Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
Mở đầu trang 4
Đề bài: Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi $v(t) = 5 + 3t$ (m/s), với $t$ là thời gian (giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau $30$ giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?
Lời giải:
Bài toán yêu cầu tìm quãng đường $S(t)$ khi biết vận tốc $v(t)$. Vì $S'(t) = v(t)$ nên $S(t)$ là một nguyên hàm của $v(t)$. Bài toán sẽ được giải chi tiết ở Ví dụ 5 (dẫn qua Vận dụng) sau khi ta đã học xong khái niệm và tính chất của nguyên hàm.
1. Nguyên hàm của một hàm số
HĐ1 (trang 4)
Đề bài: Cho hai hàm số $f(x) = x^2 + 1$ và $F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + x$, với $x \in \mathbb{R}$.
a) Tính đạo hàm của hàm số $F(x)$.
b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa $F'(x)$ và $f(x)$.
Lời giải:
a) Ta có:
$$F'(x) = \left(\dfrac{1}{3}x^3 + x\right)’ = \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 + 1 = x^2 + 1.$$
b) Ta thấy $F'(x) = x^2 + 1 = f(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Nhận xét: Đạo hàm của $F(x)$ đúng bằng $f(x)$. Khi đó ta nói $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.
Luyện tập 1 (trang 5)
Đề bài: Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$?
$$F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + \ln x; \quad G(x) = \dfrac{x^2}{2} – \ln x.$$
Lời giải:
Ta chỉ cần kiểm tra đạo hàm của từng hàm số.
- $F'(x) = \left(\dfrac{1}{2}x^2 + \ln x\right)’ = x + \dfrac{1}{x} = f(x)$.
- $G'(x) = \left(\dfrac{x^2}{2} – \ln x\right)’ = x – \dfrac{1}{x} \neq f(x)$.
Vậy $F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + \ln x$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $(0; +\infty)$.
HĐ2 (trang 5)
Đề bài: Cho hàm số $f(x) = x^3$.
a) Chứng minh rằng hàm số $F(x) = \dfrac{x^4}{4}$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.
b) Hàm số $G(x) = \dfrac{x^4}{4} + C$ (với $C$ là hằng số) có là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ không? Vì sao?
Lời giải:
a) Ta có:
$$F'(x) = \left(\dfrac{x^4}{4}\right)’ = \dfrac{4x^3}{4} = x^3 = f(x), \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$
Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.
b) Ta có (vì đạo hàm của hằng số bằng $0$):
$$G'(x) = \left(\dfrac{x^4}{4} + C\right)’ = x^3 + 0 = x^3 = f(x), \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$
Vậy $G(x) = \dfrac{x^4}{4} + C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ với mọi hằng số $C$.
Luyện tập 2 (trang 6)
Đề bài: Tìm $\displaystyle\int x^3, dx$.
Lời giải:
Ở HĐ2, ta đã có $F(x) = \dfrac{x^4}{4}$ là một nguyên hàm của $x^3$. Do đó, họ nguyên hàm là:
$$\int x^3, dx = \dfrac{x^4}{4} + C.$$
2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
HĐ3 (trang 6)
Đề bài: Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $K$, $k$ là một hằng số khác $0$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$.
a) Chứng minh $kF(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $kf(x)$ trên $K$.
b) Nêu nhận xét về $\displaystyle\int kf(x), dx$ và $k\displaystyle\int f(x), dx$.
Lời giải:
a) Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên $F'(x) = f(x)$. Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích với hằng số:
$$(kF(x))’ = k \cdot F'(x) = k \cdot f(x) = kf(x).$$
Vậy $kF(x)$ là một nguyên hàm của $kf(x)$ trên $K$.
b) Từ câu a, họ nguyên hàm của $kf(x)$ là $kF(x) + C$. Mặt khác:
$$k\int f(x), dx = k(F(x) + C_1) = kF(x) + kC_1.$$
Do $kC_1$ (với $C_1$ tuỳ ý và $k \neq 0$) cũng là một hằng số tuỳ ý, ta có thể viết:
$$\boxed{\int kf(x), dx = k\int f(x), dx \quad (k \neq 0).}$$
Luyện tập 3 (trang 7)
Đề bài: Cho hàm số $f(x) = x^n\ (n \in \mathbb{N}^*)$.
a) Chứng minh rằng hàm số $F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Từ đó tìm $\displaystyle\int x^n, dx$.
b) Từ kết quả câu a, tìm $\displaystyle\int kx^n, dx$ ($k$ là hằng số khác $0$).
Lời giải:
a) Ta có:
$$F'(x) = \left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)’ = \dfrac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n = f(x).$$
Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Suy ra:
$$\int x^n, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C.$$
b) Áp dụng tính chất ở HĐ3:
$$\int kx^n, dx = k\int x^n, dx = k \cdot \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C = \dfrac{kx^{n+1}}{n+1} + C.$$
HĐ4 (trang 7)
Đề bài: Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên $K$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$, $G(x)$ là một nguyên hàm của $g(x)$ trên $K$.
a) Chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) + g(x)$ trên $K$.
b) Nêu nhận xét về $\displaystyle\int [f(x) + g(x)], dx$ và $\displaystyle\int f(x), dx + \displaystyle\int g(x), dx$.
Lời giải:
a) Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng:
$$(F(x) + G(x))’ = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x).$$
Vậy $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) + g(x)$ trên $K$.
b) Từ câu a, ta có:
$$\int [f(x) + g(x)], dx = \int f(x), dx + \int g(x), dx.$$
Tương tự với hiệu, ta được hai tính chất quan trọng:
$$\boxed{\int [f(x) \pm g(x)], dx = \int f(x), dx \pm \int g(x), dx.}$$
Luyện tập 4 (trang 7)
Đề bài: Tìm
a) $\displaystyle\int (3x^2 + 1), dx$;
b) $\displaystyle\int (2x – 1)^2, dx$.
Lời giải:
a) Tách tổng và đưa hằng số ra ngoài:
$$\int (3x^2 + 1), dx = 3\int x^2, dx + \int 1, dx = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} + x + C = x^3 + x + C.$$
b) Khai triển hằng đẳng thức trước:
$(2x – 1)^2 = 4x^2 – 4x + 1$.
$$\int (2x – 1)^2, dx = \int (4x^2 – 4x + 1), dx = 4 \cdot \dfrac{x^3}{3} – 4 \cdot \dfrac{x^2}{2} + x + C = \dfrac{4x^3}{3} – 2x^2 + x + C.$$
Vận dụng (trang 8)
Đề bài: Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩm là số tiền $R(x)$ (triệu đồng) thu được khi $x$ đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động của doanh thu là $M_R(x) = R'(x)$. Một công ty công nghệ cho biết tốc độ biến động của doanh thu khi bán một loại con chíp là $M_R(x) = 300 – 0{,}1x$. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán $1,000$ con chíp.
Lời giải:
Vì $R'(x) = M_R(x)$ nên $R(x)$ là một nguyên hàm của $M_R(x)$:
$$R(x) = \int (300 – 0{,}1x), dx = 300x – 0{,}1 \cdot \dfrac{x^2}{2} + C = 300x – 0{,}05x^2 + C.$$
Xác định hằng số $C$: Khi chưa bán được sản phẩm nào ($x = 0$) thì doanh thu bằng $0$, tức $R(0) = 0$. Suy ra $C = 0$.
Vậy $R(x) = 300x – 0{,}05x^2$.
Doanh thu khi bán $1,000$ con chíp:
$$R(1,000) = 300 \cdot 1,000 – 0{,}05 \cdot 1,000^2 = 300,000 – 50,000 = 250,000 \text{ (triệu đồng)}.$$
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Câu hỏi (trang 8)
Đề bài: Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng hàm số luỹ thừa $y = x^\alpha\ (x > 0)$, hãy tính đạo hàm của các hàm số sau với $x > 0$:
$$y = \dfrac{1}{x^4}; \quad y = x^{\sqrt{2}}; \quad y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}.$$
Lời giải:
Áp dụng công thức $(x^\alpha)’ = \alpha x^{\alpha – 1}$ với $x > 0$:
- $y = \dfrac{1}{x^4} = x^{-4} \Rightarrow y’ = -4x^{-5} = -\dfrac{4}{x^5}$.
- $y = x^{\sqrt{2}} \Rightarrow y’ = \sqrt{2}, x^{\sqrt{2} – 1}$.
- $y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-\tfrac{1}{3}} \Rightarrow y’ = -\dfrac{1}{3} x^{-\tfrac{4}{3}} = -\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$.
HĐ5 (trang 8)
Đề bài:
a) Với $\alpha \neq -1$, tính đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1}\ (x > 0)$.
b) Cho hàm số $y = \ln|x|\ (x \neq 0)$. Tính đạo hàm của hàm số này trong hai trường hợp: $x > 0$ và $x < 0$.
Lời giải:
a) Đưa hằng số $\dfrac{1}{\alpha + 1}$ ra ngoài rồi áp dụng $(x^\alpha)’ = \alpha x^{\alpha – 1}$:
$$y’ = \dfrac{1}{\alpha + 1} \cdot (\alpha + 1) x^\alpha = x^\alpha.$$
b)
- Nếu $x > 0$: $y = \ln x \Rightarrow y’ = \dfrac{1}{x}$.
- Nếu $x < 0$: $y = \ln(-x)$. Đặt $u = -x$, ta có $y’ = \dfrac{1}{u} \cdot (-1) = \dfrac{-1}{-x} = \dfrac{1}{x}$.
Vậy trong cả hai trường hợp, $(\ln|x|)’ = \dfrac{1}{x}$.
Kết luận: Từ HĐ5, ta thu được hai công thức nguyên hàm quan trọng:
$$\int x^\alpha, dx = \dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C\ (\alpha \neq -1); \quad \int \dfrac{1}{x}, dx = \ln|x| + C.$$
Luyện tập 5 (trang 9)
Đề bài: Tìm:
a) $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^4}, dx$;
b) $\displaystyle\int x\sqrt{x}, dx\ (x > 0)$;
c) $\displaystyle\int \left(\dfrac{3}{x} – 5\sqrt[3]{x}\right) dx\ (x > 0)$.
Lời giải:
a) Viết $\dfrac{1}{x^4} = x^{-4}$:
$$\int x^{-4}, dx = \dfrac{x^{-4 + 1}}{-4 + 1} + C = \dfrac{x^{-3}}{-3} + C = -\dfrac{1}{3x^3} + C.$$
b) Viết $x\sqrt{x} = x \cdot x^{\tfrac{1}{2}} = x^{\tfrac{3}{2}}$:
$$\int x^{\tfrac{3}{2}}, dx = \dfrac{x^{\tfrac{3}{2} + 1}}{\tfrac{3}{2} + 1} + C = \dfrac{x^{\tfrac{5}{2}}}{\tfrac{5}{2}} + C = \dfrac{2}{5} x^2 \sqrt{x} + C.$$
c) Tách thành tổng, viết $\sqrt[3]{x} = x^{\tfrac{1}{3}}$:
$$\int \left(\dfrac{3}{x} – 5x^{\tfrac{1}{3}}\right) dx = 3\int \dfrac{1}{x}, dx – 5\int x^{\tfrac{1}{3}}, dx = 3\ln|x| – 5 \cdot \dfrac{x^{\tfrac{4}{3}}}{\tfrac{4}{3}} + C.$$
$$= 3\ln x – \dfrac{15}{4} x\sqrt[3]{x} + C.$$
HĐ6 (trang 9)
Đề bài:
a) Tính đạo hàm của các hàm số $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$.
b) Từ kết quả câu a, tìm nguyên hàm của $\cos x$, $\sin x$, $\dfrac{1}{\cos^2 x}$, $\dfrac{1}{\sin^2 x}$.
Lời giải:
a) Nhắc lại các công thức đạo hàm đã học ở lớp 11:
| $F(x)$ | $\sin x$ | $\cos x$ | $\tan x$ | $\cot x$ |
|---|---|---|---|---|
| $F'(x)$ | $\cos x$ | $-\sin x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $-\dfrac{1}{\sin^2 x}$ |
b) Với mỗi hàm $f(x)$, ta tìm $F(x)$ ở bảng trên sao cho $F'(x) = f(x)$:
| $f(x)$ | $\cos x$ | $\sin x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ |
|---|---|---|---|---|
| $\displaystyle\int f(x), dx$ | $\sin x + C$ | $-\cos x + C$ | $\tan x + C$ | $-\cot x + C$ |
Luyện tập 6 (trang 9)
Đề bài: Tìm:
a) $\displaystyle\int (3\cos x – 4\sin x), dx$;
b) $\displaystyle\int \left(\dfrac{1}{\cos^2 x} – \dfrac{1}{\sin^2 x}\right) dx$.
Lời giải:
a) Tách và đưa hằng số ra ngoài:
$$\int (3\cos x – 4\sin x), dx = 3\int \cos x, dx – 4\int \sin x, dx = 3\sin x – 4(-\cos x) + C = 3\sin x + 4\cos x + C.$$
b) Tách hiệu:
$$\int \left(\dfrac{1}{\cos^2 x} – \dfrac{1}{\sin^2 x}\right) dx = \tan x – (-\cot x) + C = \tan x + \cot x + C.$$
HĐ7 (trang 10)
Đề bài:
a) Tính đạo hàm của các hàm số $e^x$ và $\dfrac{a^x}{\ln a}\ (0 < a \neq 1)$.
b) Từ kết quả câu a, tìm nguyên hàm của $e^x$ và $a^x$.
Lời giải:
a) Áp dụng công thức đạo hàm hàm mũ (đã học lớp 11): $(e^x)’ = e^x$ và $(a^x)’ = a^x \ln a$.
| $F(x)$ | $e^x$ | $\dfrac{a^x}{\ln a}$ |
|---|---|---|
| $F'(x)$ | $e^x$ | $\dfrac{a^x \ln a}{\ln a} = a^x$ |
b) Từ bảng trên:
| $f(x)$ | $e^x$ | $a^x\ (0 < a \neq 1)$ |
|---|---|---|
| $\displaystyle\int f(x), dx$ | $e^x + C$ | $\dfrac{a^x}{\ln a} + C$ |
Luyện tập 7 (trang 10)
Đề bài: Tìm:
a) $\displaystyle\int 4^x, dx$;
b) $\displaystyle\int \dfrac{1}{e^x}, dx$;
c) $\displaystyle\int \left(2 \cdot 3^x – \dfrac{1}{3} \cdot 7^x\right) dx$.
Lời giải:
a) Áp dụng $\displaystyle\int a^x, dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$ với $a = 4$:
$$\int 4^x, dx = \dfrac{4^x}{\ln 4} + C.$$
b) Viết $\dfrac{1}{e^x} = \left(\dfrac{1}{e}\right)^x$. Áp dụng công thức với $a = \dfrac{1}{e}$ (và $\ln \dfrac{1}{e} = -1$):
$$\int \left(\dfrac{1}{e}\right)^x dx = \dfrac{\left(\tfrac{1}{e}\right)^x}{\ln \tfrac{1}{e}} + C = \dfrac{\left(\tfrac{1}{e}\right)^x}{-1} + C = -\dfrac{1}{e^x} + C.$$
c) Tách hiệu và đưa hằng số ra ngoài:
$$\int \left(2 \cdot 3^x – \dfrac{1}{3} \cdot 7^x\right) dx = 2\int 3^x, dx – \dfrac{1}{3}\int 7^x, dx = \dfrac{2 \cdot 3^x}{\ln 3} – \dfrac{7^x}{3\ln 7} + C.$$
Bài tập (trang 11)
Bài 4.1 (trang 11)
Đề bài: Trong mỗi trường hợp sau, hàm số $F(x)$ có là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng tương ứng không? Vì sao?
a) $F(x) = x\ln x$ và $f(x) = 1 + \ln x$ trên khoảng $(0; +\infty)$;
b) $F(x) = e^{\sin x}$ và $f(x) = e^{\cos x}$ trên $\mathbb{R}$.
Lời giải: Ta chỉ cần tính $F'(x)$ và so sánh với $f(x)$.
a) Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích $(uv)’ = u’v + uv’$ với $u = x$, $v = \ln x$:
$$F'(x) = (x)’ \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)’ = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 = f(x).$$
Vậy $F(x) = x\ln x$ là một nguyên hàm của $f(x) = 1 + \ln x$ trên $(0; +\infty)$.
b) Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp $(e^u)’ = u’ \cdot e^u$ với $u = \sin x$:
$$F'(x) = (\sin x)’ \cdot e^{\sin x} = \cos x \cdot e^{\sin x}.$$
Ta thấy $F'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x} \neq e^{\cos x} = f(x)$ (chẳng hạn tại $x = 0$: $F'(0) = 1 \cdot 1 = 1$ nhưng $f(0) = e^1 = e$).
Vậy $F(x) = e^{\sin x}$ không phải là nguyên hàm của $f(x) = e^{\cos x}$.
Bài 4.2 (trang 11)
Đề bài: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) $f(x) = 3x^2 + 2x – 1$;
b) $f(x) = x^3 – x$;
c) $f(x) = (2x + 1)^2$;
d) $f(x) = \left(2x – \dfrac{1}{x}\right)^2$.
Lời giải:
a) Tách tổng và áp dụng $\displaystyle\int x^n, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$$\int (3x^2 + 2x – 1), dx = 3 \cdot \dfrac{x^3}{3} + 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} – x + C = x^3 + x^2 – x + C.$$
b) $\displaystyle\int (x^3 – x), dx = \dfrac{x^4}{4} – \dfrac{x^2}{2} + C.$
c) Khai triển: $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$.
$$\int (4x^2 + 4x + 1), dx = \dfrac{4x^3}{3} + 2x^2 + x + C.$$
d) Khai triển hằng đẳng thức:
$$\left(2x – \dfrac{1}{x}\right)^2 = 4x^2 – 2 \cdot 2x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 4x^2 – 4 + \dfrac{1}{x^2}.$$
$$\int \left(4x^2 – 4 + \dfrac{1}{x^2}\right) dx = \dfrac{4x^3}{3} – 4x + \int x^{-2}, dx = \dfrac{4x^3}{3} – 4x – \dfrac{1}{x} + C.$$
Bài 4.3 (trang 11)
Đề bài: Tìm:
a) $\displaystyle\int \left(3\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) dx$;
b) $\displaystyle\int \sqrt{x}(7x^2 – 3), dx\ (x > 0)$;
c) $\displaystyle\int \dfrac{(2x + 1)^2}{x^2}, dx$;
d) $\displaystyle\int \left(2^x + \dfrac{3}{x^2}\right) dx$.
Lời giải:
a) Đưa về luỹ thừa: $\sqrt{x} = x^{\tfrac{1}{2}}$, $\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-\tfrac{1}{3}}$.
$$\int \left(3x^{\tfrac{1}{2}} + x^{-\tfrac{1}{3}}\right) dx = 3 \cdot \dfrac{x^{\tfrac{3}{2}}}{\tfrac{3}{2}} + \dfrac{x^{\tfrac{2}{3}}}{\tfrac{2}{3}} + C = 2x\sqrt{x} + \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C.$$
b) Phân phối rồi đưa về luỹ thừa: $\sqrt{x}(7x^2 – 3) = 7x^{\tfrac{5}{2}} – 3x^{\tfrac{1}{2}}$.
$$\int \left(7x^{\tfrac{5}{2}} – 3x^{\tfrac{1}{2}}\right) dx = 7 \cdot \dfrac{x^{\tfrac{7}{2}}}{\tfrac{7}{2}} – 3 \cdot \dfrac{x^{\tfrac{3}{2}}}{\tfrac{3}{2}} + C = 2x^3\sqrt{x} – 2x\sqrt{x} + C.$$
c) Khai triển và chia từng hạng tử cho $x^2$:
$$\dfrac{(2x+1)^2}{x^2} = \dfrac{4x^2 + 4x + 1}{x^2} = 4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2}.$$
$$\int \left(4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right) dx = 4x + 4\ln|x| – \dfrac{1}{x} + C.$$
d) Tách tổng:
$$\int \left(2^x + \dfrac{3}{x^2}\right) dx = \int 2^x, dx + 3\int x^{-2}, dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} – \dfrac{3}{x} + C.$$
Bài 4.4 (trang 11)
Đề bài: Tìm:
a) $\displaystyle\int \left(2\cos x – \dfrac{3}{\sin^2 x}\right) dx$;
b) $\displaystyle\int 4\sin^2 \dfrac{x}{2}, dx$;
c) $\displaystyle\int \left(\sin \dfrac{x}{2} – \cos \dfrac{x}{2}\right)^2 dx$;
d) $\displaystyle\int (x + \tan^2 x), dx$.
Lời giải:
a) Tách hiệu và áp dụng bảng nguyên hàm:
$$\int \left(2\cos x – \dfrac{3}{\sin^2 x}\right) dx = 2\sin x – 3 \cdot (-\cot x) + C = 2\sin x + 3\cot x + C.$$
b) Dùng công thức hạ bậc: $\sin^2 \dfrac{x}{2} = \dfrac{1 – \cos x}{2}$, suy ra $4\sin^2 \dfrac{x}{2} = 2(1 – \cos x) = 2 – 2\cos x$.
$$\int (2 – 2\cos x), dx = 2x – 2\sin x + C.$$
c) Khai triển:
$$\left(\sin \dfrac{x}{2} – \cos \dfrac{x}{2}\right)^2 = \sin^2 \dfrac{x}{2} – 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} + \cos^2 \dfrac{x}{2} = 1 – \sin x$$
(dùng $\sin^2 u + \cos^2 u = 1$ và $2\sin u \cos u = \sin 2u$).
$$\int (1 – \sin x), dx = x – (-\cos x) + C = x + \cos x + C.$$
d) Dùng đồng nhất thức $\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} – 1$:
$$\int \left(x + \dfrac{1}{\cos^2 x} – 1\right) dx = \dfrac{x^2}{2} + \tan x – x + C.$$
Bài 4.5 (trang 11)
Đề bài: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(0; +\infty)$. Biết rằng $f'(x) = 2x + \dfrac{1}{x^2}$ với mọi $x \in (0; +\infty)$ và $f(1) = 1$. Tính giá trị $f(4)$.
Lời giải:
Bước 1: Tìm họ nguyên hàm. Vì $f'(x) = 2x + \dfrac{1}{x^2} = 2x + x^{-2}$ nên:
$$f(x) = \int \left(2x + x^{-2}\right) dx = 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^{-1}}{-1} + C = x^2 – \dfrac{1}{x} + C.$$
Bước 2: Xác định $C$ nhờ điều kiện $f(1) = 1$:
$$f(1) = 1^2 – \dfrac{1}{1} + C = C = 1 \Rightarrow C = 1.$$
Vậy $f(x) = x^2 – \dfrac{1}{x} + 1$.
Bước 3: Tính $f(4)$:
$$f(4) = 16 – \dfrac{1}{4} + 1 = 17 – \dfrac{1}{4} = \dfrac{67}{4} = 16{,}75.$$
Bài 4.6 (trang 11)
Đề bài: Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị là $(C)$. Xét điểm $M(x; f(x))$ thay đổi trên $(C)$. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ là $k_M = (x – 1)^2$ và điểm $M$ trùng với gốc toạ độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức $f(x)$.
Lời giải:
Ý nghĩa hình học: Hệ số góc tiếp tuyến tại $M(x; f(x))$ chính là $f'(x)$. Do đó:
$$f'(x) = (x – 1)^2 = x^2 – 2x + 1.$$
Tìm họ nguyên hàm:
$$f(x) = \int (x^2 – 2x + 1), dx = \dfrac{x^3}{3} – x^2 + x + C.$$
Xác định $C$: Điểm $M$ nằm trên trục tung khi $x = 0$, và lúc đó $M$ trùng gốc toạ độ, tức $f(0) = 0$:
$$f(0) = 0 – 0 + 0 + C = C = 0 \Rightarrow C = 0.$$
Vậy:
$$f(x) = \dfrac{x^3}{3} – x^2 + x.$$
Bài 4.7 (trang 11)
Đề bài: Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm $t$ giây (coi $t = 0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi $v(t) = 160 – 9{,}8t$ (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):
a) Sau $t = 5$ giây;
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).
Lời giải:
Bước 1: Tìm độ cao $h(t)$. Vì $h'(t) = v(t)$ nên $h(t)$ là một nguyên hàm của $v(t)$:
$$h(t) = \int (160 – 9{,}8t), dt = 160t – 9{,}8 \cdot \dfrac{t^2}{2} + C = 160t – 4{,}9t^2 + C.$$
Viên đạn được bắn từ mặt đất, tức $h(0) = 0$, nên $C = 0$. Vậy:
$$h(t) = 160t – 4{,}9t^2\ (\text{m}).$$
a) Độ cao sau $t = 5$ giây:
$$h(5) = 160 \cdot 5 – 4{,}9 \cdot 25 = 800 – 122{,}5 = 677{,}5\ (\text{m}).$$
b) Độ cao lớn nhất: Viên đạn đạt độ cao lớn nhất khi vận tốc bằng $0$:
$$v(t) = 0 \Leftrightarrow 160 – 9{,}8t = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{160}{9{,}8} = \dfrac{800}{49} \approx 16{,}33\ (\text{giây}).$$
Thay vào $h(t)$:
$$h_{\max} = 160 \cdot \dfrac{800}{49} – 4{,}9 \cdot \left(\dfrac{800}{49}\right)^2 = \dfrac{64,000}{49} \approx 1,306{,}1\ (\text{m}).$$
Vậy độ cao lớn nhất viên đạn đạt được xấp xỉ $1.306{,}1$ m.
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh