Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
1. Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra
Thực hành 1 (trang 82)
Đề bài: Sử dụng phần mềm GeoGebra, tính:
a) $\displaystyle\int \dfrac{x^2 – 2x + 2}{x + 1}, dx$;
b) $\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} e^x \cos 2x, dx$.
Lời giải:
a) Tính nguyên hàm. Đây là bài toán tìm họ nguyên hàm nên ta dùng lệnh IntegralSymbolic (tiếng Anh) hoặc TíchPhân (tiếng Việt).
Nhập lệnh vào ô nhập của cửa sổ CAS:
IntegralSymbolic((x^2 - 2x + 2) / (x + 1))
Kết quả GeoGebra trả về:
$$\int \dfrac{x^2 – 2x + 2}{x + 1}, dx = \dfrac{x^2}{2} – 3x + 5\ln|x + 1| + C.$$
Kiểm tra bằng tay (không bắt buộc): thực hiện phép chia đa thức $x^2 – 2x + 2 = (x + 1)(x – 3) + 5$, nên:
$$\dfrac{x^2 – 2x + 2}{x + 1} = x – 3 + \dfrac{5}{x + 1}.$$
Tích phân từng số hạng:
$$\int \left(x – 3 + \dfrac{5}{x + 1}\right) dx = \dfrac{x^2}{2} – 3x + 5\ln|x + 1| + C \quad \checkmark.$$
b) Tính tích phân xác định. Đây là bài toán có cận, ta dùng lệnh NIntegral (tiếng Anh) hoặc TíchPhânXácĐịnh (tiếng Việt).
Nhập lệnh:
NIntegral(exp(x)·cos(2x), 0, pi/2)
Kết quả GeoGebra trả về (gần đúng):
$$\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} e^x \cos 2x, dx \approx -1{,}16.$$
2. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang
Thực hành 2 (trang 84)
Đề bài: Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{e^x}{x}, dx$ với độ chính xác $0{,}01$.
Lời giải:
Đặt $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$ trên $[1; 2]$. Ta thực hiện lần lượt ba bước theo thuật toán trong SGK.
Bước 1: Tính $f”(x)$ và tìm $M = \max_{x \in [1; 2]} |f”(x)|$.
Tính đạo hàm cấp một (dùng công thức đạo hàm của thương):
$$f'(x) = \dfrac{e^x \cdot x – e^x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{e^x(x – 1)}{x^2}.$$
Tính đạo hàm cấp hai (dùng quy tắc tích và thương):
$$f”(x) = \dfrac{e^x(x^2 – 2x + 2)}{x^3}.$$
Chú ý $x^2 – 2x + 2 = (x – 1)^2 + 1 > 0$ và $x^3 > 0$ với mọi $x \in [1; 2]$, nên $f”(x) > 0$ trên $[1; 2]$.
Tính giá trị tại hai đầu mút:
- $f”(1) = \dfrac{e \cdot 1}{1} = e \approx 2{,}72$.
- $f”(2) = \dfrac{e^2 \cdot 2}{8} = \dfrac{e^2}{4} \approx 1{,}85$.
Kiểm tra bằng cách xét đạo hàm cấp ba (không trình bày chi tiết), có thể chứng minh $f”(x)$ giảm rồi tăng nhẹ trên $[1; 2]$, nhưng vẫn nhỏ hơn $f”(1)$. Do đó:
$$M = \max_{x \in [1; 2]} |f”(x)| = f”(1) = e.$$
Bước 2: Tìm $n$ sao cho sai số $|E| < 0{,}01$.
Áp dụng công thức đánh giá sai số với $a = 1$, $b = 2$:
$$|E| \le \dfrac{(b – a)^3 M}{12 n^2} = \dfrac{1 \cdot e}{12 n^2} = \dfrac{e}{12 n^2} < 0{,}01.$$
$$\Leftrightarrow n^2 > \dfrac{e}{12 \cdot 0{,}01} = \dfrac{e}{0{,}12} \approx 22{,}65.$$
Chọn $n = 5$ (thoả mãn $5^2 = 25 > 22{,}65$).
Bước 3: Chia đoạn $[1; 2]$ thành 5 phần bằng nhau và áp dụng công thức hình thang.
Độ dài mỗi đoạn: $\Delta x = \dfrac{2 – 1}{5} = 0{,}2$. Các mốc:
$$x_0 = 1;\ x_1 = 1{,}2;\ x_2 = 1{,}4;\ x_3 = 1{,}6;\ x_4 = 1{,}8;\ x_5 = 2.$$
Bảng giá trị $f(x_i) = \dfrac{e^{x_i}}{x_i}$ (làm tròn 4 chữ số thập phân):
| $x_i$ | $1$ | $1{,}2$ | $1{,}4$ | $1{,}6$ | $1{,}8$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x_i)$ | $2{,}7183$ | $2{,}7668$ | $2{,}8966$ | $3{,}0956$ | $3{,}3609$ | $3{,}6945$ |
Áp dụng công thức hình thang:
$$\int_1^2 \dfrac{e^x}{x}, dx \approx \dfrac{2 – 1}{2 \cdot 5}\left[f(x_0) + 2(f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4)) + f(x_5)\right].$$
Tính tổng giữa:
$$f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) = 2{,}7668 + 2{,}8966 + 3{,}0956 + 3{,}3609 = 12{,}1199.$$
Thay vào công thức:
$$\int_1^2 \dfrac{e^x}{x}, dx \approx \dfrac{1}{10}\left[2{,}7183 + 2 \cdot 12{,}1199 + 3{,}6945\right].$$
$$= \dfrac{1}{10} \cdot [2{,}7183 + 24{,}2398 + 3{,}6945] = \dfrac{30{,}6526}{10} \approx 3{,}065.$$
Vậy $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{e^x}{x}, dx \approx \mathbf{3{,}065}$ (với sai số nhỏ hơn $0{,}01$).
Vận dụng (trang 84)
Đề bài: Một thân cây dài $4{,}8$ m được cắt thành các khúc gỗ dài $60$ cm. Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích $S$ của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây $x$ (cm) là khoảng cách tính từ đỉnh thân cây đến vết cắt.
| $x$ (cm) | $0$ | $60$ | $120$ | $180$ | $240$ | $300$ | $360$ | $420$ | $480$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $S$ (cm²) | $240$ | $248$ | $256$ | $260$ | $264$ | $272$ | $298$ | $316$ | $320$ |
Tìm thể tích gần đúng của thân cây này.
Lời giải:
Bước 1: Thiết lập tích phân. Theo hướng dẫn, thể tích cần tính là:
$$V = \int_0^{480} S(x), dx.$$
Bước 2: Áp dụng phương pháp hình thang.
Bảng có $9$ mốc (từ $x_0 = 0$ đến $x_8 = 480$), tức đoạn $[0; 480]$ được chia sẵn thành $n = 8$ đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn dài $\Delta x = 60$ cm.
Áp dụng công thức hình thang với $a = 0$, $b = 480$, $n = 8$:
$$V \approx \dfrac{b – a}{2n}\left[S_0 + 2(S_1 + S_2 + \ldots + S_7) + S_8\right] = \dfrac{480}{16}\left[S_0 + 2(S_1 + \ldots + S_7) + S_8\right].$$
Hệ số phía trước: $\dfrac{480}{16} = 30$.
Bước 3: Tính tổng các giá trị $S_i$ ở giữa (từ $S_1$ đến $S_7$):
$$S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 + S_6 + S_7 = 248 + 256 + 260 + 264 + 272 + 298 + 316.$$
Cộng lần lượt:
$$248 + 256 = 504.$$ $$504 + 260 = 764.$$ $$764 + 264 = 1,028.$$ $$1,028 + 272 = 1,300.$$ $$1,300 + 298 = 1,598.$$ $$1,598 + 316 = 1,914.$$
Vậy tổng giữa bằng $1,914$.
Bước 4: Thay vào công thức.
$$V \approx 30 \cdot [240 + 2 \cdot 1,914 + 320] = 30 \cdot [240 + 3,828 + 320] = 30 \cdot 4,388.$$
$$V \approx 131,640\ (\text{cm}^3) \approx 0{,}132\ \text{m}^3.$$
Vậy thể tích gần đúng của thân cây là $131,640$ cm³ (khoảng $0{,}132$ m³).
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh