Mở đầu trang 33

Đề bài: Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa $55,000$ khán giả. Với giá mỗi vé là $100$ nghìn đồng, số khán giả trung bình là $27,000$ người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm $10$ nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng $3,000$ khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?

Lời giải:

Bài toán này được giải chi tiết ở Ví dụ 6 (trang 38) trong SGK. Kết quả: giá vé nên đặt là $95$ nghìn đồng, khi đó doanh thu lớn nhất bằng $2,707,500$ (nghìn đồng) $= 2{,}7075$ tỉ đồng.

1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng

Luyện tập 1 (trang 36)

Đề bài: Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có huyết áp tâm thu $P$ (tính bằng mmHg) được cho bởi hàm số

$$P(t) = \dfrac{25 t^2 + 125}{t^2 + 1},\quad 0 \leq t \leq 10,$$

trong đó thời gian $t$ được tính bằng giây. Tính tốc độ thay đổi của huyết áp sau $5$ giây kể từ khi máu rời tim.

Lời giải:

Tốc độ thay đổi tức thời của huyết áp $P$ tại thời điểm $t$ chính là đạo hàm $P'(t)$.

Bước 1: Rút gọn công thức để dễ đạo hàm. Thực hiện phép chia:

$$P(t) = \dfrac{25(t^2 + 1) + 100}{t^2 + 1} = 25 + \dfrac{100}{t^2 + 1}.$$

Bước 2: Tính đạo hàm. Với $u = t^2 + 1$, ta có $u’ = 2t$:

$$P'(t) = 100 \cdot \left(-\dfrac{2t}{(t^2 + 1)^2}\right) = -\dfrac{200 t}{(t^2 + 1)^2}.$$

Bước 3: Tính $P'(5)$.

$$P'(5) = -\dfrac{200 \cdot 5}{(25 + 1)^2} = -\dfrac{1,000}{676} = -\dfrac{250}{169} \approx -1{,}479\text{ (mmHg/giây)}.$$

Kết luận: Sau $5$ giây kể từ khi máu rời tim, huyết áp đang giảm với tốc độ khoảng $1{,}479$ mmHg mỗi giây. (Dấu âm cho biết huyết áp giảm.)

2. Một vài bài toán tối ưu hoá đơn giản

Luyện tập 2 (trang 38)

Đề bài: Anh An chèo thuyền từ điểm $A$ trên bờ một con sông thẳng rộng $3$ km và muốn đến điểm $B$ ở bờ đối diện cách $8$ km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm $C$ rồi chạy bộ đến $B$, hoặc anh có thể chèo thuyền thẳng đến $B$, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm $D$ nào đó giữa $C$ và $B$ rồi chạy bộ đến $B$. Nếu vận tốc chèo thuyền là $6$ km/h và vận tốc chạy bộ là $8$ km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến được $B$ càng sớm càng tốt?

Lời giải:

Bước 1: Xác định đại lượng cần tối thiểu hoá.

Đại lượng cần tối thiểu hoá là tổng thời gian $T$ đi từ $A$ đến $B$.

Bước 2: Chọn biến $x$ và biểu diễn $T$ qua $x$.

Gọi $x$ là khoảng cách $CD$ (km), với $0 \leq x \leq 8$.

• Trong tam giác vuông $ACD$ (với $AC = 3$ km, $CD = x$): $AD = \sqrt{9 + x^2}$ (km).
• Quãng đường chạy bộ: $DB = 8 – x$ (km).

Thời gian chèo thuyền: $\dfrac{AD}{6} = \dfrac{\sqrt{9 + x^2}}{6}$ (giờ).

Thời gian chạy bộ: $\dfrac{DB}{8} = \dfrac{8 – x}{8}$ (giờ).

Tổng thời gian:

$$T(x) = \dfrac{\sqrt{9 + x^2}}{6} + \dfrac{8 – x}{8},\quad 0 \leq x \leq 8.$$

Bước 3: Tìm GTNN của $T(x)$.

