A. Trắc nghiệm

Bài 1.30 (trang 42)

Đề bài: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $f'(x) \geq 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$ thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$.

B. Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$ thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$.

C. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$ khi và chỉ khi $f'(x) \geq 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$.

D. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$ khi và chỉ khi $f'(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$.

Lời giải:

• A sai: nếu $f'(x) \geq 0$ nhưng $f'(x) = 0$ trên cả một khoảng con thì hàm số không đồng biến (chỉ hằng trên khoảng con đó). Chỉ khi $f'(x) = 0$ tại hữu hạn điểm thì mới suy ra đồng biến.
• B đúng: đây là định lí cơ bản: $f'(x) > 0$ trên khoảng $\Rightarrow$ hàm đồng biến.
• C, D sai: dấu “khi và chỉ khi” quá mạnh; hàm đồng biến có thể có $f'(x) = 0$ tại một số điểm rời rạc.

Đáp án: B.

Bài 1.31 (trang 42)

Đề bài: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

A. $y = -x^3 + 3x^2 – 9x$

B. $y = -x^3 + x + 1$

C. $y = \dfrac{x – 1}{x – 2}$

D. $y = 2x^2 + 3x + 2$.

Lời giải:

• A: $y’ = -3x^2 + 6x – 9 = -3(x^2 – 2x + 3)$. Xét $x^2 – 2x + 3$ có $\Delta’ = 1 – 3 = -2 < 0$, hệ số dương nên tam thức luôn dương. Do đó $y’ < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$. ✓
• B: $y’ = -3x^2 + 1$ đổi dấu $\Rightarrow$ không nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
• C: TXĐ là $\mathbb{R} \setminus {2}$, không phải $\mathbb{R}$.
• D: parabol, không nghịch biến trên toàn $\mathbb{R}$.

Đáp án: A.

Bài 1.32 (trang 42)

Đề bài: Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

A. $y = |x|$

B. $y = x^4$

C. $y = -x^3 + x$

D. $y = \dfrac{2x – 1}{x + 1}$.

Lời giải:

• A: $y = |x|$ có cực tiểu tại $x = 0$.
• B: $y’ = 4x^3 = 0$ tại $x = 0$, đổi dấu $\Rightarrow$ có cực tiểu tại $x = 0$.
• C: $y’ = -3x^2 + 1 = 0$ tại $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow$ có cực trị.
• D: $y’ = \dfrac{3}{(x + 1)^2} > 0$ với mọi $x \neq -1$, không đổi dấu $\Rightarrow$ không có cực trị.

Đáp án: D.

Bài 1.33 (trang 42)

Đề bài: Giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^2 \ln x$ là

A. $\dfrac{1}{e}$

B. $-\dfrac{1}{e}$

C. $-\dfrac{1}{2e}$

D. $\dfrac{1}{2e}$.

Lời giải:

TXĐ: $x > 0$.

$$y’ = 2x \ln x + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} = x(2\ln x + 1).$$

$y’ = 0 \Leftrightarrow 2\ln x + 1 = 0 \Leftrightarrow \ln x = -\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = e^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}$.

Xét dấu: khi $x < \dfrac{1}{\sqrt{e}}$ thì $y’ < 0$; khi $x > \dfrac{1}{\sqrt{e}}$ thì $y’ > 0$. Vậy đây là điểm cực tiểu.

$$y_{CT} = \left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 \cdot \ln \dfrac{1}{\sqrt{e}} = \dfrac{1}{e} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2e}.$$

Đáp án: C.

Bài 1.34 (trang 42)

Đề bài: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = (x – 2)^2 \cdot e^x$ trên đoạn $[1; 3]$ là

A. $0$

B. $e^3$

C. $e^4$

D. $e$.

Lời giải:

$$y’ = 2(x – 2)e^x + (x – 2)^2 e^x = e^x(x – 2)[2 + (x – 2)] = e^x \cdot x \cdot (x – 2).$$

$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (không thuộc $(1; 3)$) hoặc $x = 2$ (thuộc $(1; 3)$).

Tính giá trị tại các mốc:

• $y(1) = 1 \cdot e = e$.
• $y(2) = 0 \cdot e^2 = 0$.
• $y(3) = 1 \cdot e^3 = e^3$.

So sánh: $0 < e < e^3$. Vậy $\max y = e^3$.

Đáp án: B.

Bài 1.35 (trang 42)

Đề bài: Cho hàm số $y = f(x)$ thoả mãn: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1$; $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$; $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ và $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

B. $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

C. $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

D. $x = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Lời giải:

• A sai: $\lim_{x \to 2^\pm} f(x) = 1$ hữu hạn, không phải $\pm\infty$, nên $x = 2$ không phải tiệm cận đứng.
• B đúng: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2$ $\Rightarrow$ $y = 2$ là tiệm cận ngang.
• C sai: $y = 1$ là giới hạn tại điểm hữu hạn ($x = 2$), không phải tiệm cận ngang.
• D sai: tiệm cận ngang phải là $y = $ hằng, không phải $x =$ hằng.

Đáp án: B.

Bài 1.36 (trang 42)

Đề bài: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 + 2x – 2}{x + 2}$ là

A. $y = -2$

B. $y = 1$

C. $y = x + 2$

D. $y = x$.

Lời giải:

Chia đa thức: $x^2 + 2x – 2 = (x + 2) \cdot x – 2$, nên:

$$y = x – \dfrac{2}{x + 2}.$$

Ta có $\lim_{x \to \pm\infty} [y – x] = \lim_{x \to \pm\infty} \left(-\dfrac{2}{x + 2}\right) = 0$.

Vậy $y = x$ là tiệm cận xiên.

Đáp án: D.

Bài 1.37 (trang 43)

Đề bài: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus {1; 3}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $y = 1$ là tiệm cận ngang. B. $y = -1$ là tiệm cận ngang. C. $x = 3$ là tiệm cận đứng. D. $x = 1$ là tiệm cận đứng.

Lời giải:

Đọc từ bảng biến thiên:

• $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$ $\Rightarrow$ $y = 1$ là tiệm cận ngang. A đúng.
• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1$ $\Rightarrow$ $y = -1$ là tiệm cận ngang. B đúng.
• $\lim_{x \to 3^-} f(x) = +\infty$ $\Rightarrow$ $x = 3$ là tiệm cận đứng. C đúng.
• Tại $x = 1$: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -1$ và $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 7$ đều hữu hạn, nên $x = 1$ không phải tiệm cận đứng. D sai.

Đáp án: D.

Bài 1.38 (trang 43)

Đề bài: Đồ thị trong Hình 1.37 là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = \dfrac{x + 2}{x + 1}$

B. $y = \dfrac{2x + 1}{x + 1}$

C. $y = \dfrac{x – 1}{x + 1}$

D. $y = \dfrac{x + 3}{1 – x}$.

Lời giải:

Đọc đặc điểm đồ thị H.1.37: có tiệm cận đứng $x = -1$ và tiệm cận ngang $y = 2$.

Tính tiệm cận ngang $\lim_{x \to \pm\infty}$ của từng đáp án:

• A: $\lim = 1$. Loại.
• B: $\lim = 2$. Đúng!
• C: $\lim = 1$. Loại.
• D: $\lim = -1$. Loại.

Đáp án: B.

Bài 1.39 (trang 43)

Đề bài: Đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = x – \dfrac{1}{x + 1}$

B. $y = \dfrac{2x + 1}{x + 1}$

C. $y = \dfrac{x^2 – x + 1}{x + 1}$

D. $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.

Lời giải:

Đọc đặc điểm đồ thị H.1.38: có tiệm cận đứng $x = -1$, tiệm cận xiên $y = x$, đi qua điểm $(0; 1)$ và $(-2; -3)$.

Kiểm tra từng đáp án bằng cách thay $x = 0$ và $x = -2$:

• A: $y(0) = -1$, $y(-2) = -1$. Không khớp.
• B: hàm phân thức bậc nhất, không có tiệm cận xiên. Loại.
• C: $y(0) = 1$ nhưng $y(-2) = 7/(-1) = -7$. Không khớp.
• D: $y(0) = 1$, $y(-2) = 3/(-1) = -3$. Đúng!

Kiểm tra tiệm cận cho D: chia đa thức $x^2 + x + 1 = (x + 1) \cdot x + 1$, nên $y = x + \dfrac{1}{x + 1}$. Có TCĐ $x = -1$, TCX $y = x$. ✓

Đáp án: D.

B. Tự luận

Bài 1.40 (trang 43)

Đề bài: Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = x^3 – 3x^2 + 3x – 1$

b) $y = x^4 – 2x^2 – 1$

c) $y = \dfrac{2x – 1}{3x + 1}$

d) $y = \dfrac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$.

Lời giải:

a) TXĐ: $\mathbb{R}$. $y’ = 3x^2 – 6x + 3 = 3(x – 1)^2 \geq 0$ với mọi $x$, và $y’ = 0$ chỉ tại $x = 1$.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, không có cực trị.

b) TXĐ: $\mathbb{R}$. $y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x – 1)(x + 1)$.

$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm 1$.

Giá trị: $y(0) = -1$, $y(\pm 1) = 1 – 2 – 1 = -2$.

Bảng biến thiên:

• Hàm số đồng biến trên $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$; nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$.
• Cực tiểu tại $x = \pm 1$, $y_{CT} = -2$; cực đại tại $x = 0$, $y_{CĐ} = -1$.

c) TXĐ: $\mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{3}\right\}$.

$$y’ = \dfrac{2(3x + 1) – (2x – 1) \cdot 3}{(3x + 1)^2} = \dfrac{5}{(3x + 1)^2} > 0.$$

Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty; -\dfrac{1}{3}\right)$ và $\left(-\dfrac{1}{3}; +\infty\right)$, không có cực trị.

d) TXĐ: $\mathbb{R} \setminus {-1}$.

Chia: $x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1$, nên $y = x + 1 + \dfrac{1}{x + 1}$.

$$y’ = 1 – \dfrac{1}{(x + 1)^2} = \dfrac{(x + 1)^2 – 1}{(x + 1)^2} = \dfrac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}.$$

$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = -2$.

Giá trị: $y(-2) = -2 + 1 + \dfrac{1}{-1} = -2$; $y(0) = 0 + 1 + 1 = 2$.

Bảng biến thiên (dấu $y’$ theo dấu $x(x + 2)$):

• Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -2)$ và $(0; +\infty)$; nghịch biến trên $(-2; -1)$ và $(-1; 0)$.
• Cực đại tại $x = -2$, $y_{CĐ} = -2$; cực tiểu tại $x = 0$, $y_{CT} = 2$.

Bài 1.41 (trang 44)

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = \dfrac{2x + 1}{3x – 2}$ trên nửa khoảng $[2; +\infty)$;

b) $y = \sqrt{2 – x^2}$.

Lời giải:

a) Trên $[2; +\infty)$, hàm số xác định (vì $3x – 2 > 0$ với $x \geq 2$).

$$y’ = \dfrac{2(3x – 2) – (2x + 1) \cdot 3}{(3x – 2)^2} = \dfrac{-7}{(3x – 2)^2} < 0.$$

Hàm số nghịch biến trên $[2; +\infty)$.

Giá trị đầu: $y(2) = \dfrac{5}{4}$. Giới hạn: $\lim_{x \to +\infty} y = \dfrac{2}{3}$.

Bảng biến thiên:

Vậy: $\max y = \dfrac{5}{4}$ tại $x = 2$; không có GTNN (giá trị $\dfrac{2}{3}$ là giới hạn không đạt được).

b) TXĐ: $2 – x^2 \geq 0 \Leftrightarrow -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$, tức $D = [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

$$y’ = \dfrac{-2x}{2\sqrt{2 – x^2}} = \dfrac{-x}{\sqrt{2 – x^2}},\quad x \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2}).$$

$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$. Dấu $y’$ ngược dấu với $x$.

Giá trị: $y(-\sqrt{2}) = 0$; $y(0) = \sqrt{2}$; $y(\sqrt{2}) = 0$.

Vậy: $\max y = \sqrt{2}$ tại $x = 0$; $\min y = 0$ tại $x = \pm\sqrt{2}$.

Bài 1.42 (trang 44)

Đề bài: Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) $y = \dfrac{3x – 2}{x + 1}$

b) $y = \dfrac{x^2 + 2x – 1}{2x – 1}$.

Lời giải:

a) TXĐ: $\mathbb{R} \setminus {-1}$.

Tiệm cận ngang: $\lim_{x \to \pm\infty} y = 3$ $\Rightarrow$ $y = 3$.

Tiệm cận đứng: $\lim_{x \to -1^-} y = +\infty$; $\lim_{x \to -1^+} y = -\infty$ (tử tại $x = -1$ là $-5 \neq 0$, mẫu $\to 0$) $\Rightarrow$ $x = -1$.

Kết luận: TCĐ $x = -1$; TCN $y = 3$.

b) TXĐ: $\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$.

Chia đa thức $x^2 + 2x – 1$ cho $2x – 1$:

$$y = \dfrac{x}{2} + \dfrac{5}{4} + \dfrac{1/4}{2x – 1} = \dfrac{x}{2} + \dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{4(2x – 1)}.$$

Tiệm cận đứng: Tại $x = \dfrac{1}{2}$, tử $= \dfrac{1}{4} + 1 – 1 = \dfrac{1}{4} \neq 0$, mẫu $= 0$ $\Rightarrow$ $x = \dfrac{1}{2}$ là TCĐ.

Tiệm cận xiên: $\lim_{x \to \pm\infty} \left[y – \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{5}{4}\right)\right] = \lim \dfrac{1}{4(2x – 1)} = 0$ $\Rightarrow$ $y = \dfrac{x}{2} + \dfrac{5}{4}$ là TCX.

Kết luận: TCĐ $x = \dfrac{1}{2}$; TCX $y = \dfrac{x}{2} + \dfrac{5}{4}$.

Bài 1.43 (trang 44)

Đề bài: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = -x^3 + 6x^2 – 9x + 12$

b) $y = \dfrac{2x – 1}{x + 1}$

c) $y = \dfrac{x^2 – 2x}{x – 1}$.

Lời giải:

a) TXĐ: $\mathbb{R}$.

Đạo hàm: $y’ = -3x^2 + 12x – 9 = -3(x – 1)(x – 3)$.

$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.

• Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$; đồng biến trên $(1; 3)$.
• Cực tiểu tại $x = 1$, $y_{CT} = -1 + 6 – 9 + 12 = 8$.
• Cực đại tại $x = 3$, $y_{CĐ} = -27 + 54 – 27 + 12 = 12$.

Giới hạn: $\lim_{x \to -\infty} y = +\infty$; $\lim_{x \to +\infty} y = -\infty$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị: Giao trục tung $(0; 12)$; tâm đối xứng: $y” = -6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2$, $y(2) = -8 + 24 – 18 + 12 = 10$, tức tâm $(2; 10)$.

b) TXĐ: $\mathbb{R} \setminus {-1}$.

Chia: $y = 2 – \dfrac{3}{x + 1}$.

$y’ = \dfrac{3}{(x + 1)^2} > 0$. Hàm đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$, không có cực trị.

Tiệm cận: $\lim_{x \to -1^-} y = +\infty$; $\lim_{x \to -1^+} y = -\infty$ $\Rightarrow$ TCĐ $x = -1$. $\lim_{x \to \pm\infty} y = 2$ $\Rightarrow$ TCN $y = 2$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị: Giao Oy $(0; -1)$; giao Ox: $2x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$, tức $\left(\dfrac{1}{2}; 0\right)$. Tâm $I(-1; 2)$.

c) TXĐ: $\mathbb{R} \setminus {1}$.

Chia: $x^2 – 2x = (x – 1)^2 – 1$, nên $y = x – 1 – \dfrac{1}{x – 1}$.

$y’ = 1 + \dfrac{1}{(x – 1)^2} > 0$. Hàm đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$, không có cực trị.

Tiệm cận:

• $\lim_{x \to 1^-} y = -1 – (-\infty)$… Chú ý: $\dfrac{1}{x – 1} \to -\infty$ khi $x \to 1^-$, nên $y = (x – 1) – \dfrac{1}{x – 1} \to 0 – (-\infty) = +\infty$. Tương tự $\lim_{x \to 1^+} y = -\infty$. Vậy TCĐ $x = 1$.
• $\lim_{x \to \pm\infty} [y – (x – 1)] = 0$ $\Rightarrow$ TCX $y = x – 1$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị: Giao Oy $(0; 0)$; giao Ox: $x^2 – 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Tâm $I(1; 0)$ (thay $x = 1$ vào $y = x – 1$).

Bài 1.44 (trang 44)

Đề bài: Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự $f$ (H.1.39). Khoảng cách $p$ từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách $q$ từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức:

$$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f}.$$

a) Viết công thức tính $q = g(p)$ như một hàm số của biến $p \in (f; +\infty)$.

b) Tính các giới hạn $\lim_{p \to +\infty} g(p)$; $\lim_{p \to f^+} g(p)$ và giải thích ý nghĩa các kết quả này.

c) Lập bảng biến thiên của hàm số $q = g(p)$ trên khoảng $(f; +\infty)$.

Lời giải:

a) Tìm $q = g(p)$.

Từ $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f}$, ta có $\dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f} – \dfrac{1}{p} = \dfrac{p – f}{pf}$.

Do đó:

$$q = g(p) = \dfrac{pf}{p – f},\quad p \in (f; +\infty).$$

b) Tính các giới hạn.

Giới hạn khi $p \to +\infty$:

$$\lim_{p \to +\infty} g(p) = \lim_{p \to +\infty} \dfrac{pf}{p – f} = \lim_{p \to +\infty} \dfrac{f}{1 – \dfrac{f}{p}} = f.$$

Đường thẳng $q = f$ là tiệm cận ngang. Ý nghĩa: khi vật đặt cách thấu kính càng xa, ảnh càng tiến gần đến tiêu điểm của thấu kính.

Giới hạn khi $p \to f^+$:

Khi $p \to f^+$: tử $pf \to f^2 > 0$, mẫu $p – f \to 0^+$. Do đó:

$$\lim_{p \to f^+} g(p) = +\infty.$$

Đường thẳng $p = f$ là tiệm cận đứng. Ý nghĩa: khi vật đặt càng gần tiêu điểm, ảnh càng đi xa ra vô hạn.

c) Bảng biến thiên.

$$g'(p) = \dfrac{f(p – f) – pf \cdot 1}{(p – f)^2} = \dfrac{-f^2}{(p – f)^2} < 0,\quad \forall p > f.$$

Hàm số nghịch biến trên $(f; +\infty)$.

Bài 1.45 (trang 44)

Đề bài: Dân số của một quốc gia sau $t$ (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: $N(t) = 100 e^{0{,}012 t}$ ($N(t)$ được tính bằng triệu người, $0 \leq t \leq 50$).

a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035.

b) Xem $N(t)$ là hàm số của biến số $t$ xác định trên đoạn $[0; 50]$. Xét chiều biến thiên của hàm số $N(t)$ trên đoạn $[0; 50]$.

c) Đạo hàm của hàm số $N(t)$ biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là $1{,}6$ triệu người/năm?

Lời giải:

a) Dân số năm 2030 và 2035.

Năm 2030 ứng với $t = 2030 – 2023 = 7$:

$$N(7) = 100 e^{0{,}012 \cdot 7} = 100 e^{0{,}084} \approx 108{,}763\text{ (triệu người)}.$$

Năm 2035 ứng với $t = 12$:

$$N(12) = 100 e^{0{,}144} \approx 115{,}488\text{ (triệu người)}.$$

b) Chiều biến thiên.

$$N'(t) = 100 \cdot 0{,}012 \cdot e^{0{,}012 t} = 1{,}2 e^{0{,}012 t} > 0,\quad \forall t \in [0; 50].$$

Vậy $N(t)$ đồng biến trên đoạn $[0; 50]$: dân số liên tục tăng từ năm 2023 đến năm 2073.

c) Vào năm nào tốc độ tăng bằng $1{,}6$ triệu người/năm?

$$N'(t) = 1{,}6 \Leftrightarrow 1{,}2 e^{0{,}012 t} = 1{,}6 \Leftrightarrow e^{0{,}012 t} = \dfrac{4}{3}.$$

Lấy logarit hai vế:

$$0{,}012 t = \ln \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{0{,}012} \ln \dfrac{4}{3} \approx \dfrac{0{,}2877}{0{,}012} \approx 23{,}97.$$

Vậy sau khoảng $24$ năm kể từ 2023, tức vào khoảng năm 2047, tốc độ tăng dân số là $1{,}6$ triệu người/năm.

Bài 1.46 (trang 44)

Đề bài: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở $A$ đến một hòn đảo ở $C$ như Hình 1.40. Khoảng cách từ $C$ đến $B$ là $4$ km. Bờ biển chạy thẳng từ $A$ đến $B$ với khoảng cách là $10$ km. Tổng chi phí lắp đặt cho $1$ km dây điện trên biển là $50$ triệu đồng, còn trên đất liền là $30$ triệu đồng. Xác định vị trí điểm $M$ trên đoạn $AB$ (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

Lời giải:

Bước 1: Lập biểu thức chi phí theo biến $x$.

Gọi $BM = x$ (km), với $0 \leq x \leq 10$. Khi đó:

• Đoạn đất liền: $AM = AB – BM = 10 – x$ (km).
• Đoạn dưới biển: xét tam giác vuông $CBM$ có $CB = 4$, $BM = x$, nên theo định lí Pythagore:

$$CM = \sqrt{BC^2 + BM^2} = \sqrt{16 + x^2}\text{ (km)}.$$

Tổng chi phí:

$$f(x) = 30(10 – x) + 50\sqrt{16 + x^2}\text{ (triệu đồng)},\quad 0 \leq x \leq 10.$$

Bước 2: Tìm GTNN của $f(x)$.

$$f'(x) = -30 + 50 \cdot \dfrac{x}{\sqrt{16 + x^2}} = -30 + \dfrac{50 x}{\sqrt{16 + x^2}}.$$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{50 x}{\sqrt{16 + x^2}} = 30 \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt{16 + x^2}$.

Bình phương hai vế (điều kiện $x \geq 0$):

$$25 x^2 = 9(16 + x^2) \Leftrightarrow 16 x^2 = 144 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = 3.$$

Tính giá trị $f$ tại các mốc:

• $f(0) = 300 + 50 \cdot 4 = 500$.
• $f(3) = 30 \cdot 7 + 50 \cdot \sqrt{25} = 210 + 250 = 460$.
• $f(10) = 0 + 50\sqrt{116} \approx 538{,}5$.

So sánh: $460 < 500 < 538{,}5$. Vậy $\min f = f(3) = 460$.

Kết luận: Điểm $M$ cần được đặt cách $B$ một đoạn $BM = 3$ km (tức cách $A$ là $7$ km). Khi đó tổng chi phí lắp đặt nhỏ nhất là $460$ triệu đồng.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh