Thực hành

Trong phần thực hành này, ta sử dụng cửa sổ CAS của GeoGebra để tính đạo hàm, tìm cực trị, GTLN/GTNN, đường tiệm cận và cửa sổ Graphics 2 (View → Graphics 2) để vẽ đồ thị.

Các lệnh tiếng Anh (mặc định): Derivative, Extremum, Max, Min, Asymptote.

Các lệnh tiếng Việt (khi đổi ngôn ngữ): DaoHam, CucTri, GTLN, GTNN, TiemCan.

Thực hành 1 (trang 91)

Đề bài: Cho các hàm số đa thức sau:

$(1)\ y = 3x^2 + \sqrt{3}x + 1$; $(2)\ y = x^3 – 6x^2 + 9$; $(3)\ y = x^4 – 4x^2 + 3$.

a) Tìm đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của các hàm số trên.

b) Tìm tất cả các điểm cực trị của các hàm số trên.

c) Vẽ đồ thị của các hàm số trên.

Lời giải:

Với mỗi hàm số, ta nhập lần lượt các lệnh trong cửa sổ CAS. Kết quả GeoGebra trả về được đối chiếu với tính toán thủ công.

Hàm số (1): $y = 3x^2 + \sqrt{3}x + 1$

a) Đạo hàm.

Derivative(3x² + sqrt(3)·x + 1)         → 6x + √3
Derivative(3x² + sqrt(3)·x + 1, 2)      → 6

• Đạo hàm cấp một: $y’ = 6x + \sqrt{3}$.
• Đạo hàm cấp hai: $y” = 6$.

b) Cực trị.

Extremum(3x² + sqrt(3)·x + 1)   → (-√3/6, 3/4)

Kiểm tra: $y’ = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{\sqrt{3}}{6}$. Do $y” = 6 > 0$ nên đây là điểm cực tiểu:

$$\text{Cực tiểu: }\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{6}; \dfrac{3}{4}\right).$$

Hàm số không có cực đại.

c) Vẽ đồ thị. Chọn View → Graphics 2, nhập:

f(x) = 3x² + sqrt(3)·x + 1

Đồ thị là parabol quay bề lõm lên trên, có đỉnh trùng với điểm cực tiểu.

Hàm số (2): $y = x^3 – 6x^2 + 9$

a) Đạo hàm.

Derivative(x³ - 6x² + 9)      → 3x² - 12x
Derivative(x³ - 6x² + 9, 2)   → 6x - 12

• $y’ = 3x^2 – 12x = 3x(x – 4)$.
• $y” = 6x – 12$.

b) Cực trị.

Extremum(x³ - 6x² + 9)   → {(0, 9), (4, -23)}

Kiểm tra: $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 4$.

• $y”(0) = -12 < 0 \Rightarrow$ cực đại tại $(0; 9)$.
• $y”(4) = 12 > 0 \Rightarrow$ cực tiểu tại $(4; -23)$.

c) Vẽ đồ thị. Nhập:

f(x) = x³ - 6x² + 9

Đồ thị là đường cong bậc ba dạng chữ “N” với hai điểm cực trị $(0; 9)$ và $(4; -23)$.

Hàm số (3): $y = x^4 – 4x^2 + 3$

a) Đạo hàm.

Derivative(x^4 - 4x² + 3)      → 4x³ - 8x
Derivative(x^4 - 4x² + 3, 2)   → 12x² - 8

• $y’ = 4x^3 – 8x = 4x(x^2 – 2)$.
• $y” = 12x^2 – 8$.

b) Cực trị.

Extremum(x^4 - 4x² + 3)   → {(-√2, -1), (0, 3), (√2, -1)}

Kiểm tra: $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm\sqrt{2}$.

• $y”(0) = -8 < 0 \Rightarrow$ cực đại tại $(0; 3)$.
• $y”(\pm\sqrt{2}) = 16 > 0 \Rightarrow$ cực tiểu tại $(\pm\sqrt{2}; -1)$.

c) Vẽ đồ thị. Nhập:

f(x) = x^4 - 4x² + 3

Đồ thị hàm bậc bốn trùng phương dạng “W” đối xứng qua trục $Oy$, có một cực đại giữa và hai cực tiểu ở hai bên.

Thực hành 2 (trang 91)

Đề bài: Cho các hàm số phân thức hữu tỉ sau:

$(1)\ y = \dfrac{x}{x + \sqrt{2}}$; $(2)\ y = \dfrac{2x – 1}{x + 1}$; $(3)\ y = \dfrac{x^2 – 2x – 8}{x – 1}$; $(4)\ y = 5x + 1 + \dfrac{3}{2x – 3}$.

a) Tìm đạo hàm cấp một của các hàm số trên.

b) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số trên.

c) Vẽ đồ thị của các hàm số trên.

Lời giải:

Hàm số (1): $y = \dfrac{x}{x + \sqrt{2}}$

a) Đạo hàm.

Derivative(x/(x + sqrt(2)))   → √2/(x + √2)²

$y’ = \dfrac{\sqrt{2}}{(x + \sqrt{2})^2} > 0$ với mọi $x \ne -\sqrt{2}$ (hàm số đồng biến trên từng khoảng của TXĐ).

b) Tiệm cận.

Asymptote(x/(x + sqrt(2)))   → {y = 1, x = -√2}

• Tiệm cận đứng: $x = -\sqrt{2}$.
• Tiệm cận ngang: $y = 1$.

c) Vẽ đồ thị. Vẽ trước hai tiệm cận rồi nhập hàm số. Đồ thị là hàm phân thức dạng “hypecbol” nhận $(-\sqrt{2}; 1)$ làm tâm đối xứng.

Hàm số (2): $y = \dfrac{2x – 1}{x + 1}$

a) Đạo hàm.

Derivative((2x - 1)/(x + 1))   → 3/(x + 1)²

$y’ = \dfrac{3}{(x + 1)^2} > 0$ với mọi $x \ne -1$.

b) Tiệm cận.

Asymptote((2x - 1)/(x + 1))   → {y = 2, x = -1}

• Tiệm cận đứng: $x = -1$.
• Tiệm cận ngang: $y = 2$.

c) Vẽ đồ thị. Đồ thị nhận điểm $(-1; 2)$ làm tâm đối xứng.

Hàm số (3): $y = \dfrac{x^2 – 2x – 8}{x – 1}$

Chia đa thức: $x^2 – 2x – 8 = (x – 1)^2 – 9$, nên $y = x – 1 – \dfrac{9}{x – 1}$.

a) Đạo hàm.

Derivative((x² - 2x - 8)/(x - 1))   → 1 + 9/(x - 1)²

$y’ = 1 + \dfrac{9}{(x – 1)^2} > 0$ với mọi $x \ne 1$ (hàm số đồng biến trên từng khoảng của TXĐ, không có cực trị).

b) Tiệm cận.

Asymptote((x² - 2x - 8)/(x - 1))   → {y = x - 1, x = 1}

• Tiệm cận đứng: $x = 1$.
• Tiệm cận xiên: $y = x – 1$.

c) Vẽ đồ thị. Vẽ hai tiệm cận (đứng và xiên) rồi nhập hàm số. Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận $(1; 0)$ làm tâm đối xứng.

Hàm số (4): $y = 5x + 1 + \dfrac{3}{2x – 3}$

a) Đạo hàm.

Derivative(5x + 1 + 3/(2x - 3))   → 5 - 6/(2x - 3)²

$y’ = 5 – \dfrac{6}{(2x – 3)^2}$.

$y’ = 0 \Leftrightarrow (2x – 3)^2 = \dfrac{6}{5} \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{\sqrt{30}}{10}$.

Hàm số có hai điểm cực trị:

• Cực đại tại $x = \dfrac{3}{2} – \dfrac{\sqrt{30}}{10}$, $y = \dfrac{17}{2} – \sqrt{30}$.
• Cực tiểu tại $x = \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{30}}{10}$, $y = \dfrac{17}{2} + \sqrt{30}$.

b) Tiệm cận.

Asymptote(5x + 1 + 3/(2x - 3))   → {y = 5x + 1, x = 3/2}

• Tiệm cận đứng: $x = \dfrac{3}{2}$.
• Tiệm cận xiên: $y = 5x + 1$.

c) Vẽ đồ thị. Vẽ hai tiệm cận rồi nhập hàm số.

Thực hành 3 (trang 91)

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35$ trên đoạn $[-4; 4]$;

b) $y = -3x^4 + 4x^2 + \sqrt{2}$ trên đoạn $[-1; 1]$;

c) $y = x + \dfrac{\sqrt{5}}{x}$ trên đoạn $[1; 10]$;

d) $y = \sin 2x – x$ trên đoạn $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Lời giải:

Ta sử dụng lệnh Max và Min với ba tham số: hàm số, giá trị đầu $a$, giá trị cuối $b$.

a) $y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35$ trên $[-4; 4]$

Max(x³ - 3x² - 9x + 35, -4, 4)   → (-1, 40)
Min(x³ - 3x² - 9x + 35, -4, 4)   → (-4, -41)

Kiểm tra bằng tay: $y’ = 3x^2 – 6x – 9 = 3(x – 3)(x + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 3$ hoặc $x = -1$ (đều thuộc $[-4; 4]$).

Giá trị tại các điểm cần xét:

Vậy: $\max\limits_{[-4; 4]} y = 40$ (tại $x = -1$); $\min\limits_{[-4; 4]} y = -41$ (tại $x = -4$).

b) $y = -3x^4 + 4x^2 + \sqrt{2}$ trên $[-1; 1]$

Max(-3x^4 + 4x² + sqrt(2), -1, 1)   → (√6/3, 4/3 + √2)
Min(-3x^4 + 4x² + sqrt(2), -1, 1)   → (0, √2)

Kiểm tra bằng tay: $y’ = -12x^3 + 8x = -4x(3x^2 – 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ (đều thuộc $[-1; 1]$).

Giá trị tại các điểm cần xét:

Vậy: $\max\limits_{[-1; 1]} y = \dfrac{4}{3} + \sqrt{2} \approx 2{,}748$ (tại $x = \pm\dfrac{\sqrt{6}}{3}$); $\min\limits_{[-1; 1]} y = \sqrt{2}$ (tại $x = 0$).

c) $y = x + \dfrac{\sqrt{5}}{x}$ trên $[1; 10]$

Max(x + sqrt(5)/x, 1, 10)   → (10, 10 + √5/10)
Min(x + sqrt(5)/x, 1, 10)   → (⁴√5, 2·⁴√5)

Kiểm tra bằng tay: $y’ = 1 – \dfrac{\sqrt{5}}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^2 = \sqrt{5} \Leftrightarrow x = \sqrt[4]{5}$ (lấy nghiệm dương thuộc $[1; 10]$).

Giá trị:

• $y(1) = 1 + \sqrt{5} \approx 3{,}236$.
• $y(\sqrt[4]{5}) = \sqrt[4]{5} + \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5} \approx 2{,}991$.
• $y(10) = 10 + \dfrac{\sqrt{5}}{10} \approx 10{,}224$.

Vậy: $\max\limits_{[1; 10]} y = 10 + \dfrac{\sqrt{5}}{10}$ (tại $x = 10$); $\min\limits_{[1; 10]} y = 2\sqrt[4]{5}$ (tại $x = \sqrt[4]{5}$).

d) $y = \sin 2x – x$ trên $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$

Max(sin(2x) - x, -pi/2, pi/2)   → (-π/2, π/2)
Min(sin(2x) - x, -pi/2, pi/2)   → (π/2, -π/2)

Kiểm tra bằng tay: $y’ = 2\cos 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$.

Trong $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$: $x = \pm\dfrac{\pi}{6}$.

Giá trị tại các điểm cần xét:

Vậy: $\max y = \dfrac{\pi}{2}$ (tại $x = -\dfrac{\pi}{2}$); $\min y = -\dfrac{\pi}{2}$ (tại $x = \dfrac{\pi}{2}$).

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh