Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
Mở đầu trang 80
Đề bài: Để xác định độ ổn định của một máy đo độ ẩm không khí, người ta dùng máy này để đo $20$ lần. Nếu độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đo lớn hơn $0{,}15$ thì người ta sẽ đưa máy đo đi sửa chữa. Trong một lần lấy mẫu, kĩ thuật viên có được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
| Độ ẩm (%) | $[52; 52{,}1)$ | $[52{,}1; 52{,}2)$ | $[52{,}2; 52{,}3)$ | $[52{,}3; 52{,}4)$ | $[52{,}4; 52{,}5)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | $1$ | $5$ | $8$ | $4$ | $2$ |
Liệu có cần đưa máy đo này đi sửa chữa hay không?
Lời giải:
Bài toán này sẽ được giải chi tiết ở phần Vận dụng (trang 82): cần tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm rồi so sánh với ngưỡng $0{,}15$.
1. Phương sai và độ lệch chuẩn
HĐ1 (trang 80)
Đề bài: Trở lại bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi $x_1, \ldots, x_{20}$ là các kết quả đo (mẫu số liệu gốc).
a) Có thể tính được chính xác phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc hay không?
b) Thảo luận và đề xuất ước lượng cho phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.
Lời giải:
a) Không thể tính được chính xác phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc, vì ta chỉ biết mỗi giá trị $x_i$ thuộc nhóm nào, chứ không biết giá trị cụ thể của từng $x_i$.
b) Để ước lượng, ta thay mỗi giá trị $x_i$ trong nhóm $[a_i; a_{i+1})$ bằng giá trị đại diện của nhóm đó:
$$x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}.$$
Khi đó, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm được coi là giá trị xấp xỉ cho phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc, tính theo công thức:
$$s^2 = \dfrac{m_1(x_1 – \bar{x})^2 + \ldots + m_k(x_k – \bar{x})^2}{n}; \quad s = \sqrt{s^2}.$$
Luyện tập (trang 82)
Đề bài: Một vận động viên luyện tập chạy cự li 100 mét đã ghi lại kết quả luyện tập như sau:
| Thời gian (giây) | $[10{,}2; 10{,}4)$ | $[10{,}4; 10{,}6)$ | $[10{,}6; 10{,}8)$ | $[10{,}8; 11)$ |
|---|---|---|---|---|
| Tần số | $3$ | $7$ | $8$ | $2$ |
Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này. Phương sai và độ lệch chuẩn cho biết điều gì?
Lời giải:
Bước 1: Chọn giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm):
$$x_1 = 10{,}3; \quad x_2 = 10{,}5; \quad x_3 = 10{,}7; \quad x_4 = 10{,}9.$$
Cỡ mẫu: $n = 3 + 7 + 8 + 2 = 20$.
Bước 2: Số trung bình.
$$\bar{x} = \dfrac{3 \cdot 10{,}3 + 7 \cdot 10{,}5 + 8 \cdot 10{,}7 + 2 \cdot 10{,}9}{20} = \dfrac{30{,}9 + 73{,}5 + 85{,}6 + 21{,}8}{20} = \dfrac{211{,}8}{20} = 10{,}59\text{ (giây)}.$$
Bước 3: Phương sai (dùng công thức $s^2 = \dfrac{1}{n} \sum m_i x_i^2 – \bar{x}^2$):
$$\sum m_i x_i^2 = 3 \cdot 10{,}3^2 + 7 \cdot 10{,}5^2 + 8 \cdot 10{,}7^2 + 2 \cdot 10{,}9^2.$$
Tính lần lượt:
- $3 \cdot 10{,}3^2 = 3 \cdot 106{,}09 = 318{,}27$.
- $7 \cdot 10{,}5^2 = 7 \cdot 110{,}25 = 771{,}75$.
- $8 \cdot 10{,}7^2 = 8 \cdot 114{,}49 = 915{,}92$.
- $2 \cdot 10{,}9^2 = 2 \cdot 118{,}81 = 237{,}62$.
Tổng $= 318{,}27 + 771{,}75 + 915{,}92 + 237{,}62 = 2,243{,}56$.
$$s^2 = \dfrac{2,243{,}56}{20} – 10{,}59^2 = 112{,}178 – 112{,}1481 = 0{,}0299.$$
Bước 4: Độ lệch chuẩn.
$$s = \sqrt{0{,}0299} \approx 0{,}173\text{ (giây)}.$$
Ý nghĩa: Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của thời gian chạy $100$ mét quanh giá trị trung bình $10{,}59$ giây. Giá trị $s \approx 0{,}173$ giây khá nhỏ, cho thấy thời gian chạy của vận động viên khá ổn định.
Vận dụng (trang 82)
Đề bài: Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho bài toán trong tình huống mở đầu và cho biết có cần đưa máy đi sửa chữa hay không.
Lời giải:
Bước 1: Chọn giá trị đại diện:
$$x_1 = 52{,}05; ; x_2 = 52{,}15; ; x_3 = 52{,}25; ; x_4 = 52{,}35; ; x_5 = 52{,}45.$$
Cỡ mẫu: $n = 1 + 5 + 8 + 4 + 2 = 20$.
Bước 2: Số trung bình.
$$\bar{x} = \dfrac{1 \cdot 52{,}05 + 5 \cdot 52{,}15 + 8 \cdot 52{,}25 + 4 \cdot 52{,}35 + 2 \cdot 52{,}45}{20} = \dfrac{1,045{,}1}{20} = 52{,}255\text{ (%)}.$$
Bước 3: Phương sai. Dùng dạng $s^2 = \dfrac{1}{n} \sum m_i (x_i – \bar{x})^2$:
Tính $(x_i – 52{,}255)^2$:
- $(52{,}05 – 52{,}255)^2 = (-0{,}205)^2 = 0{,}042025$.
- $(52{,}15 – 52{,}255)^2 = 0{,}011025$.
- $(52{,}25 – 52{,}255)^2 = 0{,}000025$.
- $(52{,}35 – 52{,}255)^2 = 0{,}009025$.
- $(52{,}45 – 52{,}255)^2 = 0{,}038025$.
Nhân với tần số rồi cộng:
$$1 \cdot 0{,}042025 + 5 \cdot 0{,}011025 + 8 \cdot 0{,}000025 + 4 \cdot 0{,}009025 + 2 \cdot 0{,}038025 = 0{,}2095.$$
$$s^2 = \dfrac{0{,}2095}{20} = 0{,}010475.$$
Bước 4: Độ lệch chuẩn.
$$s = \sqrt{0{,}010475} \approx 0{,}1023\text{ (%)}.$$
Kết luận: Vì $s \approx 0{,}1023 < 0{,}15$, nên không cần đưa máy đo đi sửa chữa.
Bài tập (trang 84)
Bài 3.4 (trang 84)
Đề bài: Kiểm tra khối lượng của 30 bao xi măng (đơn vị: kg) được chọn ngẫu nhiên trước khi xuất xưởng cho kết quả như sau:
$$49{,}5; 51{,}1; 50{,}8; 50{,}2; 48{,}7; 49{,}6; 51{,}3; 51{,}4; 50{,}1; 50{,}5$$ $$48{,}9; 49{,}3; 50{,}7; 48{,}8; 49{,}8; 48{,}8; 51{,}2; 50{,}4; 50{,}0; 51{,}2$$ $$51{,}4; 48{,}7; 51{,}2; 50{,}6; 50{,}9; 49{,}2; 50{,}7; 51{,}1; 48{,}6; 49{,}6.$$
a) Thay mỗi dấu “?” bằng số thích hợp để hoàn thiện mẫu số liệu ghép nhóm sau: các nhóm $[48{,}5; 49), [49; 49{,}5), [49{,}5; 50), [50; 50{,}5), [50{,}5; 51), [51; 51{,}5)$.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào là giá trị chính xác? Giá trị nào là giá trị xấp xỉ?
Lời giải:
a) Đếm số bao xi măng trong từng nhóm:
- $[48{,}5; 49)$: $48{,}7$; $48{,}7$; $48{,}8$; $48{,}8$; $48{,}9$; $48{,}6$ → 6 bao.
- $[49; 49{,}5)$: $49{,}3$; $49{,}2$ → 2 bao.
- $[49{,}5; 50)$: $49{,}5$; $49{,}6$; $49{,}8$; $49{,}6$ → 4 bao.
- $[50; 50{,}5)$: $50{,}2$; $50{,}1$; $50{,}4$; $50{,}0$ → 4 bao.
- $[50{,}5; 51)$: $50{,}8$; $50{,}5$; $50{,}7$; $50{,}6$; $50{,}9$; $50{,}7$ → 6 bao.
- $[51; 51{,}5)$: $51{,}1$; $51{,}3$; $51{,}4$; $51{,}2$; $51{,}2$; $51{,}4$; $51{,}2$; $51{,}1$ → 8 bao.
Kiểm tra tổng: $6 + 2 + 4 + 4 + 6 + 8 = 30$. ✓
Bảng hoàn chỉnh:
| Nhóm | $[48{,}5;49)$ | $[49;49{,}5)$ | $[49{,}5;50)$ | $[50;50{,}5)$ | $[50{,}5;51)$ | $[51;51{,}5)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số bao xi măng | $6$ | $2$ | $4$ | $4$ | $6$ | $8$ |
b) Với mẫu số liệu gốc ($n = 30$):
Tổng $30$ giá trị: $1,504{,}3$ kg.
$$\bar{x}_{\text{gốc}} = \dfrac{1,504{,}3}{30} \approx 50{,}143\text{ (kg)}.$$
Phương sai:
$$s^2_{\text{gốc}} = \dfrac{1}{30} \sum_{i=1}^{30} (x_i – \bar{x})^2 \approx 0{,}8718.$$
Độ lệch chuẩn: $s_{\text{gốc}} \approx \sqrt{0{,}8718} \approx 0{,}934$ (kg).
Với mẫu số liệu ghép nhóm:
Trung điểm các nhóm: $48{,}75; 49{,}25; 49{,}75; 50{,}25; 50{,}75; 51{,}25$.
$$\bar{x}_{\text{ghép}} = \dfrac{6 \cdot 48{,}75 + 2 \cdot 49{,}25 + 4 \cdot 49{,}75 + 4 \cdot 50{,}25 + 6 \cdot 50{,}75 + 8 \cdot 51{,}25}{30} = \dfrac{1,505{,}5}{30} \approx 50{,}183\text{ (kg)}.$$
Phương sai:
$$s^2_{\text{ghép}} \approx 0{,}8622; \quad s_{\text{ghép}} \approx 0{,}929\text{ (kg)}.$$
Kết luận:
| Mẫu gốc | Mẫu ghép nhóm | |
|---|---|---|
| $\bar{x}$ | $\approx 50{,}143$ | $\approx 50{,}183$ |
| $s^2$ | $\approx 0{,}8718$ | $\approx 0{,}8622$ |
| $s$ | $\approx 0{,}934$ | $\approx 0{,}929$ |
- Các giá trị của mẫu số liệu gốc là giá trị chính xác.
- Các giá trị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ.
Bài 3.5 (trang 84)
Đề bài: Tuổi thọ của một số linh kiện điện tử (đơn vị: năm) được sản xuất bởi hai phân xưởng được cho như sau:
| Tuổi thọ | $[1{,}5; 2)$ | $[2; 2{,}5)$ | $[2{,}5; 3)$ | $[3; 3{,}5)$ | $[3{,}5; 4)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Phân xưởng 1 | $4$ | $9$ | $13$ | $8$ | $6$ |
| Phân xưởng 2 | $2$ | $8$ | $20$ | $7$ | $3$ |
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu ghép nhóm và nhận xét về độ phân tán của tuổi thọ các linh kiện điện tử được sản xuất bởi mỗi phân xưởng.
Lời giải:
Trung điểm các nhóm: $x_1 = 1{,}75$; $x_2 = 2{,}25$; $x_3 = 2{,}75$; $x_4 = 3{,}25$; $x_5 = 3{,}75$.
Phân xưởng 1 ($n_1 = 4 + 9 + 13 + 8 + 6 = 40$):
$$\bar{x}_1 = \dfrac{4 \cdot 1{,}75 + 9 \cdot 2{,}25 + 13 \cdot 2{,}75 + 8 \cdot 3{,}25 + 6 \cdot 3{,}75}{40} = \dfrac{111{,}5}{40} = 2{,}7875\text{ (năm)}.$$
Tính $\sum m_i x_i^2$:
- $4 \cdot 1{,}75^2 = 4 \cdot 3{,}0625 = 12{,}25$.
- $9 \cdot 2{,}25^2 = 9 \cdot 5{,}0625 = 45{,}5625$.
- $13 \cdot 2{,}75^2 = 13 \cdot 7{,}5625 = 98{,}3125$.
- $8 \cdot 3{,}25^2 = 8 \cdot 10{,}5625 = 84{,}5$.
- $6 \cdot 3{,}75^2 = 6 \cdot 14{,}0625 = 84{,}375$.
Tổng $= 325$.
$$s^2_1 = \dfrac{325}{40} – 2{,}7875^2 = 8{,}125 – 7{,}770156 \approx 0{,}3548.$$
$$s_1 \approx \sqrt{0{,}3548} \approx 0{,}596\text{ (năm)}.$$
Phân xưởng 2 ($n_2 = 2 + 8 + 20 + 7 + 3 = 40$):
$$\bar{x}_2 = \dfrac{2 \cdot 1{,}75 + 8 \cdot 2{,}25 + 20 \cdot 2{,}75 + 7 \cdot 3{,}25 + 3 \cdot 3{,}75}{40} = \dfrac{110{,}5}{40} = 2{,}7625\text{ (năm)}.$$
Tương tự tính $\sum m_i x_i^2$:
- $2 \cdot 3{,}0625 = 6{,}125$.
- $8 \cdot 5{,}0625 = 40{,}5$.
- $20 \cdot 7{,}5625 = 151{,}25$.
- $7 \cdot 10{,}5625 = 73{,}9375$.
- $3 \cdot 14{,}0625 = 42{,}1875$.
Tổng $= 314$.
$$s^2_2 = \dfrac{314}{40} – 2{,}7625^2 = 7{,}85 – 7{,}631406 \approx 0{,}2186.$$
$$s_2 \approx \sqrt{0{,}2186} \approx 0{,}468\text{ (năm)}.$$
Nhận xét: $s_2 \approx 0{,}468 < s_1 \approx 0{,}596$, nên tuổi thọ của các linh kiện điện tử được sản xuất bởi phân xưởng 2 ít phân tán hơn (đồng đều hơn) so với phân xưởng 1.
Bài 3.6 (trang 84)
Đề bài: Một nhóm $20$ học sinh dùng một thiết bị đo đường kính của một nhân tế bào cho kết quả như sau:
| Kết quả đo ($\mu$m) | $[4{,}5; 5)$ | $[5; 5{,}5)$ | $[5{,}5; 6)$ | $[6; 6{,}5)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | $3$ | $8$ | $7$ | $2$ |
a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Số trung bình và độ lệch chuẩn cho biết thông tin gì?
Lời giải:
a) Trung điểm: $x_1 = 4{,}75$; $x_2 = 5{,}25$; $x_3 = 5{,}75$; $x_4 = 6{,}25$. Cỡ mẫu $n = 20$.
Số trung bình:
$$\bar{x} = \dfrac{3 \cdot 4{,}75 + 8 \cdot 5{,}25 + 7 \cdot 5{,}75 + 2 \cdot 6{,}25}{20} = \dfrac{14{,}25 + 42 + 40{,}25 + 12{,}5}{20} = \dfrac{109}{20} = 5{,}45;(\mu\text{m}).$$
Phương sai và độ lệch chuẩn:
Tính $\sum m_i x_i^2$:
- $3 \cdot 4{,}75^2 = 3 \cdot 22{,}5625 = 67{,}6875$.
- $8 \cdot 5{,}25^2 = 8 \cdot 27{,}5625 = 220{,}5$.
- $7 \cdot 5{,}75^2 = 7 \cdot 33{,}0625 = 231{,}4375$.
- $2 \cdot 6{,}25^2 = 2 \cdot 39{,}0625 = 78{,}125$.
Tổng $= 597{,}75$.
$$s^2 = \dfrac{597{,}75}{20} – 5{,}45^2 = 29{,}8875 – 29{,}7025 = 0{,}185.$$
$$s = \sqrt{0{,}185} \approx 0{,}430;(\mu\text{m}).$$
b) Ý nghĩa:
- Số trung bình $\bar{x} = 5{,}45;\mu$m là giá trị đường kính nhân tế bào trung bình mà nhóm học sinh đã đo được. Đây là ước lượng cho đường kính thực tế của nhân tế bào.
- Độ lệch chuẩn $s \approx 0{,}430;\mu$m phản ánh mức độ phân tán của các kết quả đo quanh giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn càng lớn thì các kết quả đo càng chênh lệch nhau nhiều (do sai số của người đo, thao tác, thiết bị,…).
Bài 3.7 (trang 84)
Đề bài: Thời gian chạy tập luyện cự li $100$ mét của hai vận động viên A và B được cho trong bảng:
| Thời gian (giây) | $[10; 10{,}3)$ | $[10{,}3; 10{,}6)$ | $[10{,}6; 10{,}9)$ | $[10{,}9; 11{,}2)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số lần chạy của A | $2$ | $10$ | $5$ | $3$ |
| Số lần chạy của B | $3$ | $7$ | $9$ | $6$ |
Dựa trên độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu ghép nhóm, hãy cho biết vận động viên nào có thành tích luyện tập ổn định hơn.
Lời giải:
Trung điểm: $x_1 = 10{,}15$; $x_2 = 10{,}45$; $x_3 = 10{,}75$; $x_4 = 11{,}05$.
Vận động viên A ($n_A = 2 + 10 + 5 + 3 = 20$):
$$\bar{x}_A = \dfrac{2 \cdot 10{,}15 + 10 \cdot 10{,}45 + 5 \cdot 10{,}75 + 3 \cdot 11{,}05}{20} = \dfrac{211{,}7}{20} = 10{,}585\text{ (giây)}.$$
Tính $\sum m_i x_i^2$:
- $2 \cdot 10{,}15^2 = 2 \cdot 103{,}0225 = 206{,}045$.
- $10 \cdot 10{,}45^2 = 10 \cdot 109{,}2025 = 1,092{,}025$.
- $5 \cdot 10{,}75^2 = 5 \cdot 115{,}5625 = 577{,}8125$.
- $3 \cdot 11{,}05^2 = 3 \cdot 122{,}1025 = 366{,}3075$.
Tổng $= 2,242{,}19$.
$$s^2_A = \dfrac{2,242{,}19}{20} – 10{,}585^2 = 112{,}1095 – 112{,}042225 \approx 0{,}0673.$$
$$s_A \approx \sqrt{0{,}0673} \approx 0{,}259\text{ (giây)}.$$
Vận động viên B ($n_B = 3 + 7 + 9 + 6 = 25$):
$$\bar{x}_B = \dfrac{3 \cdot 10{,}15 + 7 \cdot 10{,}45 + 9 \cdot 10{,}75 + 6 \cdot 11{,}05}{25} = \dfrac{266{,}65}{25} = 10{,}666\text{ (giây)}.$$
Tính $\sum m_i x_i^2$:
- $3 \cdot 103{,}0225 = 309{,}0675$.
- $7 \cdot 109{,}2025 = 764{,}4175$.
- $9 \cdot 115{,}5625 = 1,040{,}0625$.
- $6 \cdot 122{,}1025 = 732{,}615$.
Tổng $= 2,846{,}1625$.
$$s^2_B = \dfrac{2,846{,}1625}{25} – 10{,}666^2 = 113{,}8465 – 113{,}763556 \approx 0{,}0829.$$
$$s_B \approx \sqrt{0{,}0829} \approx 0{,}288\text{ (giây)}.$$
Kết luận: $s_A \approx 0{,}259 < s_B \approx 0{,}288$, nên thành tích luyện tập của vận động viên A ổn định hơn vận động viên B.
Bài 3.8 (trang 84)
Đề bài: Có nên dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm trong mỗi trường hợp sau không? Tại sao?
a) Các mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi tốt nghiệp môn Toán của học sinh hai trường trung học phổ thông có chất lượng tương đương.
b) Các mẫu số liệu ghép nhóm về doanh thu của $100$ cửa hàng bán lẻ và doanh thu của $100$ siêu thị.
Lời giải:
a) CÓ NÊN dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh.
Lý do: Điểm thi tốt nghiệp môn Toán của cả hai trường đều tính trên cùng một thang điểm (thường là từ $0$ đến $10$), tức là cùng đơn vị đo. Hơn nữa, đề bài nói rằng hai trường có “chất lượng tương đương”, nên số trung bình của hai mẫu không chênh lệch quá lớn. Trong trường hợp này, phương sai hoặc độ lệch chuẩn phản ánh trung thực mức độ phân tán và có thể so sánh trực tiếp.
b) KHÔNG NÊN dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh trực tiếp.
Lý do: Doanh thu của siêu thị thường lớn hơn nhiều so với doanh thu của cửa hàng bán lẻ (do quy mô, số mặt hàng, lượng khách khác nhau). Vì vậy, số trung bình doanh thu của siêu thị và cửa hàng bán lẻ chênh lệch rất lớn. Theo lý thuyết đã học: khi số trung bình của hai mẫu số liệu chênh lệch quá lớn, ta không nên dùng phương sai/độ lệch chuẩn để so sánh mức độ phân tán, vì các đại lượng này còn phụ thuộc vào độ lớn của các giá trị.
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh