1. Tính chất của dãy hai tỉ số bằng nhau

Hoạt động 1 (trang 8)

Đề bài: Cho tỉ lệ thức $\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}$. Tính các tỉ số $\dfrac{2+6}{3+9}$ và $\dfrac{2-6}{3-9}$.

Lời giải:

Ta thay trực tiếp các số vào và rút gọn từng tỉ số.

$$\dfrac{2+6}{3+9} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{8 : 4}{12 : 4} = \dfrac{2}{3}.$$

$$\dfrac{2-6}{3-9} = \dfrac{-4}{-6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{4 : 2}{6 : 2} = \dfrac{2}{3}.$$

Hoạt động 2 (trang 8)

Đề bài: So sánh hai tỉ số nhận được ở HĐ1 với các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho.

Lời giải:

Các tỉ số trong tỉ lệ thức đã cho là $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.

Hai tỉ số tính được ở HĐ1 cũng đều bằng $\dfrac{2}{3}$.

Vậy bốn tỉ số đều bằng nhau:

$$\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2+6}{3+9} = \dfrac{2-6}{3-9} = \dfrac{2}{3}.$$

Luyện tập (trang 8)

Đề bài: Tìm hai số $x$ và $y$, biết $\dfrac{x}{11} = \dfrac{y}{17}$ và $x – y = 12$.

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho hiệu (tử trừ tử, mẫu trừ mẫu):

$$\dfrac{x}{11} = \dfrac{y}{17} = \dfrac{x – y}{11 – 17} = \dfrac{12}{-6} = -2.$$

Từ đây tính được:

$$x = (-2) \cdot 11 = -22; \qquad y = (-2) \cdot 17 = -34.$$

Vậy $x = -22$ và $y = -34$.

2. Mở rộng tính chất cho dãy tỉ số bằng nhau

Vận dụng (trang 9)

Đề bài: Ba nhà đầu tư góp vốn để mở một công ty theo tỉ lệ $2 : 3 : 4$. Cuối năm, số tiền lợi nhuận công ty dự kiến trả cho các nhà đầu tư là $72$ triệu đồng, chia theo tỉ lệ góp vốn. Tính số tiền lợi nhuận mỗi nhà đầu tư nhận được.

Lời giải:

Gọi số tiền lợi nhuận mà ba nhà đầu tư nhận được lần lượt là $x$, $y$, $z$ (triệu đồng); điều kiện $x, y, z > 0$.

Theo đề bài, tổng lợi nhuận là $72$ triệu đồng nên:

$$x + y + z = 72.$$

Vì lợi nhuận chia theo tỉ lệ góp vốn $2 : 3 : 4$ nên $x$, $y$, $z$ tỉ lệ với $2$, $3$, $4$, tức là:

$$\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}.$$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (cộng tử với tử, cộng mẫu với mẫu):

$$\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4} = \dfrac{x + y + z}{2 + 3 + 4} = \dfrac{72}{9} = 8.$$

Suy ra:

$$x = 8 \cdot 2 = 16; \qquad y = 8 \cdot 3 = 24; \qquad z = 8 \cdot 4 = 32.$$

Vậy ba nhà đầu tư nhận được lần lượt là $16$ triệu đồng, $24$ triệu đồng và $32$ triệu đồng.

Bài tập (trang 9)

Bài 6.7 (trang 9)

Đề bài: Tìm hai số $x$ và $y$, biết $\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{11}$ và $x + y = 40$.

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho tổng (cộng tử với tử, cộng mẫu với mẫu):

$$\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{11} = \dfrac{x + y}{9 + 11} = \dfrac{40}{20} = 2.$$

Từ đây tính được:

$$x = 2 \cdot 9 = 18; \qquad y = 2 \cdot 11 = 22.$$

Vậy $x = 18$ và $y = 22$.

Bài 6.8 (trang 9)

Đề bài: Tìm hai số $x$ và $y$, biết $\dfrac{x}{17} = \dfrac{y}{21}$ và $x – y = 8$.

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho hiệu (tử trừ tử, mẫu trừ mẫu):

$$\dfrac{x}{17} = \dfrac{y}{21} = \dfrac{x – y}{17 – 21} = \dfrac{8}{-4} = -2.$$

Từ đây tính được:

$$x = (-2) \cdot 17 = -34; \qquad y = (-2) \cdot 21 = -42.$$

Vậy $x = -34$ và $y = -42$.

Bài 6.9 (trang 9)

Đề bài: Tỉ số giữa số sản phẩm làm được của hai công nhân là $0{,}95$. Hỏi mỗi người làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng người này làm nhiều hơn người kia $10$ sản phẩm?

Lời giải:

Gọi số sản phẩm của người làm ít hơn là $x$, số sản phẩm của người làm nhiều hơn là $y$ (sản phẩm); điều kiện $x, y$ là số nguyên dương.

Vì $0{,}95 < 1$ nên tỉ số $0{,}95$ là tỉ số giữa người ít và người nhiều. Ta có:

$$\dfrac{x}{y} = 0{,}95 = \dfrac{95}{100} = \dfrac{19}{20}.$$

Suy ra $\dfrac{x}{19} = \dfrac{y}{20}$.

Mặt khác, người này làm nhiều hơn người kia $10$ sản phẩm, tức là $y – x = 10$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho hiệu:

$$\dfrac{x}{19} = \dfrac{y}{20} = \dfrac{y – x}{20 – 19} = \dfrac{10}{1} = 10.$$

Từ đây tính được:

$$x = 10 \cdot 19 = 190; \qquad y = 10 \cdot 20 = 200.$$

Vậy người làm ít hơn được $190$ sản phẩm, người làm nhiều hơn được $200$ sản phẩm.

Bài 6.10 (trang 9)

Đề bài: Ba lớp 7A, 7B và 7C được giao nhiệm vụ trồng $120$ cây để phủ xanh đồi trọc. Tính số cây trồng được của mỗi lớp, biết số cây trồng được của ba lớp 7A, 7B và 7C tỉ lệ với $7; 8; 9$.

Lời giải:

Gọi số cây trồng được của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là $x$, $y$, $z$ (cây); điều kiện $x, y, z$ là số nguyên dương.

Theo đề bài, tổng số cây ba lớp trồng được là $120$ cây nên:

$$x + y + z = 120.$$

Vì số cây trồng được của ba lớp tỉ lệ với $7; 8; 9$ nên:

$$\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{9}.$$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

$$\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{9} = \dfrac{x + y + z}{7 + 8 + 9} = \dfrac{120}{24} = 5.$$

Từ đây tính được:

$$x = 5 \cdot 7 = 35; \qquad y = 5 \cdot 8 = 40; \qquad z = 5 \cdot 9 = 45.$$

Vậy lớp 7A trồng được $35$ cây, lớp 7B trồng được $40$ cây và lớp 7C trồng được $45$ cây.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du