Bài tập (trang 101)

Bài 10.20 (trang 101)

Đề bài: Người ta làm một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật bằng bìa với chiều dài $20$ cm, chiều rộng $14$ cm và chiều cao $15$ cm.

a) Tính thể tích của cái hộp.

b) Tính diện tích bìa dùng để làm cái hộp.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức thể tích hình hộp chữ nhật $V = a \cdot b \cdot c$ với $a = 20$ cm, $b = 14$ cm, $c = 15$ cm:

$$V = 20 \cdot 14 \cdot 15 = 4\,200 \text{ (cm}^3\text{).}$$

Vậy thể tích của cái hộp là $4\,200$ cm$^3$.

b) Diện tích bìa dùng để làm cái hộp bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai mặt đáy (cái hộp được làm bằng bìa kín cả $6$ mặt).

Diện tích xung quanh của cái hộp là:

$$S_{xq} = 2 \cdot (20 + 14) \cdot 15 = 2 \cdot 34 \cdot 15 = 1\,020 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Tổng diện tích hai mặt đáy là:

$$2 \cdot (20 \cdot 14) = 2 \cdot 280 = 560 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Diện tích bìa dùng để làm cái hộp là:

$$S_{tp} = S_{xq} + 2 \cdot S_{\text{đáy}} = 1\,020 + 560 = 1\,580 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Vậy diện tích bìa dùng để làm cái hộp là $1\,580$ cm$^2$.

Bài 10.21 (trang 101)

Đề bài: Tính thể tích, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật và hình lăng trụ trong Hình 10.43.

Lời giải:

Phần 1: Hình hộp chữ nhật. Quan sát Hình 10.43, hình hộp chữ nhật có chiều dài $9$, chiều rộng $4$ và chiều cao $9$.

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:

$$S_{xq} = 2 \cdot (9 + 4) \cdot 9 = 2 \cdot 13 \cdot 9 = 234.$$

Tổng diện tích hai mặt đáy là $2 \cdot (9 \cdot 4) = 72$. Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:

$$S_{tp} = S_{xq} + 2 \cdot S_{\text{đáy}} = 234 + 72 = 306.$$

Thể tích hình hộp chữ nhật là:

$$V = 9 \cdot 4 \cdot 9 = 324.$$

Phần 2: Hình lăng trụ đứng tam giác. Quan sát Hình 10.43, đáy của hình lăng trụ là tam giác có ba cạnh $5$, $12$, $13$. Ta có:

$$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2.$$

Theo định lí Pythagoras đảo, tam giác đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông $5$, $12$ và cạnh huyền $13$. Chiều cao của lăng trụ là $20$.

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là:

$$S_{xq} = C \cdot h = (5 + 12 + 13) \cdot 20 = 30 \cdot 20 = 600.$$

Diện tích một đáy (tam giác vuông) là:

$$S_{\text{đáy}} = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30.$$

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là:

$$S_{tp} = S_{xq} + 2 \cdot S_{\text{đáy}} = 600 + 2 \cdot 30 = 660.$$

Thể tích của hình lăng trụ là:

$$V = S_{\text{đáy}} \cdot h = 30 \cdot 20 = 600.$$

Bài 10.22 (trang 101)

Đề bài: Người ta xếp một số viên gạch dạng hình hộp chữ nhật tạo thành một khối hình lập phương cạnh $20$ cm như Hình 10.44.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối hình lập phương.

b) Tìm kích thước mỗi viên gạch.

Lời giải:

a) Hình lập phương có cạnh $a = 20$ cm.

Diện tích xung quanh của khối gạch hình lập phương là:

$$S_{xq} = 4a^2 = 4 \cdot 20^2 = 4 \cdot 400 = 1\,600 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Diện tích toàn phần của khối gạch hình lập phương là:

$$S_{tp} = 6a^2 = 6 \cdot 20^2 = 6 \cdot 400 = 2\,400 \text{ (cm}^2\text{).}$$

b) Quan sát Hình 10.44, ta thấy cách xếp các viên gạch trong khối hình lập phương:

Chiều dài viên gạch đặt theo cạnh hình lập phương, nên chiều dài viên gạch là $20$ cm.

Theo chiều rộng (mặt nhìn nghiêng), mỗi cạnh hình lập phương được chia làm $2$ phần bằng nhau bởi chiều rộng các viên gạch. Vậy chiều rộng của viên gạch là:

$$20 : 2 = 10 \text{ (cm).}$$

Theo chiều cao, mỗi cạnh hình lập phương được chia làm $4$ phần bằng nhau bởi chiều cao các viên gạch. Vậy chiều cao của viên gạch là:

$$20 : 4 = 5 \text{ (cm).}$$

Vậy mỗi viên gạch có kích thước: chiều dài $20$ cm, chiều rộng $10$ cm, chiều cao $5$ cm.

Bài 10.23 (trang 101)

Đề bài: Một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài $5$ m, chiều rộng $4$ m và chiều cao $3$ m. Người ta muốn lăn sơn tường và trần nhà. Hỏi diện tích cần lăn sơn là bao nhiêu mét vuông, biết rằng tổng diện tích các cửa bằng $5{,}8$ m$^2$?

Lời giải:

Diện tích cần lăn sơn bằng diện tích tường (bốn mặt xung quanh) cộng với diện tích trần nhà, sau đó trừ đi tổng diện tích các cửa (vì phần cửa không sơn).

Diện tích bốn mặt tường (chính là diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật) là:

$$S_{\text{tường}} = 2 \cdot (5 + 4) \cdot 3 = 2 \cdot 9 \cdot 3 = 54 \text{ (m}^2\text{).}$$

Diện tích trần nhà là:

$$S_{\text{trần}} = 5 \cdot 4 = 20 \text{ (m}^2\text{).}$$

Diện tích cần lăn sơn là:

$$54 + 20 – 5{,}8 = 68{,}2 \text{ (m}^2\text{).}$$

Vậy diện tích cần lăn sơn là $68{,}2$ m$^2$.

Bài 10.24 (trang 101)

Đề bài: Một bể cá dạng hình hộp chữ nhật làm bằng kính (không có nắp) có chiều dài $80$ cm, chiều rộng $50$ cm, chiều cao $45$ cm. Mực nước ban đầu trong bể cao $35$ cm.

a) Tính diện tích kính dùng để làm bể cá đó.

b) Người ta cho vào bể một hòn đá trang trí chìm hẳn trong nước thì mực nước của bể dâng lên thành $37{,}5$ cm. Tính thể tích hòn đá.

Lời giải:

a) Vì bể cá không có nắp nên diện tích kính dùng để làm bể bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy (chỉ có đáy dưới, không có đáy trên).

Diện tích xung quanh của bể cá là:

$$S_{xq} = 2 \cdot (80 + 50) \cdot 45 = 2 \cdot 130 \cdot 45 = 11\,700 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Diện tích mặt đáy của bể cá là:

$$S_{\text{đáy}} = 80 \cdot 50 = 4\,000 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Diện tích kính dùng để làm bể cá là:

$$S = S_{xq} + S_{\text{đáy}} = 11\,700 + 4\,000 = 15\,700 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Vậy diện tích kính dùng để làm bể cá là $15\,700$ cm$^2$.

b) Khi cho hòn đá chìm hẳn vào nước, hòn đá chiếm chỗ và đẩy mực nước dâng lên. Thể tích nước dâng lên đúng bằng thể tích hòn đá.

Mực nước dâng lên một đoạn:

$$37{,}5 – 35 = 2{,}5 \text{ (cm).}$$

Phần nước dâng lên có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là $80$ cm $\times$ $50$ cm và chiều cao $2{,}5$ cm. Thể tích phần nước dâng lên là:

$$V = 80 \cdot 50 \cdot 2{,}5 = 10\,000 \text{ (cm}^3\text{).}$$

Vậy thể tích hòn đá là $10\,000$ cm$^3$.

Bài 10.25 (trang 101)

Đề bài: Một chiếc cốc có dạng hình trụ, chứa đầy nước. Hỏi nếu bỏ vào cốc $5$ viên đá dạng hình lập phương có cạnh $2$ cm thì lượng nước trào ra ngoài là bao nhiêu?

Lời giải:

Vì chiếc cốc đã chứa đầy nước, nên khi bỏ các viên đá vào cốc, các viên đá chiếm chỗ trong cốc và đẩy nước trào ra ngoài. Lượng nước trào ra ngoài đúng bằng tổng thể tích của các viên đá thả vào.

Thể tích của một viên đá (hình lập phương cạnh $2$ cm) là:

$$V_1 = 2^3 = 8 \text{ (cm}^3\text{).}$$

Tổng thể tích của $5$ viên đá là:

$$V = 5 \cdot V_1 = 5 \cdot 8 = 40 \text{ (cm}^3\text{).}$$

Vậy lượng nước trào ra ngoài là $40$ cm$^3$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du