Mở đầu trang 54

Đề bài: Bằng ứng dụng Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách trên bề mặt Trái Đất từ vị trí $10^\circ\text{N},\ 15^\circ\text{E}$ đến vị trí $80^\circ\text{N},\ 70^\circ\text{E}$ ta sẽ được khoảng cách $8,271{,}74$ km (H.5.40). Cơ sở toán học cho việc thiết lập phần mềm tính công thức khoảng cách trên bề mặt Trái Đất là gì?

Lời giải:

Cơ sở toán học là mô hình hoá Trái Đất bằng một mặt cầu trong không gian $Oxyz$. Khi đó khoảng cách trên bề mặt Trái Đất giữa hai vị trí chính là độ dài cung nhỏ của đường tròn lớn đi qua hai điểm đó, được tính thông qua tích vô hướng của hai vectơ toạ độ ứng với hai vị trí. Bài toán được giải chi tiết ở Ví dụ 5 (trang 58).

1. Phương trình mặt cầu

HĐ (trang 54)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(a;\ b;\ c)$ bán kính $R$ (H.5.41). Khi đó, một điểm $M(x;\ y;\ z)$ thuộc mặt cầu $(S)$ khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn điều kiện gì?

Lời giải:

$M \in (S) \Leftrightarrow IM = R$. Ta có:

$$IM = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2}.$$

Bình phương hai vế:

$$(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2.$$

Đây là phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(a;\ b;\ c)$ bán kính $R$.

Luyện tập 1 (trang 55)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình

$$(x + 2)^2 + y^2 + \left(z + \dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}.$$

a) Xác định tâm và bán kính của $(S)$.

b) Hỏi điểm $M(2;\ 0;\ 1)$ nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu $(S)$?

Lời giải:

a) Viết lại phương trình dưới dạng chuẩn:

$$[x – (-2)]^2 + (y – 0)^2 + \left[z – \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right]^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2.$$

Vậy $(S)$ có tâm $I\left(-2;\ 0;\ -\dfrac{1}{2}\right)$ và bán kính $R = \dfrac{3}{2}$.

b) Thay $M(2;\ 0;\ 1)$ vào vế trái phương trình:

$$(2 + 2)^2 + 0^2 + \left(1 + \dfrac{1}{2}\right)^2 = 16 + \dfrac{9}{4} = \dfrac{73}{4}.$$

So sánh với $R^2 = \dfrac{9}{4}$: $\dfrac{73}{4} > \dfrac{9}{4}$.

Vậy điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.

Luyện tập 2 (trang 55)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ trong các trường hợp sau:

a) Tâm là gốc toạ độ, bán kính $R = 1$.

b) Đường kính $AB$, với $A(1;\ -1;\ 2),\ B(2;\ -3;\ -1)$.

Lời giải:

a) Mặt cầu tâm $O(0;\ 0;\ 0)$, bán kính $R = 1$:

$$(x – 0)^2 + (y – 0)^2 + (z – 0)^2 = 1^2 \Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 1.$$

b) Trung điểm của $AB$ (tâm mặt cầu):

$$J\left(\dfrac{1 + 2}{2};\ \dfrac{-1 + (-3)}{2};\ \dfrac{2 + (-1)}{2}\right) = \left(\dfrac{3}{2};\ -2;\ \dfrac{1}{2}\right).$$

Bán kính $R = \dfrac{AB}{2}$:

$$AB = \sqrt{(2 – 1)^2 + (-3 + 1)^2 + (-1 – 2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}.$$

$$\Rightarrow R = \dfrac{\sqrt{14}}{2},\ R^2 = \dfrac{14}{4} = \dfrac{7}{2}.$$

Phương trình $(S)$:

$$\left(x – \dfrac{3}{2}\right)^2 + (y + 2)^2 + \left(z – \dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{7}{2}.$$

Luyện tập 3 (trang 56)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho $(S)$ là tập hợp các điểm $M(x;\ y;\ z)$ có toạ độ thoả mãn phương trình:

$$(S):\ x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 6y – 12 = 0.$$

Chứng minh rằng $(S)$ là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Lời giải:

Bước 1: Nhóm và hoàn thành bình phương.

$$x^2 – 4x = (x – 2)^2 – 4;\quad y^2 + 6y = (y + 3)^2 – 9.$$

Thay vào phương trình:

$$(x – 2)^2 – 4 + (y + 3)^2 – 9 + z^2 – 12 = 0.$$

$$\Leftrightarrow (x – 2)^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 25 = 5^2.$$

Bước 2: Kết luận. Đây là phương trình mặt cầu tâm $I(2;\ -3;\ 0)$ và bán kính $R = 5$.

Luyện tập 4 (trang 56)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình:

$$x^2 + y^2 + z^2 + 4x – 5y + 6z + \dfrac{25}{4} = 0.$$

Xác định tâm và bán kính của $(S)$.

Lời giải:

So sánh với dạng tổng quát $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$:

$$-2a = 4 \Rightarrow a = -2;\ -2b = -5 \Rightarrow b = \dfrac{5}{2};\ -2c = 6 \Rightarrow c = -3;\ d = \dfrac{25}{4}.$$

Kiểm tra điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 – d > 0$:

$$4 + \dfrac{25}{4} + 9 – \dfrac{25}{4} = 13 > 0.\ \checkmark$$

Vậy đây là phương trình mặt cầu với:

• Tâm $I\left(-2;\ \dfrac{5}{2};\ -3\right)$.
• Bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 – d} = \sqrt{13}$.

2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn

Luyện tập 5 (trang 58)

Đề bài: Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí $A$ là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí $B$: $45^\circ\text{N},\ 30^\circ\text{E}$.

Lời giải:

Bước 1: Toạ độ hai điểm (bán kính đơn vị bằng $1$, ứng với $6,371$ km thực tế).

• $A$ ở giao kinh tuyến gốc ($0^\circ\text{E}$) với xích đạo ($0^\circ\text{N}$):

$$A(\cos 0^\circ \cos 0^\circ;\ \cos 0^\circ \sin 0^\circ;\ \sin 0^\circ) = (1;\ 0;\ 0).$$

• $B$ ở $45^\circ\text{N},\ 30^\circ\text{E}$:

$$B(\cos 45^\circ \cos 30^\circ;\ \cos 45^\circ \sin 30^\circ;\ \sin 45^\circ) = \left(\dfrac{\sqrt{6}}{4};\ \dfrac{\sqrt{2}}{4};\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).$$

Bước 2: Tính $\widehat{AOB}$.

$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 1 \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{4} + 0 + 0 = \dfrac{\sqrt{6}}{4}.$$

Vì $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = 1$:

$$\cos \widehat{AOB} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} \approx 0{,}6124.$$

$$\Rightarrow \widehat{AOB} \approx 52{,}2388^\circ.$$

Bước 3: Tính độ dài cung $\widehat{AB}$.

Đường tròn tâm $O$ bán kính $1$ có chu vi $2\pi \approx 6{,}2832$.

Cung $\widehat{AB} \approx \dfrac{52{,}2388}{360} \cdot 6{,}2832 \approx 0{,}9117$.

Bước 4: Đổi ra khoảng cách thực tế (nhân $6,371$ km):

$$\widehat{AB} \approx 0{,}9117 \cdot 6,371 \approx 5,808{,}4693\ (\text{km}).$$

Vậy khoảng cách trên mặt đất từ $A$ đến $B$ xấp xỉ $5,808{,}4693$ km.

Bài tập (trang 59)

Bài 5.25 (trang 59)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $\left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 9$. Xác định tâm và bán kính của $(S)$.

Lời giải:

So sánh với dạng chuẩn $(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$:

• Tâm $I\left(\dfrac{1}{2};\ -1;\ 0\right)$.
• Bán kính $R = \sqrt{9} = 3$.

Bài 5.26 (trang 59)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình của mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-2;\ 0;\ 5)$ và bán kính $R = 2$.

Lời giải:

Phương trình $(S)$:

$$[x – (-2)]^2 + (y – 0)^2 + (z – 5)^2 = 2^2.$$

$$\Leftrightarrow (x + 2)^2 + y^2 + (z – 5)^2 = 4.$$

Bài 5.27 (trang 59)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình của mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;\ 3;\ -1)$ và có bán kính bằng khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(P):\ 3x + 2y – z = 0$.

Lời giải:

Bước 1: Tính bán kính $R = d(I,\ (P))$:

$$R = \dfrac{|3 \cdot 0 + 2 \cdot 3 – (-1)|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|7|}{\sqrt{14}} = \dfrac{7}{\sqrt{14}} = \dfrac{\sqrt{14}}{2}.$$

$$\Rightarrow R^2 = \dfrac{49}{14} = \dfrac{7}{2}.$$

Bước 2: Viết phương trình mặt cầu.

$$(x – 0)^2 + (y – 3)^2 + [z – (-1)]^2 = \dfrac{7}{2}.$$

$$\Leftrightarrow x^2 + (y – 3)^2 + (z + 1)^2 = \dfrac{7}{2}.$$

Bài 5.28 (trang 59)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):\ x^2 + y^2 + z^2 + 2x – 2y + 8z – 18 = 0$. Xác định tâm và bán kính của $(S)$.

Lời giải:

So sánh với dạng $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$:

$$-2a = 2 \Rightarrow a = -1;\ -2b = -2 \Rightarrow b = 1;\ -2c = 8 \Rightarrow c = -4;\ d = -18.$$

Kiểm tra $a^2 + b^2 + c^2 – d$:

$$1 + 1 + 16 – (-18) = 36 > 0.\ \checkmark$$

Vậy $(S)$ có:

• Tâm $I(-1;\ 1;\ -4)$.
• Bán kính $R = \sqrt{36} = 6$.

Bài 5.29 (trang 59)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ứng với phương trình đó.

a) $x^2 + y^2 + z^2 – 2x – 5z + 30 = 0$;

b) $x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 2y – 2z = 0$;

c) $x^3 + y^3 + z^3 – 2x + 6y – 9z – 10 = 0$;

d) $x^2 + y^2 + z^2 + 5 = 0$.

Lời giải: Phương trình mặt cầu có dạng $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$ với điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 – d > 0$.

a) $-2a = -2 \Rightarrow a = 1;\ -2b = 0 \Rightarrow b = 0;\ -2c = -5 \Rightarrow c = \dfrac{5}{2};\ d = 30$.

$$a^2 + b^2 + c^2 – d = 1 + 0 + \dfrac{25}{4} – 30 = -\dfrac{91}{4} < 0.$$

→ Không phải phương trình mặt cầu.

b) $-2a = -4 \Rightarrow a = 2;\ -2b = 2 \Rightarrow b = -1;\ -2c = -2 \Rightarrow c = 1;\ d = 0$.

$$a^2 + b^2 + c^2 – d = 4 + 1 + 1 – 0 = 6 > 0.\ \checkmark$$

→ Là phương trình mặt cầu với tâm $I(2;\ -1;\ 1)$, bán kính $R = \sqrt{6}$.

c) Phương trình chứa $x^3,\ y^3,\ z^3$ (bậc $3$). → Không phải phương trình mặt cầu.

d) $a = b = c = 0,\ d = 5$.

$$a^2 + b^2 + c^2 – d = 0 – 5 = -5 < 0.$$

→ Không phải phương trình mặt cầu.

Kết luận: Chỉ có b) là phương trình mặt cầu.

Bài 5.30 (trang 59)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí $A(2;\ 0;\ 0)$. Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng $1$. Hỏi vị trí $M(2;\ 1;\ 1)$ có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?

Lời giải:

Ý tưởng: Vùng phủ sóng là hình cầu tâm $A(2;\ 0;\ 0)$, bán kính $R = 1$. $M$ thuộc vùng phủ sóng khi và chỉ khi $AM \le R$.

Tính $AM$:

$$AM = \sqrt{(2 – 2)^2 + (1 – 0)^2 + (1 – 0)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1{,}41.$$

So sánh: $AM = \sqrt{2} > 1 = R$.

Kết luận: Vị trí $M$ không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh