC$ đồng thời là đường cao và đường phân giác xuất phát từ đỉnh $A$.

b) Cho tam giác đều $ABC$. Gọi $G$ là điểm cách đều ba đỉnh, tức $GA = GB = GC$. Theo Thử thách nhỏ (đã chứng minh ở trên), $G$ là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác $ABC$.

Tam giác đều $ABC$ cân tại mỗi đỉnh ($A$, $B$, $C$). Áp dụng kết quả câu a:

Cân tại $A$: đường trung trực của $BC$ là đường phân giác xuất phát từ $A$.

Cân tại $B$: đường trung trực của $CA$ là đường phân giác xuất phát từ $B$.

Cân tại $C$: đường trung trực của $AB$ là đường phân giác xuất phát từ $C$.

Vậy ba đường trung trực của tam giác đều $ABC$ đồng thời là ba đường phân giác của nó. $G$ là giao điểm ba đường trung trực, cũng là giao điểm ba đường phân giác.

Theo Định lí 2 ở Bài 34, giao điểm ba đường phân giác cách đều ba cạnh của tam giác. Vậy $G$ cách đều ba cạnh của tam giác $ABC$.

Kết luận: Trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

Bài tập (trang 81)

Bài 9.26 (trang 81)

Đề bài: Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác $HBC$, $HCA$, $HAB$.

Lời giải:

Vì $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên ba đường cao của tam giác $ABC$ đi qua $H$. Cụ thể, gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là chân các đường cao kẻ từ $C$, $A$, $B$:

$AH \perp BC$ tại $N$ (đường cao từ $A$), tức $A$, $H$, $N$ thẳng hàng.

$BH \perp AC$ tại $P$ (đường cao từ $B$), tức $B$, $H$, $P$ thẳng hàng.

$CH \perp AB$ tại $M$ (đường cao từ $C$), tức $C$, $H$, $M$ thẳng hàng.

Tìm trực tâm tam giác $HBC$:

Xét tam giác $HBC$ với ba đỉnh $H$, $B$, $C$.

Đường cao từ $H$ (vuông góc với $BC$): vì $AH \perp BC$ (chứng minh trên) nên đường thẳng $AH$ là đường cao của tam giác $HBC$ từ đỉnh $H$. Đường này đi qua $A$.

Đường cao từ $B$ (vuông góc với $HC$): vì $HC$ thuộc đường thẳng $CH$, mà $CH \perp AB$, nên đường thẳng $AB$ vuông góc với $HC$. Vậy đường thẳng $AB$ là đường cao của tam giác $HBC$ từ đỉnh $B$. Đường này đi qua $A$.

Hai đường cao trên cùng đi qua điểm $A$, nên $A$ là trực tâm của tam giác $HBC$.

Tìm trực tâm tam giác $HCA$:

Tương tự, xét tam giác $HCA$:

Đường cao từ $H$ vuông góc với $CA$: vì $BH \perp CA$, đường thẳng $BH$ là đường cao của $HCA$ từ $H$. Đi qua $B$.

Đường cao từ $C$ vuông góc với $HA$: vì $HA$ thuộc đường thẳng $AH$, mà $AH \perp BC$, nên đường thẳng $BC$ vuông góc với $HA$. Vậy đường thẳng $BC$ là đường cao của $HCA$ từ $C$. Đi qua $B$.

Vậy $B$ là trực tâm của tam giác $HCA$.

Tìm trực tâm tam giác $HAB$:

Tương tự, $C$ là trực tâm của tam giác $HAB$ (đường thẳng $CH$ và đường thẳng $BC$ là hai đường cao, cùng đi qua $C$).

Kết luận: Trực tâm của các tam giác $HBC$, $HCA$, $HAB$ lần lượt là $A$, $B$, $C$.

Bài 9.27 (trang 81)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 100^\circ$ và trực tâm $H$. Tính góc $BHC$.

Lời giải:

Vì $\widehat{A} = 100^\circ > 90^\circ$ là góc tù, tam giác $ABC$ là tam giác tù tại $A$, do đó trực tâm $H$ nằm ngoài tam giác.

Gọi $D$ là chân đường cao kẻ từ $B$ xuống đường thẳng $AC$ ($BD \perp AC$ tại $D$). Vì $\widehat{A}$ tù nên $D$ nằm trên tia đối của tia $AC$ (chân đường cao kẻ từ $B$ vượt ra ngoài cạnh $AC$, qua phía đỉnh $A$).

Gọi $E$ là chân đường cao kẻ từ $C$ xuống đường thẳng $AB$ ($CE \perp AB$ tại $E$). Tương tự, $E$ nằm trên tia đối của tia $AB$.

Trực tâm $H$ là giao điểm của hai đường cao $BD$ và $CE$.

Bước 1: Tính $\widehat{ABD}$.

Vì $D$ nằm trên tia đối của tia $AC$, hai góc $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BAD}$ kề bù:

$$\widehat{BAC} + \widehat{BAD} = 180^\circ ;\Longrightarrow; \widehat{BAD} = 180^\circ – 100^\circ = 80^\circ.$$

Tam giác $ABD$ vuông tại $D$, nên hai góc nhọn phụ nhau:

$$\widehat{BAD} + \widehat{ABD} = 90^\circ ;\Longrightarrow; \widehat{ABD} = 90^\circ – 80^\circ = 10^\circ.$$

Bước 2: Tính $\widehat{BHC}$.

Vì $H$ nằm trên đường thẳng $BD$ (cụ thể, $H$ nằm cùng phía với $D$ so với $B$), nên $\widehat{ABH} = \widehat{ABD} = 10^\circ$. Vì $E$ nằm trên đường thẳng $AB$ (tia đối của $AB$), nên $\widehat{EBH} = \widehat{ABH} = 10^\circ$.

Xét tam giác $BEH$ vuông tại $E$ (vì $CE \perp AB$, mà $H \in CE$):

$$\widehat{EBH} + \widehat{BHE} = 90^\circ ;\Longrightarrow; \widehat{BHE} = 90^\circ – 10^\circ = 80^\circ.$$

Vì $E$ nằm giữa $H$ và $C$ trên đường cao $CE$, nên $\widehat{BHC} = \widehat{BHE} = 80^\circ$.

Vậy $\widehat{BHC} = 80^\circ$.

Bài 9.28 (trang 81)

Đề bài: Xét điểm $O$ cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng nếu $O$ nằm trên một cạnh của tam giác $ABC$ thì $ABC$ là một tam giác vuông.

Lời giải:

Vì $O$ cách đều ba đỉnh, ta có $OA = OB = OC$.

Giả sử $O$ nằm trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ (các trường hợp $O$ trên cạnh $AB$ hoặc $AC$ chứng minh tương tự).

Vì $OB = OC$ và $O$ nằm trên đoạn $BC$ (giữa $B$ và $C$), nên $O$ là trung điểm của $BC$.

Xét hai tam giác cân:

Tam giác $OAB$ có $OA = OB$, nên cân tại $O$. Suy ra $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$.

Tam giác $OAC$ có $OA = OC$, nên cân tại $O$. Suy ra $\widehat{OAC} = \widehat{OCA}$.

Vì $O$ nằm trên cạnh $BC$ (giữa $B$ và $C$), nên tia $AO$ nằm trong $\widehat{BAC}$ và chia $\widehat{BAC}$ thành hai góc $\widehat{OAB}$ và $\widehat{OAC}$:

$$\widehat{BAC} = \widehat{OAB} + \widehat{OAC}.$$

Mặt khác, vì $O$ nằm trên $BC$, tia $BO$ trùng tia $BC$ và tia $CO$ trùng tia $CB$, nên $\widehat{OBA} = \widehat{CBA} = \widehat{B}$ và $\widehat{OCA} = \widehat{BCA} = \widehat{C}$.

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác $ABC$:

$$\widehat{BAC} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ.$$

Thay $\widehat{B} = \widehat{OBA} = \widehat{OAB}$ và $\widehat{C} = \widehat{OCA} = \widehat{OAC}$:

$$\widehat{BAC} + \widehat{OAB} + \widehat{OAC} = 180^\circ.$$

Mà $\widehat{OAB} + \widehat{OAC} = \widehat{BAC}$, nên:

$$\widehat{BAC} + \widehat{BAC} = 180^\circ ;\Longleftrightarrow; 2 \widehat{BAC} = 180^\circ ;\Longleftrightarrow; \widehat{BAC} = 90^\circ.$$

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Tương tự, nếu $O$ nằm trên cạnh $AC$ thì $\widehat{B} = 90^\circ$, nếu $O$ nằm trên cạnh $AB$ thì $\widehat{C} = 90^\circ$. Trong mọi trường hợp, tam giác $ABC$ là tam giác vuông (đpcm).

Bài 9.29 (trang 81)

Đề bài:

a) Có một chi tiết máy (đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (H.9.46). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này?

b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ đó một điểm $M$ cách đều $A$, $B$, $C$ để quy hoạch một trường học.

Lời giải:

Cả hai phần đều áp dụng cùng một ý tưởng: tâm của đường tròn đi qua ba điểm $A$, $B$, $C$ chính là giao điểm ba đường trung trực của tam giác $ABC$ (theo Định lí 1).

a) Cách xác định bán kính đường viền:

Bước 1: Trên đường viền ngoài (cung tròn còn lại của chi tiết máy), chọn ba điểm phân biệt $A$, $B$, $C$.

Bước 2: Vẽ đường trung trực của đoạn $AB$ và đường trung trực của đoạn $BC$ (chỉ cần hai đường là đủ, vì ba đường đồng quy).

Bước 3: Hai đường trung trực này cắt nhau tại một điểm $O$ — đó là tâm của đường tròn chứa đường viền ngoài.

Bước 4: Đo độ dài $OA$ (hoặc $OB$, hoặc $OC$ — đều bằng nhau). Độ dài này chính là bán kính của đường viền.

b) Cách xác định vị trí trường học $M$:

Bước 1: Trên bản đồ, xác định ba điểm $A$, $B$, $C$ là vị trí ba khu dân cư.

Bước 2: Vẽ đường trung trực của đoạn $AB$ và đường trung trực của đoạn $BC$.

Bước 3: Hai đường trung trực cắt nhau tại điểm $M$. Khi đó $MA = MB = MC$, tức là $M$ cách đều ba khu dân cư.

Vậy $M$ chính là vị trí cần quy hoạch trường học.

Bài 9.30 (trang 81)

Đề bài: Cho hai đường thẳng không vuông góc $b$, $c$ cắt nhau tại điểm $A$ và cho điểm $H$ không thuộc $b$ và $c$ (H.9.47). Hãy tìm điểm $B$ thuộc $b$, điểm $C$ thuộc $c$ sao cho tam giác $ABC$ nhận $H$ làm trực tâm.

Lời giải:

Để $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$, ta cần $BH \perp AC$ và $CH \perp AB$ (hai đường cao kẻ từ $B$ và $C$ đều đi qua $H$).

Vì $A$, $B$ đều thuộc đường thẳng $b$, nên đoạn $AB$ nằm trên $b$. Tương tự, $AC$ nằm trên $c$. Do đó:

Điều kiện $BH \perp AC$ tương đương với $BH \perp c$. Tức là $B$ nằm trên đường thẳng đi qua $H$ và vuông góc với $c$.

Điều kiện $CH \perp AB$ tương đương với $CH \perp b$. Tức là $C$ nằm trên đường thẳng đi qua $H$ và vuông góc với $b$.

Cách dựng:

Bước 1: Từ $H$, kẻ đường thẳng vuông góc với $c$, cắt $b$ tại điểm $B$.

Bước 2: Từ $H$, kẻ đường thẳng vuông góc với $b$, cắt $c$ tại điểm $C$.

Khi đó:

$B \in b$ và $C \in c$.

$BH \perp c$ (do cách dựng), mà $AC \subset c$, nên $BH \perp AC$. Vậy $BH$ là đường cao kẻ từ $B$ của tam giác $ABC$.

$CH \perp b$ (do cách dựng), mà $AB \subset b$, nên $CH \perp AB$. Vậy $CH$ là đường cao kẻ từ $C$ của tam giác $ABC$.

Hai đường cao $BH$ và $CH$ cắt nhau tại $H$, nên $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

Vậy hai điểm $B$ và $C$ xác định như trên là cần tìm.

Chú ý: Cách dựng trên thực hiện được vì hai đường thẳng $b$ và $c$ không vuông góc với nhau. Nếu $b \perp c$, thì đường thẳng qua $H$ vuông góc với $c$ sẽ song song với $b$, không cắt $b$, nên không xác định được $B$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du