Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
1. Hai tam giác bằng nhau
Hoạt động 1 (trang 63)
Đề bài: Gấp đôi một tờ giấy rồi cắt như Hình 4.9. Phần được cắt ra là hai tam giác “chồng khít” lên nhau. Theo em:
– Các cạnh tương ứng có bằng nhau không?
– Các góc tương ứng có bằng nhau không?
Lời giải:
Vì tờ giấy được gấp đôi rồi mới cắt nên hai tam giác cắt ra hoàn toàn giống nhau, có thể đặt chồng khít lên nhau. Khi đó từng cặp cạnh và từng cặp góc nằm tại vị trí tương ứng đều khớp nhau, do đó:
– Các cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau
– Các góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau
Câu hỏi 1 (trang 64)
Đề bài: Biết hai tam giác trong Hình 4.11 bằng nhau, em hãy chỉ ra các cặp cạnh tương ứng, các cặp góc tương ứng và viết đúng kí hiệu bằng nhau của cặp tam giác đó
Lời giải:
Quan sát Hình 4.11, dựa vào các kí hiệu giống nhau trên các cạnh và các góc, ta xác định được sự tương ứng giữa hai tam giác $DEF$ và $GHK$ như sau: đỉnh $D$ tương ứng với đỉnh $G$, đỉnh $E$ tương ứng với đỉnh $H$, đỉnh $F$ tương ứng với đỉnh $K$
Các cặp góc tương ứng:
$$\widehat{D} = \widehat{G};\quad \widehat{E} = \widehat{H};\quad \widehat{F} = \widehat{K}$$
Các cặp cạnh tương ứng:
$$DE = GH;\quad EF = HK;\quad DF = GK$$
Kí hiệu hai tam giác bằng nhau (viết các đỉnh tương ứng theo cùng thứ tự):
$$\triangle DEF = \triangle GHK$$
Luyện tập 1 (trang 65)
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ bằng tam giác $DEF$ (H.4.13). Biết rằng $BC = 4$ cm, $\widehat{ABC} = 40^\circ$, $\widehat{ACB} = 60^\circ$. Hãy tính độ dài đoạn thẳng $EF$ và số đo góc $EDF$
Lời giải:
Vì $\triangle ABC = \triangle DEF$, các đỉnh tương ứng theo thứ tự là $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$. Do đó:
– Cạnh $BC$ tương ứng với cạnh $EF$, nên $BC = EF$
– Góc $\widehat{A}$ (tức $\widehat{BAC}$) tương ứng với góc $\widehat{D}$ (tức $\widehat{EDF}$), nên $\widehat{BAC} = \widehat{EDF}$
Tính $EF$: Vì $BC = EF$ và $BC = 4$ cm, suy ra $EF = 4$ cm
Tính $\widehat{EDF}$: Trước hết tính góc $\widehat{BAC}$ trong tam giác $ABC$. Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác:
$$\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circ$$
$$\widehat{BAC} + 40^\circ + 60^\circ = 180^\circ$$
Suy ra $\widehat{BAC} = 180^\circ – 40^\circ – 60^\circ = 80^\circ$
Vì $\widehat{BAC} = \widehat{EDF}$ nên $\widehat{EDF} = 80^\circ$
Vậy $EF = 4$ cm và $\widehat{EDF} = 80^\circ$
2. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)
Hoạt động 2 (trang 65)
Đề bài: Vẽ tam giác $ABC$ có $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm, $BC = 6$ cm theo các bước sau:
– Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng $BC = 6$ cm
– Vẽ cung tròn tâm $B$ bán kính $5$ cm và cung tròn tâm $C$ bán kính $4$ cm sao cho hai cung tròn cắt nhau tại điểm $A$ (H.4.14)
– Vẽ các đoạn thẳng $AB$, $AC$ ta được tam giác $ABC$
Lời giải:
Đây là hoạt động thực hành vẽ tam giác bằng thước và compa theo các bước đã hướng dẫn:
Bước 1: Dùng thước có vạch chia vẽ đoạn thẳng $BC$ dài $6$ cm
Bước 2: Mở compa với khẩu độ $5$ cm, đặt mũi nhọn tại $B$ vẽ một cung tròn; sau đó mở compa với khẩu độ $4$ cm, đặt mũi nhọn tại $C$ vẽ một cung tròn nữa. Hai cung này cắt nhau tại điểm $A$
Bước 3: Dùng thước thẳng nối $A$ với $B$ và $A$ với $C$, ta được tam giác $ABC$ thoả mãn $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm, $BC = 6$ cm
Hoạt động 3 (trang 66)
Đề bài: Tương tự, vẽ thêm tam giác $A’B’C’$ có $A’B’ = 5$ cm, $A’C’ = 4$ cm, $B’C’ = 6$ cm
– Dùng thước đo góc kiểm tra xem các góc tương ứng của hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có bằng nhau không
– Hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có bằng nhau không?
Lời giải:
Em vẽ tam giác $A’B’C’$ với ba cạnh có độ dài lần lượt là $5$ cm, $4$ cm, $6$ cm theo cách giống như HĐ2. Sau đó dùng thước đo độ đo từng góc của hai tam giác để so sánh
Khi đo, em sẽ thấy:
– Các góc tương ứng của hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ bằng nhau ($\widehat{A} = \widehat{A’}$, $\widehat{B} = \widehat{B’}$, $\widehat{C} = \widehat{C’}$)
– Đặt chồng tam giác $A’B’C’$ lên tam giác $ABC$ thì hai tam giác chồng khít lên nhau
Vậy hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ bằng nhau
Nhận xét: Khi hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì các góc tương ứng cũng bằng nhau, tức là hai tam giác đó bằng nhau. Đây chính là trường hợp bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)
Câu hỏi 2 (trang 66)
Đề bài: Trong Hình 4.15, những cặp tam giác nào bằng nhau?
Lời giải:
Quan sát Hình 4.15, dựa vào các kí hiệu giống nhau trên các cạnh, ta xét hai cặp tam giác có ba cạnh tương ứng bằng nhau
Cặp thứ nhất: Xét $\triangle ABC$ và $\triangle MNP$ có:
$$AB = MN;\quad BC = NP;\quad AC = MP$$
Vậy $\triangle ABC = \triangle MNP$ (c.c.c)
Cặp thứ hai: Xét $\triangle DEF$ và $\triangle GHK$ có:
$$DE = GH;\quad EF = HK;\quad DF = GK$$
Vậy $\triangle DEF = \triangle GHK$ (c.c.c)
Luyện tập 2 (trang 67)
Đề bài: Cho Hình 4.17, biết $AB = AD$, $BC = DC$. Chứng minh rằng $\triangle ABC = \triangle ADC$
Lời giải:
Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ADC$ ta có:
$$AB = AD \quad (\text{giả thiết})$$
$$BC = DC \quad (\text{giả thiết})$$
$$AC \text{ là cạnh chung}$$
Ba cạnh của tam giác $ABC$ lần lượt bằng ba cạnh của tam giác $ADC$, do đó:
$$\triangle ABC = \triangle ADC \ (\text{c.c.c})$$
Vận dụng (trang 67)
Đề bài: Người ta dùng compa và thước thẳng để vẽ tia phân giác của góc $xOy$ như sau:
- Vẽ đường tròn tâm $O$, cắt $Ox$ và $Oy$ lần lượt tại $A$ và $B$
- Vẽ đường tròn tâm $A$ bán kính $AO$ và đường tròn tâm $B$ bán kính $BO$. Hai đường tròn cắt nhau tại điểm $M$ khác điểm $O$
- Vẽ tia $Oz$ đi qua $M$
Em hãy giải thích vì sao tia $OM$ là tia phân giác của góc $xOy$
Lời giải:
Ta sẽ chứng minh hai góc $\widehat{MOA}$ và $\widehat{MOB}$ bằng nhau bằng cách chỉ ra hai tam giác $OAM$ và $OBM$ bằng nhau
Đặt bán kính đường tròn tâm $O$ là $R$. Khi đó $OA = OB = R$ (vì $A$, $B$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$)
Hai đường tròn tâm $A$ và tâm $B$ lần lượt có bán kính bằng $AO$ và $BO$, mà $AO = BO = R$, nên hai đường tròn này có cùng bán kính $R$. Vì $M$ là giao điểm của hai đường tròn ấy nên $AM = R$ và $BM = R$, do đó $AM = BM$
Xét $\triangle OAM$ và $\triangle OBM$ có:
$$OA = OB \quad (= R)$$
$$AM = BM \quad (\text{chứng minh trên})$$
$$OM \text{ là cạnh chung}$$
Do đó:
$$\triangle OAM = \triangle OBM \ (\text{c.c.c})$$
Suy ra $\widehat{MOA} = \widehat{MOB}$ (hai góc tương ứng). Mà tia $OM$ nằm trong góc $xOy$, vậy $OM$ là tia phân giác của góc $xOy$
Bài tập (trang 67)
Bài 4.4 (trang 67)
Đề bài: Cho hai tam giác $ABC$ và $DEF$ như Hình 4.18. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
(1) $\triangle ABC = \triangle DEF$ (2) $\triangle ACB = \triangle EDF$
(3) $\triangle BAC = \triangle DFE$ (4) $\triangle CAB = \triangle DEF$
Lời giải:
Quan sát Hình 4.18, dựa vào các kí hiệu giống nhau trên các cạnh ta xác định được các cặp cạnh bằng nhau:
$$AC = ED;\quad AB = EF;\quad CB = DF$$
Từ đó các đỉnh tương ứng là: $A \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow F$. Ta xét từng khẳng định, lưu ý rằng khi viết kí hiệu hai tam giác bằng nhau, các đỉnh tương ứng phải được viết theo cùng thứ tự
(1) $\triangle ABC = \triangle DEF$: thứ tự đỉnh đòi hỏi $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$. Nhưng thực tế $A \leftrightarrow E$, không khớp. Sai
(2) $\triangle ACB = \triangle EDF$: thứ tự đỉnh đòi hỏi $A \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow F$. Khớp với thực tế. Đúng
(3) $\triangle BAC = \triangle DFE$: thứ tự đỉnh đòi hỏi $B \leftrightarrow D$, $A \leftrightarrow F$, $C \leftrightarrow E$. Không khớp (vì thực tế $A \leftrightarrow E$). Sai
(4) $\triangle CAB = \triangle DEF$: thứ tự đỉnh đòi hỏi $C \leftrightarrow D$, $A \leftrightarrow E$, $B \leftrightarrow F$. Khớp với thực tế. Đúng
Vậy các khẳng định (2) và (4) đúng
Bài 4.5 (trang 67)
Đề bài: Trong Hình 4.19, hãy chỉ ra hai cặp tam giác bằng nhau
Lời giải:
Quan sát Hình 4.19, đếm các ô vuông ta thấy: $AB = CD$ (cùng dài $6$ ô vuông) và $AD = CB$ (cùng dài $4$ ô vuông). Hai đường chéo $AC$ và $BD$ chia hình chữ nhật thành các tam giác. Ta xét hai cặp tam giác sau
Cặp thứ nhất: Xét $\triangle ABC$ và $\triangle CDA$ có:
$$AB = CD \quad (=6 \text{ ô vuông})$$
$$BC = DA \quad (=4 \text{ ô vuông})$$
$$AC \text{ là cạnh chung}$$
Do đó $\triangle ABC = \triangle CDA$ (c.c.c)
Cặp thứ hai: Xét $\triangle ABD$ và $\triangle CDB$ có:
$$AB = CD \quad (=6 \text{ ô vuông})$$
$$AD = CB \quad (=4 \text{ ô vuông})$$
$$BD \text{ là cạnh chung}$$
Do đó $\triangle ABD = \triangle CDB$ (c.c.c)
Bài 4.6 (trang 67)
Đề bài: Cho Hình 4.20, biết $AB = CB$, $AD = CD$, $\widehat{DAB} = 90^\circ$, $\widehat{BDC} = 30^\circ$
a) Chứng minh rằng $\triangle ABD = \triangle CBD$
b) Tính $\widehat{ABC}$
Lời giải:
a) Xét $\triangle ABD$ và $\triangle CBD$ có:
$$AB = CB \quad (\text{giả thiết})$$
$$AD = CD \quad (\text{giả thiết})$$
$$BD \text{ là cạnh chung}$$
Do đó $\triangle ABD = \triangle CBD$ (c.c.c)
b) Vì $\triangle ABD = \triangle CBD$ (theo câu a) nên các góc tương ứng bằng nhau:
$$\widehat{DAB} = \widehat{DCB} \quad (\text{hai góc tương ứng})$$
Mà $\widehat{DAB} = 90^\circ$ nên $\widehat{DCB} = 90^\circ$
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác $BCD$:
$$\widehat{DCB} + \widehat{BDC} + \widehat{DBC} = 180^\circ$$
$$90^\circ + 30^\circ + \widehat{DBC} = 180^\circ$$
Suy ra $\widehat{DBC} = 180^\circ – 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ$
Mặt khác, vì $\triangle ABD = \triangle CBD$ nên $\widehat{ABD} = \widehat{CBD}$ (hai góc tương ứng), do đó:
$$\widehat{ABD} = \widehat{CBD} = 60^\circ$$
Tia $BD$ nằm trong góc $\widehat{ABC}$ nên:
$$\widehat{ABC} = \widehat{ABD} + \widehat{DBC} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$$
Vậy $\widehat{ABC} = 120^\circ$
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du