Mở đầu trang 60

Đề bài: Trong Hình 2.34, một chiếc bóng đèn được treo cách sàn nhà là $2$ m, cách hai bức tường lần lượt là $1$ m và $1{,}5$ m. Kiến thức toán học nào giúp mô tả chính xác và ngắn gọn vị trí của chiếc bóng đèn trong không gian?

Lời giải:

Ta có thể mô tả vị trí chiếc bóng đèn bằng toạ độ trong không gian – công cụ toán học chính được xây dựng trong bài này.

Cụ thể: chọn một góc căn phòng (nơi hai bức tường và sàn gặp nhau) làm gốc toạ độ $O$, hai mép chân tường làm trục $Ox$ và $Oy$, mép tường thẳng đứng làm trục $Oz$. Khi đó, ba khoảng cách “$1$ m, $1{,}5$ m, $2$ m” chính là ba toạ độ của chiếc bóng đèn.

Bài toán này sẽ được giải cụ thể ở Vận dụng 1.

1. Hệ trục toạ độ trong không gian

HĐ1 (trang 60)

Đề bài: Trong không gian, xét ba trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ có chung gốc $O$ và đôi một vuông góc với nhau. Gọi $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ là các vectơ đơn vị trên các trục đó (H.2.35).

a) Gọi tên các mặt phẳng toạ độ có trong Hình 2.35.

b) Các mặt phẳng toạ độ trong Hình 2.35 có đôi một vuông góc với nhau không?

Lời giải:

a) Có ba mặt phẳng toạ độ:

• $(Oxy)$: mặt phẳng chứa hai trục $Ox$ và $Oy$.
• $(Oyz)$: mặt phẳng chứa hai trục $Oy$ và $Oz$.
• $(Oxz)$: mặt phẳng chứa hai trục $Ox$ và $Oz$.

b) Có. Ba mặt phẳng toạ độ đôi một vuông góc với nhau. Lí do:

• $Ox \perp (Oyz)$ vì $Ox \perp Oy$ và $Ox \perp Oz$. Do đó mặt phẳng $(Oxy)$ (chứa $Ox$) vuông góc với $(Oyz)$.
• Tương tự $(Oxy) \perp (Oxz)$ và $(Oyz) \perp (Oxz)$.

Câu hỏi trang 61

Đề bài: Góc căn phòng trong Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về hệ toạ độ $Oxyz$ trong không gian hay không? Nếu có, hãy mô tả gốc toạ độ và các mặt phẳng toạ độ trong hình ảnh đó.

Lời giải:

Có. Một góc căn phòng chính là mô hình trực quan của hệ toạ độ $Oxyz$:

• Gốc toạ độ $O$: là điểm giao của hai bức tường và sàn (hoặc trần) – tức đỉnh của góc căn phòng.
• Ba mặt phẳng toạ độ: hai bức tường và sàn (hoặc trần) đôi một vuông góc, chính là ba mặt phẳng $(Oxy)$, $(Oyz)$, $(Oxz)$.
• Ba trục toạ độ: ba mép giao (giao của hai tường, giao mỗi tường với sàn) chính là ba trục $Ox$, $Oy$, $Oz$.

Luyện tập 1 (trang 61)

Đề bài: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$. Có thể lập một hệ toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với đỉnh $C$ và các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt cùng hướng với các vectơ $\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{CC’}$ không? Giải thích vì sao.

Lời giải:

Có thể. Ta cần kiểm tra ba vectơ $\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{CC’}$ đôi một vuông góc (vì $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ phải đặt trên ba trục đôi một vuông góc).

Trong hình hộp chữ nhật:

• Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, nên $CB \perp CD$.
• $CC’$ là cạnh bên, vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$, do đó $CC’ \perp CB$ và $CC’ \perp CD$.

Vậy ba đường thẳng $CB$, $CD$, $CC’$ đôi một vuông góc. Ta có thể lập hệ toạ độ $Oxyz$ với gốc $O \equiv C$, ba trục lần lượt chứa các tia $CB$, $CD$, $CC’$; các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ là vectơ đơn vị trên các trục đó, cùng hướng với $\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{CC’}$.

(Lưu ý: $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ chỉ cần cùng hướng với ba vectơ trên, không nhất thiết bằng chúng, vì độ dài cạnh hình hộp có thể khác $1$.)

2. Toạ độ của điểm, toạ độ của vectơ trong không gian

a) Toạ độ của điểm

HĐ2 (trang 61)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho một điểm $M$ không thuộc các mặt phẳng toạ độ. Vẽ hình hộp chữ nhật $OADB.CFME$ có ba đỉnh $A, B, C$ lần lượt thuộc các tia $Ox, Oy, Oz$ (H.2.37).

a) Hai vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$ có bằng nhau hay không?

b) Giải thích vì sao có thể viết $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ với $x, y, z$ là các số thực.

Lời giải:

a) Áp dụng quy tắc hình hộp cho hình hộp chữ nhật $OADB.CFME$ với gốc $O$: ba cạnh xuất phát từ $O$ là $OA$, $OB$, $OC$; đường chéo hình hộp xuất phát từ $O$ là $OM$. Do đó:

$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OM}.$$

Vậy hai vectơ bằng nhau.

b) Vì $A$ thuộc tia $Ox$ nên $\overrightarrow{OA}$ cùng phương với $\vec{i}$. Do đó tồn tại số thực $x$ (chính là độ dài đại số) sao cho:

$$\overrightarrow{OA} = x \vec{i}.$$

Tương tự: $\overrightarrow{OB} = y \vec{j}$ và $\overrightarrow{OC} = z \vec{k}$ với $y, z$ là các số thực.

Kết hợp với câu a:

$$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}.$$

Bộ ba số $(x; y; z)$ này chính là toạ độ của điểm $M$.

Câu hỏi trang 61

Đề bài: Hãy tìm toạ độ của gốc $O$.

Lời giải:

Áp dụng công thức $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ cho $M \equiv O$: khi đó $\overrightarrow{OO} = \vec{0} = 0 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j} + 0 \cdot \vec{k}$, tức $x = y = z = 0$.

Vậy toạ độ của gốc là $O(0; 0; 0)$.

Luyện tập 2 (trang 62)

Đề bài: Tìm toạ độ của điểm $N$ trong Hình 2.39.

Lời giải:

Từ Hình 2.39 (lưới ô vuông cạnh $1$ đơn vị), quan sát vị trí điểm $N$: dựng hình hộp chữ nhật có $N$ là một đỉnh và ba đỉnh khác nằm trên các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$. Đếm số ô trên lưới, ba hình chiếu của $N$ trên các trục lần lượt cho hoành độ $= 2$, tung độ $= 5$, cao độ $= 4$.

Vậy toạ độ của $N$ là:

$$N(2;; 5;; 4).$$

Luyện tập 3 (trang 62)

Đề bài: Trong Ví dụ 3, hãy xác định toạ độ của các điểm $B, D$ và $C’$.

Lời giải:

Nhắc lại Ví dụ 3: Hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $A’ \equiv O$, $D’$ trên tia $Ox$, $B’$ trên tia $Oy$, $A$ trên tia $Oz$; đã tìm được $D'(2; 0; 0)$, $B'(0; 3; 0)$, $A(0; 0; 5)$; $C(2; 3; 5)$.

Vectơ cạnh bên: $\overrightarrow{A’A} = (0; 0; 5)$ (từ $A’$ lên $A$).

Toạ độ $C’$: $C’$ thuộc đáy dưới $A’B’C’D’$ (hình chữ nhật), là đỉnh đối diện $A’$ theo đường chéo mặt đáy. Áp dụng quy tắc hình bình hành:

$$\overrightarrow{A’C’} = \overrightarrow{A’B’} + \overrightarrow{A’D’} \Rightarrow C’ = B’ + D’ – A’ = (0+2; 3+0; 0+0) = (2; 3; 0).$$

Toạ độ $B$: $B$ nằm trên đáy trên $ABCD$, cùng phương thẳng đứng với $B’$: $B = B’ + \overrightarrow{A’A} = (0 + 0; 3 + 0; 0 + 5) = (0; 3; 5).$

Toạ độ $D$: Tương tự, $D = D’ + \overrightarrow{A’A} = (2 + 0; 0 + 0; 0 + 5) = (2; 0; 5).$

Kiểm tra: $C = C’ + \overrightarrow{A’A} = (2; 3; 0) + (0; 0; 5) = (2; 3; 5)$. ✓

Kết luận: $B(0; 3; 5)$; $D(2; 0; 5)$; $C'(2; 3; 0)$.

Vận dụng 1 (trang 62)

Đề bài: Trong tình huống mở đầu, hãy chọn một hệ toạ độ phù hợp và xác định toạ độ của chiếc bóng đèn đối với hệ toạ độ đó.

Lời giải:

Chọn hệ toạ độ:

• Gốc $O$: đặt tại góc phòng phía dưới (nơi hai bức tường và sàn gặp nhau).
• Trục $Ox$: dọc theo mép chân tường thứ nhất, hướng vào phòng.
• Trục $Oy$: dọc theo mép chân tường thứ hai, hướng vào phòng.
• Trục $Oz$: dọc theo mép giao hai tường, hướng lên trên.

Đơn vị: mét.

Xác định toạ độ chiếc bóng đèn:

• Khoảng cách đến tường có mặt phẳng $(Oyz)$: $1$ m ⟹ hoành độ $x = 1$.
• Khoảng cách đến tường có mặt phẳng $(Oxz)$: $1{,}5$ m ⟹ tung độ $y = 1{,}5$.
• Khoảng cách đến sàn (mặt phẳng $(Oxy)$): $2$ m ⟹ cao độ $z = 2$.

Vậy toạ độ chiếc bóng đèn là $(1;; 1{,}5;; 2)$.

(Nếu đổi vai trò hai bức tường, ta sẽ được toạ độ $(1{,}5;; 1;; 2)$.)

b) Toạ độ của vectơ

HĐ3 (trang 62)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{a}$ tuỳ ý (H.2.41). Lấy điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{OM} = \vec{a}$ và giải thích vì sao có bộ ba số $(x; y; z)$ sao cho $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$.

Lời giải:

Vì $M$ là điểm bất kì trong không gian, theo phần trước, tồn tại bộ ba số $(x; y; z)$ duy nhất sao cho:

$$\overrightarrow{OM} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}.$$

Mà $\vec{a} = \overrightarrow{OM}$, do đó:

$$\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}.$$

Bộ ba số $(x; y; z)$ này chính là toạ độ của vectơ $\vec{a}$.

Nhận xét: Toạ độ của vectơ $\vec{a}$ cũng chính là toạ độ của điểm $M$ với $\overrightarrow{OM} = \vec{a}$.

Luyện tập 4 (trang 63)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, hãy xác định toạ độ của vectơ $\vec{i} + 2\vec{j} + 5\vec{k}$.

Lời giải:

Theo định nghĩa, toạ độ của vectơ là bộ ba số $(x; y; z)$ sao cho vectơ đó bằng $x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.

Ở đây $\vec{i} + 2\vec{j} + 5\vec{k} = 1 \cdot \vec{i} + 2 \cdot \vec{j} + 5 \cdot \vec{k}$, nên $x = 1, y = 2, z = 5$.

Vậy toạ độ của vectơ là $(1; 2; 5)$.

HĐ4 (trang 63)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(x; y; z)$ và $N(x’; y’; z’)$.

a) Hãy biểu diễn hai vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ qua các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.

b) Xác định toạ độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$.

Lời giải:

a) Theo định nghĩa toạ độ điểm:

$$\overrightarrow{OM} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k};\quad \overrightarrow{ON} = x’ \vec{i} + y’ \vec{j} + z’ \vec{k}.$$

b) Áp dụng quy tắc trừ hai vectơ:

$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} – \overrightarrow{OM} = (x’ – x)\vec{i} + (y’ – y)\vec{j} + (z’ – z)\vec{k}.$$

Vậy toạ độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$ là:

$$\overrightarrow{MN} = (x’ – x;; y’ – y;; z’ – z).$$

Công thức tổng quát: Với $M(x_M; y_M; z_M)$ và $N(x_N; y_N; z_N)$:

$$\overrightarrow{MN} = (x_N – x_M;; y_N – y_M;; z_N – z_M).$$

Luyện tập 5 (trang 64)

Đề bài: Trong Ví dụ 5, xác định toạ độ của các điểm $D$ và $D’$ sao cho $ABCD.A’B’C’D’$ là hình hộp.

Lời giải:

Nhắc lại Ví dụ 5: Lăng trụ $ABC.A’B’C’$ với $A(1; 0; 2)$, $B(3; 2; 5)$, $C(7; -3; 9)$, $A'(5; 0; 1)$; đã tìm $B'(7; 2; 4)$, $C'(11; -3; 8)$.

Để $ABCD.A’B’C’D’$ là hình hộp, ta cần:

• Đáy dưới $ABCD$ là hình bình hành ⟹ $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, hay $D = C – \overrightarrow{AB}$.
• Đáy trên $A’B’C’D’$ là hình bình hành tương tự ⟹ $D’ = C’ – \overrightarrow{A’B’}$.

Tính $D$:

$$\overrightarrow{AB} = (3 – 1;; 2 – 0;; 5 – 2) = (2; 2; 3).$$

$$D = C – \overrightarrow{AB} = (7 – 2;; -3 – 2;; 9 – 3) = (5;; -5;; 6).$$

Tính $D’$:

Cách 1: Sử dụng đặc điểm hình hộp $\overrightarrow{DD’} = \overrightarrow{AA’}$:

$$\overrightarrow{AA’} = (5 – 1;; 0 – 0;; 1 – 2) = (4; 0; -1).$$

$$D’ = D + \overrightarrow{AA’} = (5 + 4;; -5 + 0;; 6 – 1) = (9;; -5;; 5).$$

Kiểm tra: $\overrightarrow{D’C’} = C’ – D’ = (11 – 9;; -3 – (-5);; 8 – 5) = (2; 2; 3) = \overrightarrow{A’B’}$. ✓

Kết luận: $D(5;; -5;; 6)$; $D'(9;; -5;; 5)$.

Vận dụng 2 (trang 64)

Đề bài: Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là phẳng) với trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (H.2.43). Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là $890$ km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian $Oxyz$ được lấy theo kilômét.

Lời giải:

Bước 1: Tính quãng đường bay.

Máy bay bay với tốc độ $890$ km/h trong $\dfrac{1}{2}$ giờ, nên quãng đường đi được:

$$s = 890 \cdot \dfrac{1}{2} = 445; (\text{km}).$$

Bước 2: Xác định hướng dịch chuyển.

Máy bay bay về phía nam – trùng với hướng dương của trục $Oy$. Do bay ở độ cao không đổi (không thay đổi $z$) và không đổi hướng đông–tây (không thay đổi $x$), nên độ dịch chuyển chỉ có thành phần theo trục $Oy$.

Bước 3: Toạ độ vectơ độ dịch chuyển.

$$\vec{d} = (0;; 445;; 0).$$

Bài tập (trang 64 – 65)

Bài 2.13 (trang 64)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều khác $\vec{0}$ và có giá đôi một vuông góc. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Có thể lập một hệ toạ độ $Oxyz$ có các trục toạ độ lần lượt song song với giá của các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

b) Có thể lập một hệ toạ độ $Oxyz$ có các trục toạ độ lần lượt trùng với giá của các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

c) Có thể lập một hệ toạ độ $Oxyz$ có các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt bằng các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

d) Có thể lập một hệ toạ độ $Oxyz$ có các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt cùng phương với các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.

Lời giải:

Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ khác $\vec{0}$ có giá đôi một vuông góc – hoàn toàn có thể chọn làm cơ sở cho một hệ toạ độ.

a) Đúng. Ta có thể chọn gốc $O$ tuỳ ý và dựng ba trục toạ độ song song với ba giá; các trục cũng đôi một vuông góc.

b) Sai (nói chung). Ba giá tuy đôi một vuông góc nhưng chưa chắc cùng đi qua một điểm (chỉ khi ba giá đồng quy thì ta mới đặt gốc $O$ tại giao điểm và cho ba trục trùng với ba giá). Ví dụ: các giá có thể là ba đường thẳng chéo đôi một vuông góc – trường hợp này không có gốc chung.

c) Sai (nói chung). Muốn $\vec{i} = \vec{a}$ thì $\vec{a}$ phải là vectơ đơn vị (độ dài $1$), nhưng $\vec{a}$ có thể có độ dài bất kì.

d) Đúng. $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ là vectơ đơn vị theo ba trục toạ độ, mà (theo câu a) ba trục có thể chọn song song với ba giá; do đó $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ cùng phương với $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ tương ứng.

Kết luận: Các mệnh đề đúng là a) và d).

Bài 2.14 (trang 64)

Đề bài: Hãy mô tả hệ toạ độ $Oxyz$ trong căn phòng ở Hình 2.44 sao cho gốc $O$ trùng với góc trên của căn phòng, khung tranh nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$ và mặt trần nhà trùng với mặt phẳng $(Oxz)$.

Lời giải:

Bài 2.15 (trang 65)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, xác định toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $A(0; 0; 0)$ và $B(4; 2; -5)$;

b) $A(1; -3; 7)$ và $B(1; -3; 7)$;

c) $A(5; 4; 9)$ và $B(-5; 7; 2)$.

Lời giải:

Áp dụng công thức $\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A;; y_B – y_A;; z_B – z_A)$:

a) $\overrightarrow{AB} = (4 – 0;; 2 – 0;; -5 – 0) = (4;; 2;; -5)$.

b) $\overrightarrow{AB} = (1 – 1;; -3 – (-3);; 7 – 7) = (0;; 0;; 0) = \vec{0}$.

(Đây là trường hợp $A \equiv B$, nên $\overrightarrow{AB}$ là vectơ-không.)

c) $\overrightarrow{AB} = (-5 – 5;; 7 – 4;; 2 – 9) = (-10;; 3;; -7)$.

Bài 2.16 (trang 65)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, xác định toạ độ của điểm $A$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $A$ trùng với gốc toạ độ;

b) $A$ nằm trên tia $Ox$ và $OA = 2$;

c) $A$ nằm trên tia đối của tia $Oy$ và $OA = 3$.

Lời giải:

a) $A \equiv O$, tọa độ $A(0;; 0;; 0)$.

b) $A$ nằm trên tia $Ox$ (tia chứa vectơ đơn vị $\vec{i}$) nên $\overrightarrow{OA} = 2\vec{i} = 2\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}$.

Vậy $A(2;; 0;; 0)$.

c) $A$ nằm trên tia đối của tia $Oy$, tức ngược hướng $\vec{j}$. Vì $OA = 3$ nên $\overrightarrow{OA} = -3\vec{j} = 0\vec{i} + (-3)\vec{j} + 0\vec{k}$.

Vậy $A(0;; -3;; 0)$.

Bài 2.17 (trang 65)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có đỉnh $A$ trùng với gốc $O$ và các đỉnh $D, B, A’$ có toạ độ lần lượt là $(2; 0; 0)$, $(0; 4; 0)$, $(0; 0; 3)$ (H.2.45). Xác định toạ độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

Lời giải:

Từ dữ kiện: $A(0; 0; 0)$, $D(2; 0; 0)$, $B(0; 4; 0)$, $A'(0; 0; 3)$. Ba vectơ cạnh xuất phát từ $A$:

$$\overrightarrow{AD} = (2; 0; 0);\quad \overrightarrow{AB} = (0; 4; 0);\quad \overrightarrow{AA’} = (0; 0; 3).$$

Tìm $C$: Trong đáy dưới $ABCD$ (hình chữ nhật), $C$ là đỉnh đối diện $A$:

$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = (2; 4; 0) \Rightarrow C(2;; 4;; 0).$$

Tìm các đỉnh đáy trên bằng cách cộng $\overrightarrow{AA’} = (0; 0; 3)$ vào toạ độ đỉnh tương ứng của đáy dưới:

• $B’ = B + (0; 0; 3) = (0;; 4;; 3)$.
• $C’ = C + (0; 0; 3) = (2;; 4;; 3)$.
• $D’ = D + (0; 0; 3) = (2;; 0;; 3)$.

Kết luận: $C(2; 4; 0)$; $B'(0; 4; 3)$; $C'(2; 4; 3)$; $D'(2; 0; 3)$.

Bài 2.18 (trang 65)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $OABC.O’A’B’C’$ có $A(1; 1; -1)$, $B(0; 3; 0)$, $C'(2; -3; 6)$.

a) Xác định toạ độ của điểm $C$.

b) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải:

a) Tìm $C$.

Vì $OABC$ là đáy dưới của hình hộp (hình bình hành theo thứ tự đỉnh $O, A, B, C$), áp dụng quy tắc hình bình hành với đường chéo $OB$:

$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} \Rightarrow \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA}.$$

Tính:

$$\overrightarrow{OA} = (1; 1; -1);\quad \overrightarrow{OB} = (0; 3; 0).$$

$$\overrightarrow{OC} = (0 – 1;; 3 – 1;; 0 – (-1)) = (-1;; 2;; 1).$$

Vậy $C(-1;; 2;; 1)$.

b) Tìm $O’, A’, B’$.

Cạnh bên của hình hộp: $\overrightarrow{OO’} = \overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{BB’} = \overrightarrow{CC’}$.

Tính $\overrightarrow{CC’} = C’ – C = (2 – (-1);; -3 – 2;; 6 – 1) = (3;; -5;; 5).$

Vậy vectơ cạnh bên $\vec{v} = (3;; -5;; 5)$.

Cộng vectơ này vào toạ độ mỗi đỉnh đáy dưới:

• $O’ = O + \vec{v} = (0 + 3;; 0 – 5;; 0 + 5) = (3;; -5;; 5)$.
• $A’ = A + \vec{v} = (1 + 3;; 1 – 5;; -1 + 5) = (4;; -4;; 4)$.
• $B’ = B + \vec{v} = (0 + 3;; 3 – 5;; 0 + 5) = (3;; -2;; 5)$.
• $C’ = C + \vec{v} = (2;; -3;; 6)$ ✓ (khớp đề bài).

Kết luận: $C(-1; 2; 1)$; $O'(3; -5; 5)$; $A'(4; -4; 4)$; $B'(3; -2; 5)$.

Bài 2.19 (trang 65)

Đề bài: Trong Vận dụng 2, hãy giải thích vì sao tại mỗi thời điểm chiếc máy bay di chuyển trên đường băng thì toạ độ của nó luôn có dạng $(x; y; 0)$ với $x, y$ là hai số thực nào đó.

Lời giải:

Theo cách chọn hệ toạ độ ở Vận dụng 2:

• Mặt phẳng $(Oxy)$ được chọn trùng với mặt đất.
• Trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, tức là chiều cao so với mặt đất.

Khi máy bay còn di chuyển trên đường băng (chưa cất cánh), máy bay vẫn nằm trên mặt đất, tức nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$. Do đó cao độ $z = 0$ tại mọi thời điểm.

Vậy toạ độ của máy bay có dạng $(x;; y;; 0)$ với $x, y$ là hai số thực – tuỳ theo vị trí máy bay trên đường băng.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh