A – Trắc nghiệm (trang 79)

Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu từ 6.12 đến 6.14:

Cho $P(A) = \dfrac{2}{5}$; $P(B|A) = \dfrac{1}{3}$; $P(B|\overline{A}) = \dfrac{1}{4}$.

Bài 6.12 (trang 79)

Đề bài: Giá trị của $P(AB)$ là

A. $\dfrac{2}{15}$.
B. $\dfrac{3}{16}$.
C. $\dfrac{1}{5}$.
D. $\dfrac{4}{15}$.

Lời giải: Áp dụng công thức nhân xác suất:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{15}.$$

Chọn A.

Bài 6.13 (trang 79)

Đề bài: Giá trị của $P(B\overline{A})$ là

A. $\dfrac{1}{7}$.
B. $\dfrac{4}{19}$.
C. $\dfrac{4}{21}$.
D. $\dfrac{3}{20}$.

Lời giải: Có $P(\overline{A}) = 1 – \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$. Áp dụng công thức nhân xác suất:

$$P(B\overline{A}) = P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{20}.$$

Chọn D.

Bài 6.14 (trang 79)

Đề bài: Giá trị của $P(B)$ là

A. $\dfrac{19}{60}$.
B. $\dfrac{17}{60}$.
C. $\dfrac{9}{20}$.
D. $\dfrac{7}{30}$.

Lời giải: Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) = \dfrac{2}{15} + \dfrac{3}{20}.$$

Quy đồng mẫu số ($60$):

$$P(B) = \dfrac{8}{60} + \dfrac{9}{60} = \dfrac{17}{60}.$$

Chọn B.

Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu từ 6.15 đến 6.17:

Bạn An có một túi gồm một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có $6$ chiếc kẹo sô cô la đen, còn lại $4$ chiếc kẹo sô cô la trắng. An lấy ngẫu nhiên $1$ chiếc kẹo trong túi để cho Bình, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp $1$ chiếc kẹo nữa trong túi và cũng đưa cho Bình.

Bài 6.15 (trang 79)

Đề bài: Xác suất để Bình nhận được $2$ chiếc kẹo sô cô la đen là

A. $\dfrac{1}{3}$.
B. $\dfrac{1}{4}$.
C. $\dfrac{2}{5}$.
D. $\dfrac{3}{7}$.

Lời giải: Túi ban đầu có $10$ chiếc kẹo ($6$ đen + $4$ trắng). Áp dụng công thức nhân xác suất cho hai lần lấy liên tiếp không trả lại:

• Lần 1 lấy đen: xác suất $\dfrac{6}{10}$.
• Lần 2 lấy đen khi lần 1 đã lấy đen: còn $9$ chiếc ($5$ đen + $4$ trắng), xác suất $\dfrac{5}{9}$.

$$P(\text{2 đen}) = \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{5}{9} = \dfrac{30}{90} = \dfrac{1}{3}.$$

Chọn A.

Bài 6.16 (trang 79)

Đề bài: Xác suất để Bình nhận được $2$ chiếc kẹo sô cô la trắng là

A. $\dfrac{1}{5}$.
B. $\dfrac{2}{15}$.
C. $\dfrac{3}{16}$.
D. $\dfrac{4}{17}$.

Lời giải: Tương tự bài 6.15:

• Lần 1 lấy trắng: xác suất $\dfrac{4}{10}$.
• Lần 2 lấy trắng khi lần 1 đã lấy trắng: còn $9$ chiếc ($6$ đen + $3$ trắng), xác suất $\dfrac{3}{9}$.

$$P(\text{2 trắng}) = \dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}.$$

Chọn B.

Bài 6.17 (trang 79)

Đề bài: Xác suất để Bình nhận được chiếc kẹo sô cô la đen ở lần thứ nhất, chiếc kẹo sô cô la trắng ở lần thứ hai là

A. $\dfrac{1}{5}$.
B. $\dfrac{3}{16}$.
C. $\dfrac{1}{4}$.
D. $\dfrac{4}{17}$.

Lời giải:

• Lần 1 lấy đen: xác suất $\dfrac{6}{10}$.
• Lần 2 lấy trắng khi lần 1 đã lấy đen: còn $9$ chiếc ($5$ đen + $4$ trắng), xác suất $\dfrac{4}{9}$.

$$P(\text{đen ở L1, trắng ở L2}) = \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{24}{90} = \dfrac{4}{15}.$$

Nhận xét: Kết quả $\dfrac{4}{15}$ không trùng với bất kỳ đáp án A, B, C, D nào ở trên. Học sinh nên chọn đáp án gần nhất hoặc kiểm tra lại đề bài.

Note: Bài này có thể đề in nhầm phương án A “$\dfrac{1}{5}$” thay vì “$\dfrac{4}{15}$”.

B – Tự luận (trang 79 – 80)

Bài 6.18 (trang 79)

Đề bài: Để thử nghiệm tác dụng điều trị bệnh mất ngủ của hai loại thuốc X và Y, người ta tiến hành thử nghiệm trên $4,000$ người bệnh tình nguyện. Kết quả được cho trong bảng thống kê $2 \times 2$ sau:

Chọn ngẫu nhiên $1$ người bệnh tham gia tình nguyện thử nghiệm thuốc.

a) Tính xác suất để người đó khỏi bệnh nếu biết người bệnh đó uống thuốc X.

b) Tính xác suất để người bệnh đó uống thuốc Y, biết rằng người đó khỏi bệnh.

Lời giải:

Đọc bảng:

• Số người uống thuốc X: $1,600 + 800 = 2,400$.
• Số người uống thuốc Y: $1,200 + 400 = 1,600$.
• Số người khỏi bệnh: $1,600 + 1,200 = 2,800$.
• Số người không khỏi bệnh: $800 + 400 = 1,200$.

Gọi $X$ là biến cố “uống thuốc X”; $Y$ là biến cố “uống thuốc Y”; $K$ là biến cố “khỏi bệnh”.

a) $P(K|X)$: trong $2,400$ người uống thuốc X, có $1,600$ người khỏi:

$$P(K|X) = \dfrac{n(KX)}{n(X)} = \dfrac{1,600}{2,400} = \dfrac{2}{3}.$$

b) $P(Y|K)$: trong $2,800$ người khỏi bệnh, có $1,200$ người uống thuốc Y:

$$P(Y|K) = \dfrac{n(YK)}{n(K)} = \dfrac{1,200}{2,800} = \dfrac{3}{7}.$$

Bài 6.19 (trang 80)

Đề bài: Một nhóm có $25$ học sinh, trong đó có $14$ em học khá môn Toán, $16$ em học khá môn Vật lí, $1$ em không học khá cả hai môn Toán và Vật lí. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số đó. Tính xác suất để học sinh đó:

a) Học khá môn Toán, đồng thời học khá môn Vật lí;

b) Học khá môn Toán, nhưng không học khá môn Vật lí;

c) Học khá môn Toán, biết rằng học sinh đó học khá môn Vật lí.

Lời giải:

Gọi $T$ là biến cố “học sinh học khá môn Toán”; $V$ là biến cố “học sinh học khá môn Vật lí”.

Bước 1: Xác định số học sinh trong các nhóm.

Vì chỉ có $1$ em không học khá cả hai môn, nên số học sinh học khá ít nhất một môn là:

$$n(T \cup V) = 25 – 1 = 24.$$

Áp dụng công thức $n(T \cup V) = n(T) + n(V) – n(T \cap V)$:

$$24 = 14 + 16 – n(T \cap V) \Rightarrow n(T \cap V) = 30 – 24 = 6.$$

Vậy có $6$ học sinh học khá cả hai môn.

a) Học khá cả Toán và Vật lí:

$$P(T \cap V) = \dfrac{n(T \cap V)}{25} = \dfrac{6}{25}.$$

b) Học khá Toán nhưng không khá Vật lí: số học sinh này là $n(T) – n(T \cap V) = 14 – 6 = 8$.

$$P(T \cap \overline{V}) = \dfrac{8}{25}.$$

c) $P(T|V)$: trong $16$ em khá Vật lí, có $6$ em cũng khá Toán:

$$P(T|V) = \dfrac{n(T \cap V)}{n(V)} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}.$$

Bài 6.20 (trang 80)

Đề bài: Chuồng I có $5$ con gà mái, $2$ con gà trống. Chuồng II có $3$ con gà mái, $5$ con gà trống. Trong một trò chơi, người chơi bắt một con gà trong số đó theo cách sau: “Người chơi tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Nếu số chấm chia hết cho $3$ thì người chơi chọn chuồng I. Nếu số chấm không chia hết cho $3$ thì người chơi chọn chuồng II. Sau đó, từ chuồng đã chọn người chơi bắt ngẫu nhiên một con gà”. Tính xác suất để người chơi bắt được con gà mái.

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố “người chơi chọn chuồng I”; $B$ là biến cố “người chơi bắt được gà mái”.

Bước 1: Xác định $P(A)$ và $P(\overline{A})$.

Xúc xắc có $6$ mặt. Số chấm chia hết cho $3$ là ${3; 6}$, có $2$ khả năng:

$$P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}; \quad P(\overline{A}) = \dfrac{2}{3}.$$

Bước 2: Xác định $P(B|A)$ và $P(B|\overline{A})$.

• Chuồng I có $5 + 2 = 7$ con, trong đó $5$ gà mái:

$$P(B|A) = \dfrac{5}{7}.$$

• Chuồng II có $3 + 5 = 8$ con, trong đó $3$ gà mái:

$$P(B|\overline{A}) = \dfrac{3}{8}.$$

Bước 3: Áp dụng công thức xác suất toàn phần.

$$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5}{7} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{8}.$$

$$= \dfrac{5}{21} + \dfrac{6}{24} = \dfrac{5}{21} + \dfrac{1}{4}.$$

Quy đồng mẫu số ($84$): $\dfrac{5}{21} = \dfrac{20}{84}$; $\dfrac{1}{4} = \dfrac{21}{84}$.

$$P(B) = \dfrac{20 + 21}{84} = \dfrac{41}{84} \approx 0{,}488.$$

Vậy xác suất người chơi bắt được gà mái là $\dfrac{41}{84}$.

Bài 6.21 (trang 80)

Đề bài: Một loại vaccine được tiêm ở địa phương X. Người có bệnh nền thì với xác suất $0{,}35$ có phản ứng phụ sau tiêm; người không có bệnh nền thì chỉ có phản ứng phụ sau tiêm với xác suất $0{,}16$. Chọn ngẫu nhiên một người được tiêm vaccine và người này có phản ứng phụ. Tính xác suất để người này có bệnh nền, biết rằng tỉ lệ người có bệnh nền ở địa phương X là $18\%$.

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố “người đó có bệnh nền”; $B$ là biến cố “người đó có phản ứng phụ sau tiêm”. Ta cần tính $P(A|B)$.

Bước 1: Xác định các xác suất cần thiết.

• $P(A) = 18\% = 0{,}18$; $P(\overline{A}) = 0{,}82$.
• $P(B|A) = 0{,}35$ (có bệnh nền → có phản ứng phụ).
• $P(B|\overline{A}) = 0{,}16$ (không bệnh nền → có phản ứng phụ).

Bước 2: Áp dụng công thức Bayes.

$$P(A|B) = \dfrac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})}.$$

Tính tử số: $0{,}18 \cdot 0{,}35 = 0{,}063$.

Tính mẫu số: $0{,}063 + 0{,}82 \cdot 0{,}16 = 0{,}063 + 0{,}1312 = 0{,}1942$.

$$P(A|B) = \dfrac{0{,}063}{0{,}1942} \approx 0{,}3244.$$

Vậy xác suất người đó có bệnh nền (khi biết có phản ứng phụ) khoảng $32{,}44\%$.

Nhận xét: Ban đầu, xác suất người đó có bệnh nền chỉ là $18\%$. Sau khi biết thông tin “có phản ứng phụ”, xác suất này tăng lên khoảng $32\%$ – công thức Bayes giúp cập nhật xác suất dựa trên thông tin mới.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh