A – Trắc nghiệm (trang 27)

Bài 4.20 (trang 27)

Đề bài: Một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin 2x$ là

A. $F(x) = 2\cos 2x$.
B. $F(x) = -\cos 2x$.
C. $F(x) = \dfrac{1}{2}\cos 2x$.
D. $F(x) = \dfrac{-1}{2}\cos 2x$.

Lời giải: Kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm. Với $F(x) = -\dfrac{1}{2}\cos 2x$:

$$F'(x) = -\dfrac{1}{2} \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = \sin 2x = f(x).$$

Chọn D.

Bài 4.21 (trang 27)

Đề bài: Họ các nguyên hàm của hàm số $2e^x$ là

A. $2xe^x + C$.
B. $-2e^x + C$.
C. $2e^x$.
D. $2e^x + C$.

Lời giải: Áp dụng $\displaystyle\int e^x, dx = e^x + C$:

$$\int 2e^x, dx = 2\int e^x, dx = 2e^x + C.$$

Chọn D.

Bài 4.22 (trang 27)

Đề bài: Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = e^x – 3e^{-x}$ thoả mãn $F(0) = 4$ là

A. $F(x) = e^x – 3e^{-x}$.
B. $F(x) = e^x + 3e^{-2x}$.
C. $F(x) = e^x + 3e^{-x}$.
D. $F(x) = e^x + 3e^{-x} + 4$.

Lời giải:

Tìm họ nguyên hàm. Lưu ý $(-e^{-x})’ = e^{-x}$, nên nguyên hàm của $e^{-x}$ là $-e^{-x}$:

$$F(x) = \int (e^x – 3e^{-x}), dx = e^x + 3e^{-x} + C.$$

Xác định $C$: $F(0) = 1 + 3 + C = 4 \Rightarrow C = 0$. Vậy $F(x) = e^x + 3e^{-x}$.

Chọn C.

Bài 4.23 (trang 27)

Đề bài: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, $f(1) = 16$ và $\displaystyle\int_1^3 f'(x), dx = 4$. Khi đó giá trị của $f(3)$ bằng

A. $20$.
B. $16$.
C. $12$.
D. $10$.

Lời giải: Theo định nghĩa tích phân, $f(x)$ là một nguyên hàm của $f'(x)$ nên:

$$\int_1^3 f'(x), dx = f(3) – f(1) \Rightarrow 4 = f(3) – 16 \Rightarrow f(3) = 20.$$

Chọn A.

Bài 4.24 (trang 27)

Đề bài: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = x^2 – 2x$, $y = -x^2 + 4x$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 3$ là

A. $-9$.
B. $9$.
C. $\dfrac{16}{3}$.
D. $\dfrac{20}{3}$.

Lời giải: Xét hiệu:

$$(-x^2 + 4x) – (x^2 – 2x) = -2x^2 + 6x = 2x(3 – x).$$

Trên $[0; 3]$: $2x(3 – x) \ge 0$ nên $|f(x) – g(x)| = -2x^2 + 6x$. Diện tích:

$$S = \int_0^3 (-2x^2 + 6x), dx = \left(-\dfrac{2x^3}{3} + 3x^2\right)\Big|_0^3 = -18 + 27 = 9.$$

Chọn B.

Bài 4.25 (trang 27)

Đề bài: Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-2; 2]$ như Hình 4.32.

Biết $\displaystyle\int_{-2}^{-1} f(x), dx = \displaystyle\int_1^2 f(x), dx = -\dfrac{22}{15}$ và $\displaystyle\int_{-1}^1 f(x), dx = \dfrac{76}{15}$. Khi đó, diện tích của hình phẳng được tô màu là

A. $8$.
B. $\dfrac{22}{15}$.
C. $\dfrac{32}{15}$.
D. $\dfrac{76}{15}$.

Lời giải: Diện tích phần tô màu là tổng các diện tích trên ba đoạn:

$$S = \left|\int_{-2}^{-1} f(x), dx\right| + \left|\int_{-1}^1 f(x), dx\right| + \left|\int_1^2 f(x), dx\right|.$$

$$S = \dfrac{22}{15} + \dfrac{76}{15} + \dfrac{22}{15} = \dfrac{120}{15} = 8.$$

Chọn A.

Bài 4.26 (trang 28)

Đề bài: Cho hình phẳng $(S)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{1 – x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -1$, $x = 1$. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay $(S)$ quanh $Ox$ là

A. $\dfrac{3\pi}{4}$.
B. $\dfrac{3\pi}{2}$.
C. $\dfrac{2\pi}{3}$.
D. $\dfrac{4\pi}{3}$.

Lời giải: Áp dụng công thức khối tròn xoay:

$$V = \pi \int_{-1}^1 (\sqrt{1 – x^2})^2, dx = \pi \int_{-1}^1 (1 – x^2), dx = \pi \left(x – \dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_{-1}^1.$$

$$= \pi \left[\left(1 – \dfrac{1}{3}\right) – \left(-1 + \dfrac{1}{3}\right)\right] = \pi \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{4\pi}{3}.$$

Chọn D. (Đây chính là công thức thể tích khối cầu bán kính $1$.)

Bài 4.27 (trang 28)

Đề bài: Một vật chuyển động có gia tốc là $a(t) = 3t^2 + t$ (m/s²). Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là $2$ m/s. Vận tốc của vật đó sau $2$ giây là

A. $8$ m/s.
B. $10$ m/s.
C. $12$ m/s.
D. $16$ m/s.

Lời giải: Vì $v'(t) = a(t)$ nên $v(t)$ là một nguyên hàm của $a(t)$:

$$v(t) = \int (3t^2 + t), dt = t^3 + \dfrac{t^2}{2} + C.$$

Điều kiện $v(0) = 2$: $C = 2$. Vậy $v(t) = t^3 + \dfrac{t^2}{2} + 2$.

$$v(2) = 8 + 2 + 2 = 12\ (\text{m/s}).$$

Chọn C.

B – Tự luận (trang 28)

Bài 4.28 (trang 28)

Đề bài: Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $y = 2^x – \dfrac{1}{x}$;

b) $y = x\sqrt{x} + 3\cos x – \dfrac{2}{\sin^2 x}$.

Lời giải:

a) Tách hiệu:

$$\int \left(2^x – \dfrac{1}{x}\right) dx = \int 2^x, dx – \int \dfrac{1}{x}, dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} – \ln|x| + C.$$

b) Viết $x\sqrt{x} = x^{\tfrac{3}{2}}$ và tách:

$$\int x^{\tfrac{3}{2}}, dx = \dfrac{x^{\tfrac{5}{2}}}{\tfrac{5}{2}} = \dfrac{2}{5}x^2\sqrt{x}.$$

Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$; nguyên hàm của $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ là $-\cot x$. Do đó:

$$\int y, dx = \dfrac{2}{5}x^2\sqrt{x} + 3\sin x – 2 \cdot (-\cot x) + C = \dfrac{2}{5}x^2\sqrt{x} + 3\sin x + 2\cot x + C.$$

Bài 4.29 (trang 28)

Đề bài: Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của $f(x) = 2\cos x + \dfrac{1}{\sin^2 x}$ thoả mãn $F\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = -1$.

Lời giải:

Bước 1: Họ nguyên hàm.

$$F(x) = 2\sin x – \cot x + C.$$

Bước 2: Xác định $C$. Tại $x = \dfrac{\pi}{4}$: $\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$; $\cot \dfrac{\pi}{4} = 1$:

$$F\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} – 1 + C = \sqrt{2} – 1 + C = -1.$$

$$\Rightarrow C = -\sqrt{2}.$$

Vậy $F(x) = 2\sin x – \cot x – \sqrt{2}$.

Bài 4.30 (trang 28)

Đề bài: Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là $30$ m/s. Viên đạn chuyển động với gia tốc $a = -9{,}8$ m/s². Tìm vận tốc của viên đạn ở thời điểm $2$ giây.

Lời giải: Vì $v'(t) = a(t) = -9{,}8$ nên:

$$v(t) = \int (-9{,}8), dt = -9{,}8t + C.$$

Điều kiện $v(0) = 30$: $C = 30$. Vậy $v(t) = -9{,}8t + 30$.

$$v(2) = -9{,}8 \cdot 2 + 30 = -19{,}6 + 30 = 10{,}4\ (\text{m/s}).$$

Bài 4.31 (trang 28)

Đề bài: Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng sông với vận tốc là $v(t) = -\dfrac{2t}{5} + 4$ (km/h). Nếu coi thời điểm ban đầu $t = 0$ là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu?

Lời giải:

Bước 1: Tìm thời điểm cá dừng. Cá bơi cho đến khi vận tốc bằng $0$:

$$v(t) = 0 \Leftrightarrow -\dfrac{2t}{5} + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 10\ (\text{giờ}).$$

Bước 2: Tính khoảng cách. Trên $[0; 10]$, $v(t) \ge 0$ nên khoảng cách đi được:

$$d = \int_0^{10} \left(-\dfrac{2t}{5} + 4\right) dt = \left(-\dfrac{t^2}{5} + 4t\right)\Big|_0^{10}.$$

$$= -\dfrac{100}{5} + 40 = -20 + 40 = 20\ (\text{km}).$$

Vậy khoảng cách xa nhất cá bơi được là $20$ km.

Bài 4.32 (trang 28)

Đề bài: Tính các tích phân sau:

a) $\displaystyle\int_1^4 (x^3 – 2\sqrt{x}), dx$;

b) $\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} (\cos x – \sin x), dx$;

c) $\displaystyle\int_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{4}} \dfrac{dx}{\sin^2 x}$;

d) $\displaystyle\int_1^{16} \dfrac{x – 1}{\sqrt{x}}, dx$.

Lời giải:

a) Viết $\sqrt{x} = x^{\tfrac{1}{2}}$:

$$\int_1^4 (x^3 – 2x^{\tfrac{1}{2}}), dx = \left(\dfrac{x^4}{4} – \dfrac{4}{3}x^{\tfrac{3}{2}}\right)\Big|_1^4.$$

• Tại $x = 4$: $\dfrac{256}{4} – \dfrac{4}{3} \cdot 8 = 64 – \dfrac{32}{3} = \dfrac{160}{3}.$
• Tại $x = 1$: $\dfrac{1}{4} – \dfrac{4}{3} = \dfrac{3 – 16}{12} = -\dfrac{13}{12}.$

$$\Rightarrow \int_1^4 (x^3 – 2\sqrt{x}), dx = \dfrac{160}{3} + \dfrac{13}{12} = \dfrac{640 + 13}{12} = \dfrac{653}{12}.$$

b)

$$\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} (\cos x – \sin x), dx = (\sin x + \cos x)\Big|_0^{\tfrac{\pi}{2}} = (1 + 0) – (0 + 1) = 0.$$

c) Nguyên hàm của $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ là $-\cot x$:

$$\int_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{4}} \dfrac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x\Big|_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{4}} = -\cot \dfrac{\pi}{4} + \cot \dfrac{\pi}{6} = -1 + \sqrt{3} = \sqrt{3} – 1.$$

d) Tách phân số: $\dfrac{x – 1}{\sqrt{x}} = \dfrac{x}{\sqrt{x}} – \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} – \dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{\tfrac{1}{2}} – x^{-\tfrac{1}{2}}$.

$$\int_1^{16} \left(x^{\tfrac{1}{2}} – x^{-\tfrac{1}{2}}\right) dx = \left(\dfrac{2}{3}x^{\tfrac{3}{2}} – 2x^{\tfrac{1}{2}}\right)\Big|_1^{16}.$$

• Tại $x = 16$: $\dfrac{2}{3} \cdot 64 – 2 \cdot 4 = \dfrac{128}{3} – 8 = \dfrac{104}{3}.$
• Tại $x = 1$: $\dfrac{2}{3} – 2 = -\dfrac{4}{3}.$

$$\Rightarrow \int_1^{16} \dfrac{x – 1}{\sqrt{x}}, dx = \dfrac{104}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{108}{3} = 36.$$

Bài 4.33 (trang 28)

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^x$, $y = x$, $x = 0$ và $x = 1$.

Lời giải:

Trên $[0; 1]$: $e^x \ge 1 > x$ (thực ra $e^x > x$ với mọi $x$), nên $e^x – x > 0$. Diện tích:

$$S = \int_0^1 (e^x – x), dx = \left(e^x – \dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1 = \left(e – \dfrac{1}{2}\right) – (1 – 0) = e – \dfrac{3}{2}.$$

Bài 4.34 (trang 28)

Đề bài: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục $Ox$:

a) $y = 1 – x^2$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 1$;

b) $y = \sqrt{25 – x^2}$, $y = 0$, $x = 2$, $x = 4$.

Lời giải:

a) Trên $[-1; 1]$: $1 – x^2 \ge 0$. Áp dụng công thức khối tròn xoay:

$$V = \pi \int_{-1}^1 (1 – x^2)^2, dx = \pi \int_{-1}^1 (1 – 2x^2 + x^4), dx.$$

$$= \pi \left(x – \dfrac{2x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5}\right)\Big|_{-1}^1.$$

• Tại $x = 1$: $1 – \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{15 – 10 + 3}{15} = \dfrac{8}{15}.$
• Tại $x = -1$: $-\dfrac{8}{15}$ (do hàm lẻ theo $x$ đối xứng).

$$\Rightarrow V = \pi \left(\dfrac{8}{15} + \dfrac{8}{15}\right) = \dfrac{16\pi}{15}.$$

b) Trên $[2; 4]$: $\sqrt{25 – x^2} \ge 0$. Áp dụng:

$$V = \pi \int_2^4 (\sqrt{25 – x^2})^2, dx = \pi \int_2^4 (25 – x^2), dx.$$

$$= \pi \left(25x – \dfrac{x^3}{3}\right)\Big|_2^4 = \pi \left[\left(100 – \dfrac{64}{3}\right) – \left(50 – \dfrac{8}{3}\right)\right].$$

$$= \pi \left(50 – \dfrac{56}{3}\right) = \pi \cdot \dfrac{150 – 56}{3} = \dfrac{94\pi}{3}.$$

Bài 4.35 (trang 28)

Đề bài: Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số $y = \dfrac{1}{175}x^2 + \dfrac{3}{35}x + 5$ ($0 \le x \le 30$) ($x$, $y$ tính theo cm) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục hoành $Ox$. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu centimét khối đất sét, biết bình gốm đó có độ dày không đổi là $1$ cm?

Lời giải:

Ý tưởng: Lượng đất sét = thể tích khối tròn xoay tạo bởi mặt ngoài trừ đi thể tích khối tròn xoay tạo bởi mặt trong.

Bước 1: Hàm mô tả hai mặt. Bề dày $1$ cm nên:

• Mặt trong: $y_1 = \dfrac{1}{175}x^2 + \dfrac{3}{35}x + 5$.
• Mặt ngoài: $y_2 = y_1 + 1 = \dfrac{1}{175}x^2 + \dfrac{3}{35}x + 6$.

Bước 2: Lượng đất sét.

$$V = \pi \int_0^{30} y_2^2, dx – \pi \int_0^{30} y_1^2, dx = \pi \int_0^{30} (y_2^2 – y_1^2), dx.$$

Áp dụng hằng đẳng thức $a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)$ với $y_2 – y_1 = 1$:

$$y_2^2 – y_1^2 = (y_2 – y_1)(y_2 + y_1) = 1 \cdot \left(\dfrac{2}{175}x^2 + \dfrac{6}{35}x + 11\right) = \dfrac{2}{175}x^2 + \dfrac{6}{35}x + 11.$$

Bước 3: Tính tích phân.

$$V = \pi \int_0^{30} \left(\dfrac{2}{175}x^2 + \dfrac{6}{35}x + 11\right) dx = \pi \left(\dfrac{2}{175} \cdot \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{6}{35} \cdot \dfrac{x^2}{2} + 11x\right)\Big|_0^{30}.$$

$$= \pi \left(\dfrac{2 \cdot 27,000}{525} + \dfrac{3 \cdot 900}{35} + 330\right) = \pi \left(\dfrac{54,000}{525} + \dfrac{2,700}{35} + 330\right).$$

Rút gọn: $\dfrac{54,000}{525} = \dfrac{360}{3{,}5}$… đơn giản hơn ta tính từng số hạng:

• $\dfrac{2}{175} \cdot \dfrac{30^3}{3} = \dfrac{2 \cdot 27,000}{525} = \dfrac{54,000}{525} = \dfrac{720}{7}.$
• $\dfrac{6}{35} \cdot \dfrac{30^2}{2} = \dfrac{6 \cdot 900}{70} = \dfrac{5,400}{70} = \dfrac{540}{7}.$
• $11 \cdot 30 = 330 = \dfrac{2,310}{7}.$

Tổng: $\dfrac{720 + 540 + 2,310}{7} = \dfrac{3,570}{7} = 510.$

$$V = 510\pi\ (\text{cm}^3) \approx 1,602{,}21\ (\text{cm}^3).$$

Vậy cần khoảng $510\pi \approx 1,602{,}21$ cm³ đất sét.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh