1. Làm quen với phép chia đa thức

Hoạt động 1 (trang 39)

Đề bài: Tìm thương của mỗi phép chia hết sau:

a) $12x^3 : 4x$;

b) $(-2x^4) : x^4$;

c) $2x^5 : 5x^2$.

Lời giải:

Em nhớ lại quy tắc chia hai đơn thức: chia hai hệ số với nhau và chia hai luỹ thừa của biến với nhau ($x^m : x^n = x^{m-n}$).

a) $12x^3 : 4x = \dfrac{12}{4} \cdot x^{3-1} = 3x^2$.

b) $(-2x^4) : x^4 = \dfrac{-2}{1} \cdot x^{4-4} = -2 \cdot x^0 = -2 \cdot 1 = -2$.

c) $2x^5 : 5x^2 = \dfrac{2}{5} \cdot x^{5-2} = \dfrac{2}{5}x^3$.

Hoạt động 2 (trang 39)

Đề bài: Giả sử $x \neq 0$. Hãy cho biết:

a) Với điều kiện nào (của hai số mũ) thì thương hai luỹ thừa của $x$ cũng là một luỹ thừa của $x$ với số mũ nguyên dương?

b) Thương hai luỹ thừa của $x$ cùng bậc bằng bao nhiêu?

Lời giải:

a) Thương hai luỹ thừa của $x$ là $x^m : x^n = x^{m-n}$. Để thương này là một luỹ thừa của $x$ với số mũ nguyên dương, ta cần $m – n > 0$, tức là $m > n$ (số mũ của đa thức bị chia phải lớn hơn số mũ của đa thức chia).

b) Khi hai luỹ thừa cùng bậc, tức là $m = n$, ta có $x^m : x^n = x^{m-n} = x^0 = 1$.

Vậy thương hai luỹ thừa của $x$ cùng bậc bằng $1$.

Luyện tập 1 (trang 39)

Đề bài: Thực hiện các phép chia sau:

a) $3x^7 : \dfrac{1}{2}x^4$;

b) $(-2x) : x$;

c) $0{,}25x^5 : (-5x^2)$.

Lời giải:

a) Chia hệ số: $3 : \dfrac{1}{2} = 3 \cdot 2 = 6$. Chia luỹ thừa: $x^7 : x^4 = x^3$. Do đó:

$$3x^7 : \dfrac{1}{2}x^4 = 6x^3.$$

b) $(-2x) : x = \dfrac{-2}{1} \cdot x^{1-1} = -2 \cdot x^0 = -2$.

c) Chia hệ số: $0{,}25 : (-5) = -0{,}05$. Chia luỹ thừa: $x^5 : x^2 = x^3$. Do đó:

$$0{,}25x^5 : (-5x^2) = -0{,}05x^3.$$

2. Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia hết

Câu hỏi (trang 40)

Đề bài: Kiểm tra lại rằng ta có phép chia hết $A : B = 2x^2 – 5x + 1$ (với $A = 2x^4 – 13x^3 + 15x^2 + 11x – 3$ và $B = x^2 – 4x – 3$), nghĩa là xảy ra: $A = B \cdot (2x^2 – 5x + 1)$.

Lời giải:

Ta tính $B \cdot (2x^2 – 5x + 1)$ bằng cách nhân từng hạng tử của $B$ với toàn bộ đa thức thứ hai:

$$x^2 \cdot (2x^2 – 5x + 1) = 2x^4 – 5x^3 + x^2.$$

$$-4x \cdot (2x^2 – 5x + 1) = -8x^3 + 20x^2 – 4x.$$

$$-3 \cdot (2x^2 – 5x + 1) = -6x^2 + 15x – 3.$$

Cộng tất cả lại, gộp các hạng tử cùng bậc:

Bậc $4$: $2x^4$.

Bậc $3$: $-5x^3 – 8x^3 = -13x^3$.

Bậc $2$: $x^2 + 20x^2 – 6x^2 = 15x^2$.

Bậc $1$: $-4x + 15x = 11x$.

Bậc $0$: $-3$.

Vậy $B \cdot (2x^2 – 5x + 1) = 2x^4 – 13x^3 + 15x^2 + 11x – 3 = A$. Đẳng thức được kiểm chứng.

Luyện tập 2 (trang 40)

Đề bài: Thực hiện phép chia:

a) $(-x^6 + 5x^4 – 2x^3) : 0{,}5x^2$;

b) $(9x^2 – 4) : (3x + 2)$.

Lời giải:

a) Đây là phép chia đa thức cho đơn thức, ta có thể chia từng hạng tử cho đơn thức:

$$(-x^6 + 5x^4 – 2x^3) : 0{,}5x^2 = (-x^6) : 0{,}5x^2 + 5x^4 : 0{,}5x^2 + (-2x^3) : 0{,}5x^2$$

$$= \dfrac{-1}{0{,}5}x^{6-2} + \dfrac{5}{0{,}5}x^{4-2} + \dfrac{-2}{0{,}5}x^{3-2}$$

$$= -2x^4 + 10x^2 – 4x.$$

b) Để dễ thực hiện đặt tính, ta viết đa thức bị chia là $9x^2 + 0x – 4$ (thêm hạng tử $0x$).

Thực hiện phép chia $(9x^2 + 0x – 4) : (3x + 2)$ theo từng bước:

Bước 1: Lấy hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia: $9x^2 : 3x = 3x$. Đây là hạng tử đầu tiên của thương.

Bước 2: Nhân $3x$ với đa thức chia: $3x \cdot (3x + 2) = 9x^2 + 6x$.

Bước 3: Lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa tính: $(9x^2 + 0x – 4) – (9x^2 + 6x) = -6x – 4$ (dư thứ nhất).

Bước 4: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia: $-6x : 3x = -2$. Đây là hạng tử tiếp theo của thương.

Bước 5: Nhân $-2$ với đa thức chia: $-2 \cdot (3x + 2) = -6x – 4$.

Bước 6: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích vừa tính: $(-6x – 4) – (-6x – 4) = 0$.

Dư cuối cùng bằng $0$, phép chia kết thúc. Thương là $3x – 2$.

Vậy $(9x^2 – 4) : (3x + 2) = 3x – 2$.

Vận dụng (trang 40)

Đề bài: Em hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu: Tìm đa thức $P$ sao cho $A = B \cdot P$, trong đó $A = 2x^4 – 3x^3 – 3x^2 + 6x – 2$ và $B = x^2 – 2$.

Lời giải:

Từ $A = B \cdot P$ với $B$ khác đa thức không, ta có $P = A : B = (2x^4 – 3x^3 – 3x^2 + 6x – 2) : (x^2 – 2)$.

Thực hiện phép chia theo từng bước:

Bước 1: $2x^4 : x^2 = 2x^2$ (hạng tử đầu tiên của thương).

Bước 2: $2x^2 \cdot (x^2 – 2) = 2x^4 – 4x^2$.

Bước 3: Lấy đa thức bị chia trừ tích vừa tính:

$$(2x^4 – 3x^3 – 3x^2 + 6x – 2) – (2x^4 – 4x^2) = -3x^3 + x^2 + 6x – 2 ;;(\text{dư thứ nhất}).$$

Bước 4: $-3x^3 : x^2 = -3x$ (hạng tử tiếp theo của thương).

Bước 5: $-3x \cdot (x^2 – 2) = -3x^3 + 6x$.

Bước 6: Lấy dư thứ nhất trừ tích vừa tính:

$$(-3x^3 + x^2 + 6x – 2) – (-3x^3 + 6x) = x^2 – 2 ;;(\text{dư thứ hai}).$$

Bước 7: $x^2 : x^2 = 1$ (hạng tử tiếp theo của thương).

Bước 8: $1 \cdot (x^2 – 2) = x^2 – 2$.

Bước 9: $(x^2 – 2) – (x^2 – 2) = 0$.

Dư cuối cùng bằng $0$, phép chia kết thúc. Thương là $2x^2 – 3x + 1$.

Vậy $P = 2x^2 – 3x + 1$.

3. Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia có dư

Hoạt động 3 (trang 41)

Đề bài: Hãy mô tả lại các bước đã thực hiện trong phép chia đa thức $D = 5x^3 – 3x^2 – x + 7$ cho đa thức $E = x^2 + 1$.

Lời giải:

Các bước thực hiện phép chia $D : E$ là:

Bước 1: Lấy hạng tử bậc cao nhất của $D$ là $5x^3$ chia cho hạng tử bậc cao nhất của $E$ là $x^2$: $5x^3 : x^2 = 5x$. Đây là hạng tử đầu tiên của thương.

Bước 2: Nhân $5x$ với $E$: $5x \cdot (x^2 + 1) = 5x^3 + 5x$.

Bước 3: Lấy $D$ trừ đi tích $5x \cdot E$:

$$(5x^3 – 3x^2 – x + 7) – (5x^3 + 5x) = -3x^2 – 6x + 7 ;;(\text{dư thứ nhất}).$$

Bước 4: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất là $-3x^2$ chia cho $x^2$: $-3x^2 : x^2 = -3$. Đây là hạng tử tiếp theo của thương.

Bước 5: Nhân $-3$ với $E$: $-3 \cdot (x^2 + 1) = -3x^2 – 3$.

Bước 6: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích $-3 \cdot E$:

$$(-3x^2 – 6x + 7) – (-3x^2 – 3) = -6x + 10 ;;(\text{dư thứ hai}).$$

Vậy phép chia này có thương là $5x – 3$ và dư thứ hai là $-6x + 10$.

Hoạt động 4 (trang 41)

Đề bài: Kí hiệu dư thứ hai là $G = -6x + 10$. Đa thức này có bậc bằng $1$. Lúc này phép chia có thể tiếp tục được không? Vì sao?

Lời giải:

Phép chia không thể tiếp tục được nữa.

Lí do: muốn tiếp tục, ta phải lấy hạng tử bậc cao nhất của dư là $-6x$ chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia là $x^2$. Nhưng $-6x : x^2 = -6 \cdot x^{1-2} = -6x^{-1}$ không phải là một luỹ thừa của $x$ với số mũ nguyên không âm, nên không phải là đơn thức (theo định nghĩa đơn thức một biến).

Nói cách khác: vì bậc của dư thứ hai $G$ (bằng $1$) đã nhỏ hơn bậc của đa thức chia $E$ (bằng $2$), nên phép chia kết thúc tại đây.

Hoạt động 5 (trang 41)

Đề bài: Hãy kiểm tra lại đẳng thức: $D = E \cdot (5x – 3) + G$.

Lời giải:

Ta tính $E \cdot (5x – 3)$:

$$(x^2 + 1)(5x – 3) = x^2 \cdot (5x – 3) + 1 \cdot (5x – 3) = (5x^3 – 3x^2) + (5x – 3) = 5x^3 – 3x^2 + 5x – 3.$$

Cộng với $G = -6x + 10$:

$$E \cdot (5x – 3) + G = (5x^3 – 3x^2 + 5x – 3) + (-6x + 10)$$

$$= 5x^3 – 3x^2 + (5 – 6)x + (-3 + 10) = 5x^3 – 3x^2 – x + 7 = D.$$

Vậy đẳng thức $D = E \cdot (5x – 3) + G$ được kiểm chứng.

Luyện tập 3 (trang 41)

Đề bài: Tìm dư $R$ và thương $Q$ trong phép chia đa thức $A = 3x^4 – 6x – 5$ cho đa thức $B = x^2 + 3x – 1$ rồi viết $A$ dưới dạng $A = B \cdot Q + R$.

Lời giải:

Để dễ thực hiện đặt tính, ta viết đa thức bị chia là $3x^4 + 0x^3 + 0x^2 – 6x – 5$ (thêm các hạng tử $0x^3$ và $0x^2$).

Bước 1: $3x^4 : x^2 = 3x^2$ (hạng tử đầu tiên của thương).

Bước 2: $3x^2 \cdot (x^2 + 3x – 1) = 3x^4 + 9x^3 – 3x^2$.

Bước 3: Lấy đa thức bị chia trừ tích vừa tính:

$$(3x^4 + 0x^3 + 0x^2 – 6x – 5) – (3x^4 + 9x^3 – 3x^2) = -9x^3 + 3x^2 – 6x – 5 ;;(\text{dư thứ nhất}).$$

Bước 4: $-9x^3 : x^2 = -9x$ (hạng tử tiếp theo của thương).

Bước 5: $-9x \cdot (x^2 + 3x – 1) = -9x^3 – 27x^2 + 9x$.

Bước 6: Lấy dư thứ nhất trừ tích vừa tính:

$$(-9x^3 + 3x^2 – 6x – 5) – (-9x^3 – 27x^2 + 9x) = 30x^2 – 15x – 5 ;;(\text{dư thứ hai}).$$

Bước 7: $30x^2 : x^2 = 30$ (hạng tử tiếp theo của thương).

Bước 8: $30 \cdot (x^2 + 3x – 1) = 30x^2 + 90x – 30$.

Bước 9: Lấy dư thứ hai trừ tích vừa tính:

$$(30x^2 – 15x – 5) – (30x^2 + 90x – 30) = -105x + 25 ;;(\text{dư thứ ba}).$$

Dư thứ ba $-105x + 25$ có bậc $1$, nhỏ hơn bậc $2$ của đa thức chia $B$. Phép chia kết thúc.

Vậy thương là $Q = 3x^2 – 9x + 30$ và dư là $R = -105x + 25$.

Viết $A$ dưới dạng $A = B \cdot Q + R$:

$$A = (x^2 + 3x – 1)(3x^2 – 9x + 30) + (-105x + 25).$$

Thử thách nhỏ (trang 41)

Đề bài: Đố Vuông tìm được dư trong phép chia $x^3 – 3x^2 + x – 1$ cho $x^2 – 3x$. Mình chỉ nhìn qua cũng biết được dư là $x – 1$. Em có biết tại sao Vuông làm nhanh thế không?

Lời giải:

Vuông quan sát thấy: hai hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia là $x^3 – 3x^2 = x \cdot (x^2 – 3x)$, tức là chính là $x$ nhân với đa thức chia.

Do đó ta có thể viết đa thức bị chia thành:

$$x^3 – 3x^2 + x – 1 = (x^3 – 3x^2) + (x – 1) = x \cdot (x^2 – 3x) + (x – 1).$$

So với dạng $A = B \cdot Q + R$ (với $B = x^2 – 3x$), ta thấy $Q = x$ và $R = x – 1$.

Vì bậc của $x – 1$ (bằng $1$) nhỏ hơn bậc của $x^2 – 3x$ (bằng $2$), nên $x – 1$ chính là dư của phép chia.

Vậy Vuông nhanh chóng nhận ra dư là $x – 1$ nhờ tách hai hạng tử đầu của đa thức bị chia thành một tích có chứa đa thức chia.

Bài tập (trang 42)

Bài 7.30 (trang 42)

Đề bài: Tính:

a) $8x^5 : 4x^3$;

b) $120x^7 : (-24x^5)$;

c) $\dfrac{3}{4}(-x)^3 : \dfrac{1}{8}x$;

d) $-3{,}72x^4 : (-4x^2)$.

Lời giải:

a) $8x^5 : 4x^3 = \dfrac{8}{4} \cdot x^{5-3} = 2x^2$.

b) $120x^7 : (-24x^5) = \dfrac{120}{-24} \cdot x^{7-5} = -5x^2$.

c) Trước hết tính $(-x)^3 = (-1)^3 \cdot x^3 = -x^3$. Do đó:

$$\dfrac{3}{4}(-x)^3 = \dfrac{3}{4} \cdot (-x^3) = -\dfrac{3}{4}x^3.$$

Khi đó:

$$\dfrac{3}{4}(-x)^3 : \dfrac{1}{8}x = -\dfrac{3}{4}x^3 : \dfrac{1}{8}x = \left(-\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{8}\right) \cdot x^{3-1} = \left(-\dfrac{3}{4} \cdot 8\right) \cdot x^2 = -6x^2.$$

d) $-3{,}72x^4 : (-4x^2) = \dfrac{-3{,}72}{-4} \cdot x^{4-2} = 0{,}93x^2$.

Bài 7.31 (trang 42)

Đề bài: Thực hiện các phép chia đa thức sau:

a) $(-5x^3 + 15x^2 + 18x) : (-5x)$;

b) $(-2x^5 – 4x^3 + 3x^2) : 2x^2$.

Lời giải:

Đây là phép chia đa thức cho đơn thức, ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các thương lại.

a)

$$(-5x^3 + 15x^2 + 18x) : (-5x) = \dfrac{-5x^3}{-5x} + \dfrac{15x^2}{-5x} + \dfrac{18x}{-5x}$$

$$= x^2 + (-3x) + \left(-\dfrac{18}{5}\right) = x^2 – 3x – \dfrac{18}{5}.$$

(Có thể viết $-\dfrac{18}{5} = -3{,}6$.)

b)

$$(-2x^5 – 4x^3 + 3x^2) : 2x^2 = \dfrac{-2x^5}{2x^2} + \dfrac{-4x^3}{2x^2} + \dfrac{3x^2}{2x^2}$$

$$= -x^3 + (-2x) + \dfrac{3}{2} = -x^3 – 2x + \dfrac{3}{2}.$$

(Có thể viết $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$.)

Bài 7.32 (trang 42)

Đề bài: Thực hiện các phép chia đa thức sau bằng cách đặt tính chia:

a) $(6x^3 – 2x^2 – 9x + 3) : (3x – 1)$;

b) $(4x^4 + 14x^3 – 21x – 9) : (2x^2 – 3)$.

Lời giải:

a) Thực hiện phép chia $(6x^3 – 2x^2 – 9x + 3) : (3x – 1)$ theo từng bước:

Bước 1: $6x^3 : 3x = 2x^2$.

Bước 2: $2x^2 \cdot (3x – 1) = 6x^3 – 2x^2$.

Bước 3: $(6x^3 – 2x^2 – 9x + 3) – (6x^3 – 2x^2) = -9x + 3$ (dư thứ nhất).

Bước 4: $-9x : 3x = -3$.

Bước 5: $-3 \cdot (3x – 1) = -9x + 3$.

Bước 6: $(-9x + 3) – (-9x + 3) = 0$.

Dư bằng $0$, phép chia kết thúc. Thương là $2x^2 – 3$.

Vậy $(6x^3 – 2x^2 – 9x + 3) : (3x – 1) = 2x^2 – 3$.

b) Để dễ thực hiện đặt tính, ta viết đa thức bị chia là $4x^4 + 14x^3 + 0x^2 – 21x – 9$ (thêm hạng tử $0x^2$).

Bước 1: $4x^4 : 2x^2 = 2x^2$.

Bước 2: $2x^2 \cdot (2x^2 – 3) = 4x^4 – 6x^2$.

Bước 3: $(4x^4 + 14x^3 + 0x^2 – 21x – 9) – (4x^4 – 6x^2) = 14x^3 + 6x^2 – 21x – 9$ (dư thứ nhất).

Bước 4: $14x^3 : 2x^2 = 7x$.

Bước 5: $7x \cdot (2x^2 – 3) = 14x^3 – 21x$.

Bước 6: $(14x^3 + 6x^2 – 21x – 9) – (14x^3 – 21x) = 6x^2 – 9$ (dư thứ hai).

Bước 7: $6x^2 : 2x^2 = 3$.

Bước 8: $3 \cdot (2x^2 – 3) = 6x^2 – 9$.

Bước 9: $(6x^2 – 9) – (6x^2 – 9) = 0$.

Dư bằng $0$, phép chia kết thúc. Thương là $2x^2 + 7x + 3$.

Vậy $(4x^4 + 14x^3 – 21x – 9) : (2x^2 – 3) = 2x^2 + 7x + 3$.

Bài 7.33 (trang 42)

Đề bài: Thực hiện phép chia $0{,}5x^5 + 3{,}2x^3 – 2x^2$ cho $0{,}25x^n$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $n = 2$;

b) $n = 3$.

Lời giải:

a) Với $n = 2$, đa thức chia là $0{,}25x^2$. Ta kiểm tra: bậc của các hạng tử trong đa thức bị chia là $5, 3, 2$ đều lớn hơn hoặc bằng $2$, nên phép chia là chia hết. Chia từng hạng tử:

$$(0{,}5x^5 + 3{,}2x^3 – 2x^2) : 0{,}25x^2 = \dfrac{0{,}5x^5}{0{,}25x^2} + \dfrac{3{,}2x^3}{0{,}25x^2} + \dfrac{-2x^2}{0{,}25x^2}$$

$$= 2x^3 + 12{,}8x + (-8) = 2x^3 + 12{,}8x – 8.$$

b) Với $n = 3$, đa thức chia là $0{,}25x^3$. Lúc này:

$0{,}5x^5 : 0{,}25x^3 = 2x^2$ (chia được, vì $5 \geq 3$).

$3{,}2x^3 : 0{,}25x^3 = 12{,}8$ (chia được, vì $3 \geq 3$).

$-2x^2 : 0{,}25x^3 ;\rightarrow$ không chia được vì bậc $2 < 3$.

Do đó hạng tử $-2x^2$ không chia được cho $0{,}25x^3$; ta tách đa thức bị chia thành:

$$0{,}5x^5 + 3{,}2x^3 – 2x^2 = (0{,}5x^5 + 3{,}2x^3) + (-2x^2) = 0{,}25x^3 \cdot (2x^2 + 12{,}8) + (-2x^2).$$

So với dạng $A = B \cdot Q + R$, ta có thương $Q = 2x^2 + 12{,}8$ và dư $R = -2x^2$. Vì bậc của $R$ (bằng $2$) nhỏ hơn bậc của $B$ (bằng $3$) nên đây là kết quả cuối cùng.

Vậy với $n = 3$, phép chia $(0{,}5x^5 + 3{,}2x^3 – 2x^2) : 0{,}25x^3$ có thương là $2x^2 + 12{,}8$ và dư là $-2x^2$.

Bài 7.34 (trang 42)

Đề bài: Trong mỗi trường hợp sau đây, tìm thương $Q(x)$ và dư $R(x)$ trong phép chia $F(x)$ cho $G(x)$ rồi biểu diễn $F(x)$ dưới dạng:

$$F(x) = G(x) \cdot Q(x) + R(x).$$

a) $F(x) = 6x^4 – 3x^3 + 15x^2 + 2x – 1$; $G(x) = 3x^2$.

b) $F(x) = 12x^4 + 10x^3 – x – 3$; $G(x) = 3x^2 + x + 1$.

Lời giải:

a) Đa thức chia $G(x) = 3x^2$ là một đơn thức. Ta xét từng hạng tử của $F(x)$:

$6x^4 : 3x^2 = 2x^2$ (chia được).

$-3x^3 : 3x^2 = -x$ (chia được).

$15x^2 : 3x^2 = 5$ (chia được).

$2x : 3x^2$ — không chia được (bậc $1 < 2$).

$-1 : 3x^2$ — không chia được (bậc $0 < 2$).

Vì vậy, ta tách $F(x)$ thành:

$$F(x) = (6x^4 – 3x^3 + 15x^2) + (2x – 1) = 3x^2(2x^2 – x + 5) + (2x – 1).$$

So với $F(x) = G(x) \cdot Q(x) + R(x)$, ta có $Q(x) = 2x^2 – x + 5$ và $R(x) = 2x – 1$.

Vì bậc của $R(x)$ là $1$, nhỏ hơn bậc của $G(x)$ là $2$, đây là kết quả cuối cùng.

Vậy:

$$F(x) = 3x^2 \cdot (2x^2 – x + 5) + (2x – 1).$$

b) Để dễ thực hiện đặt tính, ta viết đa thức bị chia là $12x^4 + 10x^3 + 0x^2 – x – 3$ (thêm hạng tử $0x^2$).

Bước 1: $12x^4 : 3x^2 = 4x^2$.

Bước 2: $4x^2 \cdot (3x^2 + x + 1) = 12x^4 + 4x^3 + 4x^2$.

Bước 3: $(12x^4 + 10x^3 + 0x^2 – x – 3) – (12x^4 + 4x^3 + 4x^2) = 6x^3 – 4x^2 – x – 3$ (dư thứ nhất).

Bước 4: $6x^3 : 3x^2 = 2x$.

Bước 5: $2x \cdot (3x^2 + x + 1) = 6x^3 + 2x^2 + 2x$.

Bước 6: $(6x^3 – 4x^2 – x – 3) – (6x^3 + 2x^2 + 2x) = -6x^2 – 3x – 3$ (dư thứ hai).

Bước 7: $-6x^2 : 3x^2 = -2$.

Bước 8: $-2 \cdot (3x^2 + x + 1) = -6x^2 – 2x – 2$.

Bước 9: $(-6x^2 – 3x – 3) – (-6x^2 – 2x – 2) = -x – 1$ (dư thứ ba).

Dư $-x – 1$ có bậc $1$, nhỏ hơn bậc $2$ của $G(x)$, phép chia kết thúc.

Vậy $Q(x) = 4x^2 + 2x – 2$ và $R(x) = -x – 1$.

Biểu diễn $F(x)$:

$$F(x) = (3x^2 + x + 1)(4x^2 + 2x – 2) + (-x – 1).$$

Bài 7.35 (trang 42)

Đề bài: Bạn Tâm lúng túng khi muốn tìm thương và dư trong phép chia đa thức $21x – 4$ cho $3x^2$. Em có thể giúp bạn Tâm được không?

Lời giải:

Em xét bậc của hai đa thức:

Đa thức bị chia $21x – 4$ có bậc $1$.

Đa thức chia $3x^2$ có bậc $2$.

Bậc của đa thức bị chia ($1$) nhỏ hơn bậc của đa thức chia ($2$). Trong trường hợp này, ta không thể thực hiện phép chia để có hạng tử nào của thương (vì $21x : 3x^2 = \dfrac{21}{3} \cdot x^{1-2} = 7x^{-1}$ không phải đơn thức một biến).

Theo định nghĩa của phép chia có dư: $A = B \cdot Q + R$, trong đó $R$ bằng $0$ hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của $B$. Ta có thể chọn:

$$Q = 0 ;\text{ và }; R = 21x – 4.$$

Khi đó: $21x – 4 = 3x^2 \cdot 0 + (21x – 4)$ — đúng, và $R = 21x – 4$ có bậc $1$, nhỏ hơn bậc $2$ của đa thức chia.

Vậy thương của phép chia là $Q = 0$ và dư là $R = 21x – 4$.

(Tóm tắt: khi đa thức bị chia có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia, thì thương bằng $0$ và dư chính là đa thức bị chia.)

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du