Mở đầu trang 41

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, mắt một người quan sát đặt ở điểm $M(2;\ 3;\ -4)$ và vật cần quan sát đặt tại điểm $N(-1;\ 0;\ 8)$. Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm $O(0;\ 0;\ 0)$, bán kính bằng $3$ và đặt trong mặt phẳng $(Oxy)$. Hỏi tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm $N$ hay không?

Lời giải:

Để trả lời câu hỏi này, ta viết phương trình đường thẳng $MN$, tìm giao điểm $D$ của $MN$ với mặt phẳng $(Oxy)$, kiểm tra $D$ có nằm giữa $M,\ N$ không, và cuối cùng kiểm tra $D$ có nằm trong tấm bìa (hình tròn tâm $O$ bán kính $3$) hay không. Bài toán sẽ được giải chi tiết ở Vận dụng 1 (trang 45).

1. Phương trình đường thẳng

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

HĐ1 (trang 41)

Đề bài: Trong không gian, cho điểm $M$ và vectơ $\vec{u}$ khác vectơ-không. Khẳng định nào trong hai khẳng định sau là đúng?

a) Có duy nhất đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với giá của $\vec{u}$.

b) Có duy nhất đường thẳng đi qua $M$ và song song hoặc trùng với giá của $\vec{u}$.

Lời giải:

• a) Sai. Qua một điểm $M$, có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước (tất cả các đường thẳng đó tạo thành mặt phẳng vuông góc với giá của $\vec{u}$ tại một điểm).
• b) Đúng. Qua một điểm $M$, có duy nhất một đường thẳng song song hoặc trùng với giá của $\vec{u}$ (vì cho biết một điểm và một phương thì đường thẳng được xác định duy nhất).

Luyện tập 1 (trang 42)

Đề bài: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$?

Lời giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là các vectơ có giá song song hoặc trùng với $AB$.

Trong hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$, đáy $A’B’C’$ là tam giác bằng đáy $ABC$ nên $A’B’ \parallel AB$. Do đó các vectơ chỉ phương cần tìm là:

$$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{A’B’},\ \overrightarrow{B’A’}.$$

b) Phương trình tham số của đường thẳng

HĐ2 (trang 42)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc không đổi $\vec{u} = (a;\ b;\ c) \neq \vec{0}$ và xuất phát từ điểm $A(x_0;\ y_0;\ z_0)$ (H.5.26).

a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?

b) Giả sử tại thời điểm $t$ ($t > 0$) tính từ khi xuất phát, vật thể ở vị trí $M(x;\ y;\ z)$. Tính $x,\ y,\ z$ theo $a,\ b,\ c,\ x_0,\ y_0,\ z_0$ và $t$.

Lời giải:

a) Vật thể chuyển động thẳng đều theo phương của vectơ vận tốc $\vec{u}$. Vậy nó đi trên đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(x_0;\ y_0;\ z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a;\ b;\ c)$.

b) Tại thời điểm $t$: $\overrightarrow{AM} = t\vec{u}$, tức $(x – x_0;\ y – y_0;\ z – z_0) = (at;\ bt;\ ct)$. Do đó:

$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$$

Luyện tập 2 (trang 43)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta:\ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3t \\ z = 1 + t \end{cases}$

a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc $\Delta$ và một vectơ chỉ phương của $\Delta$.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc toạ độ $O(0;\ 0;\ 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (1;\ 3;\ 1)$.

Lời giải:

a) Từ phương trình tham số, so sánh với dạng chuẩn $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$:

• Điểm thuộc $\Delta$ (khi $t = 0$): $A(2;\ 0;\ 1)$.
• Vectơ chỉ phương: $\vec{u} = (1;\ 3;\ 1)$.
• Điểm thứ hai (khi $t = 1$): $B(3;\ 3;\ 2)$.

b) Phương trình tham số của đường thẳng qua $O$ với vtcp $\vec{v} = (1;\ 3;\ 1)$:

$$\begin{cases} x = t \\ y = 3t \\ z = t \end{cases}$$

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

HĐ3 (trang 43)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0;\ y_0;\ z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a;\ b;\ c)$ ($a,\ b,\ c$ là các số khác $0$).

a) Điểm $M(x;\ y;\ z)$ thuộc $\Delta$ khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{AM} = (x – x_0;\ y – y_0;\ z – z_0)$ và $\vec{u} = (a;\ b;\ c)$ có mối quan hệ gì?

b) Điểm $M(x;\ y;\ z)$ thuộc $\Delta$ khi và chỉ khi các số $\dfrac{x – x_0}{a},\ \dfrac{y – y_0}{b},\ \dfrac{z – z_0}{c}$ có mối quan hệ gì?

Lời giải:

a) $M \in \Delta$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{AM}$ cùng phương với $\vec{u}$.

b) $\overrightarrow{AM}$ cùng phương với $\vec{u}$ (khi $a,\ b,\ c$ đều khác $0$) tương đương các toạ độ tỉ lệ:

$$\dfrac{x – x_0}{a} = \dfrac{y – y_0}{b} = \dfrac{z – z_0}{c}.$$

Luyện tập 3 (trang 43)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta:\ \dfrac{x + 1}{3} = \dfrac{y – 1}{1} = \dfrac{z – 2}{5}$. Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của $\Delta$ và hai điểm thuộc $\Delta$.

Lời giải:

Viết lại phương trình chính tắc theo dạng chuẩn:

$$\dfrac{x – (-1)}{3} = \dfrac{y – 1}{1} = \dfrac{z – 2}{5}.$$

• Vectơ chỉ phương: $\vec{u} = (3;\ 1;\ 5)$.
• Điểm thuộc $\Delta$ (đọc từ các số $-1,\ 1,\ 2$ ở tử): $A(-1;\ 1;\ 2)$.
• Điểm thứ hai: đặt $\dfrac{x + 1}{3} = 1$ được $x = 2,\ y = 2,\ z = 7$, tức $B(2;\ 2;\ 7)$.

Luyện tập 4 (trang 44)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;\ -1;\ 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (-1;\ 2;\ 3)$.

Lời giải:

• Phương trình tham số:

$$\begin{cases} x = 2 – t \\ y = -1 + 2t \\ z = 3t \end{cases}$$

• Phương trình chính tắc (do $a = -1,\ b = 2,\ c = 3$ đều khác $0$):

$$\dfrac{x – 2}{-1} = \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{z}{3}.$$

Luyện tập 5 (trang 44)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;\ -1;\ 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oyz)$.

Lời giải:

Mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình $x = 0$, tức vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1;\ 0;\ 0)$.

$\Delta$ vuông góc với $(Oyz)$ nên $\Delta$ nhận $\vec{n} = (1;\ 0;\ 0)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số qua $M(2;\ -1;\ 3)$:

$$\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 \\ z = 3 \end{cases}$$

d) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

HĐ4 (trang 44)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm phân biệt $A_1(x_1;\ y_1;\ z_1)$, $A_2(x_2;\ y_2;\ z_2)$.

a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng $A_1 A_2$.

b) Viết phương trình đường thẳng $A_1 A_2$.

Lời giải:

a) Một vectơ chỉ phương của $A_1 A_2$ là:

$$\overrightarrow{A_1 A_2} = (x_2 – x_1;\ y_2 – y_1;\ z_2 – z_1).$$

b) Đường thẳng $A_1 A_2$ đi qua $A_1(x_1;\ y_1;\ z_1)$ với vtcp trên có phương trình tham số:

$$\begin{cases} x = x_1 + (x_2 – x_1)t \\ y = y_1 + (y_2 – y_1)t \\ z = z_1 + (z_2 – z_1)t \end{cases}\ (t \in \mathbb{R}).$$

Nếu $x_1 \neq x_2$, $y_1 \neq y_2$, $z_1 \neq z_2$ thì có phương trình chính tắc:

$$\dfrac{x – x_1}{x_2 – x_1} = \dfrac{y – y_1}{y_2 – y_1} = \dfrac{z – z_1}{z_2 – z_1}.$$

Luyện tập 6 (trang 44)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(2;\ 1;\ 3)$ và $B(2;\ 4;\ 6)$.

Lời giải:

$\overrightarrow{AB} = (0;\ 3;\ 3)$, ta có thể chọn vectơ chỉ phương đơn giản $\vec{u} = (0;\ 1;\ 1)$.

Phương trình tham số qua $A(2;\ 1;\ 3)$:

$$\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 + t \\ z = 3 + t \end{cases}$$

Vì thành phần thứ nhất của $\vec{u}$ bằng $0$ nên đường thẳng không có phương trình chính tắc dạng đầy đủ. Ta có thể viết dưới dạng:

$$x = 2\ \text{và}\ \dfrac{y – 1}{1} = \dfrac{z – 3}{1}.$$

Vận dụng 1 (trang 45)

Đề bài: (H.5.27) Trong tình huống mở đầu hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $MN$.

b) Tính toạ độ giao điểm $D$ của đường thẳng $MN$ với mặt phẳng $(Oxy)$.

c) Hỏi điểm $D$ có nằm giữa hai điểm $M$ và $N$ hay không?

Lời giải:

a) $M(2;\ 3;\ -4)$, $N(-1;\ 0;\ 8)$. $\overrightarrow{MN} = (-3;\ -3;\ 12)$, có thể chọn vtcp đơn giản $\vec{u} = (-1;\ -1;\ 4)$.

Phương trình tham số của $MN$ qua $M(2;\ 3;\ -4)$:

$$\begin{cases} x = 2 – t \\ y = 3 – t \\ z = -4 + 4t \end{cases}$$

b) Giao với $(Oxy)$: $z = 0 \Leftrightarrow -4 + 4t = 0 \Leftrightarrow t = 1$.

Thay $t = 1$: $x = 1$, $y = 2$, $z = 0$. Vậy $D(1;\ 2;\ 0)$.

c) Tại $M$: $t = 0$. Tại $N$: $x = -1 \Rightarrow 2 – t = -1 \Rightarrow t = 3$.

$D$ ứng với $t = 1$, thoả $0 < 1 < 3$ nên $D$ nằm giữa $M$ và $N$.

Kết luận cuối cùng: Kiểm tra $D$ có nằm trong tấm bìa (hình tròn tâm $O$, bán kính $3$):

$$OD^2 = 1^2 + 2^2 = 5 < 9 = R^2.$$

Do $OD < 3$, điểm $D$ nằm trong tấm bìa. Vì $D$ nằm giữa $M$ và $N$ và cũng nằm trong tấm bìa, nên tấm bìa che khuất tầm nhìn của người quan sát.

2. Hai đường thẳng vuông góc

HĐ5 (trang 45)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta_1,\ \Delta_2$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (a_1;\ b_1;\ c_1)$, $\vec{u_2} = (a_2;\ b_2;\ c_2)$.

a) Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai giá của $\vec{u_1},\ \vec{u_2}$ có mối quan hệ gì?

b) Tìm điều kiện đối với $\vec{u_1},\ \vec{u_2}$ để $\Delta_1$ và $\Delta_2$ vuông góc với nhau.

Lời giải:

a) $\Delta_1 \perp \Delta_2$ khi và chỉ khi hai giá của $\vec{u_1},\ \vec{u_2}$ vuông góc với nhau.

b) Điều đó tương đương với $\vec{u_1} \perp \vec{u_2}$, tức $\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0$:

$$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0.$$

Luyện tập 7 (trang 45)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta:\ \dfrac{x – 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z – 1}{-1}$. Hỏi đường thẳng $\Delta$ có vuông góc với trục $Oz$ hay không?

Lời giải:

Vectơ chỉ phương của $\Delta$: $\vec{u} = (2;\ 1;\ -1)$.

Vectơ chỉ phương của trục $Oz$: $\vec{k} = (0;\ 0;\ 1)$.

Tích vô hướng:

$$\vec{u} \cdot \vec{k} = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1 \neq 0.$$

Vậy $\Delta$ không vuông góc với trục $Oz$.

Vận dụng 2 (trang 45)

Đề bài: Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng:

$$\Delta_1:\ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + t \\ z = 0 \end{cases},\quad \Delta_2:\ \begin{cases} x = 1 – 2s \\ y = 2s \\ z = 1 \end{cases}$$

Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

Lời giải:

Vectơ chỉ phương: $\vec{u_1} = (1;\ 1;\ 0)$, $\vec{u_2} = (-2;\ 2;\ 0)$.

$$\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 0.$$

Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau. Hai con đường thiết kế vuông góc.

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

HĐ6 (trang 46)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta_1,\ \Delta_2$ lần lượt đi qua các điểm $A_1(x_1;\ y_1;\ z_1)$, $A_2(x_2;\ y_2;\ z_2)$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (a_1;\ b_1;\ c_1)$, $\vec{u_2} = (a_2;\ b_2;\ c_2)$ (H.5.29).

a) Tìm điều kiện đối với $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ để $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song hoặc trùng nhau.

b) Giả sử $[\vec{u_1},\ \vec{u_2}] \neq \vec{0}$ và $\overrightarrow{A_1 A_2} \cdot [\vec{u_1},\ \vec{u_2}] = 0$ thì $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có cắt nhau hay không?

c) Giả sử $\overrightarrow{A_1 A_2} \cdot [\vec{u_1},\ \vec{u_2}] \neq 0$ thì $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có chéo nhau hay không?

Lời giải:

a) $\Delta_1 \parallel \Delta_2$ hoặc $\Delta_1 \equiv \Delta_2$ khi và chỉ khi $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ cùng phương.

b) $[\vec{u_1},\ \vec{u_2}] \neq \vec{0}$ nghĩa là $\vec{u_1},\ \vec{u_2}$ không cùng phương. Điều kiện $\overrightarrow{A_1 A_2} \cdot [\vec{u_1},\ \vec{u_2}] = 0$ có nghĩa là ba vectơ $\overrightarrow{A_1 A_2},\ \vec{u_1},\ \vec{u_2}$ đồng phẳng. Kết hợp với việc $\vec{u_1}$ không cùng phương $\vec{u_2}$, hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau.

c) Nếu $\overrightarrow{A_1 A_2} \cdot [\vec{u_1},\ \vec{u_2}] \neq 0$, ba vectơ $\overrightarrow{A_1 A_2},\ \vec{u_1},\ \vec{u_2}$ không đồng phẳng. Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.

Luyện tập 8 (trang 46)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:

$$\Delta_1:\ \dfrac{x – 3}{1} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z – 1}{3}\ \text{và}\ \Delta_2:\ \dfrac{x – 1}{1} = \dfrac{y – 2}{-2} = \dfrac{z}{3}.$$

Lời giải:

Bước 1: Kiểm tra vectơ chỉ phương.

$\Delta_1$ có vtcp $\vec{u_1} = (1;\ -2;\ 3)$; $\Delta_2$ có vtcp $\vec{u_2} = (1;\ -2;\ 3)$.

$\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$ cùng phương (thực ra bằng nhau).

Bước 2: Kiểm tra một điểm không thuộc đường thẳng kia.

$A_1(3;\ 0;\ 1) \in \Delta_1$. Thay vào $\Delta_2$:

$$\dfrac{3 – 1}{1} = 2,\ \dfrac{0 – 2}{-2} = 1,\ \dfrac{1}{3}.$$

Ba tỉ số không bằng nhau nên $A_1 \notin \Delta_2$.

Kết luận: $\Delta_1 \parallel \Delta_2$. $\blacksquare$

Luyện tập 9 (trang 47)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta_1:\ \dfrac{x – 1}{1} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z – 3}{4}$ và $\Delta_2:\ \dfrac{x + 1}{1} = \dfrac{y + 1}{1} = \dfrac{z}{4}$. Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song với nhau;

b) Đường thẳng $\Delta_1$ và trục $Ox$ chéo nhau;

c) Đường thẳng $\Delta_2$ trùng với đường thẳng $\Delta_3:\ \dfrac{x + 2}{1} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z + 4}{4}$;

d) Đường thẳng $\Delta_2$ cắt trục $Oz$.

Lời giải:

a) $\Delta_1 \parallel \Delta_2$:

• Vtcp cùng: $\vec{u_1} = \vec{u_2} = (1;\ 1;\ 4)$.
• $A_1(1;\ -2;\ 3) \in \Delta_1$. Thay vào $\Delta_2$: $\dfrac{1 + 1}{1} = 2,\ \dfrac{-2 + 1}{1} = -1$ (khác nhau) → $A_1 \notin \Delta_2$.

Vậy $\Delta_1 \parallel \Delta_2$. $\blacksquare$

b) $\Delta_1$ và $Ox$ chéo nhau:

• Vtcp: $\vec{u_1} = (1;\ 1;\ 4)$, $\vec{i} = (1;\ 0;\ 0)$ (không cùng phương).
• $A_1(1;\ -2;\ 3),\ O(0;\ 0;\ 0)$, $\overrightarrow{A_1 O} = (-1;\ 2;\ -3)$.
• $[\vec{u_1},\ \vec{i}] = (1 \cdot 0 – 4 \cdot 0;\ 4 \cdot 1 – 1 \cdot 0;\ 1 \cdot 0 – 1 \cdot 1) = (0;\ 4;\ -1)$.
• $\overrightarrow{A_1 O} \cdot [\vec{u_1},\ \vec{i}] = -1 \cdot 0 + 2 \cdot 4 + (-3)(-1) = 11 \neq 0$.

Vậy $\Delta_1$ và $Ox$ chéo nhau. $\blacksquare$

c) $\Delta_2 \equiv \Delta_3$:

• Vtcp cùng: $\vec{u_2} = \vec{u_3} = (1;\ 1;\ 4)$.
• $A_2(-1;\ -1;\ 0) \in \Delta_2$. Thay vào $\Delta_3$: $\dfrac{-1 + 2}{1} = 1,\ \dfrac{-1 + 2}{1} = 1,\ \dfrac{0 + 4}{4} = 1$ (bằng nhau) → $A_2 \in \Delta_3$.

Vậy $\Delta_2 \equiv \Delta_3$. $\blacksquare$

d) $\Delta_2$ cắt $Oz$:

• Vtcp: $\vec{u_2} = (1;\ 1;\ 4)$, $\vec{k} = (0;\ 0;\ 1)$ (không cùng phương).
• $A_2(-1;\ -1;\ 0),\ O(0;\ 0;\ 0)$, $\overrightarrow{A_2 O} = (1;\ 1;\ 0)$.
• $[\vec{u_2},\ \vec{k}] = (1 \cdot 1 – 4 \cdot 0;\ 4 \cdot 0 – 1 \cdot 1;\ 1 \cdot 0 – 1 \cdot 0) = (1;\ -1;\ 0)$.
• $\overrightarrow{A_2 O} \cdot [\vec{u_2},\ \vec{k}] = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 0 = 0$.

Vậy $\Delta_2$ và $Oz$ cắt nhau (vì hai vtcp không cùng phương). $\blacksquare$

Luyện tập 10 (trang 48)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

$$\Delta_1:\ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 1 – t \end{cases}\ \text{và}\ \Delta_2:\ \begin{cases} x = s \\ y = 1 + 2s \\ z = 3s \end{cases}$$

Lời giải:

• Vtcp: $\vec{u_1} = (2;\ 1;\ -1)$, $\vec{u_2} = (1;\ 2;\ 3)$. Ba tỉ số $\dfrac{2}{1} = 2,\ \dfrac{1}{2}$ khác nhau → không cùng phương.
• $A_1(1;\ 3;\ 1) \in \Delta_1$, $A_2(0;\ 1;\ 0) \in \Delta_2$; $\overrightarrow{A_1 A_2} = (-1;\ -2;\ -1)$.
• $[\vec{u_1},\ \vec{u_2}] = (1 \cdot 3 – (-1) \cdot 2;\ (-1) \cdot 1 – 2 \cdot 3;\ 2 \cdot 2 – 1 \cdot 1) = (5;\ -7;\ 3)$.
• $\overrightarrow{A_1 A_2} \cdot [\vec{u_1},\ \vec{u_2}] = (-1) \cdot 5 + (-2)(-7) + (-1) \cdot 3 = -5 + 14 – 3 = 6 \neq 0$.

Kết luận: $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.

Vận dụng 3 (trang 48)

Đề bài: (H.5.30) Trong không gian $Oxyz$, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ $A(1;\ 2;\ 0)$ và $B(3;\ 5;\ 0)$ với vectơ vận tốc không đổi tương ứng là $\vec{v_1} = (2;\ 1;\ 3)$, $\vec{v_2} = (1;\ 2;\ 1)$. Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?

Lời giải:

Bước 1: Viết quỹ đạo của hai vật.

$\Delta_1$ (vật 1 từ $A$): vtcp $\vec{v_1} = (2;\ 1;\ 3)$, qua $A(1;\ 2;\ 0)$.

$\Delta_2$ (vật 2 từ $B$): vtcp $\vec{v_2} = (1;\ 2;\ 1)$, qua $B(3;\ 5;\ 0)$.

Bước 2: Xét vị trí tương đối của $\Delta_1$ và $\Delta_2$.

$\vec{v_1},\ \vec{v_2}$ không cùng phương.

$\overrightarrow{AB} = (2;\ 3;\ 0)$; $[\vec{v_1},\ \vec{v_2}] = (1 \cdot 1 – 3 \cdot 2;\ 3 \cdot 1 – 2 \cdot 1;\ 2 \cdot 2 – 1 \cdot 1) = (-5;\ 1;\ 3)$.

$$\overrightarrow{AB} \cdot [\vec{v_1},\ \vec{v_2}] = 2 \cdot (-5) + 3 \cdot 1 + 0 \cdot 3 = -7 \neq 0.$$

Vậy hai đường thẳng $\Delta_1,\ \Delta_2$ chéo nhau (không có điểm chung).

Kết luận: Hai quỹ đạo chuyển động không giao nhau, nên hai vật thể không va chạm vào nhau.

Bài tập (trang 48 – 49)

Bài 5.11 (trang 48)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;\ 1;\ 2)$ và song song với đường thẳng $d:\ \dfrac{x – 3}{2} = \dfrac{y – 1}{1} = \dfrac{z + 5}{3}$.

Lời giải:

Vì $\Delta \parallel d$ nên $\Delta$ nhận vtcp của $d$ làm vtcp: $\vec{u} = (2;\ 1;\ 3)$.

• Phương trình tham số qua $A(1;\ 1;\ 2)$:

$$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + 3t \end{cases}$$

• Phương trình chính tắc:

$$\dfrac{x – 1}{2} = \dfrac{y – 1}{1} = \dfrac{z – 2}{3}.$$

Bài 5.12 (trang 48)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;\ -1;\ 4)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):\ x + 3y – z – 1 = 0$.

Lời giải:

$\Delta \perp (P)$ nên $\Delta$ nhận vectơ pháp tuyến của $(P)$ làm vtcp: $\vec{u} = (1;\ 3;\ -1)$.

• Phương trình tham số qua $A(2;\ -1;\ 4)$:

$$\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 3t \\ z = 4 – t \end{cases}$$

• Phương trình chính tắc:

$$\dfrac{x – 2}{1} = \dfrac{y + 1}{3} = \dfrac{z – 4}{-1}.$$

Bài 5.13 (trang 48)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A(2;\ 3;\ -1)$ và $B(1;\ -2;\ 4)$.

Lời giải:

$\overrightarrow{AB} = (-1;\ -5;\ 5)$ – chọn làm vtcp.

• Phương trình tham số qua $A(2;\ 3;\ -1)$:

$$\begin{cases} x = 2 – t \\ y = 3 – 5t \\ z = -1 + 5t \end{cases}$$

• Phương trình chính tắc:

$$\dfrac{x – 2}{-1} = \dfrac{y – 3}{-5} = \dfrac{z + 1}{5}.$$

Bài 5.14 (trang 48)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng:

$$\Delta_1:\ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 – t \\ z = 2 + 3t \end{cases}\ \text{và}\ \Delta_2:\ \dfrac{x – 8}{-1} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z – 2}{2}.$$

a) Chứng minh rằng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2$.

Lời giải:

a) Vtcp $\vec{u_1} = (2;\ -1;\ 3)$, $\vec{u_2} = (-1;\ 1;\ 2)$. Ba tỉ số $\dfrac{2}{-1},\ \dfrac{-1}{1},\ \dfrac{3}{2}$ khác nhau → không cùng phương.

$A_1(1;\ 3;\ 2) \in \Delta_1$, $A_2(8;\ -2;\ 2) \in \Delta_2$; $\overrightarrow{A_1 A_2} = (7;\ -5;\ 0)$.

$$[\vec{u_1},\ \vec{u_2}] = ((-1) \cdot 2 – 3 \cdot 1;\ 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 2;\ 2 \cdot 1 – (-1)(-1)) = (-5;\ -7;\ 1).$$

$$\overrightarrow{A_1 A_2} \cdot [\vec{u_1},\ \vec{u_2}] = 7 \cdot (-5) + (-5)(-7) + 0 = -35 + 35 = 0.$$

Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau. $\blacksquare$

b) Mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta_1,\ \Delta_2$ nhận $[\vec{u_1},\ \vec{u_2}] = (-5;\ -7;\ 1)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình qua $A_1(1;\ 3;\ 2)$:

$$-5(x – 1) – 7(y – 3) + (z – 2) = 0 \Leftrightarrow 5x + 7y – z – 24 = 0.$$

Bài 5.15 (trang 48)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng:

$$\Delta_1:\ \dfrac{x – 1}{3} = \dfrac{y – 3}{1} = \dfrac{z – 2}{2}\ \text{và}\ \Delta_2:\ \dfrac{x – 1}{3} = \dfrac{y + 1}{1} = \dfrac{z}{2}.$$

a) Chứng minh rằng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song với nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2$.

Lời giải:

a) Vtcp $\vec{u_1} = \vec{u_2} = (3;\ 1;\ 2)$ – cùng phương.

$A_1(1;\ 3;\ 2) \in \Delta_1$. Thay vào $\Delta_2$: $\dfrac{1 – 1}{3} = 0,\ \dfrac{3 + 1}{1} = 4$ – khác → $A_1 \notin \Delta_2$.

Vậy $\Delta_1 \parallel \Delta_2$. $\blacksquare$

b) Cặp vectơ chỉ phương của $(P)$: $\vec{u} = (3;\ 1;\ 2)$ và $\overrightarrow{A_1 A_2}$ với $A_2(1;\ -1;\ 0)$:

$$\overrightarrow{A_1 A_2} = (0;\ -4;\ -2).$$

Vectơ pháp tuyến:

$$\vec{n} = [\overrightarrow{A_1 A_2},\ \vec{u}] = ((-4) \cdot 2 – (-2) \cdot 1;\ (-2) \cdot 3 – 0 \cdot 2;\ 0 \cdot 1 – (-4) \cdot 3) = (-6;\ -6;\ 12).$$

Rút gọn: $\vec{n} = (1;\ 1;\ -2)$.

Phương trình $(P)$ qua $A_1(1;\ 3;\ 2)$:

$$(x – 1) + (y – 3) – 2(z – 2) = 0 \Leftrightarrow x + y – 2z = 0.$$

Bài 5.16 (trang 48)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

$$\Delta_1:\ \begin{cases} x = -1 + t \\ y = 1 \\ z = 3 + 2t \end{cases}\ \text{và}\ \Delta_2:\ \begin{cases} x = -1 + 2s \\ y = 2 + s \\ z = 1 + 3s \end{cases}$$

Lời giải:

Vtcp: $\vec{u_1} = (1;\ 0;\ 2)$, $\vec{u_2} = (2;\ 1;\ 3)$. Tỉ số thứ hai $\dfrac{0}{1} = 0$ nhưng $\dfrac{1}{2},\ \dfrac{2}{3}$ khác → không cùng phương.

$A_1(-1;\ 1;\ 3),\ A_2(-1;\ 2;\ 1)$; $\overrightarrow{A_1 A_2} = (0;\ 1;\ -2)$.

$$[\vec{u_1},\ \vec{u_2}] = (0 \cdot 3 – 2 \cdot 1;\ 2 \cdot 2 – 1 \cdot 3;\ 1 \cdot 1 – 0 \cdot 2) = (-2;\ 1;\ 1).$$

$$\overrightarrow{A_1 A_2} \cdot [\vec{u_1},\ \vec{u_2}] = 0 + 1 – 2 = -1 \neq 0.$$

Kết luận: $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.

Bài 5.17 (trang 49)

Đề bài: Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình:

$$\Delta_1:\ \dfrac{x – 1}{2} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z + 1}{3}\ \text{và}\ \Delta_2:\ \dfrac{x – 3}{-1} = \dfrac{y + 1}{1} = \dfrac{z}{1}.$$

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Lời giải:

a) Kiểm tra vuông góc: Vtcp $\vec{u_1} = (2;\ -1;\ 3)$, $\vec{u_2} = (-1;\ 1;\ 1)$.

$$\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 + 3 \cdot 1 = -2 – 1 + 3 = 0.$$

Vậy hai con đường vuông góc với nhau.

b) Nút giao thông khác mức khi hai con đường không cắt nhau (thực tế nằm ở hai độ cao khác nhau), tức là hai đường thẳng chéo nhau.

$A_1(1;\ 0;\ -1),\ A_2(3;\ -1;\ 0)$; $\overrightarrow{A_1 A_2} = (2;\ -1;\ 1)$.

$$[\vec{u_1},\ \vec{u_2}] = ((-1) \cdot 1 – 3 \cdot 1;\ 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 1;\ 2 \cdot 1 – (-1)(-1)) = (-4;\ -5;\ 1).$$

$$\overrightarrow{A_1 A_2} \cdot [\vec{u_1},\ \vec{u_2}] = 2 \cdot (-4) + (-1)(-5) + 1 \cdot 1 = -8 + 5 + 1 = -2 \neq 0.$$

Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau → là nút giao thông khác mức. $\blacksquare$

Bài 5.18 (trang 49)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, một viên đạn được bắn ra từ điểm $A(1;\ 3;\ 4)$ và trong $3$ giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là $\vec{v} = (2;\ 1;\ 6)$. Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?

a) Mục tiêu đặt tại điểm $M\left(7;\ \dfrac{7}{2};\ 21\right)$.

b) Mục tiêu đặt tại điểm $N(-3;\ 1;\ -8)$.

Lời giải:

Phương trình chuyển động của viên đạn ($t \in [0;\ 3]$ giây):

$$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 4 + 6t \end{cases}$$

Viên đạn trúng mục tiêu $P$ khi và chỉ khi tồn tại $t \in [0;\ 3]$ để đầu đạn trùng $P$.

a) Với $M\left(7;\ \dfrac{7}{2};\ 21\right)$:

Từ $x = 7$: $1 + 2t = 7 \Rightarrow t = 3$.

Thay $t = 3$: $y = 3 + 3 = 6 \neq \dfrac{7}{2}$.

Vậy không có $t$ nào để đầu đạn trùng $M$ → không trúng.

b) Với $N(-3;\ 1;\ -8)$:

Từ $x = -3$: $1 + 2t = -3 \Rightarrow t = -2$.

$t = -2 < 0$ nên không nằm trong khoảng $[0;\ 3]$ (viên đạn chỉ chuyển động từ khi bắn, $t \ge 0$). Vậy viên đạn không trúng mục tiêu $N$.

(Nếu kiểm tra vị trí trên đường thẳng: thay $t = -2$ vào $y$: $3 – 2 = 1$ ✓; $z$: $4 – 12 = -8$ ✓. Điểm $N$ nằm trên đường thẳng chứa quỹ đạo, nhưng ở phía trước điểm xuất phát – tức viên đạn đã đi qua điểm $N$ trước khi được bắn, điều này không xảy ra.)

Bài 5.19 (trang 49)

Đề bài: Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao $6$ m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí $O$ trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột $3$ m về hướng $\text{S}60^\circ\text{E}$ (hướng tạo với hướng nam góc $60^\circ$ và tạo với hướng đông góc $30^\circ$) (H.5.32). Chọn hệ trục $Oxyz$ có gốc toạ độ là $O$, tia $Ox$ chỉ hướng nam, tia $Oy$ chỉ hướng đông, tia $Oz$ chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.

Lời giải:

Bước 1: Xác định toạ độ các điểm.

• Đỉnh cột $A$: cột cao $6$ m dựng thẳng đứng tại $O$, nên $A(0;\ 0;\ 6)$.
• Bóng đỉnh cột $A’$: nằm trên mặt đất ($z = 0$), cách $O$ khoảng $3$ m về hướng $\text{S}60^\circ\text{E}$ – tạo góc $60^\circ$ với hướng nam ($Ox$) và $30^\circ$ với hướng đông ($Oy$).
  • Hoành độ $x = 3\cos 60^\circ = \dfrac{3}{2}$.
  • Tung độ $y = 3\cos 30^\circ = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
  • Cao độ $z = 0$.

Vậy $A’\left(\dfrac{3}{2};\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2};\ 0\right)$.

Bước 2: Viết phương trình tia nắng.

Tia nắng đi qua đỉnh cột $A$ và tiếp tục đến bóng $A’$ trên mặt đất. Do đó đường thẳng chứa tia nắng đi qua $A$ và $A’$.

Vectơ chỉ phương:

$$\overrightarrow{AA’} = \left(\dfrac{3}{2};\ \dfrac{3\sqrt{3}}{2};\ -6\right).$$

Chọn vtcp đơn giản (chia cho $\dfrac{3}{2}$): $\vec{u} = (1;\ \sqrt{3};\ -4)$.

Phương trình tham số qua $A(0;\ 0;\ 6)$:

$$\begin{cases} x = t \\ y = \sqrt{3}\, t \\ z = 6 – 4t \end{cases}$$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh