1. Góc đối diện với cạnh lớn hơn trong một tam giác

Hoạt động 1 (trang 60)

Đề bài: Quan sát ê ke có góc $60^\circ$ (H.9.2a). Kí hiệu đỉnh góc vuông là $A$, đỉnh góc $60^\circ$ là $B$ và đỉnh góc $30^\circ$ là $C$. Xét tam giác $ABC$.

• Sắp xếp độ dài các cạnh theo thứ tự từ bé đến lớn. Sắp xếp độ lớn các góc theo thứ tự từ bé đến lớn.
• Góc lớn nhất đối diện với cạnh nào? Góc bé nhất đối diện với cạnh nào?

Lời giải:

Quan sát ê ke (Hình 9.2a), ta thấy:

Sắp xếp độ dài các cạnh theo thứ tự từ bé đến lớn là: $AB, AC, BC$ (tức là $AB < AC < BC$).

Về độ lớn của các góc: $\widehat{C} = 30^\circ$, $\widehat{B} = 60^\circ$, $\widehat{A} = 90^\circ$, nên sắp xếp các góc theo thứ tự từ bé đến lớn là: $\widehat{C}, \widehat{B}, \widehat{A}$ (tức là $\widehat{C} < \widehat{B} < \widehat{A}$).

Góc lớn nhất là $\widehat{A}$ đối diện với cạnh $BC$. Góc bé nhất là $\widehat{C}$ đối diện với cạnh $AB$.

Hoạt động 2 (trang 60)

Đề bài: Em hãy vẽ một tam giác $ABC$ có $AB = 3$ cm, $AC = 5$ cm. Quan sát hình vừa vẽ và dự đoán xem trong hai góc $B$ và $C$, góc nào lớn hơn.

Lời giải:

Em dùng thước có chia vạch để vẽ tam giác $ABC$ với $AB = 3$ cm và $AC = 5$ cm (cạnh $BC$ có độ dài tuỳ ý, miễn là khép kín được tam giác).

Sau khi vẽ và quan sát hình, ta thấy cạnh $AC$ dài hơn cạnh $AB$, và góc đối diện cạnh dài hơn ($\widehat{B}$ đối diện cạnh $AC$) trông cũng “mở rộng” hơn góc đối diện cạnh ngắn hơn ($\widehat{C}$ đối diện cạnh $AB$).

Vậy dự đoán: trong hai góc $B$ và $C$, góc $B$ lớn hơn.

Luyện tập 1 (trang 60)

Đề bài: Cho tam giác $MNP$ có độ dài các cạnh $MN = 3$ cm, $NP = 5$ cm, $MP = 7$ cm. Hãy xác định góc đối diện với từng cạnh rồi sắp xếp các góc của tam giác $MNP$ theo thứ tự từ bé đến lớn.

Lời giải:

Bước 1: Xác định góc đối diện với từng cạnh. Trong một tam giác, góc đối diện với một cạnh là góc có đỉnh là đỉnh không nằm trên cạnh đó.

Cạnh $MN$ có hai đầu mút là $M$ và $N$, nên góc đối diện là góc tại đỉnh còn lại, tức là $\widehat{P}$.

Cạnh $NP$ có hai đầu mút là $N$ và $P$, nên góc đối diện là $\widehat{M}$.

Cạnh $MP$ có hai đầu mút là $M$ và $P$, nên góc đối diện là $\widehat{N}$.

Bước 2: Sắp xếp các góc theo thứ tự từ bé đến lớn.

Ta có $MN < NP < MP$ (vì $3 < 5 < 7$). Theo Định lí 1, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn, nên:

$$\widehat{P} < \widehat{M} < \widehat{N}.$$

Vậy sắp xếp các góc của tam giác $MNP$ theo thứ tự từ bé đến lớn là: $\widehat{P}, \widehat{M}, \widehat{N}$.

2. Cạnh đối diện với góc lớn hơn trong một tam giác

Hoạt động 3 (trang 61)

Đề bài: Quan sát tam giác $ABC$ trong Hình 9.4a. Em hãy dự đoán xem giữa hai cạnh đối diện với hai góc $B$ và $C$ (tức là cạnh $AC$ và $AB$) thì cạnh nào lớn hơn.

Lời giải:

Quan sát Hình 9.4a, ta thấy $\widehat{B}$ lớn hơn $\widehat{C}$.

Cạnh đối diện với $\widehat{B}$ là cạnh $AC$, cạnh đối diện với $\widehat{C}$ là cạnh $AB$.

Vậy dự đoán: cạnh $AC$ lớn hơn cạnh $AB$.

Hoạt động 4 (trang 61)

Đề bài: Em hãy đo độ dài hai cạnh $AC$ và $AB$ để kiểm tra lại dự đoán của mình trong HĐ3.

Lời giải:

Dùng thước có chia vạch để đo độ dài hai cạnh $AC$ và $AB$ trong Hình 9.4a, ta được kết quả (xấp xỉ):

$$AB \approx 3{,}3 \text{ cm}; \qquad AC \approx 4{,}6 \text{ cm}.$$

Vì $4{,}6 > 3{,}3$ nên $AC > AB$. Kết quả này trùng với dự đoán ở HĐ3, vậy dự đoán của em là đúng.

Luyện tập 2 (trang 62)

Đề bài: Cho tam giác $MNP$ có $\widehat{M} = 47^\circ$, $\widehat{N} = 53^\circ$. Hãy viết các cạnh của tam giác đó theo thứ tự độ dài từ bé đến lớn.

Lời giải:

Bước 1: Tính số đo góc $P$. Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác:

$$\widehat{M} + \widehat{N} + \widehat{P} = 180^\circ.$$

Thay số đo $\widehat{M} = 47^\circ$ và $\widehat{N} = 53^\circ$:

$$47^\circ + 53^\circ + \widehat{P} = 180^\circ ;\Longrightarrow; \widehat{P} = 180^\circ – 47^\circ – 53^\circ = 80^\circ.$$

Bước 2: Sắp xếp các góc và suy ra thứ tự các cạnh.

Ta có $47^\circ < 53^\circ < 80^\circ$, tức là $\widehat{M} < \widehat{N} < \widehat{P}$.

Trong tam giác $MNP$: cạnh $NP$ đối diện $\widehat{M}$; cạnh $MP$ đối diện $\widehat{N}$; cạnh $MN$ đối diện $\widehat{P}$.

Theo Định lí 2, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn, nên:

$$NP < MP < MN.$$

Vậy sắp xếp các cạnh của tam giác $MNP$ theo thứ tự độ dài từ bé đến lớn là: $NP, MP, MN$.

Tranh luận (trang 62)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có góc $A$ là góc tù. Bạn Vuông nói: “Tam giác $ABC$ có cạnh $AB$ lớn nhất.” Bạn Tròn nói: “Không đúng, tam giác $ABC$ có cạnh $BC$ lớn nhất chứ!” Theo em bạn nào nói đúng? Vì sao?

Lời giải:

Trong một tam giác, tổng ba góc bằng $180^\circ$, nên tam giác chỉ có thể có nhiều nhất một góc tù. Khi đó góc tù là góc lớn nhất của tam giác đó (vì hai góc còn lại đều nhỏ hơn $90^\circ$, mà góc tù lớn hơn $90^\circ$).

Tam giác $ABC$ có $\widehat{A}$ là góc tù, nên $\widehat{A}$ là góc lớn nhất trong tam giác $ABC$. Theo Định lí 2, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất. Cạnh đối diện $\widehat{A}$ là cạnh $BC$.

Vậy cạnh $BC$ là cạnh lớn nhất trong tam giác $ABC$. Do đó bạn Tròn nói đúng.

Vận dụng (trang 62)

Đề bài: Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu: Trong trận bóng đá, trái bóng đang ở vị trí $D$, ba cầu thủ đứng thẳng hàng tại vị trí $A$, $B$, $C$ trên sân với số áo lần lượt là $4$, $2$, $3$ như Hình 9.1. Theo em cầu thủ nào gần trái bóng nhất, cầu thủ nào xa trái bóng nhất? Tại sao? (Biết rằng $\widehat{ACD}$ là góc tù).

Lời giải:

Theo Hình 9.1, ba cầu thủ ở vị trí $A$, $B$, $C$ thẳng hàng theo thứ tự đó ($B$ nằm giữa $A$ và $C$, $C$ gần trái bóng $D$ nhất theo thứ tự đứng).

So sánh $DB$ và $DC$: Xét tam giác $BCD$.

Ta có $\widehat{ACD}$ là góc tù. Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên tia $CB$ trùng với tia $CA$, do đó $\widehat{BCD} = \widehat{ACD}$ là góc tù.

Trong tam giác $BCD$, $\widehat{BCD}$ là góc tù nên là góc lớn nhất. Cạnh đối diện với $\widehat{BCD}$ là cạnh $BD$, vậy $BD$ là cạnh lớn nhất trong tam giác $BCD$:

$$DB > DC. \quad (1)$$

So sánh $DA$ và $DB$: Xét tam giác $ABD$.

Vì $A, B, C$ thẳng hàng và $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên $\widehat{ABD}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $BCD$. Theo tính chất góc ngoài, $\widehat{ABD} = \widehat{BCD} + \widehat{BDC}$. Vì $\widehat{BCD}$ đã là góc tù nên $\widehat{ABD} > \widehat{BCD} > 90^\circ$, tức là $\widehat{ABD}$ cũng là góc tù.

Trong tam giác $ABD$, $\widehat{ABD}$ là góc tù nên là góc lớn nhất. Cạnh đối diện với $\widehat{ABD}$ là cạnh $AD$, vậy $AD$ là cạnh lớn nhất trong tam giác $ABD$:

$$DA > DB. \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $DA > DB > DC$.

Vậy $DA$ là quãng cách dài nhất và $DC$ là ngắn nhất. Do đó cầu thủ ở vị trí $C$ (số áo $3$) gần trái bóng nhất, cầu thủ ở vị trí $A$ (số áo $4$) xa trái bóng nhất.

Bài tập (trang 62)

Bài 9.1 (trang 62)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 105^\circ$, $\widehat{B} = 35^\circ$.

a) Tam giác $ABC$ là tam giác gì?

b) Tìm cạnh lớn nhất của tam giác $ABC$.

Lời giải:

a) Ta có $\widehat{A} = 105^\circ > 90^\circ$, nên $\widehat{A}$ là góc tù. Tam giác có một góc tù là tam giác tù. Vậy tam giác $ABC$ là tam giác tù.

b) Trong một tam giác, chỉ có nhiều nhất một góc tù, và khi có thì góc tù là góc lớn nhất. Vì $\widehat{A}$ là góc tù nên $\widehat{A}$ là góc lớn nhất trong tam giác $ABC$.

Theo Định lí 2, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất. Cạnh đối diện $\widehat{A}$ là cạnh $BC$.

Vậy cạnh lớn nhất của tam giác $ABC$ là cạnh $BC$.

Bài 9.2 (trang 62)

Đề bài: Trong Hình 9.6 có hai đoạn thẳng $BC$ và $DC$ bằng nhau, $D$ nằm giữa $A$ và $C$. Hỏi kết luận nào trong các kết luận sau là đúng? Tại sao?

a) $\widehat{A} = \widehat{B}$;

b) $\widehat{A} > \widehat{B}$;

c) $\widehat{A} < \widehat{B}$.

Lời giải:

Bước 1: So sánh hai cạnh $AC$ và $BC$.

Vì $D$ nằm giữa $A$ và $C$ nên $AC = AD + DC$, do đó $AC > DC$ (vì $AD > 0$).

Mặt khác, theo đề bài, $BC = DC$. Suy ra:

$$AC > DC = BC ;\Longrightarrow; AC > BC.$$

Bước 2: So sánh hai góc $\widehat{A}$ và $\widehat{B}$.

Xét tam giác $ABC$ có $AC > BC$. Trong tam giác này: cạnh $AC$ đối diện $\widehat{B}$; cạnh $BC$ đối diện $\widehat{A}$.

Theo Định lí 1, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn, nên $\widehat{B} > \widehat{A}$, hay $\widehat{A} < \widehat{B}$.

Vậy kết luận c) $\widehat{A} < \widehat{B}$ là đúng.

Bài 9.3 (trang 62)

Đề bài: Trong tam giác cân có một góc bằng $96^\circ$, hỏi cạnh lớn nhất của tam giác cân đó là cạnh bên hay cạnh đáy? Vì sao?

Lời giải:

Bước 1: Xác định góc $96^\circ$ là góc ở đáy hay góc ở đỉnh.

Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Giả sử góc $96^\circ$ là góc ở đáy, thì tổng hai góc ở đáy là $2 \cdot 96^\circ = 192^\circ$. Vì tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$ nên $192^\circ > 180^\circ$ là vô lí.

Do đó góc $96^\circ$ phải là góc ở đỉnh của tam giác cân.

Bước 2: Xác định cạnh đối diện với góc $96^\circ$.

Trong tam giác cân, cạnh đối diện với góc ở đỉnh là cạnh đáy. Nên cạnh đáy là cạnh đối diện với góc $96^\circ$.

Bước 3: So sánh các cạnh.

Vì $96^\circ > 90^\circ$ nên góc ở đỉnh là góc tù, do đó là góc lớn nhất trong tam giác. Theo Định lí 2, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất, tức là cạnh đáy là cạnh lớn nhất.

Vậy cạnh lớn nhất của tam giác cân đó là cạnh đáy.

Bài 9.4 (trang 62)

Đề bài: Ba bạn Mai, Việt, Hà đi đến trường tại địa điểm $D$ lần lượt theo ba con đường $AD$, $BD$ và $CD$ (H.9.7). Biết rằng ba điểm $A$, $B$, $C$ cùng nằm trên một đường thẳng, $B$ nằm giữa $A$ và $C$, $\widehat{ACD}$ là góc tù. Hỏi bạn nào đi xa nhất, bạn nào đi gần nhất? Vì sao?

Lời giải:

So sánh $DB$ và $DC$: Xét tam giác $BCD$.

Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên tia $CB$ trùng với tia $CA$, do đó $\widehat{BCD} = \widehat{ACD}$ là góc tù. Trong tam giác $BCD$, $\widehat{BCD}$ là góc tù nên là góc lớn nhất, cạnh đối diện là $BD$ nên là cạnh lớn nhất:

$$DB > DC. \quad (1)$$

So sánh $DA$ và $DB$: Xét tam giác $ABD$.

$\widehat{ABD}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $BCD$ nên $\widehat{ABD} = \widehat{BCD} + \widehat{BDC} > \widehat{BCD}$. Vì $\widehat{BCD}$ đã là góc tù nên $\widehat{ABD}$ cũng là góc tù.

Trong tam giác $ABD$, $\widehat{ABD}$ là góc tù nên là góc lớn nhất, cạnh đối diện là $AD$ nên là cạnh lớn nhất:

$$DA > DB. \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $DA > DB > DC$.

Vậy quãng đường $DA$ dài nhất và $DC$ ngắn nhất. Do đó bạn Mai (đi theo đường $AD$) đi xa nhất, bạn Hà (đi theo đường $CD$) đi gần nhất.

Bài 9.5 (trang 62)

Đề bài: Ba địa điểm $A$, $B$, $C$ là ba đỉnh của một tam giác $ABC$ với $\widehat{A}$ tù, $AC = 500$ m. Đặt một loa truyền thanh tại một điểm nằm giữa $A$ và $B$ thì tại $C$ có thể nghe thấy tiếng loa không nếu bán kính để nghe rõ tiếng của loa là $500$ m?

Lời giải:

Gọi $M$ là điểm bất kì nằm giữa $A$ và $B$ — tức là vị trí đặt loa.

Tại $C$ nghe rõ được tiếng loa khi và chỉ khi khoảng cách từ $C$ đến $M$ không vượt quá bán kính nghe rõ, tức là $MC \leq 500$ m.

Xét tam giác $ACM$. Vì $M$ nằm giữa $A$ và $B$ nên tia $AM$ trùng với tia $AB$, do đó $\widehat{CAM} = \widehat{CAB} = \widehat{A}$ là góc tù.

Trong tam giác $ACM$, $\widehat{CAM}$ là góc tù nên là góc lớn nhất. Theo Định lí 2, cạnh đối diện với góc lớn nhất là cạnh lớn nhất. Cạnh đối diện $\widehat{CAM}$ là cạnh $CM$, vậy $CM$ là cạnh lớn nhất trong tam giác $ACM$:

$$CM > AC = 500 \text{ m.}$$

Như vậy khoảng cách từ $M$ đến $C$ vượt quá bán kính nghe rõ của loa ($500$ m), nên khi đặt loa tại một điểm bất kì nằm giữa $A$ và $B$ thì tại $C$ không thể nghe rõ tiếng loa.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du