A – Trắc nghiệm

Dữ liệu chung cho các câu 3.9 – 3.13: Một vườn thú ghi lại tuổi thọ của 20 con hổ:

Cỡ mẫu $n = 20$. Tần số tích luỹ: $1$; $4$; $12$; $18$; $20$.

Bài 3.9 (trang 85)

Đề bài: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. $3$. B. $4$. C. $5$. D. $6$.

Lời giải:

Áp dụng công thức khoảng biến thiên:

$$R = a_{k+1} – a_1 = 19 – 14 = 5.$$

Đáp án đúng: C.

Bài 3.10 (trang 85)

Đề bài: Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là

A. $[14; 15)$. B. $[15; 16)$. C. $[16; 17)$. D. $[17; 18)$.

Lời giải:

Vị trí của $Q_1$ là $\dfrac{n}{4} = \dfrac{20}{4} = 5$.

Từ tần số tích luỹ $1$; $4$; $12$; $18$; $20$: giá trị $5$ nằm giữa $4$ và $12$, nên nhóm chứa $Q_1$ là $[16; 17)$.

Đáp án đúng: C.

Bài 3.11 (trang 85)

Đề bài: Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là

A. $[15; 16)$. B. $[16; 17)$. C. $[17; 18)$. D. $[18; 19)$.

Lời giải:

Vị trí của $Q_3$ là $\dfrac{3n}{4} = \dfrac{60}{4} = 15$.

Từ tần số tích luỹ: giá trị $15$ nằm giữa $12$ và $18$, nên nhóm chứa $Q_3$ là $[17; 18)$.

Đáp án đúng: C.

Bài 3.12 (trang 85)

Đề bài: Số đặc trưng nào không sử dụng thông tin của nhóm số liệu đầu tiên và nhóm số liệu cuối cùng?

A. Khoảng biến thiên. B. Khoảng tứ phân vị. C. Phương sai. D. Độ lệch chuẩn.

Lời giải:

Xét từng số đặc trưng:

• Khoảng biến thiên $R = a_{k+1} – a_1$: sử dụng đầu mút của nhóm đầu và nhóm cuối.
• Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 – Q_1$: chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của dữ liệu (khoảng từ $Q_1$ đến $Q_3$), không sử dụng thông tin của nhóm đầu và cuối. ✓
• Phương sai $s^2 = \dfrac{1}{n}\sum m_i(x_i – \bar{x})^2$: sử dụng tần số của tất cả các nhóm (bao gồm cả nhóm đầu và cuối).
• Độ lệch chuẩn $s = \sqrt{s^2}$: tương tự phương sai.

Đáp án đúng: B.

Bài 3.13 (trang 85)

Đề bài: Nếu thay tất cả các tần số trong mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng $4$ thì số đặc trưng nào sau đây không thay đổi?

A. Khoảng biến thiên. B. Khoảng tứ phân vị. C. Phương sai. D. Độ lệch chuẩn.

Lời giải:

Khi thay tất cả tần số bằng $4$, các đầu mút của nhóm không đổi (vẫn là $[14; 15), [15; 16), \ldots, [18; 19)$), chỉ tần số thay đổi.

• Khoảng biến thiên $R = a_{k+1} – a_1 = 19 – 14 = 5$: không thay đổi (vì chỉ phụ thuộc vào đầu mút của nhóm đầu và nhóm cuối, không phụ thuộc tần số). ✓
• Khoảng tứ phân vị: cỡ mẫu mới $n = 20$ (giống cũ), nhưng $Q_1$ và $Q_3$ được tính bằng công thức phụ thuộc vào tần số của các nhóm, nên sẽ thay đổi.
• Phương sai và độ lệch chuẩn: giá trị trung bình và tổng $\sum m_i x_i^2$ đều phụ thuộc vào tần số, nên thay đổi.

Đáp án đúng: A.

B – Tự luận

Bài 3.14 (trang 86)

Đề bài: Để đánh giá chất lượng một loại pin điện thoại mới, người ta ghi lại thời gian nghe nhạc liên tục của điện thoại được sạc đầy pin cho đến khi hết pin cho kết quả:

Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải:

Cỡ mẫu $n = 2 + 8 + 15 + 10 + 5 = 40$. Tần số tích luỹ: $2$; $10$; $25$; $35$; $40$.

Khoảng biến thiên:

$$R = 7{,}5 – 5 = 2{,}5\text{ (giờ)}.$$

Khoảng tứ phân vị:

• $Q_1$: vị trí $\dfrac{n}{4} = 10$. Giá trị $10$ nằm ngay tại tần số tích luỹ của nhóm $[5{,}5; 6)$ (do $2 + 8 = 10$), nên nhóm chứa $Q_1$ là $[5{,}5; 6)$:

$$Q_1 = 5{,}5 + \dfrac{10 – 2}{8} \cdot 0{,}5 = 5{,}5 + 0{,}5 = 6.$$

• $Q_3$: vị trí $\dfrac{3n}{4} = 30$. Giá trị $30$ nằm giữa $25$ và $35$, nên nhóm chứa $Q_3$ là $[6{,}5; 7)$:

$$Q_3 = 6{,}5 + \dfrac{30 – 25}{10} \cdot 0{,}5 = 6{,}5 + 0{,}25 = 6{,}75.$$

$$\Delta_Q = Q_3 – Q_1 = 6{,}75 – 6 = 0{,}75\text{ (giờ)}.$$

Độ lệch chuẩn: Trung điểm các nhóm: $5{,}25$; $5{,}75$; $6{,}25$; $6{,}75$; $7{,}25$.

Số trung bình:

$$\bar{x} = \dfrac{2 \cdot 5{,}25 + 8 \cdot 5{,}75 + 15 \cdot 6{,}25 + 10 \cdot 6{,}75 + 5 \cdot 7{,}25}{40} = \dfrac{254}{40} = 6{,}35\text{ (giờ)}.$$

Tính $\sum m_i x_i^2$:

• $2 \cdot 5{,}25^2 = 2 \cdot 27{,}5625 = 55{,}125$.
• $8 \cdot 5{,}75^2 = 8 \cdot 33{,}0625 = 264{,}5$.
• $15 \cdot 6{,}25^2 = 15 \cdot 39{,}0625 = 585{,}9375$.
• $10 \cdot 6{,}75^2 = 10 \cdot 45{,}5625 = 455{,}625$.
• $5 \cdot 7{,}25^2 = 5 \cdot 52{,}5625 = 262{,}8125$.

Tổng $= 1,624$.

$$s^2 = \dfrac{1,624}{40} – 6{,}35^2 = 40{,}6 – 40{,}3225 = 0{,}2775.$$

$$s = \sqrt{0{,}2775} \approx 0{,}527\text{ (giờ)}.$$

Bài 3.15 (trang 86)

Đề bài: Người ta ghi lại tiền lãi của một số nhà đầu tư (với số tiền đầu tư như nhau), khi đầu tư vào hai lĩnh vực A và B:

a) Về trung bình, đầu tư vào lĩnh vực nào đem lại tiền lãi cao hơn?

b) Tính độ lệch chuẩn cho các mẫu số liệu về tiền lãi của các nhà đầu tư ở hai lĩnh vực này và giải thích ý nghĩa của các số thu được.

Lời giải:

Trung điểm các nhóm: $7{,}5$; $12{,}5$; $17{,}5$; $22{,}5$; $27{,}5$. Cỡ mẫu $n_A = n_B = 25$.

a) Số trung bình:

$$\bar{x}_A = \dfrac{2 \cdot 7{,}5 + 5 \cdot 12{,}5 + 8 \cdot 17{,}5 + 6 \cdot 22{,}5 + 4 \cdot 27{,}5}{25} = \dfrac{462{,}5}{25} = 18{,}5\text{ (triệu đồng)}.$$

$$\bar{x}_B = \dfrac{8 \cdot 7{,}5 + 4 \cdot 12{,}5 + 2 \cdot 17{,}5 + 5 \cdot 22{,}5 + 6 \cdot 27{,}5}{25} = \dfrac{422{,}5}{25} = 16{,}9\text{ (triệu đồng)}.$$

Vì $\bar{x}_A = 18{,}5 > \bar{x}_B = 16{,}9$, nên đầu tư vào lĩnh vực A đem lại tiền lãi trung bình cao hơn.

b) Độ lệch chuẩn:

Lĩnh vực A: Tính $\sum m_i x_i^2$:

• $2 \cdot 7{,}5^2 = 112{,}5$.
• $5 \cdot 12{,}5^2 = 781{,}25$.
• $8 \cdot 17{,}5^2 = 2,450$.
• $6 \cdot 22{,}5^2 = 3,037{,}5$.
• $4 \cdot 27{,}5^2 = 3,025$.

Tổng $= 9,406{,}25$.

$$s^2_A = \dfrac{9,406{,}25}{25} – 18{,}5^2 = 376{,}25 – 342{,}25 = 34.$$

$$s_A = \sqrt{34} \approx 5{,}83\text{ (triệu đồng)}.$$

Lĩnh vực B: Tính $\sum m_i x_i^2$:

• $8 \cdot 7{,}5^2 = 450$.
• $4 \cdot 12{,}5^2 = 625$.
• $2 \cdot 17{,}5^2 = 612{,}5$.
• $5 \cdot 22{,}5^2 = 2,531{,}25$.
• $6 \cdot 27{,}5^2 = 4,537{,}5$.

Tổng $= 8,756{,}25$.

$$s^2_B = \dfrac{8,756{,}25}{25} – 16{,}9^2 = 350{,}25 – 285{,}61 = 64{,}64.$$

$$s_B = \sqrt{64{,}64} \approx 8{,}04\text{ (triệu đồng)}.$$

Ý nghĩa: $s_A \approx 5{,}83 < s_B \approx 8{,}04$, nên tiền lãi khi đầu tư vào lĩnh vực A ít phân tán hơn (an toàn hơn, ít rủi ro hơn). Ngược lại, lĩnh vực B tuy có nhiều nhà đầu tư đạt lãi cao ($[25; 30)$) nhưng cũng nhiều người bị lãi thấp ($[5; 10)$), nên tiền lãi biến động mạnh (rủi ro hơn).

Kết hợp cả hai chỉ số: đầu tư vào lĩnh vực A vừa cho lãi trung bình cao hơn, vừa ít rủi ro hơn so với lĩnh vực B.

Bài 3.16 (trang 86)

Đề bài: Thành tích môn nhảy cao của các vận động viên tại một giải điền kinh dành cho học sinh trung học phổ thông:

a) Tính các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Độ phân tán của mẫu số liệu cho biết điều gì?

Lời giải:

Cỡ mẫu $n = 3 + 10 + 6 + 1 = 20$. Trung điểm: $171$; $173$; $175$; $177$. Tần số tích luỹ: $3$; $13$; $19$; $20$.

a) Các số đặc trưng đo phân tán:

• Khoảng biến thiên:

$$R = 178 – 170 = 8\text{ (cm)}.$$

• Khoảng tứ phân vị:

• $Q_1$: vị trí $\dfrac{n}{4} = 5$. Nằm giữa $3$ và $13$, nhóm chứa $Q_1$ là $[172; 174)$:

$$Q_1 = 172 + \dfrac{5 – 3}{10} \cdot 2 = 172 + 0{,}4 = 172{,}4.$$

• $Q_3$: vị trí $\dfrac{3n}{4} = 15$. Nằm giữa $13$ và $19$, nhóm chứa $Q_3$ là $[174; 176)$:

$$Q_3 = 174 + \dfrac{15 – 13}{6} \cdot 2 = 174 + \dfrac{2}{3} \approx 174{,}67.$$

$$\Delta_Q = Q_3 – Q_1 \approx 174{,}67 – 172{,}4 \approx 2{,}27\text{ (cm)}.$$

• Phương sai và độ lệch chuẩn:

Số trung bình:

$$\bar{x} = \dfrac{3 \cdot 171 + 10 \cdot 173 + 6 \cdot 175 + 1 \cdot 177}{20} = \dfrac{3,470}{20} = 173{,}5\text{ (cm)}.$$

Tính $\sum m_i x_i^2$:

• $3 \cdot 171^2 = 3 \cdot 29,241 = 87,723$.
• $10 \cdot 173^2 = 10 \cdot 29,929 = 299,290$.
• $6 \cdot 175^2 = 6 \cdot 30,625 = 183,750$.
• $1 \cdot 177^2 = 31,329$.

Tổng $= 602,092$.

$$s^2 = \dfrac{602,092}{20} – 173{,}5^2 = 30,104{,}6 – 30,102{,}25 = 2{,}35.$$

$$s = \sqrt{2{,}35} \approx 1{,}53\text{ (cm)}.$$

b) Ý nghĩa: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho biết mức độ chênh lệch thành tích giữa các vận động viên tham gia giải. Các giá trị $\Delta_Q \approx 2{,}27$ cm và $s \approx 1{,}53$ cm khá nhỏ (so với mức xà khoảng $173$ cm), cho thấy thành tích của các vận động viên khá tương đồng nhau, không có sự chênh lệch quá lớn.

Bài 3.17 (trang 86)

Đề bài: Trong bài thực hành đo hiệu điện thế của mạch điện, An và Bình đã dùng hai vôn kế khác nhau để đo, mỗi bạn tiến hành đo $10$ lần cho kết quả:

Tính độ lệch chuẩn của các mẫu số liệu ghép nhóm cho kết quả đo của An và Bình. Từ đó kết luận xem vôn kế của bạn nào cho kết quả đo ổn định hơn.

Lời giải:

Trung điểm các nhóm: $3{,}875$; $3{,}925$; $3{,}975$; $4{,}025$. Cỡ mẫu $n = 10$ cho cả hai.

Vôn kế của An:

$$\bar{x}_{An} = \dfrac{1 \cdot 3{,}875 + 6 \cdot 3{,}925 + 2 \cdot 3{,}975 + 1 \cdot 4{,}025}{10} = \dfrac{39{,}4}{10} = 3{,}94\text{ (Vôn)}.$$

Tính $\sum m_i x_i^2$:

• $1 \cdot 3{,}875^2 = 15{,}015625$.
• $6 \cdot 3{,}925^2 = 6 \cdot 15{,}405625 = 92{,}43375$.
• $2 \cdot 3{,}975^2 = 2 \cdot 15{,}800625 = 31{,}60125$.
• $1 \cdot 4{,}025^2 = 16{,}200625$.

Tổng $= 155{,}25125$.

$$s^2_{An} = \dfrac{155{,}25125}{10} – 3{,}94^2 = 15{,}525125 – 15{,}5236 = 0{,}001525.$$

$$s_{An} = \sqrt{0{,}001525} \approx 0{,}039\text{ (Vôn)}.$$

Vôn kế của Bình:

$$\bar{x}_{Bình} = \dfrac{1 \cdot 3{,}875 + 3 \cdot 3{,}925 + 4 \cdot 3{,}975 + 2 \cdot 4{,}025}{10} = \dfrac{39{,}6}{10} = 3{,}96\text{ (Vôn)}.$$

Tính $\sum m_i x_i^2$:

• $1 \cdot 3{,}875^2 = 15{,}015625$.
• $3 \cdot 3{,}925^2 = 46{,}216875$.
• $4 \cdot 3{,}975^2 = 63{,}2025$.
• $2 \cdot 4{,}025^2 = 32{,}40125$.

Tổng $= 156{,}83625$.

$$s^2_{Bình} = \dfrac{156{,}83625}{10} – 3{,}96^2 = 15{,}683625 – 15{,}6816 = 0{,}002025.$$

$$s_{Bình} = \sqrt{0{,}002025} = 0{,}045\text{ (Vôn)}.$$

Kết luận: Vì $s_{An} \approx 0{,}039 < s_{Bình} = 0{,}045$, nên vôn kế của An cho kết quả đo ổn định hơn so với vôn kế của Bình.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh