Mở đầu trang 50

Đề bài: Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ (H.5.33). Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là $7$ m, $6$ m, $5$ m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài $4$ m. Hỏi mái nhà nghiêng so với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ?

Lời giải:

Để tính góc giữa mái nhà và mặt sàn, ta lập hệ trục toạ độ, viết vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa mái, rồi áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng. Bài toán được giải chi tiết ở Vận dụng (trang 53).

1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

HĐ1 (trang 50)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta’$ tương ứng có các vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a;\ b;\ c),\ \vec{u’} = (a’;\ b’;\ c’)$ (H.5.34).

a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc $(\Delta,\ \Delta’)$ và $(\vec{u},\ \vec{u’})$.

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa $\cos(\Delta,\ \Delta’)$ và $|\cos(\vec{u},\ \vec{u’})|$?

Lời giải:

a) Góc giữa hai đường thẳng $(\Delta,\ \Delta’)$ luôn thuộc đoạn $[0^\circ;\ 90^\circ]$. Trong khi đó, góc $(\vec{u},\ \vec{u’})$ có thể thuộc $[0^\circ;\ 180^\circ]$. Có hai trường hợp:

• Nếu $(\vec{u},\ \vec{u’}) \le 90^\circ$ thì $(\Delta,\ \Delta’) = (\vec{u},\ \vec{u’})$.
• Nếu $(\vec{u},\ \vec{u’}) > 90^\circ$ thì $(\Delta,\ \Delta’) = 180^\circ – (\vec{u},\ \vec{u’})$ (bù nhau).

b) Vì $\cos$ của góc nhọn dương và $\cos$ của góc tù âm, còn góc giữa hai đường thẳng luôn có $\cos \ge 0$, ta có:

$$\cos(\Delta,\ \Delta’) = |\cos(\vec{u},\ \vec{u’})| = \dfrac{|aa’ + bb’ + cc’|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{a’^2 + b’^2 + c’^2}}.$$

Luyện tập 1 (trang 51)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa trục $Oz$ và đường thẳng $\Delta:\ \dfrac{x – 3}{1} = \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{z – 1}{-2}$.

Lời giải:

Vectơ chỉ phương: $Oz$ có $\vec{k} = (0;\ 0;\ 1)$, $\Delta$ có $\vec{u} = (1;\ 2;\ -2)$.

Áp dụng công thức:

$$\cos(Oz,\ \Delta) = \dfrac{|0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-2)|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \dfrac{2}{1 \cdot 3} = \dfrac{2}{3}.$$

$$\Rightarrow (Oz,\ \Delta) = \arccos \dfrac{2}{3} \approx 48{,}2^\circ.$$

2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

HĐ2 (trang 51)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$. Xét $\vec{u} = (a;\ b;\ c)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$ và $\vec{n} = (A;\ B;\ C)$ (với giá $\Delta’$) là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ (H.5.35).

a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc $(\Delta,\ (P))$ và $(\Delta,\ \Delta’)$.

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa $\sin(\Delta,\ (P))$ và $|\cos(\vec{u},\ \vec{n})|$?

Lời giải:

a) $\Delta’$ vuông góc với $(P)$ nên $\Delta’$ vuông góc với hình chiếu của $\Delta$ trên $(P)$. Do đó:

$$(\Delta,\ \Delta’) + (\Delta,\ (P)) = 90^\circ \Rightarrow (\Delta,\ (P)) = 90^\circ – (\Delta,\ \Delta’).$$

b) Từ đó: $\sin(\Delta,\ (P)) = \cos(\Delta,\ \Delta’) = |\cos(\vec{u},\ \vec{n})|$.

Công thức tổng quát:

$$\sin(\Delta,\ (P)) = \dfrac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$

Luyện tập 2 (trang 51)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$, với:

$$\Delta:\ \dfrac{x + 2}{-1} = \dfrac{y – 4}{2} = \dfrac{z + 1}{1},\ (P):\ x – y + z – 1 = 0.$$

Lời giải:

Vectơ chỉ phương: $\vec{u} = (-1;\ 2;\ 1)$; vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = (1;\ -1;\ 1)$.

$$\sin(\Delta,\ (P)) = \dfrac{|(-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1|}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \dfrac{|-2|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{18}} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}.$$

$$\Rightarrow (\Delta,\ (P)) = \arcsin \dfrac{\sqrt{2}}{3} \approx 28{,}1^\circ.$$

3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

HĐ3 (trang 52)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P),\ (Q)$ tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (A;\ B;\ C),\ \vec{n’} = (A’;\ B’;\ C’)$. Lấy các đường thẳng $\Delta,\ \Delta’$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{n},\ \vec{n’}$ (H.5.36).

a) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ và góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta’$ có mối quan hệ gì?

b) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Lời giải:

a) Vì $\Delta \perp (P)$ và $\Delta’ \perp (Q)$, góc giữa $(P)$ và $(Q)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $\Delta,\ \Delta’$:

$$((P),\ (Q)) = (\Delta,\ \Delta’).$$

b) Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng với vtcp $\vec{n},\ \vec{n’}$:

$$\cos((P),\ (Q)) = |\cos(\vec{n},\ \vec{n’})| = \dfrac{|AA’ + BB’ + CC’|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{A’^2 + B’^2 + C’^2}}.$$

Luyện tập 3 (trang 52)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $(P):\ x – \sqrt{2}, y + z – 2 = 0$ và $(Oxz):\ y = 0$.

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến: $(P)$ có $\vec{n} = (1;\ -\sqrt{2};\ 1)$; $(Oxz)$ có $\vec{n’} = (0;\ 1;\ 0)$.

$$\cos((P),\ (Oxz)) = \dfrac{|1 \cdot 0 + (-\sqrt{2}) \cdot 1 + 1 \cdot 0|}{\sqrt{1 + 2 + 1} \cdot \sqrt{0 + 1 + 0}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$

$$\Rightarrow ((P),\ (Oxz)) = 45^\circ.$$

Vận dụng (trang 53)

Đề bài: Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ. Đặt các chân cột $A,\ B,\ C$ tạo thành tam giác đều cạnh $4$ m trên mặt sàn. Chọn hệ trục sao cho:

$$A(0;\ 0;\ 0),\quad C(4;\ 0;\ 0),\quad B(2;\ 2\sqrt{3};\ 0).$$

(Tam giác đều cạnh $4$: đỉnh $B$ cách $AC$ khoảng $\dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.)

Bước 2: Toạ độ đỉnh 3 cột (cao $7$, $6$, $5$ m theo trục $Oz$):

$$A'(0;\ 0;\ 7),\quad B'(2;\ 2\sqrt{3};\ 6),\quad C'(4;\ 0;\ 5).$$

Bước 3: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng mái $(A’B’C’)$.

$$\overrightarrow{A’B’} = (2;\ 2\sqrt{3};\ -1),\quad \overrightarrow{A’C’} = (4;\ 0;\ -2).$$

Tính tích có hướng:

$$\vec{n} = [\overrightarrow{A’B’},\ \overrightarrow{A’C’}] = (2\sqrt{3} \cdot (-2) – (-1) \cdot 0;\ (-1) \cdot 4 – 2 \cdot (-2);\ 2 \cdot 0 – 2\sqrt{3} \cdot 4).$$

$$= (-4\sqrt{3};\ 0;\ -8\sqrt{3}).$$

Rút gọn (chia cho $-4\sqrt{3}$): $\vec{n} = (1;\ 0;\ 2)$.

Bước 4: Tính góc giữa mái và sàn. Vectơ pháp tuyến của mặt sàn $(Oxy)$: $\vec{k} = (0;\ 0;\ 1)$.

$$\cos((\text{mái}),\ (\text{sàn})) = \dfrac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} \cdot \sqrt{1}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$$

$$\Rightarrow (\text{mái},\ \text{sàn}) = \arccos \dfrac{2\sqrt{5}}{5} \approx 26{,}6^\circ.$$

Vậy mái nhà nghiêng so với mặt sàn một góc khoảng $26{,}6^\circ$.

Bài tập (trang 53)

Bài 5.20 (trang 53)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng:

$$\Delta_1:\ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 – t \\ z = 2 + 3t \end{cases}\ \text{và}\ \Delta_2:\ \dfrac{x – 2}{-1} = \dfrac{y + 1}{1} = \dfrac{z – 2}{2}.$$

Lời giải:

Vectơ chỉ phương: $\vec{u_1} = (2;\ -1;\ 3)$, $\vec{u_2} = (-1;\ 1;\ 2)$.

$$\cos(\Delta_1,\ \Delta_2) = \dfrac{|2 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 + 3 \cdot 2|}{\sqrt{4 + 1 + 9} \cdot \sqrt{1 + 1 + 4}} = \dfrac{|3|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \dfrac{3}{\sqrt{84}} = \dfrac{\sqrt{21}}{14}.$$

$$\Rightarrow (\Delta_1,\ \Delta_2) \approx 70{,}9^\circ.$$

Bài 5.21 (trang 53)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa trục $Oz$ và mặt phẳng $(P):\ x + 2y – z – 1 = 0$.

Lời giải:

Vectơ chỉ phương $Oz$: $\vec{k} = (0;\ 0;\ 1)$. Vectơ pháp tuyến $(P)$: $\vec{n} = (1;\ 2;\ -1)$.

$$\sin(Oz,\ (P)) = \dfrac{|0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1)|}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{1 + 4 + 1}} = \dfrac{1}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}.$$

$$\Rightarrow (Oz,\ (P)) = \arcsin \dfrac{\sqrt{6}}{6} \approx 24{,}1^\circ.$$

Bài 5.22 (trang 53)

Đề bài: Tính góc giữa đường thẳng $\Delta:\ \dfrac{x + 1}{-1} = \dfrac{y – 3}{2} = \dfrac{z + 2}{3}$ và mặt phẳng $(P):\ x + y + z + 3 = 0$.

Lời giải:

Vectơ chỉ phương $\Delta$: $\vec{u} = (-1;\ 2;\ 3)$. Vectơ pháp tuyến $(P)$: $\vec{n} = (1;\ 1;\ 1)$.

$$\sin(\Delta,\ (P)) = \dfrac{|(-1) + 2 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 9} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{4}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{4}{\sqrt{42}} = \dfrac{2\sqrt{42}}{21}.$$

$$\Rightarrow (\Delta,\ (P)) = \arcsin \dfrac{2\sqrt{42}}{21} \approx 38{,}1^\circ.$$

Bài 5.23 (trang 53)

Đề bài: Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình vuông với cạnh dài $230$ m, các cạnh bên bằng nhau và dài $219$ m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$.

Lời giải:

Bước 1: Chọn hệ trục. Đặt gốc $O$ tại tâm đáy, các trục $Ox,\ Oy$ song song với các cạnh đáy, $Oz$ hướng lên qua đỉnh $S$. Các đỉnh:

$$A(115;\ -115;\ 0),\ B(115;\ 115;\ 0),\ C(-115;\ 115;\ 0),\ S(0;\ 0;\ h).$$

Bước 2: Tính chiều cao $h$. $SA = 219$:

$$SA^2 = 115^2 + 115^2 + h^2 = 219^2 \Rightarrow h^2 = 47,961 – 26,450 = 21,511.$$

Bước 3: Vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng.

$$\overrightarrow{SA} = (115;\ -115;\ -h),\ \overrightarrow{SB} = (115;\ 115;\ -h),\ \overrightarrow{SC} = (-115;\ 115;\ -h).$$

Mặt $(SAB)$: vtpt $\vec{n_1} = [\overrightarrow{SA},\ \overrightarrow{SB}]$:

• Thành phần $x$: $(-115)(-h) – (-h)(115) = 115h + 115h = 230h$.
• Thành phần $y$: $(-h)(115) – (115)(-h) = 0$.
• Thành phần $z$: $(115)(115) – (-115)(115) = 115 \cdot 230 = 26,450$.

$\Rightarrow \vec{n_1} = (230h;\ 0;\ 26,450)$.

Mặt $(SBC)$: vtpt $\vec{n_2} = [\overrightarrow{SB},\ \overrightarrow{SC}]$:

• Thành phần $x$: $(115)(-h) – (-h)(115) = 0$.
• Thành phần $y$: $(-h)(-115) – (115)(-h) = 115h + 115h = 230h$.
• Thành phần $z$: $(115)(115) – (115)(-115) = 26,450$.

$\Rightarrow \vec{n_2} = (0;\ 230h;\ 26,450)$.

Bước 4: Tính góc.

$$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 + 0 + 26,450^2.$$

$$|\vec{n_1}|^2 = |\vec{n_2}|^2 = (230h)^2 + 26,450^2 = 230^2 \cdot 21,511 + 115^2 \cdot 230^2 = 230^2(21,511 + 13,225) = 230^2 \cdot 34,736.$$

$$\cos((SAB),\ (SBC)) = \dfrac{26,450^2}{230^2 \cdot 34,736} = \dfrac{115^2 \cdot 230^2}{230^2 \cdot 34,736} = \dfrac{13,225}{34,736} \approx 0{,}3807.$$

$$\Rightarrow ((SAB),\ (SBC)) \approx 67{,}6^\circ.$$

Bài 5.24 (trang 53)

Đề bài: (H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh $1$ m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành $ABCD$ và khoảng cách từ các điểm $A,\ B,\ C$ đến đáy bể tương ứng là $40$ cm, $44$ cm, $48$ cm.

a) Khoảng cách từ điểm $D$ đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên.)

b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Lời giải:

Bước 1: Chọn hệ trục. Đáy bể là hình vuông cạnh $1$ m $= 100$ cm nằm trên mặt phẳng $Oxy$. Các đỉnh $A,\ B,\ C,\ D$ nằm trên bốn cạnh đứng của bể:

$$A(0;\ 0;\ 40),\ B(100;\ 0;\ 44),\ C(100;\ 100;\ 48),\ D(0;\ 100;\ z_D).$$

a) Tìm $z_D$. Vì $ABCD$ là hình bình hành, hai đường chéo $AC$ và $BD$ có cùng trung điểm:

$$A + C = B + D \Leftrightarrow 40 + 48 = 44 + z_D \Rightarrow z_D = 44\ (\text{cm}).$$

Vậy khoảng cách từ $D$ đến đáy bể là $44$ cm.

b) Góc giữa mặt nước $(ABCD)$ và đáy bể (mặt $Oxy$).

Vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{AB} = (100;\ 0;\ 4),\ \overrightarrow{AC} = (100;\ 100;\ 8)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt nước:

$$\vec{n} = [\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}] = (0 \cdot 8 – 4 \cdot 100;\ 4 \cdot 100 – 100 \cdot 8;\ 100 \cdot 100 – 0 \cdot 100) = (-400;\ -400;\ 10,000).$$

Rút gọn (chia cho $-400$): $\vec{n} = (1;\ 1;\ -25)$.

Vectơ pháp tuyến của đáy bể: $\vec{k} = (0;\ 0;\ 1)$.

$$\cos(\text{nước},\ \text{đáy}) = \dfrac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-25) \cdot 1|}{\sqrt{1 + 1 + 625} \cdot 1} = \dfrac{25}{\sqrt{627}}.$$

$$\Rightarrow \text{góc} = \arccos \dfrac{25}{\sqrt{627}} \approx 3{,}2^\circ.$$

Chú ý: Đề hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang – trong lời giải, ta đã chọn hệ trục có đáy bể trên $Oxy$. Do đó góc giữa đáy bể và mặt phẳng nằm ngang bằng góc giữa mặt nước (nằm ngang thực tế) và mặt phẳng $Oxy$ đã tính, tức khoảng $3{,}2^\circ$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh