A – Trắc nghiệm (trang 61)

Bài 5.31 (trang 61)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):\ x – 2y – 3z + 1 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có toạ độ là

A. $(1;\ 2;\ 3)$.
B. $(1;\ -2;\ 3)$.
C. $(1;\ 2;\ -3)$.
D. $(1;\ -2;\ -3)$.

Lời giải: Phương trình dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A;\ B;\ C)$. Với $(P):\ x – 2y – 3z + 1 = 0$: $\vec{n} = (1;\ -2;\ -3)$.

Chọn D.

Bài 5.32 (trang 61)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $I(1;\ -1;\ 2)$ và nhận vectơ $\vec{n} = (2;\ 1;\ -1)$ làm một vectơ pháp tuyến là

A. $x – y + 2z + 1 = 0$.
B. $x – y + 2z – 6 = 0$.
C. $2x + y – z – 1 = 0$.
D. $2x + y – z + 1 = 0$.

Lời giải: Phương trình mặt phẳng qua $I(1;\ -1;\ 2)$ với vtpt $(2;\ 1;\ -1)$:

$$2(x – 1) + 1(y + 1) – 1(z – 2) = 0 \Leftrightarrow 2x + y – z + 1 = 0.$$

Chọn D.

Bài 5.33 (trang 61)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\ \dfrac{x – 1}{2} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z – 3}{-2}$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ có toạ độ là

A. $(1;\ -2;\ 3)$.
B. $(2;\ 1;\ -2)$.
C. $(2;\ 1;\ 2)$.
D. $(1;\ 2;\ 3)$.

Lời giải: Trong phương trình chính tắc $\dfrac{x – x_0}{a} = \dfrac{y – y_0}{b} = \dfrac{z – z_0}{c}$, vectơ chỉ phương là $(a;\ b;\ c) = (2;\ 1;\ -2)$.

Chọn B.

Bài 5.34 (trang 61)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = 3 – t \end{cases}$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ có toạ độ là

A. $(1;\ -2;\ 3)$.
B. $(2;\ 0;\ 0)$.
C. $(2;\ 1;\ -1)$.
D. $(2;\ 1;\ 1)$.

Lời giải: Trong phương trình tham số, các hệ số của $t$ tạo thành vectơ chỉ phương: $\vec{u} = (2;\ 1;\ -1)$.

Chọn C.

Bài 5.35 (trang 61)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng $d$ đi qua $I(2;\ -1;\ 1)$ và nhận vectơ $\vec{u} = (1;\ 2;\ -3)$ làm một vectơ chỉ phương là

A. $\dfrac{x – 1}{2} = \dfrac{y – 2}{-1} = \dfrac{z + 3}{1}$.

B. $\dfrac{x – 2}{1} = \dfrac{y – 1}{2} = \dfrac{z – 1}{-3}$.

C. $\dfrac{x – 2}{1} = \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{z – 1}{-3}$.

D. $\dfrac{x – 1}{2} = \dfrac{y – 2}{1} = \dfrac{z + 3}{1}$.

Lời giải: Phương trình chính tắc qua $I(2;\ -1;\ 1)$ với vtcp $(1;\ 2;\ -3)$:

$$\dfrac{x – 2}{1} = \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{z – 1}{-3}.$$

Chọn C.

Bài 5.36 (trang 61)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;\ 0;\ -1),\ B(2;\ 1;\ 1)$. Phương trình đường thẳng $AB$ là

A. $\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$

B. $\begin{cases} x = -1 + t \\ y = t \\ z = -1 + 2t \end{cases}$

C. $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$

D. $\begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = t \\ z = -1 + 2t \end{cases}$

Lời giải: $\overrightarrow{AB} = (3;\ 1;\ 2)$. Phương trình đường thẳng $AB$ qua $A(-1;\ 0;\ -1)$ với vtcp $(3;\ 1;\ 2)$:

$$\begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = t \\ z = -1 + 2t \end{cases}$$

Chọn D.

Bài 5.37 (trang 61)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng $d$ đi qua $I(2;\ 1;\ -3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):\ x – 2y + z – 3 = 0$ là

A. $\dfrac{x – 2}{1} = \dfrac{y – 1}{-2} = \dfrac{z + 3}{1}$.

B. $\dfrac{x – 2}{1} = \dfrac{y – 1}{2} = \dfrac{z – 3}{1}$.

C. $\dfrac{x – 2}{1} = \dfrac{y – 1}{-2} = \dfrac{z – 3}{1}$.

D. $\dfrac{x – 2}{1} = \dfrac{y – 1}{2} = \dfrac{z + 3}{1}$.

Lời giải: $d \perp (P)$ nên $d$ nhận vtpt của $(P)$ làm vtcp: $\vec{u} = (1;\ -2;\ 1)$.

Phương trình chính tắc qua $I(2;\ 1;\ -3)$:

$$\dfrac{x – 2}{1} = \dfrac{y – 1}{-2} = \dfrac{z + 3}{1}.$$

Chọn A.

Bài 5.38 (trang 62)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):\ (x + 1)^2 + y^2 + (z – 3)^2 = 4$. Toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $(S)$ lần lượt là

A. $I(1;\ 0;\ 3),\ R = 4$.
B. $I(1;\ 0;\ 3),\ R = 2$.
C. $I(-1;\ 0;\ 3),\ R = 2$.
D. $I(-1;\ 0;\ 3),\ R = 4$.

Lời giải: So sánh với dạng $(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$:

$a = -1,\ b = 0,\ c = 3,\ R^2 = 4 \Rightarrow R = 2$.

Vậy $I(-1;\ 0;\ 3),\ R = 2$. Chọn C.

Bài 5.39 (trang 62)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):\ x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0$. Toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ lần lượt là

A. $I(1;\ -2;\ -1),\ R = 3$.
B. $I(1;\ 2;\ 1),\ R = 9$.
C. $I(1;\ 2;\ 1),\ R = 3$.
D. $I(1;\ -2;\ -1),\ R = 9$.

Lời giải: So sánh với dạng $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$:

$-2a = -2 \Rightarrow a = 1;\ -2b = 4 \Rightarrow b = -2;\ -2c = 2 \Rightarrow c = -1;\ d = -3$.

Bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 – d} = \sqrt{1 + 4 + 1 + 3} = \sqrt{9} = 3$.

Vậy $I(1;\ -2;\ -1),\ R = 3$. Chọn A.

B – Tự luận (trang 62)

Bài 5.40 (trang 62)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;\ 0;\ -1),\ B(0;\ 1;\ 2),\ C(-1;\ -2;\ 3)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$.

b) Viết phương trình đường thẳng $AC$.

c) Viết phương trình mặt cầu đường kính $AC$.

d) Viết phương trình mặt cầu có tâm $A$ và đi qua $B$.

Lời giải:

a) Phương trình mặt phẳng $(ABC)$.

Cặp vectơ chỉ phương:

$$\overrightarrow{AB} = (-1;\ 1;\ 3),\quad \overrightarrow{AC} = (-2;\ -2;\ 4).$$

Vectơ pháp tuyến $(ABC)$:

$$\vec{n} = [\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}] = (1 \cdot 4 – 3 \cdot (-2);\ 3 \cdot (-2) – (-1) \cdot 4;\ (-1)(-2) – 1 \cdot (-2)) = (10;\ -2;\ 4).$$

Rút gọn (chia $2$): $\vec{n} = (5;\ -1;\ 2)$.

Phương trình qua $A(1;\ 0;\ -1)$:

$$5(x – 1) – (y – 0) + 2(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 5x – y + 2z – 3 = 0.$$

b) Phương trình đường thẳng $AC$.

$\overrightarrow{AC} = (-2;\ -2;\ 4)$, chọn vtcp đơn giản $\vec{u} = (1;\ 1;\ -2)$ (chia cho $-2$).

• Phương trình tham số qua $A(1;\ 0;\ -1)$:

$$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = -1 – 2t \end{cases}$$

• Phương trình chính tắc:

$$\dfrac{x – 1}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z + 1}{-2}.$$

c) Mặt cầu đường kính $AC$.