Đạo hàm:

$$T'(x) = \dfrac{x}{6\sqrt{9 + x^2}} – \dfrac{1}{8}.$$

$T'(x) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{6\sqrt{9 + x^2}} = \dfrac{1}{8} \Leftrightarrow 8x = 6\sqrt{9 + x^2}$.

Bình phương hai vế (điều kiện $x \geq 0$):

$$64x^2 = 36(9 + x^2) \Leftrightarrow 28x^2 = 324 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{81}{7} \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{\sqrt{7}} = \dfrac{9\sqrt{7}}{7};(\text{km}).$$

Giá trị $x_0 = \dfrac{9\sqrt{7}}{7} \approx 3{,}40$ (km), nằm trong đoạn $[0; 8]$.

Tính giá trị $T$ tại ba điểm $x = 0, x_0, 8$:

• $T(0) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{8}{8} = 0{,}5 + 1 = 1{,}5$ (giờ).
• $T(x_0)$: với $9 + x_0^2 = 9 + \dfrac{81}{7} = \dfrac{144}{7}$, nên $\sqrt{9 + x_0^2} = \dfrac{12}{\sqrt{7}}$.

$$T(x_0) = \dfrac{12/\sqrt{7}}{6} + \dfrac{8 – 9/\sqrt{7}}{8} = \dfrac{2}{\sqrt{7}} + 1 – \dfrac{9}{8\sqrt{7}} = 1 + \dfrac{16 – 9}{8\sqrt{7}} = 1 + \dfrac{7}{8\sqrt{7}} = 1 + \dfrac{\sqrt{7}}{8}.$$

Vậy $T(x_0) = 1 + \dfrac{\sqrt{7}}{8} \approx 1{,}33$ (giờ).

• $T(8) = \dfrac{\sqrt{9 + 64}}{6} = \dfrac{\sqrt{73}}{6} \approx 1{,}42$ (giờ).

So sánh: $T(x_0) < T(8) < T(0)$, nên $T$ đạt GTNN tại $x = x_0$.

Kết luận: Anh An phải chèo thuyền đến điểm $D$ cách $C$ một khoảng $\dfrac{9\sqrt{7}}{7} \approx 3{,}40$ (km), rồi chạy bộ từ $D$ đến $B$. Thời gian ngắn nhất khoảng $1{,}33$ giờ ($\approx 79{,}8$ phút).

Vận dụng (trang 40)

Đề bài: Một nhà sản xuất trung bình bán được $1,000$ ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá $14$ triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán $500$ nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng $100$ ti vi mỗi tuần.

a) Tìm hàm cầu.

b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất?

c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là $C(x) = 12,000 – 3x$ (triệu đồng), trong đó $x$ là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?

Lời giải:

a) Tìm hàm cầu $p = p(x)$.

Gọi $p$ (triệu đồng) là giá bán mỗi ti vi, $x$ là số ti vi bán ra mỗi tuần. Hàm cầu là hàm bậc nhất (theo giả thiết mỗi lần giảm giá $500$ nghìn đồng thì tăng cố định $100$ chiếc).

Hai điểm mà hàm cầu đi qua:

• $(x_1; p_1) = (1,000; 14)$: bán $1,000$ chiếc với giá $14$ triệu.
• $(x_2; p_2) = (1,100; 13{,}5)$: bán $1,100$ chiếc với giá $13{,}5$ triệu (giảm $500$ nghìn = $0{,}5$ triệu).

Hệ số góc:

$$\dfrac{p_2 – p_1}{x_2 – x_1} = \dfrac{13{,}5 – 14}{1,100 – 1,000} = -\dfrac{0{,}5}{100} = -\dfrac{1}{200}.$$

Phương trình: $p – 14 = -\dfrac{1}{200}(x – 1,000) = -\dfrac{x}{200} + 5$.

$$\boxed{p(x) = 19 – \dfrac{x}{200}}.$$

Tương đương: $x = 200(19 – p) = 3,800 – 200p$.

b) Tìm giá $p$ để doanh thu lớn nhất.

Doanh thu (theo $p$):

$$R(p) = p \cdot x = p(3,800 – 200p) = 3,800p – 200p^2.$$

Điều kiện: $x \geq 0 \Rightarrow p \leq 19$; $p \geq 0$. Vậy $p \in [0; 19]$.

Đạo hàm: $R'(p) = 3,800 – 400p = 0 \Leftrightarrow p = 9{,}5$ (triệu đồng).

Bảng biến thiên:

Vậy $R$ đạt GTLN tại $p = 9{,}5$ triệu đồng, $R_{\max} = 18,050$ triệu đồng $= 18{,}05$ tỉ đồng.

Giảm giá: $14 – 9{,}5 = 4{,}5$ triệu đồng cho mỗi ti vi.

c) Tìm giá $p$ để lợi nhuận lớn nhất.

Doanh thu theo $x$: $R(x) = x \cdot p(x) = x \left(19 – \dfrac{x}{200}\right) = 19x – \dfrac{x^2}{200}$.

Lợi nhuận:

$$P(x) = R(x) – C(x) = 19x – \dfrac{x^2}{200} – (12,000 – 3x) = 22x – \dfrac{x^2}{200} – 12,000.$$

Đạo hàm: $P'(x) = 22 – \dfrac{x}{100} = 0 \Leftrightarrow x = 2,200$.

Vì $x = 2,200 \leq 3,800$, giá tương ứng: $p(2,200) = 19 – \dfrac{2,200}{200} = 19 – 11 = 8$ (triệu đồng).

Lợi nhuận lớn nhất: $P(2,200) = 22 \cdot 2,200 – \dfrac{2,200^2}{200} – 12,000 = 48,400 – 24,200 – 12,000 = 12,200$ (triệu đồng).

Kết luận: Nhà sản xuất nên đặt giá bán $p = 8$ triệu đồng mỗi chiếc để lợi nhuận lớn nhất, đạt $12,200$ triệu đồng $= 12{,}2$ tỉ đồng/tuần.

Bài tập (trang 40 – 41)

Bài 1.26 (trang 40)

Đề bài: Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho toạ độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) là $y = t^3 – 12t + 3$, $t \geq 0$.

a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.

b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?

c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian $0 \leq t \leq 3$.

d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

Lời giải:

a) Vận tốc và gia tốc.

Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm:

$$v(t) = y'(t) = 3t^2 – 12\text{ (m/s)};\quad a(t) = v'(t) = 6t\text{ (m/s}^2\text{)}.$$

b) Chiều chuyển động.

Chiều dương hướng lên trên, nên:

• Hạt chuyển động lên trên khi $v(t) > 0 \Leftrightarrow 3t^2 – 12 > 0 \Leftrightarrow t^2 > 4 \Leftrightarrow t > 2$ (vì $t \geq 0$).
• Hạt chuyển động xuống dưới khi $v(t) < 0 \Leftrightarrow 0 \leq t < 2$.

Kết luận: Từ $t = 0$ đến $t = 2$ hạt đi xuống; từ $t = 2$ trở đi hạt đi lên.

c) Quãng đường trong $0 \leq t \leq 3$.

Trong khoảng $[0; 3]$, hạt đổi chiều tại $t = 2$. Ta chia thành hai giai đoạn:

• Toạ độ tại các mốc: $y(0) = 3$; $y(2) = 8 – 24 + 3 = -13$; $y(3) = 27 – 36 + 3 = -6$.

Giai đoạn 1 ($0 \leq t \leq 2$): hạt đi từ $y = 3$ xuống $y = -13$, quãng đường đi được $= |3 – (-13)| = 16$ (m).

Giai đoạn 2 ($2 \leq t \leq 3$): hạt đi từ $y = -13$ lên $y = -6$, quãng đường đi được $= |-13 – (-6)| = 7$ (m).

Tổng quãng đường: $16 + 7 = 23$ (m).

d) Tăng tốc / giảm tốc.

Hạt tăng tốc khi độ lớn vận tốc tăng, tức khi $v$ và $a$ cùng dấu; giảm tốc khi $v$ và $a$ trái dấu.

Ta có $a(t) = 6t \geq 0$ với mọi $t \geq 0$ (dấu bằng chỉ tại $t = 0$).

• Với $0 < t < 2$: $v(t) < 0$, $a(t) > 0$ → trái dấu → giảm tốc.
• Với $t > 2$: $v(t) > 0$, $a(t) > 0$ → cùng dấu → tăng tốc.

Kết luận: Hạt giảm tốc trong khoảng $(0; 2)$ và tăng tốc khi $t > 2$.

Bài 1.27 (trang 41)

Đề bài: Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất $x$ đơn vị hàng hoá nào đó là:

$$C(x) = 23,000 + 50x – 0{,}5 x^2 + 0{,}00175 x^3.$$

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm $C'(100)$ và giải thích ý nghĩa của nó.

c) So sánh $C'(100)$ với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ $101$.

Lời giải:

a) Hàm chi phí biên.

Chi phí biên là đạo hàm của hàm chi phí:

$$C'(x) = 50 – x + 0{,}005,25; x^2.$$

b) Tính $C'(100)$.

$$C'(100) = 50 – 100 + 0{,}005,25 \cdot 100^2 = 50 – 100 + 52{,}5 = 2{,}5\text{ (trăm nghìn đồng)}.$$

Ý nghĩa: $C'(100) = 2{,}5$ trăm nghìn đồng $= 250$ nghìn đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo (đơn vị thứ $101$) xấp xỉ $250$ nghìn đồng.

c) So sánh với chi phí sản xuất đơn vị thứ $101$.

Chi phí thực tế để sản xuất đơn vị thứ $101$:

$$C(101) – C(100).$$

Tính:

• $C(100) = 23,000 + 50 \cdot 100 – 0{,}5 \cdot 100^2 + 0{,}00175 \cdot 100^3 = 23,000 + 5,000 – 5,000 + 1,750 = 24,750$.
• $C(101) = 23,000 + 50 \cdot 101 – 0{,}5 \cdot 101^2 + 0{,}00175 \cdot 101^3 \approx 24,752{,}527$.

Do đó:

$$C(101) – C(100) \approx 2{,}527\text{ (trăm nghìn đồng)}.$$

So sánh: $C'(100) = 2{,}5$ và $C(101) – C(100) \approx 2{,}527$. Hai giá trị xấp xỉ nhau, phù hợp với ý nghĩa kinh tế của chi phí biên.

Bài 1.28 (trang 41)

Đề bài: Người quản lí của một khu chung cư có $100$ căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là $8$ triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm $100$ nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Lời giải:

Bước 1: Chọn biến và biểu diễn số căn hộ được thuê.

Gọi $p$ (triệu đồng) là giá thuê mỗi căn hộ, với $p \geq 8$.

Cứ mỗi lần tăng thêm $0{,}1$ triệu, số căn hộ được thuê giảm đi $1$. Số lần tăng: $\dfrac{p – 8}{0{,}1} = 10(p – 8)$.

Số căn hộ được thuê:

$$n(p) = 100 – 10(p – 8) = 180 – 10p.$$

Điều kiện: $n(p) \geq 0 \Leftrightarrow p \leq 18$; $p \geq 8$. Vậy $p \in [8; 18]$.

Bước 2: Lập hàm doanh thu.

$$R(p) = p \cdot n(p) = p(180 – 10p) = 180p – 10p^2.$$

Bước 3: Tìm GTLN của $R(p)$.

$$R'(p) = 180 – 20p = 0 \Leftrightarrow p = 9.$$

Vì $R”(p) = -20 < 0$, tại $p = 9$ hàm số đạt cực đại.

Kiểm tra $p = 9 \in [8; 18]$: thoả mãn.

$R(9) = 9 \cdot (180 – 90) = 9 \cdot 90 = 810$ (triệu đồng).

Kết luận: Người quản lí nên đặt giá thuê $9$ triệu đồng/căn/tháng. Khi đó có $90$ căn được thuê, doanh thu tối đa là $810$ triệu đồng/tháng.

Bài 1.29 (trang 41)

Đề bài: Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hoá được cho bởi công thức

$$p = \dfrac{354}{1 + 0{,}01 x},\quad x \geq 0,$$

trong đó $p$ là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và $x$ là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.

a) Tìm công thức tính $x$ như là hàm số của $p$. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là $240$ nghìn đồng.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $x = x(p)$. Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

• Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán $p$ tăng;
• Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn $\lim_{p \to 0^+} x(p)$.

Lời giải:

a) Tìm $x = x(p)$.

Từ $p = \dfrac{354}{1 + 0{,}01 x}$, ta có:

$$p (1 + 0{,}01 x) = 354 \Leftrightarrow 0{,}01 p \cdot x = 354 – p \Leftrightarrow x = \dfrac{354 – p}{0{,}01 p} = \dfrac{35,400 – 100 p}{p}.$$

Tìm TXĐ: Vì $x \geq 0$ và $p > 0$:

$$\dfrac{35,400 – 100 p}{p} \geq 0 \Leftrightarrow 35,400 – 100 p \geq 0 \Leftrightarrow p \leq 354.$$

Vậy TXĐ (trong bài toán thực tiễn): $p \in (0; 354]$.

Tính $x(240)$:

$$x(240) = \dfrac{35,400 – 100 \cdot 240}{240} = \dfrac{35,400 – 24,000}{240} = \dfrac{11,400}{240} = 47{,}5.$$

Vậy khi giá bán là $240$ nghìn đồng, số đơn vị sản phẩm đã bán là $47{,}5$.

b) Khảo sát $x = x(p) = \dfrac{35,400}{p} – 100$.

Trên toàn tập xác định toán học $\mathbb{R} \setminus {0}$ (để vẽ đồ thị đầy đủ):

Sự biến thiên:

$$x'(p) = -\dfrac{35,400}{p^2} < 0,\quad \forall p \neq 0.$$

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 0)$ và $(0; +\infty)$. Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận:

• $\lim_{p \to 0^-} x = -\infty$; $\lim_{p \to 0^+} x = +\infty$ → tiệm cận đứng $p = 0$.
• $\lim_{p \to \pm\infty} x = -100$ → tiệm cận ngang $x = -100$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

• Đồ thị không cắt trục tung (vì $p = 0$ không thuộc TXĐ).
• Giao với trục hoành: $x = 0 \Leftrightarrow 35,400 – 100p = 0 \Leftrightarrow p = 354$, tức điểm $(354; 0)$.
• Tâm đối xứng: giao hai tiệm cận, $I(0; -100)$.

(Lưu ý bài toán thực tiễn: chỉ lấy phần đồ thị ứng với $p \in (0; 354]$, tức nhánh phải nằm giữa tiệm cận đứng $p = 0$ và điểm $(354; 0)$.)

Trả lời câu hỏi:

Số lượng sản phẩm bán được khi $p$ tăng: Vì $x'(p) < 0$ với mọi $p \in (0; 354]$, hàm số nghịch biến. Do đó khi giá bán $p$ tăng, số lượng sản phẩm bán được $x$ giảm. (Phù hợp thực tế: hàng đắt thì bán ít.)

Ý nghĩa của $\lim_{p \to 0^+} x(p)$:

$$\lim_{p \to 0^+} x(p) = \lim_{p \to 0^+} \dfrac{35,400 – 100 p}{p} = +\infty.$$

Điều này nghĩa là khi giá bán $p$ dần về $0$ đồng, số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ tăng lên vô hạn. (Phù hợp thực tế: hàng gần như miễn phí thì rất nhiều người mua.)

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh