Mở đầu trang 29

Đề bài: Một vật thể chuyển động trong không gian $Oxyz$. Tại mỗi thời điểm $t$, vật thể ở vị trí $M(\cos t – \sin t;\ \cos t + \sin t;\ \cos t)$. Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?

Lời giải:

Để trả lời câu hỏi này, ta sẽ lập phương trình một mặt phẳng đi qua ba vị trí cụ thể của vật, sau đó kiểm tra xem $M$ có luôn thuộc mặt phẳng đó không. Bài toán sẽ được giải chi tiết ở Vận dụng 2 (trang 35).

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

HĐ1 (trang 29)

Đề bài: Khi một vật được đặt trên mặt bàn phẳng, mặt bàn sẽ tác động lên vật một phản lực pháp tuyến $\vec{n}$, giá của vectơ $\vec{n}$ vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì $\vec{n}$ có phương gì? (H.5.1)

Lời giải:

Mặt bàn nằm ngang là mặt phẳng song song với mặt phẳng $Oxy$. Vì $\vec{n}$ vuông góc với mặt bàn nên $\vec{n}$ có phương thẳng đứng (song song với trục $Oz$).

Luyện tập 1 (trang 30)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;\ -2;\ 3)$, $B(-3;\ 0;\ 1)$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.

Lời giải:

Mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ vuông góc với $AB$ tại trung điểm của nó. Do đó $\overrightarrow{AB}$ là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.

$$\overrightarrow{AB} = (-3 – 1;\ 0 – (-2);\ 1 – 3) = (-4;\ 2;\ -2).$$

Ta có thể chọn một vectơ pháp tuyến đơn giản hơn (chia cho $-2$):

$$\vec{n} = (2;\ -1;\ 1).$$

HĐ2 (trang 30)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (a;\ b;\ c)$ và $\vec{v} = (a’;\ b’;\ c’)$.

a) Vectơ $\vec{n} = (bc’ – b’c;\ ca’ – c’a;\ ab’ – a’b)$ có vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ hay không?

b) $\vec{n} = \vec{0}$ khi và chỉ khi $\vec{u}$ và $\vec{v}$ có mối quan hệ gì?

Lời giải:

a) Xét tích vô hướng $\vec{n} \cdot \vec{u}$:

$$\vec{n} \cdot \vec{u} = a(bc’ – b’c) + b(ca’ – c’a) + c(ab’ – a’b)$$

$$= abc’ – ab’c + a’bc – abc’ + ab’c – a’bc = 0.$$

Vậy $\vec{n} \perp \vec{u}$. Tương tự, $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$, nên $\vec{n} \perp \vec{v}$.

Kết luận: $\vec{n}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

b) $\vec{n} = \vec{0}$ khi và chỉ khi cả ba thành phần $bc’ – b’c = ca’ – c’a = ab’ – a’b = 0$, tức là các cặp toạ độ tương ứng tỉ lệ với nhau. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương.

Luyện tập 2 (trang 31)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{u} = (2;\ 3;\ 1)$ và $\vec{v} = (4;\ 6;\ 2)$. Tính $[\vec{u},\ \vec{v}]$.

Lời giải:

Ta có $\vec{v} = 2\vec{u}$ nên hai vectơ cùng phương. Do đó:

$$[\vec{u},\ \vec{v}] = \vec{0}.$$

Ta cũng có thể kiểm tra bằng công thức:

$$[\vec{u},\ \vec{v}] = \left(\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}\right) = (6 – 6;\ 4 – 4;\ 12 – 12) = (0;\ 0;\ 0).$$

HĐ3 (trang 31)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u},\ \vec{v}$ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng $(P)$.

a) Vectơ $[\vec{u},\ \vec{v}]$ có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của $\vec{u},\ \vec{v}$ hay không?

b) Mặt phẳng $(P)$ có nhận $[\vec{u},\ \vec{v}]$ làm một vectơ pháp tuyến hay không?

Lời giải:

a) Vì $\vec{u},\ \vec{v}$ không cùng phương nên theo HĐ2b, $[\vec{u},\ \vec{v}] \neq \vec{0}$. Đồng thời, giá của $[\vec{u},\ \vec{v}]$ vuông góc với cả giá của $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

b) Vì $[\vec{u},\ \vec{v}]$ vuông góc với hai vectơ có giá nằm trong (hoặc song song với) $(P)$, không cùng phương, nên giá của $[\vec{u},\ \vec{v}]$ vuông góc với $(P)$. Do đó $(P)$ nhận $[\vec{u},\ \vec{v}]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Luyện tập 3 (trang 31)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm không thẳng hàng $A(1;\ -2;\ 1)$, $B(-2;\ 1;\ 0)$, $C(-2;\ 3;\ 2)$. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương.

$$\overrightarrow{AB} = (-3;\ 3;\ -1),\quad \overrightarrow{AC} = (-3;\ 5;\ 1).$$

Bước 2: Tính tích có hướng.

$$\vec{n} = [\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}] = \left(\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 1 & -3 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} -3 & 3 \\ -3 & 5 \end{vmatrix}\right).$$

$$= (3 \cdot 1 – (-1) \cdot 5;\ (-1)(-3) – (-3) \cdot 1;\ (-3) \cdot 5 – 3 \cdot (-3)) = (8;\ 6;\ -6).$$

Vậy một vectơ pháp tuyến của $(ABC)$ là $\vec{n} = (8;\ 6;\ -6)$ (hoặc rút gọn $(4;\ 3;\ -3)$).

Vận dụng 1 (trang 31)

Đề bài: Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian $Oxyz$, với đơn vị đo độ dài là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí $P$ một lực $\vec{F}$ để vặn con ốc ở vị trí $O$ (H.5.6) thì moment lực $\vec{M}$ được tính bởi công thức $\vec{M} = [\overrightarrow{OP},\ \vec{F}]$.

a) Cho $\overrightarrow{OP} = (x;\ y;\ z)$, $\vec{F} = (a;\ b;\ c)$. Tính $\vec{M}$.

b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động $\vec{F}$ trong khi thay vị trí đặt lực từ $P$ sang $P’$ sao cho $\overrightarrow{OP’} = 2\overrightarrow{OP}$ thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Lời giải:

a) Áp dụng công thức tích có hướng:

$$\vec{M} = [\overrightarrow{OP},\ \vec{F}] = (yc – zb;\ za – xc;\ xb – ya).$$

b) Khi thay $\overrightarrow{OP}$ bằng $\overrightarrow{OP’} = 2\overrightarrow{OP}$ thì:

$$\vec{M}’ = [\overrightarrow{OP’},\ \vec{F}] = [2\overrightarrow{OP},\ \vec{F}] = 2[\overrightarrow{OP},\ \vec{F}] = 2\vec{M}.$$

Vậy độ lớn moment lực tăng gấp đôi. Từ đó, để đỡ tốn sức khi vặn ốc, ta nên đặt tay càng xa vị trí con ốc càng tốt (kéo dài cánh tay đòn) – khi đó cùng một lực $\vec{F}$ sẽ tạo ra moment lực lớn hơn.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

HĐ4 (trang 32)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha)$. Gọi $\vec{n} = (A;\ B;\ C)$ là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ và $M_0(x_0;\ y_0;\ z_0)$ là một điểm thuộc $(\alpha)$.

a) Một điểm $M(x;\ y;\ z)$ thuộc $(\alpha)$ khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{n}$ và $\overrightarrow{M_0 M}$ có mối quan hệ gì?

b) Điểm $M(x;\ y;\ z)$ thuộc $(\alpha)$ khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn hệ thức nào?

Lời giải:

a) $M \in (\alpha) \Leftrightarrow \overrightarrow{M_0 M}$ nằm trong $(\alpha) \Leftrightarrow \overrightarrow{M_0 M} \perp \vec{n}$, tức $\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0 M} = 0$.

b) Toạ độ $\overrightarrow{M_0 M} = (x – x_0;\ y – y_0;\ z – z_0)$. Điều kiện $\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0 M} = 0$ trở thành:

$$A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0.$$

Khai triển: $Ax + By + Cz – (Ax_0 + By_0 + Cz_0) = 0$, hay $Ax + By + Cz + D = 0$ với $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$.

Luyện tập 4 (trang 32)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

a) $x^2 + 2y^2 + 3z^2 – 1 = 0$;

b) $\dfrac{x}{2} – y + \dfrac{z}{3} + 5 = 0$;

c) $xy + 5 = 0$.

Lời giải: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ với $A,\ B,\ C$ không đồng thời bằng $0$.

• a) Có $x^2,\ y^2,\ z^2$ (bậc hai) → không phải phương trình mặt phẳng.
• b) Có dạng $\dfrac{1}{2}x + (-1)y + \dfrac{1}{3}z + 5 = 0$ với $A = \dfrac{1}{2},\ B = -1,\ C = \dfrac{1}{3},\ D = 5$ → là phương trình mặt phẳng.
• c) Có tích $xy$ (bậc hai) → không phải phương trình mặt phẳng.

Kết luận: Chỉ có b) là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Luyện tập 5 (trang 33)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha):\ x + 2 = 0$.

a) Điểm $A(-2;\ 1;\ 0)$ có thuộc $(\alpha)$ hay không?

b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.

Lời giải:

a) Thay $A(-2;\ 1;\ 0)$ vào vế trái: $-2 + 2 = 0$ ✓. Vậy $A$ thuộc $(\alpha)$.

b) Phương trình $x + 2 = 0$ có dạng $1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z + 2 = 0$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1;\ 0;\ 0)$.

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

HĐ5 (trang 33)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M_0(x_0;\ y_0;\ z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A;\ B;\ C)$. Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương trình của $(\alpha)$.

Lời giải:

Từ HĐ4, điểm $M(x;\ y;\ z) \in (\alpha)$ khi và chỉ khi:

$$A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0.$$

Khai triển và đặt $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$, ta có:

$$Ax + By + Cz + D = 0.$$

Luyện tập 6 (trang 33)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(1;\ 2;\ -4)$ và vuông góc với trục $Oz$.

Lời giải:

$(\alpha)$ vuông góc với trục $Oz$ nên $(\alpha)$ nhận vectơ chỉ phương của $Oz$ làm vectơ pháp tuyến, tức $\vec{n} = (0;\ 0;\ 1)$.

Phương trình mặt phẳng qua $M(1;\ 2;\ -4)$ với vtpt $\vec{n} = (0;\ 0;\ 1)$:

$$0(x – 1) + 0(y – 2) + 1(z + 4) = 0 \Leftrightarrow z + 4 = 0.$$

HĐ6 (trang 33)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(x_0;\ y_0;\ z_0)$ và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a;\ b;\ c)$, $\vec{v} = (a’;\ b’;\ c’)$.

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$.

Lời giải:

a) Theo HĐ3, ta có thể chọn $\vec{n} = [\vec{u},\ \vec{v}]$ làm một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.

b) Sau khi có $\vec{n}$, phương trình mặt phẳng đi qua $M(x_0;\ y_0;\ z_0)$ được viết bằng công thức đã học ở HĐ5.

Luyện tập 7 (trang 34)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;\ -2;\ -1)$, $B(4;\ 1;\ 2)$, $C(2;\ 3;\ 1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(1;\ -2;\ -1)$ đồng thời song song với trục $Oy$ và đường thẳng $BC$.

Lời giải:

Bước 1: Cặp vectơ chỉ phương. $(\alpha)$ song song với $Oy$ và $BC$ nên cặp vtcp:

• Trục $Oy$: $\vec{j} = (0;\ 1;\ 0)$.
• $\overrightarrow{BC} = (2 – 4;\ 3 – 1;\ 1 – 2) = (-2;\ 2;\ -1)$.

Bước 2: Vectơ pháp tuyến là tích có hướng:

$$\vec{n} = [\vec{j},\ \overrightarrow{BC}] = \left(\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -1 & -2 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix}\right).$$

$$= (1 \cdot (-1) – 0 \cdot 2;\ 0 \cdot (-2) – 0 \cdot (-1);\ 0 \cdot 2 – 1 \cdot (-2)) = (-1;\ 0;\ 2).$$

Bước 3: Viết phương trình qua $A(1;\ -2;\ -1)$:

$$-1(x – 1) + 0(y + 2) + 2(z + 1) = 0 \Leftrightarrow -x + 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow x – 2z – 3 = 0.$$

HĐ7 (trang 34)

Đề bài: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A(1;\ 2;\ 3)$, $B(-1;\ 3;\ 4)$, $C(2;\ -1;\ 2)$.

a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(ABC)$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$.

Lời giải:

a) Một cặp vectơ chỉ phương của $(ABC)$ là:

$$\overrightarrow{AB} = (-2;\ 1;\ 1),\quad \overrightarrow{AC} = (1;\ -3;\ -1).$$

b) Vectơ pháp tuyến:

$$\vec{n} = [\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}] = \left(\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}\right).$$

$$= (1 \cdot (-1) – 1 \cdot (-3);\ 1 \cdot 1 – (-2)(-1);\ (-2)(-3) – 1 \cdot 1) = (2;\ -1;\ 5).$$

Phương trình qua $A(1;\ 2;\ 3)$:

$$2(x – 1) – (y – 2) + 5(z – 3) = 0 \Leftrightarrow 2x – y + 5z – 15 = 0.$$

Luyện tập 8 (trang 35)

Đề bài: (H.5.8) Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha)$ không đi qua gốc toạ độ và cắt ba trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ tương ứng tại các điểm $A(a;\ 0;\ 0)$, $B(0;\ b;\ 0)$, $C(0;\ 0;\ c)$ ($a,\ b,\ c \neq 0$).

Chứng minh rằng mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình:

$$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1.$$

(Phương trình trên được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.)

Lời giải:

Bước 1: Cặp vectơ chỉ phương của $(\alpha)$:

$$\overrightarrow{AB} = (-a;\ b;\ 0),\quad \overrightarrow{AC} = (-a;\ 0;\ c).$$

Bước 2: Vectơ pháp tuyến:

$$\vec{n} = [\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}] = (b \cdot c – 0 \cdot 0;\ 0 \cdot (-a) – (-a) \cdot c;\ (-a) \cdot 0 – b \cdot (-a)) = (bc;\ ac;\ ab).$$

Bước 3: Phương trình qua $A(a;\ 0;\ 0)$:

$$bc(x – a) + ac \cdot y + ab \cdot z = 0 \Leftrightarrow bcx + acy + abz = abc.$$

Chia hai vế cho $abc$ (khác $0$):

$$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1. \quad \blacksquare$$

Vận dụng 2 (trang 35)

Đề bài: Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Xác định toạ độ của vị trí $M_1$, $M_2$, $M_3$ của vật tương ứng với các thời điểm $t = 0$, $t = \dfrac{\pi}{2}$, $t = \pi$.

b) Chứng minh rằng $M_1$, $M_2$, $M_3$ không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng $(M_1 M_2 M_3)$.

c) Vị trí $M(\cos t – \sin t;\ \cos t + \sin t;\ \cos t)$ có luôn thuộc mặt phẳng $(M_1 M_2 M_3)$ hay không?

Lời giải:

a) Thay các giá trị của $t$:

• $t = 0$: $M_1(1 – 0;\ 1 + 0;\ 1) = (1;\ 1;\ 1)$.
• $t = \dfrac{\pi}{2}$: $M_2(0 – 1;\ 0 + 1;\ 0) = (-1;\ 1;\ 0)$.
• $t = \pi$: $M_3(-1 – 0;\ -1 + 0;\ -1) = (-1;\ -1;\ -1)$.

b) Tính $\overrightarrow{M_1 M_2} = (-2;\ 0;\ -1)$, $\overrightarrow{M_1 M_3} = (-2;\ -2;\ -2)$.

Hai vectơ này không cùng phương (vì $\dfrac{-2}{-2} = 1 \neq \dfrac{0}{-2} = 0$), nên $M_1$, $M_2$, $M_3$ không thẳng hàng.

Vectơ pháp tuyến của $(M_1 M_2 M_3)$:

$$\vec{n} = [\overrightarrow{M_1 M_2},\ \overrightarrow{M_1 M_3}] = (0 \cdot (-2) – (-1)(-2);\ (-1)(-2) – (-2)(-2);\ (-2)(-2) – 0 \cdot (-2)).$$

$$= (-2;\ -2;\ 4)\ \text{hay rút gọn}\ (1;\ 1;\ -2).$$

Phương trình mặt phẳng qua $M_1(1;\ 1;\ 1)$:

$$1(x – 1) + 1(y – 1) – 2(z – 1) = 0 \Leftrightarrow x + y – 2z = 0.$$

c) Kiểm tra điểm $M(\cos t – \sin t;\ \cos t + \sin t;\ \cos t)$:

$$(\cos t – \sin t) + (\cos t + \sin t) – 2\cos t = 2\cos t – 2\cos t = 0.$$

Vậy $M$ luôn thuộc mặt phẳng $(M_1 M_2 M_3)$ với mọi $t$. Điều này cho thấy vật thể chuyển động trong mặt phẳng cố định $x + y – 2z = 0$.

4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

HĐ8 (trang 35)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha):\ Ax + By + Cz + D = 0$, $(\beta):\ A’x + B’y + C’z + D’ = 0$, với hai vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A;\ B;\ C)$, $\vec{n’} = (A’;\ B’;\ C’)$ tương ứng.

a) Góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$, $(\beta)$ và góc giữa hai giá của $\vec{n},\ \vec{n’}$ có mối quan hệ gì?

b) Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng $\vec{n},\ \vec{n’}$ có mối quan hệ gì?

Lời giải:

a) Vì $\vec{n} \perp (\alpha)$ và $\vec{n’} \perp (\beta)$, góc giữa $(\alpha)$ và $(\beta)$ bằng hoặc bù với góc giữa hai giá của $\vec{n}$ và $\vec{n’}$.

b) $(\alpha) \perp (\beta)$ khi và chỉ khi $\vec{n} \perp \vec{n’}$, tức $\vec{n} \cdot \vec{n’} = 0$, hay $AA’ + BB’ + CC’ = 0$.

Luyện tập 9 (trang 36)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không?

$$(\alpha):\ 3x + y – z + 1 = 0,\ (\beta):\ 9x + 3y – 3z + 3 = 0.$$

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$: $\vec{n} = (3;\ 1;\ -1)$.

Vectơ pháp tuyến của $(\beta)$: $\vec{n’} = (9;\ 3;\ -3)$.

Ta thấy $\vec{n’} = 3\vec{n}$, tức hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Do đó hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau, không vuông góc.

(Kiểm tra thêm $D’ = 3D$, tức $D’ = 3 \cdot 1 = 3$ ✓, nên hai mặt phẳng trùng nhau.)

Vận dụng 3 (trang 36)

Đề bài: (H.5.10) Trong không gian $Oxyz$, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh $O(0;\ 0;\ 0)$, $A(2;\ 0;\ 0)$, $B(2;\ 3;\ 0)$, $C(0;\ 2\sqrt{2};\ 0)$. Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.

a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.

b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Lời giải:

a) Sàn nằm trong mặt phẳng $Oxy$ (phương trình $z = 0$). Mỗi bức tường vuông góc với sàn nên các mặt phẳng chứa tường đều chứa vectơ $\vec{k} = (0;\ 0;\ 1)$.

Tường $OA$ (qua $O(0;\ 0;\ 0)$, $A(2;\ 0;\ 0)$, chứa $\vec{k}$):

Cặp vtcp: $\overrightarrow{OA} = (2;\ 0;\ 0)$ và $\vec{k} = (0;\ 0;\ 1)$; vtpt $= [\overrightarrow{OA},\ \vec{k}] = (0;\ -2;\ 0)$, hay $(0;\ 1;\ 0)$. Phương trình: $y = 0$.

Tường $AB$ (qua $A(2;\ 0;\ 0)$, $B(2;\ 3;\ 0)$):

Cặp vtcp: $\overrightarrow{AB} = (0;\ 3;\ 0)$ và $\vec{k}$; vtpt $= (3;\ 0;\ 0)$, hay $(1;\ 0;\ 0)$. Phương trình qua $A$: $x – 2 = 0$.

Tường $BC$ (qua $B(2;\ 3;\ 0)$, $C(0;\ 2\sqrt{2};\ 0)$):

$\overrightarrow{BC} = (-2;\ 2\sqrt{2} – 3;\ 0)$. Vtpt $= [\overrightarrow{BC},\ \vec{k}] = (2\sqrt{2} – 3;\ 2;\ 0)$. Phương trình qua $B$:

$$(2\sqrt{2} – 3)(x – 2) + 2(y – 3) = 0 \Leftrightarrow (2\sqrt{2} – 3)x + 2y – 4\sqrt{2} = 0.$$

Tường $CO$ (qua $C(0;\ 2\sqrt{2};\ 0)$, $O(0;\ 0;\ 0)$):

$\overrightarrow{OC} = (0;\ 2\sqrt{2};\ 0)$. Vtpt $= [\overrightarrow{OC},\ \vec{k}] = (2\sqrt{2};\ 0;\ 0)$, hay $(1;\ 0;\ 0)$. Phương trình: $x = 0$.

b) Xét các cặp mặt phẳng:

• Tường $OA$ ($y = 0$) và Tường $AB$ ($x – 2 = 0$): $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0;\ 1;\ 0) \cdot (1;\ 0;\ 0) = 0$ → vuông góc.
• Tường $OA$ ($y = 0$) và Tường $CO$ ($x = 0$): $(0;\ 1;\ 0) \cdot (1;\ 0;\ 0) = 0$ → vuông góc.
• Tường $AB$ ($x – 2 = 0$) và Tường $BC$: $(1;\ 0;\ 0) \cdot (2\sqrt{2} – 3;\ 2;\ 0) = 2\sqrt{2} – 3 \neq 0$ → không vuông góc.
• Tường $BC$ và Tường $CO$: $(2\sqrt{2} – 3;\ 2;\ 0) \cdot (1;\ 0;\ 0) = 2\sqrt{2} – 3 \neq 0$ → không vuông góc.
• Tường $AB$ ($x – 2 = 0$) và Tường $CO$ ($x = 0$): hai vtpt cùng phương, hai mặt phẳng song song, không vuông góc.

Kết luận: Có hai cặp mặt phẳng vuông góc: (tường $OA$, tường $AB$) và (tường $OA$, tường $CO$).

5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau

HĐ9 (trang 37)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha):\ Ax + By + Cz + D = 0$, $(\beta):\ A’x + B’y + C’z + D’ = 0$, với các vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A;\ B;\ C)$, $\vec{n’} = (A’;\ B’;\ C’)$ tương ứng.

Nếu hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song hoặc trùng nhau thì các vectơ pháp tuyến $\vec{n},\ \vec{n’}$ có mối quan hệ gì?

Lời giải:

Nếu $(\alpha) // (\beta)$ hoặc $(\alpha) \equiv (\beta)$ thì hai mặt phẳng có cùng phương pháp tuyến, tức $\vec{n}$ và $\vec{n’}$ cùng phương – tồn tại số $k$ sao cho $\vec{n’} = k\vec{n}$.

Luyện tập 10 (trang 37)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng:

$$(\alpha):\ 5x + 2y – 4z + 6 = 0\ \text{và}\ (\beta):\ 10x + 4y – 2z + 12 = 0.$$

a) Hỏi $(\alpha)$ và $(\beta)$ có song song với nhau hay không?

b) Chứng minh rằng điểm $M(1;\ -3;\ 5)$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ nhưng thuộc mặt phẳng $(\beta)$.

c) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;\ -3;\ 5)$ và song song với $(\alpha)$.

Lời giải:

a) Vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$: $\vec{n_\alpha} = (5;\ 2;\ -4)$; của $(\beta)$: $\vec{n_\beta} = (10;\ 4;\ -2)$.

Ta xét tỉ lệ: $\dfrac{10}{5} = 2$, $\dfrac{4}{2} = 2$ nhưng $\dfrac{-2}{-4} = \dfrac{1}{2}$. Ba tỉ lệ không bằng nhau nên hai vectơ không cùng phương.

Kết luận: $(\alpha)$ và $(\beta)$ không song song (chúng cắt nhau).

b) Thay $M(1;\ -3;\ 5)$ vào $(\alpha)$: $5 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) – 4 \cdot 5 + 6 = 5 – 6 – 20 + 6 = -15 \neq 0$ → $M \notin (\alpha)$.

Thay $M$ vào $(\beta)$: $10 \cdot 1 + 4 \cdot (-3) – 2 \cdot 5 + 12 = 10 – 12 – 10 + 12 = 0$ ✓ → $M \in (\beta)$.

c) $(P)$ song song với $(\alpha)$ nên nhận $\vec{n_\alpha} = (5;\ 2;\ -4)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình $(P)$ qua $M(1;\ -3;\ 5)$:

$$5(x – 1) + 2(y + 3) – 4(z – 5) = 0 \Leftrightarrow 5x + 2y – 4z + 21 = 0.$$

Vận dụng 4 (trang 37 – 38)

Đề bài: Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh. Trong không gian $Oxyz$, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng $27$ (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình $x + y + z – 27 = 0$.

b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Lời giải:

a) Nếu thí sinh có điểm Toán $= x$, điểm Ngữ văn $= y$, điểm Tiếng Anh $= z$ và tổng bằng $27$, tức $x + y + z = 27 \Leftrightarrow x + y + z – 27 = 0$. Vậy điểm biểu diễn thí sinh này luôn thoả mãn phương trình $x + y + z – 27 = 0$.

b) Xét họ các mặt phẳng dạng $(P_k):\ x + y + z – k = 0$, trong đó $k$ là một số thực.

• Mỗi mặt phẳng $(P_k)$ có vtpt $(1;\ 1;\ 1)$, không phụ thuộc $k$ → các mặt phẳng trong họ có cùng phương pháp tuyến → đôi một song song (hoặc trùng nhau).
• Hai thí sinh có cùng tổng điểm $k$ đều thoả mãn $x + y + z = k$ → cùng nằm trên $(P_k)$.

Vậy họ mặt phẳng $(P_k)$ thoả mãn yêu cầu.

6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

HĐ10 (trang 38)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(x_0;\ y_0;\ z_0)$ và mặt phẳng $(P):\ Ax + By + Cz + D = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A;\ B;\ C)$. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $(P)$ (H.5.13).

a) Giải thích vì sao tồn tại số $k$ để $\overrightarrow{MN} = k\vec{n}$. Tính toạ độ của $N$ theo $k$, toạ độ của $M$ và các hệ số $A$, $B$, $C$, $D$.

b) Thay toạ độ của $N$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$ để từ đó tính $k$ theo toạ độ của $M$ và các hệ số $A$, $B$, $C$, $D$.

c) Từ $|\overrightarrow{MN}| = |k| \cdot |\vec{n}|$, hãy tính độ dài đoạn thẳng $MN$ theo toạ độ của $M$ và các hệ số $A$, $B$, $C$, $D$. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{MN} \perp (P)$ (vì $N$ là hình chiếu vuông góc) nên $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với $\vec{n}$ – tồn tại $k$ để $\overrightarrow{MN} = k\vec{n}$.

Toạ độ $N = M + \overrightarrow{MN}$:

$$N(x_0 + kA;\ y_0 + kB;\ z_0 + kC).$$

b) Vì $N \in (P)$:

$$A(x_0 + kA) + B(y_0 + kB) + C(z_0 + kC) + D = 0.$$

$$\Leftrightarrow (Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D) + k(A^2 + B^2 + C^2) = 0.$$

$$\Leftrightarrow k = -\dfrac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}.$$

c) Từ $|\overrightarrow{MN}| = |k| \cdot |\vec{n}| = |k|\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$:

$$MN = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$

Kết luận:

$$d(M, (P)) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$

Luyện tập 11 (trang 39)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):\ x + 3y + z + 2 = 0$ và $(Q):\ x + 3y + z + 5 = 0$.

a) Chứng minh rằng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc $(P)$, tính khoảng cách từ điểm đó đến $(Q)$. Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Lời giải:

a) Vtpt của $(P)$: $\vec{n_P} = (1;\ 3;\ 1)$; vtpt của $(Q)$: $\vec{n_Q} = (1;\ 3;\ 1)$. Hai vtpt bằng nhau (cùng phương) và $D_P = 2 \neq 5 = D_Q$ nên hai mặt phẳng song song, không trùng.

b) Chọn điểm thuộc $(P)$: cho $x = 0,\ y = 0$ vào $(P)$: $z + 2 = 0 \Rightarrow z = -2$. Vậy $M(0;\ 0;\ -2) \in (P)$.

Khoảng cách từ $M$ đến $(Q)$:

$$d(M,\ (Q)) = \dfrac{|0 + 0 + (-2) + 5|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{11}} = \dfrac{3\sqrt{11}}{11}.$$

Khoảng cách giữa $(P)$ và $(Q)$ (bằng khoảng cách từ điểm bất kì trên $(P)$ đến $(Q)$):

$$d((P),\ (Q)) = \dfrac{3\sqrt{11}}{11}.$$

Vận dụng 5 (trang 39)

Đề bài: (H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là $115^\circ$. Trong không gian $Oxyz$, camera được đặt tại điểm $C(1;\ 2;\ 4)$ và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $(P):\ x + 2y + 2z + 3 = 0$. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng $(P)$ của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.)

Lời giải:

Bước 1: Khoảng cách từ camera đến mặt phẳng.

$$d = d(C,\ (P)) = \dfrac{|1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \dfrac{|16|}{3} = \dfrac{16}{3}.$$

Bước 2: Bán kính vùng quan sát. Camera có góc quan sát $115^\circ$ nên nửa góc là $57{,}5^\circ$. Bán kính vùng quan sát trên $(P)$:

$$R = d \cdot \tan 57{,}5^\circ = \dfrac{16}{3} \cdot \tan 57{,}5^\circ \approx \dfrac{16}{3} \cdot 1{,}5697 \approx 8{,}37.$$

Làm tròn đến một chữ số thập phân: $R \approx 8{,}4$.

Vậy vùng quan sát trên $(P)$ là hình tròn có bán kính khoảng $8{,}4$.

Bài tập (trang 39 – 40)

Bài 5.1 (trang 39)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(1;\ 2;\ -1)$ và vuông góc với trục $Ox$.

Lời giải:

Mặt phẳng vuông góc với $Ox$ nên nhận vectơ chỉ phương của $Ox$, tức $\vec{i} = (1;\ 0;\ 0)$, làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình qua $M(1;\ 2;\ -1)$:

$$1(x – 1) + 0(y – 2) + 0(z + 1) = 0 \Leftrightarrow x – 1 = 0.$$

Bài 5.2 (trang 39)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$, với $A(1;\ -1;\ 3)$, $B(0;\ 2;\ 4)$, $D(2;\ -1;\ 1)$, $A'(0;\ 1;\ 2)$.

a) Tính toạ độ các điểm $C$, $B’$, $D’$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(CB’D’)$.

Lời giải:

a) Trong hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$:

• Từ $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$: $C = D + \overrightarrow{AB} = D + (B – A)$.
• $\overrightarrow{AB} = (-1;\ 3;\ 1) \Rightarrow C = (2;\ -1;\ 1) + (-1;\ 3;\ 1) = (1;\ 2;\ 2)$.
• $\overrightarrow{AA’} = A’ – A = (-1;\ 2;\ -1)$.
• $B’ = B + \overrightarrow{AA’} = (0;\ 2;\ 4) + (-1;\ 2;\ -1) = (-1;\ 4;\ 3)$.
• $D’ = D + \overrightarrow{AA’} = (2;\ -1;\ 1) + (-1;\ 2;\ -1) = (1;\ 1;\ 0)$.

b) Phương trình $(CB’D’)$:

$\overrightarrow{CB’} = (-1 – 1;\ 4 – 2;\ 3 – 2) = (-2;\ 2;\ 1)$.

$\overrightarrow{CD’} = (1 – 1;\ 1 – 2;\ 0 – 2) = (0;\ -1;\ -2)$.

Vectơ pháp tuyến:

$$\vec{n} = [\overrightarrow{CB’},\ \overrightarrow{CD’}] = (2 \cdot (-2) – 1 \cdot (-1);\ 1 \cdot 0 – (-2)(-2);\ (-2)(-1) – 2 \cdot 0) = (-3;\ -4;\ 2).$$

Phương trình qua $C(1;\ 2;\ 2)$:

$$-3(x – 1) – 4(y – 2) + 2(z – 2) = 0 \Leftrightarrow -3x – 4y + 2z + 7 = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y – 2z – 7 = 0.$$

Bài 5.3 (trang 39)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1;\ -1;\ 5)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(Q):\ 3x + 2y – z = 0$ và $(R):\ x + y – z = 0$.

Lời giải:

$(P)$ vuông góc với $(Q)$ và $(R)$ nên vectơ pháp tuyến của $(Q),\ (R)$ đều nằm trong (song song với) $(P)$ – chúng tạo thành cặp vectơ chỉ phương của $(P)$:

$$\vec{n_Q} = (3;\ 2;\ -1),\ \vec{n_R} = (1;\ 1;\ -1).$$

Vectơ pháp tuyến của $(P)$:

$$\vec{n_P} = [\vec{n_Q},\ \vec{n_R}] = (2 \cdot (-1) – (-1) \cdot 1;\ (-1) \cdot 1 – 3 \cdot (-1);\ 3 \cdot 1 – 2 \cdot 1) = (-1;\ 2;\ 1).$$

Phương trình $(P)$ qua $M(1;\ -1;\ 5)$:

$$-1(x – 1) + 2(y + 1) + 1(z – 5) = 0 \Leftrightarrow -x + 2y + z – 2 = 0 \Leftrightarrow x – 2y – z + 2 = 0.$$

Bài 5.4 (trang 39)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng đi qua $M(2;\ 3;\ -1)$, song song với trục $Ox$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):\ x + 2y – 3z + 1 = 0$.

Lời giải:

Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng cần tìm:

• Vtcp của $Ox$: $\vec{i} = (1;\ 0;\ 0)$.
• Vtpt của $(Q)$ (vì mặt phẳng vuông góc với $(Q)$ nên vtpt của $(Q)$ song song với mặt phẳng cần tìm): $\vec{n_Q} = (1;\ 2;\ -3)$.

Vectơ pháp tuyến:

$$\vec{n} = [\vec{i},\ \vec{n_Q}] = (0 \cdot (-3) – 0 \cdot 2;\ 0 \cdot 1 – 1 \cdot (-3);\ 1 \cdot 2 – 0 \cdot 1) = (0;\ 3;\ 2).$$

Phương trình qua $M(2;\ 3;\ -1)$:

$$0(x – 2) + 3(y – 3) + 2(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z – 7 = 0.$$

Bài 5.5 (trang 39)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng $(P):\ 2x + 2y – z + 1 = 0$.

Lời giải:

$$d(O,\ (P)) = \dfrac{|2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 – 0 + 1|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{9}} = \dfrac{1}{3}.$$

Bài 5.6 (trang 39)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):\ x + y + z + 2 = 0$, $(Q):\ x + y + z + 6 = 0$. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Lời giải:

Chứng minh song song: Vtpt của $(P)$ và $(Q)$ đều là $(1;\ 1;\ 1)$, và $D_P = 2 \neq 6 = D_Q$. Vậy hai mặt phẳng song song, không trùng.

Tính khoảng cách: Chọn điểm $M(0;\ 0;\ -2) \in (P)$:

$$d((P),\ (Q)) = d(M,\ (Q)) = \dfrac{|0 + 0 – 2 + 6|}{\sqrt{3}} = \dfrac{4}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}.$$

Bài 5.7 (trang 39)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):\ x + 3y – z = 0$, $(Q):\ x – y – 2z + 1 = 0$.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.

b) Tìm điểm $M$ thuộc trục $Ox$ và cách đều hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Lời giải:

a) Vtpt: $\vec{n_P} = (1;\ 3;\ -1)$, $\vec{n_Q} = (1;\ -1;\ -2)$.

$$\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + (-1)(-2) = 1 – 3 + 2 = 0.$$

Vậy $\vec{n_P} \perp \vec{n_Q}$, tức $(P) \perp (Q)$.

b) Điểm $M$ thuộc $Ox$ nên có dạng $M(m;\ 0;\ 0)$.

$$d(M,\ (P)) = \dfrac{|m|}{\sqrt{11}},\quad d(M,\ (Q)) = \dfrac{|m + 1|}{\sqrt{6}}.$$

Đặt hai khoảng cách bằng nhau, bình phương hai vế:

$$\dfrac{m^2}{11} = \dfrac{(m + 1)^2}{6} \Leftrightarrow 6m^2 = 11(m + 1)^2.$$

$$\Leftrightarrow 6m^2 = 11m^2 + 22m + 11 \Leftrightarrow 5m^2 + 22m + 11 = 0.$$

Giải phương trình bậc hai: $\Delta’ = 121 – 55 = 66$, nên $m = \dfrac{-11 \pm \sqrt{66}}{5}$.

Vậy có hai điểm $M$ thoả mãn:

$$M_1\left(\dfrac{-11 + \sqrt{66}}{5};\ 0;\ 0\right),\quad M_2\left(\dfrac{-11 – \sqrt{66}}{5};\ 0;\ 0\right).$$

Bài 5.8 (trang 39)

Đề bài: Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Lời giải:

Chọn hệ trục: Gốc $O$ tại tâm đáy, đáy hình vuông cạnh $a$ nằm trong mặt phẳng $Oxy$, đỉnh $S(0;\ 0;\ h)$ trên trục $Oz$. Bốn đỉnh đáy:

$$A\left(\dfrac{a}{2};\ \dfrac{a}{2};\ 0\right),\ B\left(-\dfrac{a}{2};\ \dfrac{a}{2};\ 0\right),\ C\left(-\dfrac{a}{2};\ -\dfrac{a}{2};\ 0\right),\ D\left(\dfrac{a}{2};\ -\dfrac{a}{2};\ 0\right).$$

Xét hai mặt kề nhau (chia sẻ cạnh bên $SB$): mặt $(SAB)$ và mặt $(SBC)$.

Vectơ pháp tuyến $(SAB)$:

$$\overrightarrow{SA} = \left(\dfrac{a}{2};\ \dfrac{a}{2};\ -h\right),\ \overrightarrow{SB} = \left(-\dfrac{a}{2};\ \dfrac{a}{2};\ -h\right).$$

$$\vec{n_1} = [\overrightarrow{SA},\ \overrightarrow{SB}] = \left(0;\ ah;\ \dfrac{a^2}{2}\right).$$

Vectơ pháp tuyến $(SBC)$:

$$\overrightarrow{SC} = \left(-\dfrac{a}{2};\ -\dfrac{a}{2};\ -h\right).$$

$$\vec{n_2} = [\overrightarrow{SB},\ \overrightarrow{SC}] = \left(-ah;\ 0;\ \dfrac{a^2}{2}\right).$$

Tính tích vô hướng:

$$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \cdot (-ah) + ah \cdot 0 + \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a^2}{2} = \dfrac{a^4}{4}.$$

Với $a > 0$, $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = \dfrac{a^4}{4} > 0$, tức hai mặt kề không thể vuông góc.

Kết luận: Ý tưởng của bác An không thực hiện được.

Bài 5.9 (trang 39)

Đề bài: Trong không gian $Oxyz$, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng $(Oxy)$, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng $z – 1 = 0$, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng $x + y + 50z – 100 = 0$. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?

Lời giải:

• Sàn nhà: $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$, vtpt $\vec{n_1} = (0;\ 0;\ 1)$.
• Trần tầng 1: $z – 1 = 0$, vtpt $\vec{n_2} = (0;\ 0;\ 1)$.
• Mái tầng 2: $x + y + 50z – 100 = 0$, vtpt $\vec{n_3} = (1;\ 1;\ 50)$.

Ta thấy $\vec{n_1} = \vec{n_2}$ (cùng phương), và hằng số tự do khác nhau ($0 \neq -1$), nên sàn nhà và trần tầng 1 song song với nhau.

$\vec{n_3}$ không cùng phương với $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ nên mái tầng 2 không song song với hai mặt còn lại.

Bài 5.10 (trang 40)

Đề bài: Xét một cối xay lúa trong không gian $Oxyz$, với đơn vị đo độ dài là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí $P$) một lực $\vec{F}$ thì moment lực $\vec{M}$ được tính bởi công thức $\vec{M} = [\overrightarrow{OP},\ \vec{F}]$ (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ $AB$ và $PQ$ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực $\vec{F}$ có giá song song với $AB$. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực $\vec{M}$ có phương thẳng đứng.

Lời giải:

Nhận xét quan hệ hình học:

• $\overrightarrow{OP}$ có phương của thanh gỗ $PQ$ (nối tâm $O$ với vị trí đặt lực $P$), tức nằm ngang.
• $\vec{F}$ có giá song song với $AB$, tức cũng nằm ngang.

Do đó, cả hai vectơ $\overrightarrow{OP}$ và $\vec{F}$ đều có giá nằm trong (hoặc song song với) mặt phẳng nằm ngang.

Áp dụng tính chất tích có hướng: Vectơ $\vec{M} = [\overrightarrow{OP},\ \vec{F}]$ vuông góc với cả $\overrightarrow{OP}$ và $\vec{F}$, tức vuông góc với mặt phẳng nằm ngang chứa hai vectơ này.

Vì mọi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ngang đều có phương thẳng đứng, giá của $\vec{M}$ có phương thẳng đứng. $\blacksquare$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh