1. Hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác

Hoạt động 1 (trang 94)

Đề bài: Trong thực tế, ta gặp những vật thể có hình dạng sau đây (thanh chocolate, mái nhà,…). Hãy quan sát và nhận xét một vài đặc điểm chung của các hình đó.

Lời giải:

Quan sát các vật thể, ta nhận thấy một vài đặc điểm chung của các hình:

Có các cạnh bên song song với nhau.

Có các mặt đáy là hình tam giác hoặc hình tứ giác.

Hoạt động 2 (trang 95)

Đề bài: Một số yếu tố của hình lăng trụ đứng tứ giác được chỉ rõ trong Hình 10.19. Em hãy nêu các yếu tố tương tự của hình lăng trụ đứng tam giác trong Hình 10.20 và cho một vài nhận xét về các yếu tố đó.

Lời giải:

Quan sát hình lăng trụ đứng tam giác trong Hình 10.20, ta thấy nó cũng có đầy đủ các yếu tố: đỉnh, cạnh đáy, cạnh bên, mặt đáy, mặt bên — giống như hình lăng trụ đứng tứ giác.

Một vài nhận xét chung cho cả hai hình:

Các mặt bên đều là hình chữ nhật.

Các cạnh bên song song với nhau (và bằng nhau).

Hai mặt đáy song song với nhau.

Thực hành (trang 95)

Đề bài: Cắt và gấp một miếng bìa thành hình lăng trụ tam giác theo hướng dẫn:

Bước 1: Vẽ hình khai triển theo mẫu và cắt theo viền (Hình 10.22).

Bước 2: Gấp theo nét màu cam. Ta được hình lăng trụ (Hình 10.23).

Lời giải:

Em thực hiện theo đúng hai bước hướng dẫn:

Bước 1: Trên miếng bìa, vẽ hình khai triển gồm $3$ hình chữ nhật ghép thành một dải dài (ứng với ba mặt bên của lăng trụ) và $2$ tam giác ở hai đầu (ứng với hai mặt đáy). Các kích thước theo Hình 10.22: ba hình chữ nhật có chiều cao $12$ cm, chiều rộng lần lượt là $10$ cm, $8$ cm và $6$ cm; hai tam giác có cạnh tương ứng $10$ cm, $8$ cm, $6$ cm. Sau đó dùng kéo cắt theo đường viền ngoài cùng.

Bước 2: Gấp theo các nét màu cam (là các đường giữa các mặt) để ghép thành hình lăng trụ đứng tam giác.

2. Diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác

Hoạt động 3 (trang 96)

Đề bài: Quan sát hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ và hình khai triển của nó (Hình 10.24). Hãy chỉ ra sự tương ứng giữa các mặt bên với các hình chữ nhật của hình khai triển.

Lời giải:

Quan sát Hình 10.24, ta thấy ba mặt bên của hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A’B’C’$ tương ứng với ba hình chữ nhật ở hình khai triển:

$(1)$ tương ứng với mặt bên $ACC’A’$.

$(2)$ tương ứng với mặt bên $BCC’B’$.

$(3)$ tương ứng với mặt bên $ABB’A’$.

Hoạt động 4 (trang 96)

Đề bài: Tính tổng diện tích các hình chữ nhật $(1)$, $(2)$, $(3)$ và so sánh với tích của chu vi đáy với chiều cao của hình lăng trụ đứng ở hình trên.

Lời giải:

Hình lăng trụ đứng tam giác trong Hình 10.24 có các cạnh đáy lần lượt là $a$, $b$, $c$ và chiều cao là $h$. Ba hình chữ nhật ở hình khai triển có chiều dài đều là $h$, chiều rộng lần lượt là $a$, $b$, $c$.

Tổng diện tích ba hình chữ nhật là:

$$h \cdot a + h \cdot b + h \cdot c = h \cdot (a + b + c).$$

Mặt khác, đáy của hình lăng trụ là tam giác có ba cạnh $a$, $b$, $c$ nên chu vi đáy là $a + b + c$. Chiều cao của lăng trụ là $h$. Vậy tích của chu vi đáy với chiều cao là:

$$(a + b + c) \cdot h = h \cdot (a + b + c).$$

So sánh hai kết quả, ta thấy:

$$\text{Tổng diện tích } (1), (2), (3) = \text{Chu vi đáy} \times \text{Chiều cao} = h \cdot (a + b + c).$$

Đây cũng chính là công thức tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng: $S_{xq} = C \cdot h$.

Luyện tập 1 (trang 96)

Đề bài: Một lều chữ A dạng hình lăng trụ đứng có kích thước như Hình 10.26 (đáy là tam giác đều cạnh $2$ m, chiều dài lều $5$ m). Tính diện tích vải để làm hai mái và trải đáy của lều.

Lời giải:

Quan sát Hình 10.26, lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác với đáy là tam giác đều cạnh $2$ m, chiều cao lăng trụ (chiều dài lều) là $5$ m. Hai mái lều và phần trải đáy của lều chính là ba mặt bên của hình lăng trụ.

Diện tích vải để làm hai mái và trải đáy của lều chính là diện tích xung quanh của hình lăng trụ:

$$S_{xq} = (2 + 2 + 2) \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30 \text{ (m}^2\text{).}$$

Vậy diện tích vải cần dùng là $30$ m$^2$.

Vận dụng (trang 97)

Đề bài: Một khúc gỗ dùng để chặn bánh xe có dạng hình lăng trụ đứng, đáy là hình thang cân có kích thước như Hình 10.27 (hai cạnh bên và đáy nhỏ đều bằng $15$ cm, đáy lớn $30$ cm, chiều cao lăng trụ $60$ cm). Người ta sơn xung quanh khúc gỗ này (không sơn hai đầu hình thang cân). Mỗi mét vuông sơn chi phí hết $20\,000$ đồng. Hỏi sơn xung quanh như vậy hết bao nhiêu tiền?

Lời giải:

“Sơn xung quanh khúc gỗ, không sơn hai đầu hình thang cân” tức là sơn phần diện tích xung quanh của lăng trụ (không sơn hai mặt đáy hình thang cân).

Chu vi đáy hình thang cân là:

$$C = 15 + 15 + 15 + 30 = 75 \text{ (cm).}$$

Diện tích xung quanh khúc gỗ là:

$$S_{xq} = C \cdot h = 75 \cdot 60 = 4\,500 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Đổi đơn vị: $4\,500$ cm$^2 = 0{,}45$ m$^2$ (vì $1$ m$^2 = 10\,000$ cm$^2$).

Chi phí sơn xung quanh khúc gỗ là:

$$0{,}45 \cdot 20\,000 = 9\,000 \text{ (đồng).}$$

Vậy chi phí sơn xung quanh khúc gỗ hết $9\,000$ đồng.

Luyện tập 2 (trang 97)

Đề bài: Một chiếc khay đựng linh kiện bằng nhựa, có dạng hình lăng trụ đứng, đáy là hình thang vuông với độ dài hai cạnh đáy là $30$ cm, $40$ cm và các kích thước như Hình 10.29 (chiều cao của hình thang vuông là $15$ cm, chiều cao của lăng trụ là $20$ cm). Tính thể tích của khay.

Lời giải:

Đáy của khay là hình thang vuông có hai đáy $30$ cm, $40$ cm và chiều cao $15$ cm. Diện tích đáy là:

$$S_{\text{đáy}} = \dfrac{(30 + 40) \cdot 15}{2} = \dfrac{70 \cdot 15}{2} = \dfrac{1\,050}{2} = 525 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Áp dụng công thức $V = S_{\text{đáy}} \cdot h$ với $h = 20$ cm:

$$V = 525 \cdot 20 = 10\,500 \text{ (cm}^3\text{).}$$

Vậy thể tích của khay là $10\,500$ cm$^3$.

Thử thách nhỏ (trang 98)

Đề bài: Một bể bơi có hình dạng và kích thước như Hình 10.30. Hình dạng của bể bơi được ghép bởi một hình hộp chữ nhật và một hình lăng trụ đứng tam giác. Khi bể bơi đầy ắp nước thì nó chứa bao nhiêu mét khối nước (bỏ qua độ dày của thành bể)?

Lời giải:

Số mét khối nước khi bể bơi đầy ắp chính là thể tích của bể bơi. Vì bể được ghép bởi một hình hộp chữ nhật và một hình lăng trụ đứng tam giác nên thể tích bể bằng tổng thể tích của hai hình đó.

Phần 1: Hình hộp chữ nhật. Quan sát Hình 10.30, phần hình hộp chữ nhật có chiều dài $25$ m, chiều rộng $10$ m, chiều cao $2$ m.

Thể tích phần hình hộp chữ nhật là:

$$V_1 = 25 \cdot 10 \cdot 2 = 500 \text{ (m}^3\text{).}$$

Phần 2: Hình lăng trụ đứng tam giác. Phần này là khối nước sâu thêm ở một đầu bể. Mặt đáy của lăng trụ là tam giác vuông với một cạnh góc vuông bằng $7$ m, cạnh góc vuông còn lại bằng độ sâu chênh lệch:

$$4 – 2 = 2 \text{ (m).}$$

Chiều cao của lăng trụ này bằng chiều rộng của bể, tức là $10$ m. Thể tích của lăng trụ đứng tam giác là:

$$V_2 = \left( \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 2 \right) \cdot 10 = 7 \cdot 10 = 70 \text{ (m}^3\text{).}$$

Tổng thể tích bể bơi:

$$V = V_1 + V_2 = 500 + 70 = 570 \text{ (m}^3\text{).}$$

Vậy khi bể bơi đầy ắp nước thì nó chứa $570$ m$^3$ nước.

Bài tập (trang 98)

Bài 10.11 (trang 98)

Đề bài: Quan sát và gọi tên các mặt đáy, mặt bên, cạnh đáy, cạnh bên của hình lăng trụ đứng tam giác ở Hình 10.31.

Lời giải:

Quan sát Hình 10.31, hình lăng trụ đứng tam giác có mặt đáy trên $ABC$ và mặt đáy dưới $MNP$, với các cặp đỉnh tương ứng theo chiều thẳng đứng là $A$–$M$, $B$–$N$, $C$–$P$.

$2$ mặt đáy: $ABC$, $MNP$.

$3$ mặt bên: $ACPM$, $BAMN$, $BCPN$.

Cạnh đáy: $NM$, $MP$, $NP$, $AB$, $BC$, $CA$.

Cạnh bên: $AM$, $BN$, $CP$.

Bài 10.12 (trang 99)

Đề bài: Quan sát Hình 10.32 và cho biết cạnh nào trong các cạnh $(1)$, $(2)$, $(3)$ ghép với cạnh $AB$ để có hình lăng trụ đứng.

Lời giải:

Để hai cạnh có thể ghép với nhau khi gấp thành hình lăng trụ đứng, hai cạnh đó phải có cùng độ dài. Quan sát Hình 10.32, so sánh độ dài cạnh $AB$ với các cạnh $(1)$, $(2)$, $(3)$:

Cạnh số $(1)$ có độ dài bằng với cạnh $AB$.

Vậy cạnh số $(1)$ là cạnh ghép với cạnh $AB$ để được hình lăng trụ đứng.

Bài 10.13 (trang 99)

Đề bài: Tính diện tích xung quanh và thể tích hình lăng trụ đứng trong Hình 10.33 (đáy là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $6$ cm, $8$ cm, cạnh huyền $10$ cm; chiều cao lăng trụ $15$ cm).

Lời giải:

Đáy của hình lăng trụ là tam giác vuông có ba cạnh $6$ cm, $8$ cm, $10$ cm (trong đó $10$ cm là cạnh huyền).

Diện tích xung quanh. Chu vi đáy là:

$$C = 6 + 10 + 8 = 24 \text{ (cm).}$$

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là:

$$S_{xq} = C \cdot h = 24 \cdot 15 = 360 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Thể tích. Diện tích đáy (tam giác vuông) là:

$$S_{\text{đáy}} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Thể tích của hình lăng trụ đứng là:

$$V = S_{\text{đáy}} \cdot h = 24 \cdot 15 = 360 \text{ (cm}^3\text{).}$$

Bài 10.14 (trang 99)

Đề bài: Thùng một chiếc máy nông nghiệp có dạng hình lăng trụ đứng tứ giác như Hình 10.34. Đáy của hình lăng trụ đứng này (mặt bên của thùng) là một hình thang vuông có độ dài đáy lớn $3$ m, đáy nhỏ $1{,}5$ m. Hỏi thùng có dung tích bao nhiêu mét khối?

Lời giải:

Quan sát Hình 10.34, mặt đáy của hình lăng trụ là hình thang vuông có đáy lớn $3$ m, đáy nhỏ $1{,}5$ m và chiều cao $1{,}5$ m. Chiều cao của lăng trụ (chiều rộng của thùng) là $2$ m.

Diện tích đáy của hình lăng trụ là:

$$S_{\text{đáy}} = \dfrac{(3 + 1{,}5) \cdot 1{,}5}{2} = \dfrac{4{,}5 \cdot 1{,}5}{2} = \dfrac{6{,}75}{2} = 3{,}375 \text{ (m}^2\text{).}$$

Dung tích (thể tích) của thùng là:

$$V = S_{\text{đáy}} \cdot h = 3{,}375 \cdot 2 = 6{,}75 \text{ (m}^3\text{).}$$

Vậy thùng có dung tích $6{,}75$ m$^3$.

Bài 10.15 (trang 99)

Đề bài: Một hình gồm hai lăng trụ đứng ghép lại với các kích thước như ở Hình 10.35. Tính thể tích hình ghép.

Lời giải:

Quan sát Hình 10.35, hình ghép được tạo bởi một hình lăng trụ đứng tứ giác (hình hộp chữ nhật) ở phía dưới và một hình lăng trụ đứng tam giác ở phía trên. Cả hai lăng trụ có chiều cao (chiều sâu) bằng $8$ cm.

Thể tích phần lăng trụ đứng tam giác: đáy là tam giác có cạnh $10$ cm và chiều cao tương ứng $3$ cm.

$$V_1 = \left( \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 10 \right) \cdot 8 = 15 \cdot 8 = 120 \text{ (cm}^3\text{).}$$

Thể tích phần lăng trụ đứng tứ giác (hình hộp chữ nhật): đáy là hình chữ nhật kích thước $10$ cm $\times$ $5$ cm.

$$V_2 = (10 \cdot 5) \cdot 8 = 50 \cdot 8 = 400 \text{ (cm}^3\text{).}$$

Thể tích hình ghép:

$$V = V_1 + V_2 = 120 + 400 = 520 \text{ (cm}^3\text{).}$$

Vậy thể tích hình ghép là $520$ cm$^3$.

Bài 10.16 (trang 99)

Đề bài: Một hộp đựng khẩu trang y tế được làm bằng bìa cứng có dạng một hình hộp chữ nhật, kích thước như Hình 10.36 (dài $20$ cm, rộng $10$ cm, cao $8$ cm).

a) Hãy tính thể tích của hộp.

b) Tính diện tích bìa cứng dùng để làm hộp (bỏ qua mép dán).

Lời giải:

a) Áp dụng công thức $V = S_{\text{đáy}} \cdot h$ với $S_{\text{đáy}} = 20 \cdot 10 = 200$ cm$^2$ và $h = 8$ cm:

$$V = (20 \cdot 10) \cdot 8 = 200 \cdot 8 = 1\,600 \text{ (cm}^3\text{).}$$

Vậy thể tích của hộp là $1\,600$ cm$^3$.

b) Diện tích bìa cứng dùng để làm hộp bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai mặt đáy của hộp (hộp được làm bằng bìa kín cả $6$ mặt).

Diện tích xung quanh của hộp là:

$$S_{xq} = C \cdot h = 2 \cdot (20 + 10) \cdot 8 = 2 \cdot 30 \cdot 8 = 480 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Tổng diện tích hai mặt đáy là:

$$2 \cdot (20 \cdot 10) = 2 \cdot 200 = 400 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Diện tích bìa cứng dùng để làm hộp là:

$$S_{xq} + 2 S_{\text{đáy}} = 480 + 400 = 880 \text{ (cm}^2\text{).}$$

Vậy diện tích bìa cứng dùng để làm hộp là $880$ cm$^2$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du