Tâm là trung điểm $J$ của $AC$:

$$J\left(\dfrac{1 + (-1)}{2};\ \dfrac{0 + (-2)}{2};\ \dfrac{-1 + 3}{2}\right) = (0;\ -1;\ 1).$$

Bán kính:

$$R = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{\sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 4^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{24}}{2} = \sqrt{6}.$$

$$\Rightarrow R^2 = 6.$$

Phương trình: $x^2 + (y + 1)^2 + (z – 1)^2 = 6$.

d) Mặt cầu tâm $A$ đi qua $B$.

Bán kính:

$$R = AB = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{11}.$$

$$\Rightarrow R^2 = 11.$$

Phương trình qua tâm $A(1;\ 0;\ -1)$:

$$(x – 1)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 11.$$

Bài 5.41 (trang 62)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -2 + t \\ z = 4 – 2t \end{cases}$

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d$ và gốc toạ độ $O$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định cặp vectơ chỉ phương.

• Vtcp $d$: $\vec{u} = (1;\ 1;\ -2)$.
• Điểm $M(1;\ -2;\ 4) \in d$; $\overrightarrow{OM} = (1;\ -2;\ 4)$.

Bước 2: Vectơ pháp tuyến $(P)$.

$$\vec{n} = [\vec{u},\ \overrightarrow{OM}] = (1 \cdot 4 – (-2)(-2);\ (-2) \cdot 1 – 1 \cdot 4;\ 1 \cdot (-2) – 1 \cdot 1).$$

$$= (4 – 4;\ -2 – 4;\ -2 – 1) = (0;\ -6;\ -3).$$

Rút gọn (chia $-3$): $\vec{n} = (0;\ 2;\ 1)$.

Bước 3: Phương trình $(P)$ qua $O(0;\ 0;\ 0)$:

$$0 \cdot x + 2y + z = 0 \Leftrightarrow 2y + z = 0.$$

Bài 5.42 (trang 62)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):\ x – 2y + 2z – 1 = 0$ và hai điểm $A(1;\ -1;\ 2),\ B(-1;\ 1;\ 0)$.

a) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P)$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A$ và song song với mặt phẳng $(P)$.

c) Viết phương trình mặt phẳng $(R)$ chứa $A,\ B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Lời giải:

a) Khoảng cách $d(A,\ (P))$.

$$d(A,\ (P)) = \dfrac{|1 – 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 – 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \dfrac{|1 + 2 + 4 – 1|}{\sqrt{9}} = \dfrac{6}{3} = 2.$$

b) Mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ song song $(P)$.

$(Q) \parallel (P)$ nên $(Q)$ nhận vtpt $(1;\ -2;\ 2)$ làm vtpt. Phương trình qua $A(1;\ -1;\ 2)$:

$$(x – 1) – 2(y + 1) + 2(z – 2) = 0 \Leftrightarrow x – 2y + 2z – 7 = 0.$$

c) Mặt phẳng $(R)$ chứa $A,\ B$ và vuông góc $(P)$.

Cặp vtcp của $(R)$:

• $\overrightarrow{AB} = (-2;\ 2;\ -2)$.
• Vtpt $(P)$: $\vec{n_P} = (1;\ -2;\ 2)$ (vì $(R) \perp (P)$ nên $\vec{n_P}$ song song với $(R)$).

Vtpt $(R)$:

$$\vec{n_R} = [\overrightarrow{AB},\ \vec{n_P}] = (2 \cdot 2 – (-2)(-2);\ (-2) \cdot 1 – (-2) \cdot 2;\ (-2)(-2) – 2 \cdot 1) = (0;\ 2;\ 2).$$

Rút gọn (chia $2$): $\vec{n_R} = (0;\ 1;\ 1)$.

Phương trình $(R)$ qua $A(1;\ -1;\ 2)$:

$$0(x – 1) + (y + 1) + (z – 2) = 0 \Leftrightarrow y + z – 1 = 0.$$

Kiểm tra: $B(-1;\ 1;\ 0)$: $1 + 0 – 1 = 0$ ✓.

Bài 5.43 (trang 62)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;\ 0;\ 2)$ và hai đường thẳng $d:\ \dfrac{x}{1} = \dfrac{y – 1}{2} = \dfrac{z}{2}$, $d’:\ \dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y + 2}{2} = \dfrac{z – 3}{-1}$.

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d$ và $d’$.

b) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ và song song với đường thẳng $d$.

c) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $A$ và $d$.

d) Tìm giao điểm của đường thẳng $d$ với mặt phẳng $(Oxz)$.

Lời giải:

a) Vị trí tương đối $d,\ d’$.

• $d$ qua $M(0;\ 1;\ 0)$, vtcp $\vec{u} = (1;\ 2;\ 2)$.
• $d’$ qua $N(-1;\ -2;\ 3)$, vtcp $\vec{v} = (2;\ 2;\ -1)$.

Ba tỉ số $\dfrac{1}{2},\ \dfrac{2}{2},\ \dfrac{2}{-1}$ khác nhau → không cùng phương.

$\overrightarrow{MN} = (-1;\ -3;\ 3)$;

$$[\vec{u},\ \vec{v}] = (2 \cdot (-1) – 2 \cdot 2;\ 2 \cdot 2 – 1 \cdot (-1);\ 1 \cdot 2 – 2 \cdot 2) = (-6;\ 5;\ -2).$$

$$\overrightarrow{MN} \cdot [\vec{u},\ \vec{v}] = (-1)(-6) + (-3) \cdot 5 + 3 \cdot (-2) = 6 – 15 – 6 = -15 \neq 0.$$

Kết luận: $d$ và $d’$ chéo nhau.

b) Đường thẳng $\Delta$ qua $A$ song song $d$.

$\Delta$ nhận vtcp của $d$: $\vec{u} = (1;\ 2;\ 2)$. Phương trình tham số qua $A(1;\ 0;\ 2)$:

$$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = 2 + 2t \end{cases}$$

c) Mặt phẳng $(P)$ chứa $A$ và $d$.

Cặp vtcp: $\vec{u} = (1;\ 2;\ 2)$ và $\overrightarrow{AM} = (0 – 1;\ 1 – 0;\ 0 – 2) = (-1;\ 1;\ -2)$.

Vtpt $(P)$:

$$\vec{n} = [\vec{u},\ \overrightarrow{AM}] = (2 \cdot (-2) – 2 \cdot 1;\ 2 \cdot (-1) – 1 \cdot (-2);\ 1 \cdot 1 – 2 \cdot (-1)) = (-6;\ 0;\ 3).$$

Rút gọn (chia $-3$): $\vec{n} = (2;\ 0;\ -1)$.

Phương trình qua $A(1;\ 0;\ 2)$:

$$2(x – 1) + 0 \cdot y – (z – 2) = 0 \Leftrightarrow 2x – z = 0.$$

Kiểm tra: $A(1;\ 0;\ 2)$: $2 – 2 = 0$ ✓; $M(0;\ 1;\ 0)$: $0 – 0 = 0$ ✓.

d) Giao điểm $d \cap (Oxz)$.

Viết $d$ ở dạng tham số (từ chính tắc $\dfrac{x}{1} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z}{2} = t$):

$$\begin{cases} x = t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2t \end{cases}$$

Mặt phẳng $(Oxz)$: $y = 0 \Rightarrow 1 + 2t = 0 \Rightarrow t = -\dfrac{1}{2}$.

Thay: $x = -\dfrac{1}{2},\ y = 0,\ z = -1$.

Giao điểm: $\left(-\dfrac{1}{2};\ 0;\ -1\right)$.

Bài 5.44 (trang 62)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):\ x – 2y – 2z – 3 = 0$ và đường thẳng $d:\ \dfrac{x – 1}{2} = \dfrac{y + 1}{1} = \dfrac{z}{-1}$. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định cặp vectơ chỉ phương của $(Q)$.

• Vtcp $d$: $\vec{u} = (2;\ 1;\ -1)$ (nằm trong $(Q)$).
• Vtpt $(P)$: $\vec{n_P} = (1;\ -2;\ -2)$ (vì $(Q) \perp (P)$ nên $\vec{n_P}$ song song với $(Q)$).

Bước 2: Vectơ pháp tuyến $(Q)$.

$$\vec{n_Q} = [\vec{u},\ \vec{n_P}] = (1 \cdot (-2) – (-1)(-2);\ (-1) \cdot 1 – 2 \cdot (-2);\ 2 \cdot (-2) – 1 \cdot 1).$$

$$= (-2 – 2;\ -1 + 4;\ -4 – 1) = (-4;\ 3;\ -5).$$

Chọn $\vec{n_Q} = (4;\ -3;\ 5)$.

Bước 3: Phương trình $(Q)$ qua $M(1;\ -1;\ 0) \in d$:

$$4(x – 1) – 3(y + 1) + 5(z – 0) = 0 \Leftrightarrow 4x – 3y + 5z – 7 = 0.$$

Kiểm tra: $M(1;\ -1;\ 0)$: $4 + 3 + 0 – 7 = 0$ ✓.

Bài 5.45 (trang 63)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng:

$$d:\ \dfrac{x + 1}{1} = \dfrac{y – 1}{2} = \dfrac{z}{-1}\ \text{và}\ d’:\ \dfrac{x – 1}{1} = \dfrac{y – 2}{1} = \dfrac{z + 1}{2}.$$

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d$ và song song với đường thẳng $d’$.

Lời giải:

Bước 1: Cặp vectơ chỉ phương của $(P)$.

Vì $(P)$ chứa $d$ và song song $d’$ nên vtcp của $d$ và $d’$ đều song song với $(P)$:

$$\vec{u_1} = (1;\ 2;\ -1)\ \text{(vtcp $d$)},\quad \vec{u_2} = (1;\ 1;\ 2)\ \text{(vtcp $d’$)}.$$

Bước 2: Vectơ pháp tuyến $(P)$.

$$\vec{n} = [\vec{u_1},\ \vec{u_2}] = (2 \cdot 2 – (-1) \cdot 1;\ (-1) \cdot 1 – 1 \cdot 2;\ 1 \cdot 1 – 2 \cdot 1) = (5;\ -3;\ -1).$$

Bước 3: Phương trình $(P)$ qua $M(-1;\ 1;\ 0) \in d$:

$$5(x + 1) – 3(y – 1) – (z – 0) = 0 \Leftrightarrow 5x – 3y – z + 8 = 0.$$

Kiểm tra $d’ \not\subset (P)$: Thay $N(1;\ 2;\ -1) \in d’$ vào vế trái: $5 – 6 + 1 + 8 = 8 \neq 0$ ✓ (nên $d’$ không nằm trong $(P)$, tức thật sự song song).

Bài 5.46 (trang 63)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):\ x – y – z – 1 = 0$, $(Q):\ 2x + y – z – 2 = 0$ và điểm $A(-1;\ 2;\ 0)$. Viết phương trình mặt phẳng $(R)$ đi qua điểm $A$ đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Lời giải:

$(R) \perp (P)$ và $(R) \perp (Q)$ nên vectơ pháp tuyến của $(P)$ và $(Q)$ đều song song với $(R)$ – chúng là cặp vectơ chỉ phương của $(R)$:

$$\vec{n_P} = (1;\ -1;\ -1),\quad \vec{n_Q} = (2;\ 1;\ -1).$$

Vectơ pháp tuyến $(R)$:

$$\vec{n_R} = [\vec{n_P},\ \vec{n_Q}] = ((-1)(-1) – (-1) \cdot 1;\ (-1) \cdot 2 – 1 \cdot (-1);\ 1 \cdot 1 – (-1) \cdot 2) = (2;\ -1;\ 3).$$

Phương trình $(R)$ qua $A(-1;\ 2;\ 0)$:

$$2(x + 1) – (y – 2) + 3z = 0 \Leftrightarrow 2x – y + 3z + 4 = 0.$$

Bài 5.47 (trang 63)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\ \dfrac{x + 2}{1} = \dfrac{y + 3}{2} = \dfrac{z – 3}{-2}$ và $d’:\ \begin{cases} x = 1 – t \\ y = -2 + t \\ z = 2t \end{cases}$.

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $d$ và $d’$.

b) Tính góc giữa $d$ và $d’$.

Lời giải:

• $d$ đi qua $A(-2;\ -3;\ 3)$, vtcp $\vec{u} = (1;\ 2;\ -2)$.
• $d’$ đi qua $B(1;\ -2;\ 0)$, vtcp $\vec{v} = (-1;\ 1;\ 2)$.

a) Vị trí tương đối.

Ba tỉ số $\dfrac{1}{-1},\ \dfrac{2}{1},\ \dfrac{-2}{2}$ khác nhau → $\vec{u},\ \vec{v}$ không cùng phương.

$\overrightarrow{AB} = (3;\ 1;\ -3)$;

$$[\vec{u},\ \vec{v}] = (2 \cdot 2 – (-2) \cdot 1;\ (-2)(-1) – 1 \cdot 2;\ 1 \cdot 1 – 2 \cdot (-1)) = (6;\ 0;\ 3).$$

$$\overrightarrow{AB} \cdot [\vec{u},\ \vec{v}] = 3 \cdot 6 + 1 \cdot 0 + (-3) \cdot 3 = 9 \neq 0.$$

Vậy $d$ và $d’$ chéo nhau.

b) Góc giữa $d$ và $d’$.

$$\cos(d,\ d’) = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \dfrac{|1 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 2|}{\sqrt{1 + 4 + 4} \cdot \sqrt{1 + 1 + 4}} = \dfrac{|-3|}{3 \cdot \sqrt{6}} = \dfrac{1}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}.$$

$$\Rightarrow (d,\ d’) = \arccos \dfrac{\sqrt{6}}{6} \approx 65{,}9^\circ.$$

Bài 5.48 (trang 63)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, tính góc tạo bởi đường thẳng $d:\ \dfrac{x + 3}{2} = \dfrac{y – 2}{-2} = \dfrac{z + 1}{1}$ và mặt phẳng $(P):\ x + y – 2z + 3 = 0$.

Lời giải:

Vtcp $d$: $\vec{u} = (2;\ -2;\ 1)$. Vtpt $(P)$: $\vec{n} = (1;\ 1;\ -2)$.

$$\sin(d,\ (P)) = \dfrac{|2 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-2)|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \cdot \sqrt{1 + 1 + 4}} = \dfrac{|-2|}{3 \cdot \sqrt{6}} = \dfrac{2}{3\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{9}.$$

$$\Rightarrow (d,\ (P)) = \arcsin \dfrac{\sqrt{6}}{9} \approx 15{,}8^\circ.$$

Bài 5.49 (trang 63)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa mặt phẳng $(P):\ x + y + z – 1 = 0$ và mặt phẳng $(Oxy)$.

Lời giải:

Vtpt $(P)$: $\vec{n} = (1;\ 1;\ 1)$. Vtpt $(Oxy)$: $\vec{k} = (0;\ 0;\ 1)$.

$$\cos((P),\ (Oxy)) = \dfrac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1} \cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.$$

$$\Rightarrow ((P),\ (Oxy)) = \arccos \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 54{,}7^\circ.$$

Bài 5.50 (trang 63)

Đề bài: Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau $2$ m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài là $4$ m; $4{,}4$ m; $4{,}8$ m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Lời giải:

Bước 1: Chọn hệ trục. Đặt mặt nước là mặt phẳng nằm ngang. “Ba vị trí đôi một cách nhau $2$ m” nghĩa là ba vị trí thả dây trên mặt nước tạo thành tam giác đều cạnh $2$ m. Chọn:

$$P_1(0;\ 0;\ 0),\ P_2(2;\ 0;\ 0),\ P_3(1;\ \sqrt{3};\ 0).$$

Vì dây dọi thẳng đứng (theo phương pháp tuyến với mặt ngang), điểm chạm đáy tương ứng có cùng hoành độ và tung độ, chỉ khác cao độ:

$$A_1(0;\ 0;\ -4),\ A_2(2;\ 0;\ -4{,}4),\ A_3(1;\ \sqrt{3};\ -4{,}8).$$

Bước 2: Vectơ pháp tuyến của mặt đáy.

$$\overrightarrow{A_1 A_2} = \left(2;\ 0;\ -\dfrac{2}{5}\right),\quad \overrightarrow{A_1 A_3} = \left(1;\ \sqrt{3};\ -\dfrac{4}{5}\right).$$

Tính tích có hướng (nhân mọi thứ với $5$ cho gọn – thực hiện với $\overrightarrow{A_1 A_2}’ = (10;\ 0;\ -2)$ và $\overrightarrow{A_1 A_3}’ = (5;\ 5\sqrt{3};\ -4)$ rồi rút gọn):

$$\vec{n} = [\overrightarrow{A_1 A_2},\ \overrightarrow{A_1 A_3}] = \left(\dfrac{2\sqrt{3}}{5};\ \dfrac{6}{5};\ 2\sqrt{3}\right).$$

Nhân $5$: $\vec{n} = (2\sqrt{3};\ 6;\ 10\sqrt{3})$; chia $2$: $\vec{n} = (\sqrt{3};\ 3;\ 5\sqrt{3})$.

Bước 3: Tính góc giữa đáy bể và mặt nước ngang.

Vtpt mặt nước ngang: $\vec{k} = (0;\ 0;\ 1)$.

$$|\vec{n}|^2 = 3 + 9 + 75 = 87 \Rightarrow |\vec{n}| = \sqrt{87}.$$

$$\cos(\text{đáy},\ \text{ngang}) = \dfrac{|5\sqrt{3}|}{\sqrt{87}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{\sqrt{87}} = \dfrac{5}{\sqrt{29}} = \dfrac{5\sqrt{29}}{29}.$$

$$\Rightarrow \text{góc} = \arccos \dfrac{5\sqrt{29}}{29} \approx 21{,}8^\circ.$$

Vậy đáy bể nghiêng so với mặt nằm ngang khoảng $21{,}8^\circ$.

Bài 5.51 (trang 63)

Đề bài: Bản vẽ thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục toạ độ $Oxyz$. Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng $(Oxy)$, đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm $A(1;\ 2;\ -1)$ và $B(5;\ 6;\ -2)$. Tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn.

Lời giải:

Đường ống thoát có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (4;\ 4;\ -1)$.

Mặt sàn $(Oxy)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{k} = (0;\ 0;\ 1)$.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

$$\sin(\text{ống},\ \text{sàn}) = \dfrac{|4 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + (-1) \cdot 1|}{\sqrt{16 + 16 + 1} \cdot 1} = \dfrac{1}{\sqrt{33}} = \dfrac{\sqrt{33}}{33}.$$

$$\Rightarrow \text{góc} = \arcsin \dfrac{\sqrt{33}}{33} \approx 10{,}0^\circ.$$

Vậy đường ống thoát nước tạo với mặt sàn góc khoảng $10{,}0^\circ$.

Bài 5.52 (trang 63)

Đề bài: Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (H.5.45a). Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất). Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở tại đỉnh của một chiếc nón và Trái Đất được “thả” vào trong chiếc nón đó, thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón (H.5.45b). Trong mô hình toán học, đường chân trời đối với người quan sát ở tại vị trí $B$ là tập hợp những điểm $A$ nằm trên bề mặt Trái Đất sao cho $\widehat{BAO} = 90^\circ$, với $O$ là tâm Trái Đất (H.5.45c). Trong không gian $Oxyz$, giả sử bề mặt Trái Đất $(S)$ có phương trình $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ và người quan sát ở vị trí $B(1;\ 1;\ -1)$.

Gọi $A$ là một vị trí bất kì trên đường chân trời đối với người quan sát ở vị trí $B$. Tính khoảng cách $AB$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định các đại lượng đã biết.

• Mặt cầu $(S):\ x^2 + y^2 + z^2 = 1$ có tâm $O(0;\ 0;\ 0)$ và bán kính $R = 1$.
• Vì $A$ nằm trên bề mặt Trái Đất nên $OA = R = 1$.
• Khoảng cách từ người quan sát đến tâm:

$$OB = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}.$$

Bước 2: Áp dụng định lí Pythagore.

Theo đề, $\widehat{BAO} = 90^\circ$, tức tam giác $OAB$ vuông tại $A$. Áp dụng Pythagore:

$$OB^2 = OA^2 + AB^2 \Rightarrow AB^2 = OB^2 – OA^2 = 3 – 1 = 2.$$

$$\Rightarrow AB = \sqrt{2}.$$

Vậy khoảng cách $AB = \sqrt{2}$.

Nhận xét: Kết quả này không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của $A$ trên đường chân trời – tất cả các điểm chân trời đều cách người quan sát cùng một khoảng $\sqrt{2}$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh