1. Xác suất có điều kiện

HĐ1 (trang 65)

Đề bài: Trong một hộp kín có $7$ chiếc bút bi xanh và $5$ chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi trong hộp, không trả lại. Sau đó Tùng lấy ngẫu nhiên một trong $11$ chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen.

Lời giải:

Nếu Sơn đã lấy được bút bi đen, thì trong hộp còn lại $11$ chiếc bút gồm:

• $7$ chiếc bút bi xanh (nguyên vẹn).
• $4$ chiếc bút bi đen (giảm $1$).

Tùng lấy ngẫu nhiên $1$ trong $11$ chiếc còn lại, nên xác suất Tùng lấy được bút bi xanh là:

$$\dfrac{7}{11}.$$

Luyện tập 1 (trang 66)

Đề bài: Trở lại Ví dụ 1. Tính $P(A|\overline{B})$ bằng định nghĩa và bằng công thức.

(Nhắc lại Ví dụ 1: Một hộp có $20$ viên bi trắng và $10$ viên bi đen. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên. Gọi $A$ là biến cố “An lấy được viên bi trắng”; $B$ là biến cố “Bình lấy được viên bi trắng”.)

Lời giải:

Biến cố $\overline{B}$ là “Bình lấy được viên bi đen“.

Cách 1: Bằng định nghĩa.

Nếu $\overline{B}$ xảy ra (Bình lấy được viên bi đen), trong hộp còn lại $29$ viên với $20$ viên bi trắng và $9$ viên bi đen. Vậy:

$$P(A|\overline{B}) = \dfrac{20}{29}.$$

Cách 2: Bằng công thức $P(A|\overline{B}) = \dfrac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}$.

• Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = 30 \cdot 29$ (Bình có $30$ cách chọn, An có $29$ cách chọn từ $29$ viên còn lại).
• Bình lấy được bi đen có $10$ cách, An lấy được $1$ trong $29$ viên còn lại: $n(\overline{B}) = 10 \cdot 29$. Do đó:

$$P(\overline{B}) = \dfrac{10 \cdot 29}{30 \cdot 29}.$$

• $A\overline{B}$ là biến cố “Bình lấy đen và An lấy trắng”. Bình có $10$ cách chọn bi đen; sau đó còn nguyên $20$ bi trắng, An có $20$ cách. Vậy $n(A\overline{B}) = 10 \cdot 20$:

$$P(A\overline{B}) = \dfrac{10 \cdot 20}{30 \cdot 29}.$$

Áp dụng công thức:

$$P(A|\overline{B}) = \dfrac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})} = \dfrac{10 \cdot 20}{10 \cdot 29} = \dfrac{20}{29}.$$

Hai cách cho cùng kết quả $\dfrac{20}{29}$.

Luyện tập 2 (trang 66)

Đề bài: Chứng tỏ rằng nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì:

$$P(\overline{A}|B) = P(\overline{A}) \quad \text{và} \quad P(A|\overline{B}) = P(A).$$

Lời giải:

Sử dụng tính chất đã học ở lớp 11: nếu $A$ và $B$ độc lập thì các cặp $\overline{A}$ và $B$; $A$ và $\overline{B}$ cũng độc lập.

• Vì $\overline{A}$ và $B$ độc lập, áp dụng kết quả Ví dụ 2 (thay $A$ bởi $\overline{A}$):

$$P(\overline{A}|B) = P(\overline{A}).$$

• Vì $A$ và $\overline{B}$ độc lập, áp dụng kết quả Ví dụ 2 (thay $B$ bởi $\overline{B}$):

$$P(A|\overline{B}) = P(A).$$

Kết luận: Với hai biến cố độc lập, việc biết trước một biến cố xảy ra hay không đều không làm thay đổi xác suất của biến cố kia.

Luyện tập 3 (trang 68)

Đề bài: Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh $X$ của hai loại thuốc $M$ và $N$. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với $4,000$ bệnh nhân mắc bệnh $X$ trong đó $2,400$ bệnh nhân dùng thuốc $M$, $1,600$ bệnh nhân còn lại dùng thuốc $N$. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê $2 \times 2$ như sau:

Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số $4,000$ bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó

a) uống thuốc $M$, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh;

b) uống thuốc $N$, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.

Lời giải:

Gọi $M$ là biến cố “bệnh nhân uống thuốc $M$”; $N$ là biến cố “bệnh nhân uống thuốc $N$”; $K$ là biến cố “bệnh nhân khỏi bệnh”.

Đọc bảng:

• Tổng số khỏi bệnh: $1,600 + 1,200 = 2,800$.
• Tổng số không khỏi bệnh: $800 + 400 = 1,200$.

a) $P(M|K)$: Trong $2,800$ bệnh nhân khỏi bệnh, có $1,600$ bệnh nhân uống thuốc $M$. Áp dụng công thức xác suất có điều kiện:

$$P(M|K) = \dfrac{n(MK)}{n(K)} = \dfrac{1,600}{2,800} = \dfrac{4}{7}.$$

b) $P(N|\overline{K})$: Trong $1,200$ bệnh nhân không khỏi bệnh, có $400$ bệnh nhân uống thuốc $N$:

$$P(N|\overline{K}) = \dfrac{n(N\overline{K})}{n(\overline{K})} = \dfrac{400}{1,200} = \dfrac{1}{3}.$$

2. Công thức nhân xác suất

HĐ2 (trang 68)

Đề bài: Chứng minh rằng, với hai biến cố $A$ và $B$, $P(B) > 0$, ta có:

$$P(AB) = P(B) \cdot P(A|B).$$

Lời giải:

Theo công thức xác suất có điều kiện, với $P(B) > 0$:

$$P(A|B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}.$$

Nhân cả hai vế với $P(B)$, ta được:

$$P(AB) = P(B) \cdot P(A|B).$$

Đây chính là công thức nhân xác suất.

Luyện tập 4 (trang 69)

Đề bài: Trở lại Ví dụ 4. Tính xác suất để:

a) Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen;

b) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu.

(Nhắc lại Ví dụ 4: hộp có $7$ bút bi xanh và $5$ bút bi đen; Sơn lấy trước, Tùng lấy sau, không trả lại.)

Lời giải:

a) Gọi $A$ là biến cố “Sơn lấy được bút bi xanh”; $B$ là biến cố “Tùng lấy được bút bi đen”.

• $P(A) = \dfrac{7}{12}$ (Sơn lấy $1$ trong $12$ bút, có $7$ bút xanh).
• $P(B|A)$: Nếu Sơn đã lấy được bút xanh, còn $11$ chiếc gồm $6$ xanh và $5$ đen. Tùng lấy được đen với xác suất:

$$P(B|A) = \dfrac{5}{11}.$$

Áp dụng công thức nhân xác suất:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = \dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{5}{11} = \dfrac{35}{132}.$$

b) Hai bút cùng màu = (cả hai xanh) hoặc (cả hai đen). Đây là hai biến cố xung khắc nên:

$$P(\text{cùng màu}) = P(\text{cả hai xanh}) + P(\text{cả hai đen}).$$

• $P(\text{cả hai xanh})$: Sơn lấy xanh, rồi Tùng lấy xanh trong $11$ bút còn lại ($6$ xanh, $5$ đen):

$$= \dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{6}{11} = \dfrac{42}{132}.$$

• $P(\text{cả hai đen})$: Sơn lấy đen, rồi Tùng lấy đen trong $11$ bút còn lại ($7$ xanh, $4$ đen):

$$= \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{4}{11} = \dfrac{20}{132}.$$

Tổng:

$$P(\text{cùng màu}) = \dfrac{42}{132} + \dfrac{20}{132} = \dfrac{62}{132} = \dfrac{31}{66}.$$

Vận dụng (trang 69)

Đề bài: Trở lại trò chơi “Ô cửa bí mật”. Giả sử người chơi chọn cửa số $1$ và người quản trò mở cửa số $3$. Kí hiệu $E_1, E_2, E_3$ tương ứng là các biến cố “Sau ô cửa số $1$ có ô tô”; “Sau ô cửa số $2$ có ô tô”; “Sau ô cửa số $3$ có ô tô” và $H$ là biến cố “Người quản trò mở ô cửa số $3$ thấy con lừa”.

Bài toán này còn được biết đến với tên gọi nổi tiếng là nghịch lý Monty Hall

a) Chứng minh rằng $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \dfrac{1}{3}$; $P(H|E_1) = \dfrac{1}{2}$ và $P(H|E_2) = 1$.

b) Chứng minh rằng $P(E_1|H) = \dfrac{P(E_1) \cdot P(H|E_1)}{P(H)}$ và $P(E_2|H) = \dfrac{P(E_2) \cdot P(H|E_2)}{P(H)}$.

c) Suy ra $P(E_2|H) = 2P(E_1|H)$. Đưa ra lời khuyên cho người chơi.

Lời giải:

a) Tính các xác suất cơ bản.

• Ô tô được đặt ngẫu nhiên sau một trong ba cửa nên: $P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \dfrac{1}{3}$.
• $P(H|E_1) = \dfrac{1}{2}$: Nếu $E_1$ xảy ra (ô tô ở cửa số $1$, tức đúng cửa người chơi chọn), thì cả cửa số $2$ và số $3$ đều có con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa để mở, nên xác suất mở cửa số $3$ là $\dfrac{1}{2}$.
• $P(H|E_2) = 1$: Nếu $E_2$ xảy ra (ô tô ở cửa số $2$), thì cửa số $3$ chắc chắn có lừa. Người quản trò không thể mở cửa số $1$ (người chơi đã chọn) cũng không thể mở cửa số $2$ (sau đó có ô tô), nên bắt buộc phải mở cửa số $3$. Vậy $P(H|E_2) = 1$.

b) Chứng minh công thức.

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện $P(E_i|H) = \dfrac{P(E_i H)}{P(H)}$ và công thức nhân xác suất $P(E_i H) = P(E_i) \cdot P(H|E_i)$:

$$P(E_1|H) = \dfrac{P(E_1 H)}{P(H)} = \dfrac{P(E_1) \cdot P(H|E_1)}{P(H)}.$$

Tương tự:

$$P(E_2|H) = \dfrac{P(E_2) \cdot P(H|E_2)}{P(H)}.$$

c) So sánh $P(E_1|H)$ và $P(E_2|H)$.

Chia hai đẳng thức ở câu b:

$$\dfrac{P(E_2|H)}{P(E_1|H)} = \dfrac{P(E_2) \cdot P(H|E_2)}{P(E_1) \cdot P(H|E_1)} = \dfrac{\tfrac{1}{3} \cdot 1}{\tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\tfrac{1}{2}} = 2.$$

Vậy $P(E_2|H) = 2P(E_1|H)$.

Lời khuyên cho người chơi:

Vì $P(E_2|H) = 2P(E_1|H)$ nên xác suất ô tô ở cửa số $2$ (cửa chưa mở còn lại) gấp đôi xác suất ô tô ở cửa số $1$ (cửa người chơi đã chọn ban đầu).

⟹ Người chơi nên chuyển sang cửa chưa mở còn lại (cửa số $2$) thay vì giữ nguyên lựa chọn ban đầu.

Bài tập (trang 70)

Bài 6.1 (trang 70)

Đề bài: Một hộp kín đựng $20$ tấm thẻ giống hệt nhau đánh số từ $1$ đến $20$. Một người rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ từ trong hộp. Người đó được thông báo rằng thẻ rút ra mang số chẵn. Tính xác suất để người đó rút được thẻ số $10$.

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố “rút được thẻ số $10$”; $B$ là biến cố “rút được thẻ số chẵn”.

Ta cần tính $P(A|B)$. Không gian mẫu: $n(\Omega) = 20$.

• $P(B)$: trong $20$ thẻ, các thẻ chẵn là ${2, 4, 6, \ldots, 20}$, có $10$ thẻ:

$$P(B) = \dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2}.$$

• $P(AB)$: thẻ số $10$ vừa là số $10$ vừa là số chẵn, nên $AB = {10}$:

$$P(AB) = \dfrac{1}{20}.$$

Áp dụng công thức:

$$P(A|B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} = \dfrac{\tfrac{1}{20}}{\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{10}.$$

Bài 6.2 (trang 70)

Đề bài: Cho $P(A) = 0{,}2$; $P(B) = 0{,}51$; $P(B|A) = 0{,}8$. Tính $P(A|B)$.

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng công thức nhân xác suất để tìm $P(AB)$:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}16.$$

Bước 2: Áp dụng công thức xác suất có điều kiện:

$$P(A|B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} = \dfrac{0{,}16}{0{,}51} = \dfrac{16}{51} \approx 0{,}3137.$$

Bài 6.3 (trang 70)

Đề bài: Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để:

a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng $7$ nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt $5$ chấm;

b) Có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt $5$ chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng $7$.

Lời giải:

Không gian mẫu: $n(\Omega) = 6 \cdot 6 = 36$.

Gọi $A$ là biến cố “tổng số chấm bằng $7$”; $B$ là biến cố “có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt $5$ chấm”.

Đếm $n(A)$: Các cặp có tổng $= 7$ là $(1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1) \Rightarrow n(A) = 6$.

Đếm $n(B)$: Dùng biến cố đối. Biến cố $\overline{B}$ là “không con nào xuất hiện $5$ chấm”. Mỗi con có $5$ khả năng (không phải $5$), nên $n(\overline{B}) = 5 \cdot 5 = 25 \Rightarrow n(B) = 36 – 25 = 11$.

Đếm $n(AB)$: Trong $6$ cặp có tổng $7$, cặp chứa mặt $5$ chấm là $(2;5)$ và $(5;2) \Rightarrow n(AB) = 2$.

a) $P(A|B)$:

$$P(A|B) = \dfrac{n(AB)}{n(B)} = \dfrac{2}{11}.$$

b) $P(B|A)$:

$$P(B|A) = \dfrac{n(AB)}{n(A)} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.$$

Bài 6.4 (trang 70)

Đề bài: Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn $10$ nếu biết rằng có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt $5$ chấm.

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố “tổng số chấm $\ge 10$”; $B$ là biến cố “có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt $5$ chấm”.

Từ Bài 6.3, ta có $n(B) = 11$.

Đếm $n(AB)$: Liệt kê $11$ cặp có ít nhất một mặt $5$ chấm:

$$(1;5), (2;5), (3;5), (4;5), (5;5), (6;5), (5;1), (5;2), (5;3), (5;4), (5;6).$$

Cặp có tổng $\ge 10$ trong đó: $(5;5)$ tổng $10$; $(6;5)$ tổng $11$; $(5;6)$ tổng $11 \Rightarrow n(AB) = 3$.

Áp dụng công thức:

$$P(A|B) = \dfrac{n(AB)}{n(B)} = \dfrac{3}{11}.$$

Bài 6.5 (trang 70)

Đề bài: Bạn An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là $0{,}7$. Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là $0{,}9$. Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai chỉ là $0{,}4$. Tính xác suất để:

a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;

b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;

c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công.

Lời giải:

Gọi $A$ là biến cố “thí nghiệm thứ nhất thành công”; $B$ là biến cố “thí nghiệm thứ hai thành công”. Từ đề bài:

• $P(A) = 0{,}7 \Rightarrow P(\overline{A}) = 0{,}3$.
• $P(B|A) = 0{,}9 \Rightarrow P(\overline{B}|A) = 1 – 0{,}9 = 0{,}1$.
• $P(B|\overline{A}) = 0{,}4 \Rightarrow P(\overline{B}|\overline{A}) = 1 – 0{,}4 = 0{,}6$.

a) Cả hai thí nghiệm thành công: đây là biến cố $AB$. Áp dụng công thức nhân:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = 0{,}7 \cdot 0{,}9 = 0{,}63.$$

b) Cả hai thí nghiệm không thành công: đây là biến cố $\overline{A},\overline{B}$:

$$P(\overline{A},\overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}|\overline{A}) = 0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18.$$

c) Thí nghiệm 1 thành công, thí nghiệm 2 không: đây là biến cố $A\overline{B}$:

$$P(A\overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}|A) = 0{,}7 \cdot 0{,}1 = 0{,}07.$$

Bài 6.6 (trang 70)

Đề bài: Trong một túi có một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có $6$ cái kẹo màu cam, còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên một cái kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm một cái kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là $\dfrac{1}{3}$. Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu cái kẹo?

Lời giải:

Gọi $n$ là tổng số kẹo ban đầu trong túi ($n \ge 6$). Gọi $A$ là biến cố “lần thứ nhất lấy được kẹo cam”; $B$ là biến cố “lần thứ hai lấy được kẹo cam”.

Bước 1: Lập phương trình.

• $P(A) = \dfrac{6}{n}$ (có $6$ cam trong $n$ kẹo).
• $P(B|A) = \dfrac{5}{n – 1}$: nếu lần 1 lấy được cam, còn lại $n – 1$ kẹo với $5$ cam.

Áp dụng công thức nhân xác suất:

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = \dfrac{6}{n} \cdot \dfrac{5}{n – 1} = \dfrac{30}{n(n – 1)}.$$

Theo giả thiết, $P(AB) = \dfrac{1}{3}$, nên:

$$\dfrac{30}{n(n – 1)} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow n(n – 1) = 90.$$

Bước 2: Giải phương trình.

$$n^2 – n – 90 = 0 \Leftrightarrow (n – 10)(n + 9) = 0 \Leftrightarrow n = 10 \text{ hoặc } n = -9.$$

Vì $n$ là số kẹo, $n > 0$, nên $n = 10$.

Kiểm tra: $\dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{5}{9} = \dfrac{30}{90} = \dfrac{1}{3}$ ✓.

Vậy ban đầu trong túi có $10$ cái kẹo.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh