1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Hoạt động 1 (trang 86)

Đề bài: Hình nào dưới đây là đồ vật hoặc kiến trúc có dạng hình hộp chữ nhật, có dạng hình lập phương? Em hãy tìm thêm một số hình ảnh có dạng hình hộp chữ nhật, hình lập phương trong thực tế.

Lời giải:

Quan sát ba hình ảnh:

Hình a (hộp quà): có $6$ mặt đều là hình chữ nhật nên có dạng hình hộp chữ nhật.

Hình b (khối Rubik): có $6$ mặt đều là hình vuông nên có dạng hình lập phương.

Hình c (ngôi nhà với mái dốc): không phải hình hộp chữ nhật vì có mái dốc dạng hình tam giác.

Một số đồ vật, kiến trúc có dạng tương tự trong thực tế:

Hình hộp chữ nhật: tủ lạnh, viên gạch, hộp diêm, quyển sách dày, container chở hàng,…

Hình lập phương: xúc xắc, hộp quà vuông, một số khối kê chân bàn dạng vuông,…

Hoạt động 2 (trang 86)

Đề bài: Quan sát Hình 10.1.

(1) Nêu tên các đỉnh, cạnh, đường chéo của hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$. Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu đỉnh? Có bao nhiêu cạnh? Có bao nhiêu đường chéo?

(2) Gọi tên các mặt bên, mặt đáy của hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$.

Lời giải:

(1) Hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có:

$8$ đỉnh: $A$, $B$, $C$, $D$, $A’$, $B’$, $C’$, $D’$.

$12$ cạnh: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ (bốn cạnh đáy dưới); $A’B’$, $B’C’$, $C’D’$, $D’A’$ (bốn cạnh đáy trên); $AA’$, $BB’$, $CC’$, $DD’$ (bốn cạnh bên).

$4$ đường chéo: $AC’$, $A’C$, $BD’$, $B’D$ (mỗi đường chéo nối hai đỉnh đối nhau qua tâm của hình hộp).

(2) Hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có:

Bốn mặt bên: $ABB’A’$, $BCC’B’$, $CDD’C’$, $ADD’A’$.

Hai mặt đáy: $ABCD$ (đáy dưới) và $A’B’C’D’$ (đáy trên).

Hoạt động 3 (trang 87)

Đề bài: Quan sát Hình 10.2 và gọi tên đỉnh, cạnh, đường chéo, mặt đáy, mặt bên của hình lập phương $MNPQ.ABCD$.

Lời giải:

Hình lập phương $MNPQ.ABCD$ có mặt $MNPQ$ ở phía trên và mặt $ABCD$ ở phía dưới, với các cặp đỉnh tương ứng theo chiều thẳng đứng là $M$–$A$, $N$–$B$, $P$–$C$, $Q$–$D$.

$8$ đỉnh: $A$, $B$, $C$, $D$, $M$, $N$, $P$, $Q$.

$12$ cạnh: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ (bốn cạnh đáy dưới); $MN$, $NP$, $PQ$, $QM$ (bốn cạnh đáy trên); $AM$, $BN$, $CP$, $DQ$ (bốn cạnh bên).

$4$ đường chéo: $MC$, $ND$, $PA$, $QB$.

Bốn mặt bên: $ABNM$, $BCPN$, $CDQP$, $DAMQ$.

Hai mặt đáy: $ABCD$ và $MNPQ$.

Thực hành (trang 87)

Đề bài: Sử dụng bìa cứng, cắt và gấp một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước như Hình 10.3 (dài $5$ cm, rộng $4$ cm, cao $3$ cm) theo hướng dẫn:

Bước 1: Vẽ hình khai triển của hình hộp chữ nhật theo kích thước đã cho như Hình 10.4.

Bước 2: Cắt theo viền.

Bước 3: Gấp theo đường màu cam để được hình hộp chữ nhật (Hình 10.5).

Lời giải:

Em thực hiện theo đúng ba bước hướng dẫn:

Bước 1: Vẽ hình khai triển trên giấy bìa. Hình khai triển gồm $6$ hình chữ nhật: hai hình chữ nhật kích thước $5$ cm $\times$ $4$ cm (hai mặt đáy); hai hình chữ nhật kích thước $5$ cm $\times$ $3$ cm (hai mặt bên); hai hình chữ nhật kích thước $4$ cm $\times$ $3$ cm (hai mặt bên).

Bước 2: Dùng kéo cắt theo đường viền ngoài cùng của hình khai triển.

Bước 3: Gấp theo các đường màu cam (là các đường nét đứt giữa các mặt) để được hình hộp chữ nhật hoàn chỉnh.

Vận dụng 1 (trang 87)

Đề bài: Hãy cắt và gấp hình lập phương có cạnh $4$ cm.

Lời giải:

Em thực hiện tương tự như phần Thực hành ở trên, nhưng vì là hình lập phương nên tất cả $6$ mặt là các hình vuông cạnh $4$ cm:

Bước 1: Vẽ hình khai triển gồm $6$ hình vuông cạnh $4$ cm, ghép thành dạng chữ thập (một hình vuông ở giữa, bốn hình vuông xung quanh thành một hàng ngang, một hình vuông gắn thêm ở trên hoặc dưới hình vuông trung tâm).

Bước 2: Cắt theo viền ngoài cùng.

Bước 3: Gấp theo các đường giữa các hình vuông để được hình lập phương cạnh $4$ cm.

2. Diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Hoạt động 4 (trang 88)

Đề bài: Quan sát hình hộp chữ nhật (Hình 10.6a) và hình khai triển của nó (Hình 10.6b). Hãy chỉ ra sự tương ứng giữa các mặt của hình hộp chữ nhật với các hình chữ nhật ở hình khai triển. Hình chữ nhật nào ở hình khai triển là các mặt bên, là các mặt đáy?

Lời giải:

Hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ ở Hình 10.6a có chiều dài $a$, chiều rộng $b$ và chiều cao $c$. Hình khai triển ở Hình 10.6b gồm $4$ hình chữ nhật $(1)$, $(2)$, $(3)$, $(4)$ xếp thành một hàng ngang ở giữa, hình $(5)$ ở phía trên và hình $(6)$ ở phía dưới.

Sự tương ứng giữa các mặt:

$(1)$ tương ứng với mặt bên $ABB’A’$.

$(2)$ tương ứng với mặt bên $BCC’B’$.

$(3)$ tương ứng với mặt bên $CDD’C’$.

$(4)$ tương ứng với mặt bên $ADD’A’$.

$(5)$ tương ứng với mặt đáy $A’B’C’D’$ (đáy trên).

$(6)$ tương ứng với mặt đáy $ABCD$ (đáy dưới).

Vậy các hình $(1)$, $(2)$, $(3)$, $(4)$ là các mặt bên; các hình $(5)$, $(6)$ là các mặt đáy.

Hoạt động 5 (trang 88)

Đề bài: Tính tổng diện tích các hình chữ nhật $(1)$, $(2)$, $(3)$, $(4)$. So sánh kết quả vừa tìm với tích của chu vi đáy và chiều cao của hình hộp chữ nhật.

Lời giải:

Quan sát Hình 10.6b, các kích thước của bốn hình chữ nhật như sau:

Hình $(1)$ và hình $(3)$ có cùng kích thước $b \times c$, mỗi hình có diện tích là $b \cdot c$.

Hình $(2)$ và hình $(4)$ có cùng kích thước $a \times c$, mỗi hình có diện tích là $a \cdot c$.

Tổng diện tích bốn hình chữ nhật là:

$$2 \cdot bc + 2 \cdot ac = 2c \cdot (a + b).$$

Mặt khác, mặt đáy của hình hộp chữ nhật là hình chữ nhật kích thước $a \times b$ nên chu vi đáy bằng $2(a + b)$. Chiều cao của hình hộp chữ nhật là $c$. Vậy tích chu vi đáy và chiều cao là:

$$2(a + b) \cdot c = 2c \cdot (a + b).$$

So sánh hai kết quả, ta thấy:

$$\text{Tổng diện tích bốn hình chữ nhật } (1), (2), (3), (4) = \text{Chu vi đáy} \times \text{Chiều cao} = 2c(a + b).$$

Đây cũng chính là công thức tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật.

Luyện tập 1 (trang 89)

Đề bài: Bác Tú thuê thợ sơn xung quanh bốn mặt ngoài của thành bể nước có dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài $3$ m, chiều rộng $2$ m, chiều cao $1{,}5$ m với giá $20\,000$ đồng/m$^2$. Hỏi bác Tú phải trả chi phí là bao nhiêu?

Lời giải:

“Sơn xung quanh bốn mặt ngoài” tức là sơn phần diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật.

Diện tích xung quanh của thành bể là:

$$S_{xq} = 2 \cdot (3 + 2) \cdot 1{,}5 = 2 \cdot 5 \cdot 1{,}5 = 15 \text{ (m}^2\text{).}$$

Chi phí bác Tú phải trả là:

$$15 \cdot 20\,000 = 300\,000 \text{ (đồng).}$$

Vậy bác Tú phải trả $300\,000$ đồng tiền sơn.

Luyện tập 2 (trang 90)

Đề bài: Một hình lập phương có cạnh bằng $a$ cm, diện tích xung quanh bằng $100$ cm$^2$. Hỏi thể tích của hình lập phương đó bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Hình lập phương cạnh $a$ cm có diện tích xung quanh là:

$$S_{xq} = 4a^2.$$

Theo đề bài, $S_{xq} = 100$ cm$^2$, nên:

$$4a^2 = 100 ;\Longrightarrow; a^2 = 100 : 4 = 25 ;\Longrightarrow; a = 5 \text{ (cm)}.$$

(Ở đây $a > 0$ vì $a$ là độ dài cạnh.)

Thể tích của hình lập phương đó là:

$$V = a^3 = 5^3 = 125 \text{ (cm}^3\text{).}$$

Vậy thể tích của hình lập phương là $125$ cm$^3$.

Vận dụng 2 (trang 90)

Đề bài: Một chiếc thùng giữ nhiệt (Hình 10.10) có lòng trong có dạng một hình hộp chữ nhật với chiều dài $50$ cm, chiều rộng $30$ cm, chiều cao $30$ cm. Tính dung tích của thùng giữ nhiệt đó.

Lời giải:

Dung tích của thùng giữ nhiệt chính là thể tích phần lòng trong dạng hình hộp chữ nhật. Áp dụng công thức $V = a \cdot b \cdot c$:

$$V = 50 \cdot 30 \cdot 30 = 45\,000 \text{ (cm}^3\text{).}$$

Vậy dung tích của thùng giữ nhiệt là $45\,000$ cm$^3$ (tương đương $45$ lít).

Bài tập (trang 90)

Bài 10.1 (trang 90)

Đề bài: Có bao nhiêu hình lập phương nhỏ trong Hình 10.11?

Lời giải:

Ta đếm theo từng hàng (tính từ phía dưới lên):

Hàng dưới cùng: $5$ hình lập phương.

Hàng giữa: $3$ hình lập phương.

Hàng trên cùng: $1$ hình lập phương.

Tổng số hình lập phương nhỏ là:

$$5 + 3 + 1 = 9 \text{ (hình lập phương).}$$

Vậy trong Hình 10.11 có $9$ hình lập phương nhỏ.

Bài 10.2 (trang 90)

Đề bài: Gọi tên các đỉnh, cạnh, đường chéo, mặt của hình hộp chữ nhật trong Hình 10.12.

Lời giải:

Quan sát Hình 10.12, ta thấy hình hộp chữ nhật có mặt $ABCD$ ở phía trên và mặt $EFGH$ ở phía dưới, với các cặp đỉnh tương ứng theo chiều thẳng đứng là $A$–$E$, $B$–$F$, $C$–$G$, $D$–$H$.

$8$ đỉnh: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$.

$12$ cạnh: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ (bốn cạnh ở mặt trên); $EF$, $FG$, $GH$, $HE$ (bốn cạnh ở mặt dưới); $AE$, $BF$, $CG$, $DH$ (bốn cạnh bên).

$4$ đường chéo: $AG$, $BH$, $CE$, $DF$.

$6$ mặt: $ABCD$, $EFGH$ (hai mặt đáy); $ABFE$, $BCGF$, $CDHG$, $DAEH$ (bốn mặt bên).

Bài 10.3 (trang 90)

Đề bài: Vẽ lên một miếng bìa hình khai triển của hình hộp chữ nhật (tương tự hình bên) với kích thước tuỳ chọn. Cắt rời hình đã vẽ rồi gấp theo đường màu cam để được một hình hộp chữ nhật.

Lời giải:

Em tự chọn ba kích thước cho hình hộp chữ nhật, chẳng hạn dài $a = 6$ cm, rộng $b = 4$ cm, cao $c = 3$ cm. Sau đó thực hiện theo ba bước:

Bước 1: Vẽ hình khai triển gồm $6$ hình chữ nhật trên miếng bìa: hai hình chữ nhật kích thước $6$ cm $\times$ $4$ cm (hai mặt đáy); hai hình chữ nhật kích thước $6$ cm $\times$ $3$ cm (hai mặt bên); hai hình chữ nhật kích thước $4$ cm $\times$ $3$ cm (hai mặt bên).

Bước 2: Dùng kéo cắt rời hình khai triển theo đường viền ngoài cùng.

Bước 3: Gấp theo các đường màu cam (giữa các mặt) để ghép thành hình hộp chữ nhật.

Bài 10.4 (trang 91)

Đề bài: Một xe đông lạnh có thùng hàng dạng hình hộp chữ nhật, kích thước lòng thùng hàng dài $5{,}6$ m, rộng $2$ m, cao $2$ m. Tính thể tích lòng của thùng hàng.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật $V = a \cdot b \cdot c$ với $a = 5{,}6$ m, $b = 2$ m, $c = 2$ m:

$$V = 5{,}6 \cdot 2 \cdot 2 = 22{,}4 \text{ (m}^3\text{).}$$

Vậy thể tích lòng của thùng hàng là $22{,}4$ m$^3$.

Bài 10.5 (trang 91)

Đề bài: Một hộp sữa tươi có dạng hình hộp chữ nhật với dung tích $1$ lít, chiều cao $20$ cm, chiều dài $10$ cm.

a) Tính chiều rộng của hộp sữa.

b) Tính diện tích vật liệu dùng để làm vỏ hộp sữa (coi như phần mép hộp không đáng kể).

Lời giải:

Đổi đơn vị: $1$ lít $= 1$ dm$^3 = 1\,000$ cm$^3$.

a) Gọi chiều rộng của hộp sữa là $b$ (cm). Áp dụng công thức $V = a \cdot b \cdot c$ với $V = 1\,000$ cm$^3$, $a = 10$ cm, $c = 20$ cm:

$$1\,000 = 10 \cdot b \cdot 20 ;\Longrightarrow; b = \dfrac{1\,000}{10 \cdot 20} = \dfrac{1\,000}{200} = 5 \text{ (cm).}$$

Vậy chiều rộng của hộp sữa là $5$ cm.

b) Diện tích vật liệu dùng để làm vỏ hộp sữa bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai mặt đáy của hộp.

Diện tích xung quanh của hộp sữa là:

$$S_{xq} = 2 \cdot (10 + 5) \cdot 20 = 2 \cdot 15 \cdot 20 = 600 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Diện tích hai mặt đáy của hộp sữa là:

$$2 \cdot (10 \cdot 5) = 2 \cdot 50 = 100 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Vậy diện tích vật liệu cần dùng để làm vỏ hộp sữa là:

$$600 + 100 = 700 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Bài 10.6 (trang 91)

Đề bài: Một bể nước có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $2$ m. Lúc đầu bể không có nước. Sau khi đổ vào bể $120$ thùng nước, mỗi thùng chứa $20$ lít nước thì mực nước của bể dâng cao $0{,}8$ m.

a) Tính chiều rộng của bể nước.

b) Người ta đổ thêm $60$ thùng nước nữa thì đầy bể. Hỏi bể cao bao nhiêu mét?

Lời giải:

a) Thể tích nước đã đổ vào bể trong lần thứ nhất là:

$$120 \cdot 20 = 2\,400 \text{ (lít)} = 2{,}4 \text{ (m}^3\text{).}$$

(Đổi $1$ lít $= 1$ dm$^3 = 0{,}001$ m$^3$, nên $2\,400$ lít $= 2{,}4$ m$^3$.)

Phần nước này có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài bằng chiều dài bể ($2$ m), chiều rộng bằng chiều rộng bể (gọi là $b$ m), chiều cao là mực nước dâng ($0{,}8$ m). Ta có:

$$V_{\text{nước}} = 2 \cdot b \cdot 0{,}8 = 2{,}4 ;\Longrightarrow; b = \dfrac{2{,}4}{2 \cdot 0{,}8} = \dfrac{2{,}4}{1{,}6} = 1{,}5 \text{ (m).}$$

Vậy chiều rộng của bể nước là $1{,}5$ m.

b) Thể tích nước đổ thêm là:

$$60 \cdot 20 = 1\,200 \text{ (lít)} = 1{,}2 \text{ (m}^3\text{).}$$

Tổng thể tích nước khi đầy bể (cũng chính là thể tích bể) là:

$$V_{\text{bể}} = 2{,}4 + 1{,}2 = 3{,}6 \text{ (m}^3\text{).}$$

Gọi chiều cao của bể là $h$ (m). Áp dụng công thức $V = a \cdot b \cdot h$:

$$h = \dfrac{V_{\text{bể}}}{a \cdot b} = \dfrac{3{,}6}{2 \cdot 1{,}5} = \dfrac{3{,}6}{3} = 1{,}2 \text{ (m).}$$

Vậy chiều cao của bể nước là $1{,}2$ m.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du