1. Ba trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Hoạt động 1 (trang 75)

Đề bài: Hai tam giác vuông $ABC$ (vuông tại đỉnh $A$) và $A’B’C’$ (vuông tại đỉnh $A’$) có các cặp cạnh góc vuông bằng nhau: $AB = A’B’$, $AC = A’C’$ (H.4.45). Dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông $ABC$ và $A’B’C’$ bằng nhau

Lời giải:

Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$ và $\triangle A’B’C’$ vuông tại $A’$ nên $\widehat{A} = \widehat{A’} = 90^\circ$. Hai góc vuông này nằm xen giữa hai cặp cạnh góc vuông đã cho

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle A’B’C’$ có:

$$AB = A’B’ \quad (\text{giả thiết})$$

$$\widehat{A} = \widehat{A’} \quad (= 90^\circ)$$

$$AC = A’C’ \quad (\text{giả thiết})$$

Do đó:

$$\triangle ABC = \triangle A’B’C’ \ (\text{c.g.c})$$

Nhận xét: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (trường hợp hai cạnh góc vuông)

Hoạt động 2 (trang 76)

Đề bài: Hai tam giác vuông $ABC$ (vuông tại đỉnh $A$) và $A’B’C’$ (vuông tại đỉnh $A’$) có tương ứng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề với cạnh ấy bằng nhau: $AB = A’B’$, $\widehat{B} = \widehat{B’}$ (H.4.46). Dựa vào trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông $ABC$ và $A’B’C’$ bằng nhau

Lời giải:

Trong $\triangle ABC$, cạnh $AB$ có hai góc kề là $\widehat{A}$ (= $90^\circ$) và $\widehat{B}$. Tương tự cạnh $A’B’$ có hai góc kề là $\widehat{A’}$ (= $90^\circ$) và $\widehat{B’}$. Ta đã có đủ một cạnh bằng nhau và hai góc kề bằng nhau từng đôi

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle A’B’C’$ có:

$$\widehat{B} = \widehat{B’} \quad (\text{giả thiết})$$

$$AB = A’B’ \quad (\text{giả thiết})$$

$$\widehat{A} = \widehat{A’} \quad (= 90^\circ)$$

Do đó:

$$\triangle ABC = \triangle A’B’C’ \ (\text{g.c.g})$$

Nhận xét: Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Luyện tập 1 (trang 76)

Đề bài: Quay lại tình huống mở đầu, ta thấy mỗi chiếc cột với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Hai tam giác vuông này có một cặp cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau và hai góc ở đỉnh chiếc cột của hai tam giác vuông này cũng bằng nhau. Vậy lí do mà bạn Tròn đưa ra có đúng không?

Lời giải:

Lí do mà bạn Tròn đưa ra đúng. Ta giải thích như sau

Mỗi chiếc cột với bóng của nó tạo thành một tam giác vuông (vuông tại chân cột, vì cột vuông góc với mặt đất). Hai tam giác vuông này có:

– Cạnh góc vuông (chiều cao của cột) tương ứng bằng nhau (vì hai cột cao bằng nhau)

– Góc tại đỉnh cột bằng nhau (vì tia nắng Mặt Trời tạo với hai cột các góc xem như bằng nhau)

– Góc tại chân cột đều bằng $90^\circ$

Như vậy hai tam giác vuông có một cạnh và hai góc kề cạnh ấy lần lượt bằng nhau (theo trường hợp g.c.g) nên hai tam giác vuông bằng nhau. Suy ra cạnh góc vuông còn lại (là bóng của cột) cũng bằng nhau. Vậy bóng hai cột dài bằng nhau

Hoạt động 3 (trang 76)

Đề bài: Hình 4.47 mô phỏng chiều dài và độ dốc của hai con dốc bởi các đoạn thẳng $BC$, $B’C’$ và các góc $B$, $B’$. Khi đó $AC$, $A’C’$ mô tả độ cao của hai con dốc

a) Dựa vào trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông $ABC$ và $A’B’C’$ bằng nhau

b) So sánh độ cao của hai con dốc

Lời giải:

a) Hai tam giác vuông $ABC$ và $A’B’C’$ lần lượt vuông tại $A$ và $A’$ (vì $AC$, $A’C’$ là chiều cao – vuông góc với mặt đất). Theo giả thiết, $BC = B’C’$ và $\widehat{B} = \widehat{B’}$, nhưng ta chưa có cạnh $AB = A’B’$, nên cần biến đổi đôi chút để dùng được g.c.g

Áp dụng định lí tổng ba góc trong mỗi tam giác:

Trong $\triangle ABC$: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$, suy ra $\widehat{C} = 180^\circ – 90^\circ – \widehat{B} = 90^\circ – \widehat{B}$

Trong $\triangle A’B’C’$: tương tự $\widehat{C’} = 90^\circ – \widehat{B’}$

Vì $\widehat{B} = \widehat{B’}$ nên $\widehat{C} = \widehat{C’}$

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle A’B’C’$ có:

$$\widehat{B} = \widehat{B’} \quad (\text{giả thiết})$$

$$BC = B’C’ \quad (\text{giả thiết — đây là cạnh chung giữa hai góc kề } \widehat{B} \text{ và } \widehat{C})$$

$$\widehat{C} = \widehat{C’} \quad (\text{chứng minh trên})$$

Do đó:

$$\triangle ABC = \triangle A’B’C’ \ (\text{g.c.g})$$

b) Từ $\triangle ABC = \triangle A’B’C’$ (câu a), suy ra $AC = A’C’$ (hai cạnh tương ứng)

Vậy độ cao của hai con dốc bằng nhau

Nhận xét: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (trường hợp cạnh huyền – góc nhọn)

Câu hỏi 1 (trang 77)

Đề bài: Trong Hình 4.48, hãy tìm các cặp tam giác vuông bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau

Lời giải:

Quan sát Hình 4.48, ta tìm được ba cặp tam giác vuông bằng nhau

Cặp thứ nhất: Xét $\triangle ABC$ (vuông tại $A$) và $\triangle XYZ$ (vuông tại $X$) có:

$$\widehat{A} = \widehat{X} \quad (= 90^\circ)$$

$$AC = XZ \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

$$\widehat{C} = \widehat{Z} \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

Do đó $\triangle ABC = \triangle XYZ$ (g.c.g) — đây là trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề

Cặp thứ hai: Xét $\triangle DEF$ (vuông tại $D$) và $\triangle GHK$ (vuông tại $G$) có:

$$EF = HK \quad (\text{cạnh huyền, theo kí hiệu trên hình})$$

$$\widehat{EFD} = \widehat{GKH} \quad (\text{góc nhọn, theo kí hiệu trên hình})$$

Do đó $\triangle DEF = \triangle GHK$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Cặp thứ ba: Xét $\triangle MNP$ (vuông tại $M$) và $\triangle RTS$ (vuông tại $R$) có:

$$MN = TR \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

$$\widehat{M} = \widehat{R} \quad (= 90^\circ)$$

$$PM = SR \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

Do đó $\triangle MNP = \triangle RTS$ (c.g.c) — đây là trường hợp hai cạnh góc vuông

Luyện tập 2 (trang 77)

Đề bài: Cho $Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$. Lấy điểm $M$ trên tia $Oz$ và hai điểm $A$, $B$ lần lượt trên các tia $Ox$, $Oy$ sao cho $MA$ vuông góc với $Ox$, $MB$ vuông góc với $Oy$ (H.4.50). Chứng minh rằng $MA = MB$

Lời giải:

Vì $MA \perp Ox$ tại $A$ nên $\triangle OAM$ vuông tại $A$; vì $MB \perp Oy$ tại $B$ nên $\triangle OBM$ vuông tại $B$. Hai tam giác vuông này có cạnh huyền $OM$ chung

Vì $Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$ nên:

$$\widehat{AOM} = \widehat{BOM} \quad (\text{tia phân giác chia góc thành hai góc bằng nhau})$$

Xét $\triangle OAM$ (vuông tại $A$) và $\triangle OBM$ (vuông tại $B$) có:

$$OM \text{ là cạnh huyền chung}$$

$$\widehat{AOM} = \widehat{BOM} \quad (\text{chứng minh trên — góc nhọn})$$

Do đó:

$$\triangle OAM = \triangle OBM \ (\text{cạnh huyền – góc nhọn})$$

Suy ra $MA = MB$ (hai cạnh tương ứng)

2. Trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác vuông

Hoạt động 4 (trang 78)

Đề bài: Vẽ tam giác vuông $ABC$ có $\widehat{A} = 90^\circ$, $AB = 3$ cm, $BC = 5$ cm theo các bước sau:

– Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng $AB = 3$ cm

– Vẽ tia $Ax$ vuông góc với $AB$ và cung tròn tâm $B$ bán kính $5$ cm như Hình 4.51. Cung tròn cắt tia $Ax$ tại điểm $C$

– Vẽ đoạn thẳng $BC$ ta được tam giác $ABC$

Lời giải:

Đây là hoạt động thực hành vẽ tam giác vuông biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông. Em thực hiện theo các bước

Bước 1: Vẽ đoạn $AB = 3$ cm bằng thước có vạch chia

Bước 2: Tại $A$ dùng êke (hoặc compa) dựng tia $Ax$ vuông góc với $AB$

Bước 3: Mở compa với khẩu độ $5$ cm, đặt mũi nhọn tại $B$ vẽ cung tròn cắt tia $Ax$ tại điểm $C$

Bước 4: Nối $B$ với $C$, ta được tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB = 3$ cm, $BC = 5$ cm

Hoạt động 5 (trang 78)

Đề bài: Tương tự, vẽ thêm tam giác $A’B’C’$ có $\widehat{A’} = 90^\circ$, $A’B’ = 3$ cm, $B’C’ = 5$ cm

a) Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa kiểm tra xem $AC$ có bằng $A’C’$ không

b) Hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có bằng nhau không?

Lời giải:

a) Em vẽ tam giác $A’B’C’$ theo cùng các bước như HĐ4. Sau đó dùng thước (hoặc compa) đo so sánh cạnh $AC$ và cạnh $A’C’$. Kết quả: $AC = A’C’$

b) Hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau: $AB = A’B’$, $AC = A’C’$ (từ câu a), $BC = B’C’$, nên theo trường hợp c.c.c, hai tam giác bằng nhau

Nhận xét: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Câu hỏi 2 (trang 78)

Đề bài: Hãy chỉ ra các cặp tam giác vuông bằng nhau trong Hình 4.52

Lời giải:

Quan sát Hình 4.52, ta tìm được hai cặp tam giác vuông bằng nhau, đều áp dụng trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông

Cặp thứ nhất: Xét $\triangle ABC$ (vuông tại $A$) và $\triangle GHK$ (vuông tại $G$) có:

$$BC = HK \quad (\text{cạnh huyền, theo kí hiệu trên hình})$$

$$AB = GH \quad (\text{cạnh góc vuông, theo kí hiệu trên hình})$$

Do đó:

$$\triangle ABC = \triangle GHK \ (\text{cạnh huyền – cạnh góc vuông})$$

Cặp thứ hai: Xét $\triangle DEF$ (vuông tại $D$) và $\triangle MNP$ (vuông tại $M$) có:

$$EF = NP \quad (\text{cạnh huyền, theo kí hiệu trên hình})$$

$$DF = MP \quad (\text{cạnh góc vuông, theo kí hiệu trên hình})$$

Do đó:

$$\triangle DEF = \triangle MNP \ (\text{cạnh huyền – cạnh góc vuông})$$

Luyện tập 3 (trang 79)

Đề bài: Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ nằm trên đường tròn tâm $O$ và các điểm $M$, $N$, $P$ như Hình 4.54. Hãy chỉ ra ba cặp tam giác vuông bằng nhau trong hình

Lời giải:

Vì $A$, $B$, $C$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$ nên ba bán kính bằng nhau:

$$OA = OB = OC$$

Theo Hình 4.54, $M$, $N$, $P$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $O$ đến các dây $BC$, $AC$, $AB$ (tức $OM \perp BC$ tại $M$, $ON \perp AC$ tại $N$, $OP \perp AB$ tại $P$). Ta xét ba cặp tam giác vuông

Cặp thứ nhất: Xét $\triangle ONA$ (vuông tại $N$) và $\triangle ONC$ (vuông tại $N$) có:

$$OA = OC \quad (\text{bán kính — đây là cạnh huyền})$$

$$ON \text{ là cạnh góc vuông chung}$$

Do đó $\triangle ONA = \triangle ONC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Cặp thứ hai: Xét $\triangle OMB$ (vuông tại $M$) và $\triangle OMC$ (vuông tại $M$) có:

$$OB = OC \quad (\text{bán kính — cạnh huyền})$$

$$OM \text{ là cạnh góc vuông chung}$$

Do đó $\triangle OMB = \triangle OMC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Cặp thứ ba: Xét $\triangle OPA$ (vuông tại $P$) và $\triangle OPB$ (vuông tại $P$) có:

$$OA = OB \quad (\text{bán kính — cạnh huyền})$$

$$OP \text{ là cạnh góc vuông chung}$$

Do đó $\triangle OPA = \triangle OPB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Thử thách nhỏ (trang 79)

Đề bài: Có hai chiếc thang dài như nhau được dựa vào một bức tường với cùng độ cao $BH = B’H’$ như Hình 4.55. Các góc $\widehat{BAH}$ và $\widehat{B’A’H’}$ có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Tường vuông góc với mặt đất nên $\triangle BAH$ vuông tại $H$ và $\triangle B’A’H’$ vuông tại $H’$. Trong đó: $AB$, $A’B’$ là cạnh huyền (chiếc thang); $BH$, $B’H’$ là cạnh góc vuông (độ cao thang trên tường)

Xét $\triangle BAH$ (vuông tại $H$) và $\triangle B’A’H’$ (vuông tại $H’$) có:

$$AB = A’B’ \quad (\text{cạnh huyền — hai thang dài như nhau})$$

$$BH = B’H’ \quad (\text{cạnh góc vuông, theo giả thiết})$$

Do đó:

$$\triangle BAH = \triangle B’A’H’ \ (\text{cạnh huyền – cạnh góc vuông})$$

Suy ra $\widehat{BAH} = \widehat{B’A’H’}$ (hai góc tương ứng)

Vậy hai góc $\widehat{BAH}$ và $\widehat{B’A’H’}$ bằng nhau

Bài tập (trang 79)

Bài 4.20 (trang 79)

Đề bài: Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Lời giải:

Hình a): Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ADC$, đều vuông tại $C$, có:

$$\widehat{ACB} = \widehat{ACD} \quad (= 90^\circ)$$

$$AC \text{ là cạnh chung}$$

$$\widehat{BAC} = \widehat{DAC} \quad (\text{theo kí hiệu trên hình})$$

Do đó $\triangle ABC = \triangle ADC$ (g.c.g) — trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề

Hình b): Xét $\triangle HEG$ (vuông tại $E$) và $\triangle GFH$ (vuông tại $F$) có:

$$HG \text{ là cạnh huyền chung}$$

$$HE = GF \quad (\text{cạnh góc vuông, theo kí hiệu trên hình})$$

Do đó $\triangle HEG = \triangle GFH$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Hình c): Xét $\triangle QMK$ (vuông tại $M$) và $\triangle NMP$ (vuông tại $M$) có:

$$QK = NP \quad (\text{cạnh huyền, theo kí hiệu trên hình})$$

$$\widehat{K} = \widehat{P} \quad (\text{góc nhọn, theo kí hiệu trên hình})$$

Do đó $\triangle QMK = \triangle NMP$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Hình d): Xét $\triangle VST$ (vuông tại $S$) và $\triangle UTS$ (vuông tại $T$) có:

$$VS = UT \quad (\text{cạnh góc vuông, theo kí hiệu trên hình})$$

$$ST \text{ là cạnh góc vuông chung}$$

Do đó $\triangle VST = \triangle UTS$ (hai cạnh góc vuông)

Bài 4.21 (trang 79)

Đề bài: Cho Hình 4.56, biết $AB = CD$, $\widehat{BAC} = \widehat{BDC} = 90^\circ$. Chứng minh rằng $\triangle ABE = \triangle DCE$

Lời giải:

Quan sát Hình 4.56, hai đoạn $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$. Vì $E$ nằm trên $AC$ nên ray $AE$ trùng với ray $AC$, do đó $\widehat{BAE} = \widehat{BAC} = 90^\circ$, tức $\triangle ABE$ vuông tại $A$. Tương tự, vì $E$ nằm trên $BD$ nên $\widehat{CDE} = \widehat{CDB} = 90^\circ$, tức $\triangle DCE$ vuông tại $D$

Ta đi tìm thêm một cặp góc bằng nhau để áp dụng được g.c.g. Áp dụng định lí tổng ba góc trong mỗi tam giác:

Trong $\triangle ABE$: $\widehat{BAE} + \widehat{ABE} + \widehat{AEB} = 180^\circ$, suy ra $\widehat{ABE} = 90^\circ – \widehat{AEB}$

Trong $\triangle DCE$: $\widehat{CDE} + \widehat{DCE} + \widehat{DEC} = 180^\circ$, suy ra $\widehat{DCE} = 90^\circ – \widehat{DEC}$

Vì $\widehat{AEB}$ và $\widehat{DEC}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{AEB} = \widehat{DEC}$. Do đó:

$$\widehat{ABE} = \widehat{DCE}$$

Xét $\triangle ABE$ (vuông tại $A$) và $\triangle DCE$ (vuông tại $D$) có:

$$\widehat{BAE} = \widehat{CDE} \quad (= 90^\circ)$$

$$AB = DC \quad (\text{giả thiết})$$

$$\widehat{ABE} = \widehat{DCE} \quad (\text{chứng minh trên})$$

Do đó:

$$\triangle ABE = \triangle DCE \ (\text{g.c.g})$$

Bài 4.22 (trang 79)

Đề bài: Cho hình chữ nhật $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Chứng minh rằng $\triangle ABM = \triangle DCM$

Lời giải:

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên:

$$AB = DC \quad (\text{hai cạnh đối của hình chữ nhật bằng nhau})$$

$$\widehat{ABM} = \widehat{DCM} \quad (= 90^\circ,\ \text{các góc của hình chữ nhật})$$

$M$ là trung điểm của $BC$ nên:

$$BM = CM$$

Xét $\triangle ABM$ (vuông tại $B$) và $\triangle DCM$ (vuông tại $C$) có:

$$AB = DC \quad (\text{chứng minh trên})$$

$$\widehat{ABM} = \widehat{DCM} \quad (= 90^\circ)$$

$$BM = CM \quad (\text{chứng minh trên})$$

Do đó:

$$\triangle ABM = \triangle DCM \ (\text{c.g.c})$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du