Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
Mở đầu trang 75
Đề bài: Thống kê số ngày trong tháng Sáu năm 2021 và năm 2022 theo nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Hà Nội, người ta thu được bảng đã cho. Hỏi tháng Sáu năm nào ở Hà Nội nhiệt độ cao nhất trong ngày biến đổi nhiều hơn?
Lời giải:
Để trả lời, ta cần tính và so sánh các số đặc trưng đo mức độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm: khoảng biến thiên $R$ và khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$. Bài toán sẽ được giải chi tiết ở Vận dụng (trang 78) phía dưới.
1. Khoảng biến thiên
HĐ1 (trang 76)
Đề bài: Trong tình huống mở đầu, gọi $x_1, x_2, \ldots, x_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2021 (mẫu số liệu gốc).
a) Có thể tính chính xác khoảng biến thiên cho mẫu số liệu gốc hay không?
b) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất $x_i$ có thể nhận là gì?
c) Hãy đưa ra một giá trị xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc.
Lời giải:
a) Không thể tính chính xác khoảng biến thiên cho mẫu số liệu gốc, vì ta chỉ biết mỗi giá trị $x_i$ thuộc nhóm nào, chứ không biết giá trị cụ thể của từng $x_i$.
b) Nhìn vào bảng, tháng 6/2021 có tần số các nhóm là: $[28; 30)$: $0$; $[30; 32)$: $2$; $[32; 34)$: $8$; $[34; 36)$: $5$; $[36; 38)$: $6$; $[38; 40)$: $9$.
- Nhóm $[28; 30)$ có tần số $0$, tức không có ngày nào có nhiệt độ trong khoảng này.
- Nhóm đầu tiên có tần số $> 0$ là $[30; 32)$, nên giá trị nhỏ nhất của $x_i$ thuộc nhóm $[30; 32)$.
- Nhóm cuối có tần số $> 0$ là $[38; 40)$, nên giá trị lớn nhất của $x_i$ thuộc nhóm $[38; 40)$.
c) Khoảng biến thiên xấp xỉ của mẫu số liệu gốc là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu (có tần số $> 0$):
$$R \approx 40 – 30 = 10;(^{\circ}\text{C}).$$
Luyện tập 1 (trang 77)
Đề bài: Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12C được cho trong bảng: các nhóm $[25; 30), [30; 35), [35; 40), [40; 45)$ với tần số lần lượt $8, 16, 4, 2$.
a) Tính khoảng biến thiên $R$ cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất $27$ phút và muộn nhất mất $43$ phút thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là bao nhiêu?
Lời giải:
a) Áp dụng công thức $R = a_{k+1} – a_1$:
$$R = 45 – 25 = 20\text{ (phút)}.$$
b) Với mẫu số liệu gốc, khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất:
$$R_{\text{gốc}} = 43 – 27 = 16\text{ (phút)}.$$
Nhận xét: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ($20$ phút) là xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc ($16$ phút), và thường lớn hơn hoặc bằng khoảng biến thiên của mẫu gốc.
2. Khoảng tứ phân vị
HĐ2 (trang 77)
Đề bài: Trong tình huống mở đầu, gọi $y_1, y_2, \ldots, y_{30}$ là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 (mẫu số liệu gốc).
a) Có thể tính chính xác khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc hay không?
b) Tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và tứ phân vị thứ ba $Q_3$ cho mẫu số liệu ghép nhóm.
c) Hãy đưa ra một giá trị xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc.
Lời giải:
a) Không thể tính chính xác khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, vì ta không biết giá trị cụ thể của từng $y_i$ – chỉ biết chúng thuộc nhóm nào.
b) Nhắc lại số liệu tháng 6/2022: nhóm $[28; 30)$: $2$; $[30; 32)$: $3$; $[32; 34)$: $4$; $[34; 36)$: $11$; $[36; 38)$: $8$; $[38; 40)$: $2$. Cỡ mẫu $n = 30$.
Lập bảng tần số tích luỹ:
| Nhóm | $[28;30)$ | $[30;32)$ | $[32;34)$ | $[34;36)$ | $[36;38)$ | $[38;40)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | $2$ | $3$ | $4$ | $11$ | $8$ | $2$ |
| Tần số tích luỹ | $2$ | $5$ | $9$ | $20$ | $28$ | $30$ |
Tìm $Q_1$: vị trí $\dfrac{n}{4} = \dfrac{30}{4} = 7{,}5$.
$7{,}5$ nằm giữa $5$ và $9$ (tần số tích luỹ), nên nhóm chứa $Q_1$ là $[32; 34)$. Ta có: $a_p = 32$, $m_p = 4$, tổng tần số các nhóm trước là $m_1 + m_2 = 2 + 3 = 5$, và độ dài nhóm $a_{p+1} – a_p = 2$.
$$Q_1 = 32 + \dfrac{7{,}5 – 5}{4} \cdot 2 = 32 + \dfrac{2{,}5}{4} \cdot 2 = 32 + 1{,}25 = 33{,}25.$$
Tìm $Q_3$: vị trí $\dfrac{3n}{4} = \dfrac{90}{4} = 22{,}5$.
$22{,}5$ nằm giữa $20$ và $28$, nên nhóm chứa $Q_3$ là $[36; 38)$. Ta có: $a_p = 36$, $m_p = 8$, tổng tần số các nhóm trước là $2 + 3 + 4 + 11 = 20$, độ dài nhóm $= 2$.
$$Q_3 = 36 + \dfrac{22{,}5 – 20}{8} \cdot 2 = 36 + \dfrac{2{,}5}{8} \cdot 2 = 36 + 0{,}625 = 36{,}625.$$
c) Khoảng tứ phân vị xấp xỉ của mẫu số liệu gốc:
$$\Delta_Q = Q_3 – Q_1 = 36{,}625 – 33{,}25 = 3{,}375;(^{\circ}\text{C}).$$
Luyện tập 2 (trang 78)
Đề bài: Một người ghi lại thời gian đàm thoại của một số cuộc gọi cho kết quả như bảng: $[0;1)$: $8$; $[1;2)$: $17$; $[2;3)$: $25$; $[3;4)$: $20$; $[4;5)$: $10$. Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Lời giải:
Cỡ mẫu: $n = 8 + 17 + 25 + 20 + 10 = 80$.
Bảng tần số tích luỹ:
| Nhóm | $[0;1)$ | $[1;2)$ | $[2;3)$ | $[3;4)$ | $[4;5)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | $8$ | $17$ | $25$ | $20$ | $10$ |
| Tần số tích luỹ | $8$ | $25$ | $50$ | $70$ | $80$ |
Tìm $Q_1$: vị trí $\dfrac{n}{4} = 20$.
$20$ nằm giữa $8$ và $25$, nên nhóm chứa $Q_1$ là $[1; 2)$. Ta có: $a_p = 1$, $m_p = 17$, tổng trước $= 8$, độ dài nhóm $= 1$.
$$Q_1 = 1 + \dfrac{20 – 8}{17} \cdot 1 = 1 + \dfrac{12}{17} = \dfrac{29}{17} \approx 1{,}71.$$
Tìm $Q_3$: vị trí $\dfrac{3n}{4} = 60$.
$60$ nằm giữa $50$ và $70$, nên nhóm chứa $Q_3$ là $[3; 4)$. Ta có: $a_p = 3$, $m_p = 20$, tổng trước $= 50$, độ dài nhóm $= 1$.
$$Q_3 = 3 + \dfrac{60 – 50}{20} \cdot 1 = 3 + 0{,}5 = 3{,}5.$$
Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta_Q = Q_3 – Q_1 = 3{,}5 – \dfrac{29}{17} = \dfrac{30{,}5}{17} \approx 1{,}79\text{ (phút)}.$$
Vận dụng (trang 78)
Đề bài: Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách sử dụng khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Lời giải:
Đặt: $R_1$, $\Delta_{Q_1}$ là khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của tháng 6/2021; $R_2$, $\Delta_{Q_2}$ tương ứng cho tháng 6/2022.
Tháng 6/2021 (nhóm $[28;30)$ có tần số $0$, nên nhóm đầu tiên có tần số $> 0$ là $[30; 32)$):
$$R_1 = 40 – 30 = 10;(^{\circ}\text{C}).$$
Cỡ mẫu $n = 30$. Bảng tần số tích luỹ (bỏ nhóm tần số $0$):
| Nhóm | $[30;32)$ | $[32;34)$ | $[34;36)$ | $[36;38)$ | $[38;40)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | $2$ | $8$ | $5$ | $6$ | $9$ |
| Tần số tích luỹ | $2$ | $10$ | $15$ | $21$ | $30$ |
- $Q_1$ ở vị trí $\dfrac{30}{4} = 7{,}5$, nằm giữa $2$ và $10$, nhóm chứa $Q_1$ là $[32; 34)$:
$$Q_1 = 32 + \dfrac{7{,}5 – 2}{8} \cdot 2 = 32 + \dfrac{5{,}5}{8} \cdot 2 = 32 + 1{,}375 = 33{,}375.$$
- $Q_3$ ở vị trí $\dfrac{90}{4} = 22{,}5$, nằm giữa $21$ và $30$, nhóm chứa $Q_3$ là $[38; 40)$:
$$Q_3 = 38 + \dfrac{22{,}5 – 21}{9} \cdot 2 = 38 + \dfrac{1{,}5}{9} \cdot 2 = 38 + \dfrac{1}{3} \approx 38{,}33.$$
$$\Delta_{Q_1} = 38{,}33 – 33{,}375 \approx 4{,}96;(^{\circ}\text{C}).$$
Tháng 6/2022: đã tính ở HĐ2:
$$R_2 = 40 – 28 = 12;(^{\circ}\text{C}); \quad \Delta_{Q_2} = 3{,}375;(^{\circ}\text{C}).$$
So sánh:
- Khoảng biến thiên: $R_1 = 10 < R_2 = 12$ → theo khoảng biến thiên, tháng 6/2022 biến động nhiều hơn.
- Khoảng tứ phân vị: $\Delta_{Q_1} \approx 4{,}96 > \Delta_{Q_2} = 3{,}375$ → theo khoảng tứ phân vị, tháng 6/2021 biến động nhiều hơn.
Kết luận: Ở tháng 6/2022, có hai ngày nhiệt độ nằm trong $[28; 30)$ và hai ngày nằm trong $[38; 40)$ – đây có thể coi là các giá trị bất thường khiến $R_2$ lớn. Do khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường, ta nên tin cậy vào $\Delta_Q$: tháng 6/2021 có nhiệt độ cao nhất trong ngày biến đổi nhiều hơn so với tháng 6/2022.
Bài tập (trang 78 – 79)
Bài 3.1 (trang 78)
Đề bài: Thống kê số thẻ vàng của mỗi câu lạc bộ trong giải Ngoại hạng Anh mùa giải 2021 – 2022 cho kết quả:
$$101, 79, 79, 78, 75, 73, 68, 67, 67, 63, 63, 61, 60, 59, 57, 55, 55, 50, 47, 42.$$
a) Hãy ghép nhóm dãy số liệu trên thành các nhóm có độ dài bằng nhau với nhóm đầu tiên là $[40; 50)$.
b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm thu được ở câu a. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?
Lời giải:
a) Với nhóm đầu $[40; 50)$, độ dài mỗi nhóm bằng $10$. Ta cần chia đến khi bao trùm giá trị lớn nhất $101$. Đếm số câu lạc bộ trong từng nhóm:
| Nhóm | $[40;50)$ | $[50;60)$ | $[60;70)$ | $[70;80)$ | $[80;90)$ | $[90;100)$ | $[100;110)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | $2$ | $5$ | $7$ | $5$ | $0$ | $0$ | $1$ |
(Kiểm tra: tổng $= 2 + 5 + 7 + 5 + 0 + 0 + 1 = 20$. ✓)
b) Với mẫu số liệu gốc ($n = 20$):
Sắp xếp tăng dần:
$$42, 47, 50, 55, 55, 57, 59, 60, 61, 63, 63, 67, 67, 68, 73, 75, 78, 79, 79, 101.$$
- Khoảng biến thiên: $R_{\text{gốc}} = 101 – 42 = 59$.
- Nửa dưới ($10$ giá trị đầu): $42, 47, 50, 55, 55, 57, 59, 60, 61, 63$. Trung vị $= \dfrac{55 + 57}{2} = 56$. Vậy $Q_1 = 56$.
- Nửa trên ($10$ giá trị cuối): $63, 67, 67, 68, 73, 75, 78, 79, 79, 101$. Trung vị $= \dfrac{73 + 75}{2} = 74$. Vậy $Q_3 = 74$.
- $\Delta_Q^{\text{gốc}} = 74 – 56 = 18$.
Với mẫu số liệu ghép nhóm:
Nhóm đầu tiên có tần số $> 0$ là $[40; 50)$, nhóm cuối cùng có tần số $> 0$ là $[100; 110)$.
- Khoảng biến thiên: $R_{\text{ghép}} = 110 – 40 = 70$.
Bảng tần số tích luỹ: $2;; 7;; 14;; 19;; 19;; 19;; 20$.
- $Q_1$ ở vị trí $\dfrac{20}{4} = 5$, nằm giữa $2$ và $7$, nhóm chứa $Q_1$ là $[50; 60)$:
$$Q_1 = 50 + \dfrac{5 – 2}{5} \cdot 10 = 50 + 6 = 56.$$
- $Q_3$ ở vị trí $\dfrac{60}{4} = 15$, nằm giữa $14$ và $19$, nhóm chứa $Q_3$ là $[70; 80)$:
$$Q_3 = 70 + \dfrac{15 – 14}{5} \cdot 10 = 70 + 2 = 72.$$
- $\Delta_Q^{\text{ghép}} = 72 – 56 = 16$.
Kết luận:
| Mẫu gốc | Mẫu ghép nhóm | |
|---|---|---|
| $R$ | $59$ | $70$ |
| $\Delta_Q$ | $18$ | $16$ |
- Các giá trị của mẫu số liệu gốc ($R = 59$, $\Delta_Q = 18$) là giá trị chính xác – tính trực tiếp từ dữ liệu ban đầu.
- Các giá trị của mẫu số liệu ghép nhóm ($R = 70$, $\Delta_Q = 16$) là giá trị xấp xỉ – vì khi ghép nhóm ta không dùng giá trị cụ thể mà chỉ dùng thông tin về nhóm.
Bài 3.2 (trang 79)
Đề bài: Thu nhập theo tháng của người lao động ở hai nhà máy. Tính mức thu nhập trung bình của người lao động ở hai nhà máy. Dựa vào khoảng tứ phân vị, hãy xác định xem mức thu nhập của người lao động ở nhà máy nào biến động nhiều hơn.
Lời giải:
Bước 1: Tính giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm):
$$c_1 = 6{,}5; \quad c_2 = 9{,}5; \quad c_3 = 12{,}5; \quad c_4 = 15{,}5; \quad c_5 = 18{,}5.$$
Bước 2: Thu nhập trung bình.
Nhà máy A: $n_A = 20 + 35 + 45 + 35 + 20 = 155$.
$$\bar{x}_A = \dfrac{20 \cdot 6{,}5 + 35 \cdot 9{,}5 + 45 \cdot 12{,}5 + 35 \cdot 15{,}5 + 20 \cdot 18{,}5}{155} = \dfrac{1,937{,}5}{155} = 12{,}5\text{ (triệu đồng)}.$$
Nhà máy B: $n_B = 17 + 23 + 30 + 23 + 17 = 110$.
$$\bar{x}_B = \dfrac{17 \cdot 6{,}5 + 23 \cdot 9{,}5 + 30 \cdot 12{,}5 + 23 \cdot 15{,}5 + 17 \cdot 18{,}5}{110} = \dfrac{1,375}{110} = 12{,}5\text{ (triệu đồng)}.$$
Vậy hai nhà máy có cùng mức thu nhập trung bình $12{,}5$ triệu đồng.
Bước 3: Khoảng tứ phân vị.
Nhà máy A ($n = 155$): Bảng tần số tích luỹ: $20;; 55;; 100;; 135;; 155$. Độ dài nhóm $= 3$.
- $Q_1$: vị trí $\dfrac{155}{4} = 38{,}75$, nằm giữa $20$ và $55$, nhóm $[8; 11)$:
$$Q_1^A = 8 + \dfrac{38{,}75 – 20}{35} \cdot 3 = 8 + \dfrac{56{,}25}{35} \approx 9{,}61.$$
- $Q_3$: vị trí $\dfrac{3 \cdot 155}{4} = 116{,}25$, nằm giữa $100$ và $135$, nhóm $[14; 17)$:
$$Q_3^A = 14 + \dfrac{116{,}25 – 100}{35} \cdot 3 = 14 + \dfrac{48{,}75}{35} \approx 15{,}39.$$
$$\Delta_Q^A \approx 15{,}39 – 9{,}61 = 5{,}78\text{ (triệu đồng)}.$$
Nhà máy B ($n = 110$): Bảng tần số tích luỹ: $17;; 40;; 70;; 93;; 110$.
- $Q_1$: vị trí $\dfrac{110}{4} = 27{,}5$, nằm giữa $17$ và $40$, nhóm $[8; 11)$:
$$Q_1^B = 8 + \dfrac{27{,}5 – 17}{23} \cdot 3 = 8 + \dfrac{31{,}5}{23} \approx 9{,}37.$$
- $Q_3$: vị trí $\dfrac{3 \cdot 110}{4} = 82{,}5$, nằm giữa $70$ và $93$, nhóm $[14; 17)$:
$$Q_3^B = 14 + \dfrac{82{,}5 – 70}{23} \cdot 3 = 14 + \dfrac{37{,}5}{23} \approx 15{,}63.$$
$$\Delta_Q^B \approx 15{,}63 – 9{,}37 = 6{,}26\text{ (triệu đồng)}.$$
Kết luận: $\Delta_Q^B \approx 6{,}26 > \Delta_Q^A \approx 5{,}78$, nên thu nhập của người lao động ở nhà máy B biến động nhiều hơn.
Bài 3.3 (trang 79)
Đề bài: Bảng cho biết chiều cao của các học sinh hai lớp 12A và 12B.
a) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị cho các mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh hai lớp 12A và 12B.
b) Để so sánh độ phân tán về chiều cao của học sinh hai lớp này ta nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị? Vì sao?
Lời giải:
a) Lớp 12A ($n_A = 1 + 0 + 15 + 12 + 10 + 5 = 43$):
Nhóm đầu tiên có tần số $> 0$ là $[145; 150)$, nhóm cuối là $[170; 175)$.
$$R_A = 175 – 145 = 30\text{ (cm)}.$$
Bảng tần số tích luỹ: $1;; 1;; 16;; 28;; 38;; 43$. Độ dài nhóm $= 5$.
- $Q_1$: vị trí $\dfrac{43}{4} = 10{,}75$, nằm giữa $1$ và $16$, nhóm $[155; 160)$:
$$Q_1^A = 155 + \dfrac{10{,}75 – 1}{15} \cdot 5 = 155 + \dfrac{48{,}75}{15} = 155 + 3{,}25 = 158{,}25.$$
- $Q_3$: vị trí $\dfrac{3 \cdot 43}{4} = 32{,}25$, nằm giữa $28$ và $38$, nhóm $[165; 170)$:
$$Q_3^A = 165 + \dfrac{32{,}25 – 28}{10} \cdot 5 = 165 + \dfrac{21{,}25}{10} = 165 + 2{,}125 = 167{,}125.$$
$$\Delta_Q^A = 167{,}125 – 158{,}25 = 8{,}875\text{ (cm)}.$$
Lớp 12B ($n_B = 0 + 0 + 17 + 10 + 9 + 6 = 42$):
Nhóm đầu tiên có tần số $> 0$ là $[155; 160)$, nhóm cuối là $[170; 175)$.
$$R_B = 175 – 155 = 20\text{ (cm)}.$$
Bảng tần số tích luỹ (bỏ nhóm tần số $0$): $17;; 27;; 36;; 42$.
- $Q_1$: vị trí $\dfrac{42}{4} = 10{,}5$, nằm trong nhóm $[155; 160)$ (do $10{,}5 < 17$), tổng trước $= 0$:
$$Q_1^B = 155 + \dfrac{10{,}5 – 0}{17} \cdot 5 = 155 + \dfrac{52{,}5}{17} \approx 158{,}09.$$
- $Q_3$: vị trí $\dfrac{3 \cdot 42}{4} = 31{,}5$, nằm giữa $27$ và $36$, nhóm $[165; 170)$:
$$Q_3^B = 165 + \dfrac{31{,}5 – 27}{9} \cdot 5 = 165 + \dfrac{22{,}5}{9} = 165 + 2{,}5 = 167{,}5.$$
$$\Delta_Q^B \approx 167{,}5 – 158{,}09 \approx 9{,}41\text{ (cm)}.$$
Bảng tổng hợp:
| Lớp 12A | Lớp 12B | |
|---|---|---|
| Khoảng biến thiên $R$ | $30$ cm | $20$ cm |
| Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ | $8{,}875$ cm | $\approx 9{,}41$ cm |
b) Ở lớp 12A có $1$ học sinh có chiều cao trong nhóm $[145; 150)$ – đây có thể coi là giá trị bất thường (do phần còn lại đều từ $155$ cm trở lên). Chính học sinh này làm cho $R_A = 30$ cm lớn hơn nhiều so với $R_B = 20$ cm, khiến khoảng biến thiên không phản ánh trung thực mức độ phân tán chung.
Vì khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường (chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của dữ liệu), nên ta nên dùng khoảng tứ phân vị để so sánh độ phân tán.
Khi đó: $\Delta_Q^B \approx 9{,}41 > \Delta_Q^A = 8{,}875$, tức chiều cao học sinh lớp 12B phân tán hơn (một chút) so với lớp 12A.
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh