1. Số vô tỉ

Hoạt động 1 (trang 29)

Đề bài: Cắt một hình vuông có cạnh bằng $2$ dm, rồi cắt nó thành bốn tam giác vuông bằng nhau dọc theo hai đường chéo của hình vuông (H.2.2a).

Lời giải:

Đây là hoạt động thực hành. Cách làm: vẽ hai đường chéo của hình vuông cạnh $2$ dm; hai đường chéo này cắt nhau tại tâm và chia hình vuông thành bốn tam giác vuông bằng nhau. Ta cắt theo hai đường chéo đó để được bốn tam giác vuông giống hệt nhau.

Hoạt động 2 (trang 30)

Đề bài: Lấy hai trong bốn tam giác nhận được ở trên ghép thành một hình vuông (H.2.2b). Em hãy tính diện tích hình vuông nhận được.

Lời giải:

Hình vuông ban đầu có cạnh $2$ dm nên diện tích của nó là:

$$2 \cdot 2 = 4 \ (\text{dm}^2)$$

Hình vuông này được cắt thành bốn tam giác bằng nhau, nên mỗi tam giác có diện tích là $4 : 4 = 1 \ (\text{dm}^2)$. Hình vuông mới được ghép từ hai tam giác nên có diện tích:

$$2 \cdot 1 = 2 \ (\text{dm}^2)$$

Vậy diện tích hình vuông nhận được là $2$ dm$^2$.

Hoạt động 3 (trang 30)

Đề bài: Dùng thước có vạch chia để đo độ dài cạnh hình vuông nhận được trong HĐ2. Độ dài cạnh hình vuông này bằng bao nhiêu đềximét?

Lời giải:

Đây là hoạt động thực hành đo bằng thước. Khi đặt thước có vạch chia lên cạnh của hình vuông mới (hình vuông có diện tích $2$ dm$^2$), ta đo được độ dài cạnh khoảng $1{,}4$ dm.

Đây chỉ là kết quả đo gần đúng; độ dài thật của cạnh không phải là một số thập phân hữu hạn hay tuần hoàn, mà là một số vô tỉ (sẽ được tìm hiểu ở phần sau).

Vận dụng 1 (trang 30)

Đề bài: Người xưa đã tính đường kính thân cây theo quy tắc “quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị”, tức là lấy chu vi thân cây chia làm $8$ phần bằng nhau (quân bát); bớt đi ba phần (phát tam) còn lại $5$ phần (tồn ngũ) rồi chia đôi kết quả (quân nhị). Hãy cho biết người xưa đã ước lượng số $\pi$ bằng bao nhiêu.

Lời giải:

Gọi $C$ là chu vi thân cây. Ta thực hiện theo quy tắc:

Quân bát (chia chu vi làm $8$ phần): mỗi phần bằng $\dfrac{C}{8}$

Phát tam, tồn ngũ (bớt $3$ phần, còn lại $5$ phần): $5 \cdot \dfrac{C}{8} = \dfrac{5C}{8}$

Quân nhị (chia đôi kết quả) cho ra đường kính $d$: $d = \dfrac{5C}{8} : 2 = \dfrac{5C}{16}$

Mà số $\pi$ là tỉ số giữa chu vi và đường kính của đường tròn, nên:

$$\pi = \dfrac{C}{d} = \dfrac{C}{\dfrac{5C}{16}} = \dfrac{16}{5} = 3{,}2$$

Vậy người xưa đã ước lượng số $\pi$ bằng $3{,}2$.

2. Căn bậc hai số học

Luyện tập 1 (trang 30)

Đề bài: Tính:

a) $\sqrt{16}$; b) $\sqrt{81}$; c) $\sqrt{2\,021^2}$

Lời giải:

Ta dựa vào định nghĩa: $\sqrt{a}$ là số không âm có bình phương bằng $a$.

a) Vì $4^2 = 16$ và $4 > 0$ nên $\sqrt{16} = 4$

b) Vì $9^2 = 81$ và $9 > 0$ nên $\sqrt{81} = 9$

c) Vì $2\,021 > 0$ nên $\sqrt{2\,021^2} = 2\,021$

Vận dụng 2 (trang 30)

Đề bài: Sàn thi đấu bộ môn cử tạ có dạng một hình vuông, diện tích $144$ m$^2$. Em hãy tính chu vi của sàn thi đấu đó.

Lời giải:

Độ dài cạnh sàn thi đấu (hình vuông) là căn bậc hai số học của diện tích. Vì $12^2 = 144$ và $12 > 0$ nên:

$$\sqrt{144} = 12 \ (\text{m})$$

Chu vi hình vuông bằng bốn lần độ dài cạnh:

$$4 \cdot 12 = 48 \ (\text{m})$$

Vậy chu vi của sàn thi đấu là $48$ m.

3. Tính căn bậc hai số học bằng máy tính cầm tay

Luyện tập 2 (trang 31)

Đề bài: Sử dụng máy tính cầm tay, tính các căn bậc hai số học sau (làm tròn kết quả với độ chính xác $0{,}005$, nếu cần):

a) $\sqrt{15}$; b) $\sqrt{2{,}56}$; c) $\sqrt{17\,256}$; d) $\sqrt{793\,881}$

Lời giải:

Độ chính xác $0{,}005$ tương ứng với việc làm tròn đến hàng phần trăm (chỉ làm tròn khi kết quả không phải số thập phân hữu hạn ngắn).

a) Bấm máy được $\sqrt{15} = 3{,}872983\ldots$, làm tròn đến hàng phần trăm: $\sqrt{15} \approx 3{,}87$

b) Vì $1{,}6^2 = 2{,}56$ nên $\sqrt{2{,}56} = 1{,}6$ (kết quả đúng, không cần làm tròn)

c) Bấm máy được $\sqrt{17\,256} = 131{,}3621\ldots$, làm tròn đến hàng phần trăm: $\sqrt{17\,256} \approx 131{,}36$

d) Vì $891^2 = 793\,881$ nên $\sqrt{793\,881} = 891$ (kết quả đúng, không cần làm tròn)

Vận dụng 3 (trang 31)

Đề bài: Đáy của kim tự tháp Kheops có dạng một hình vuông với diện tích đáy lên tới $52\,198{,}16$ m$^2$. Tính độ dài cạnh đáy của kim tự tháp này (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Độ dài cạnh đáy (hình vuông) là căn bậc hai số học của diện tích đáy. Bấm máy tính cầm tay:

$$\sqrt{52\,198{,}16} = 228{,}469\ldots$$

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất (hàng phần mười), vì chữ số đứng sau là $6 \ge 5$ nên làm tròn lên:

$$\sqrt{52\,198{,}16} \approx 228{,}5 \ (\text{m})$$

Vậy độ dài cạnh đáy của kim tự tháp khoảng $228{,}5$ m.

Bài tập (trang 32)

Bài 2.6 (trang 32)

Đề bài: Cho biết $153^2 = 23\,409$. Hãy tính $\sqrt{23\,409}$.

Lời giải:

Vì $153^2 = 23\,409$ và $153 > 0$ nên theo định nghĩa căn bậc hai số học:

$$\sqrt{23\,409} = 153$$

Bài 2.7 (trang 32)

Đề bài: Từ các số là bình phương của $12$ số tự nhiên đầu tiên, em hãy tìm căn bậc hai số học của các số sau:

a) $9$; b) $16$; c) $81$; d) $121$

Lời giải:

Bình phương của $12$ số tự nhiên đầu tiên (từ $1$ đến $12$) lần lượt là: $1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; 121; 144$. Dựa vào đó ta tìm căn bậc hai số học:

a) Vì $3^2 = 9$ nên $\sqrt{9} = 3$

b) Vì $4^2 = 16$ nên $\sqrt{16} = 4$

c) Vì $9^2 = 81$ nên $\sqrt{81} = 9$

d) Vì $11^2 = 121$ nên $\sqrt{121} = 11$

Bài 2.8 (trang 32)

Đề bài: Khi tìm căn bậc hai số học của một số tự nhiên ta thường phân tích số đó ra thừa số nguyên tố. Hãy tính căn bậc hai số học của $129\,600$.

Lời giải:

Ta phân tích $129\,600$ ra thừa số nguyên tố:

$$129\,600 = 2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^2$$

Nhóm các thừa số để đưa về một bình phương:

$$129\,600 = (2^3)^2 \cdot (3^2)^2 \cdot 5^2 = (2^3 \cdot 3^2 \cdot 5)^2 = 360^2$$

Vì $360 > 0$ nên:

$$\sqrt{129\,600} = 360$$

Bài 2.9 (trang 32)

Đề bài: Tính độ dài các cạnh của hình vuông có diện tích bằng:

a) $81$ dm$^2$; b) $3\,600$ m$^2$; c) $1$ ha

Lời giải:

Độ dài cạnh hình vuông là căn bậc hai số học của diện tích.

a) Vì $9^2 = 81$ nên độ dài cạnh là $\sqrt{81} = 9 \ (\text{dm})$

b) Vì $60^2 = 3\,600$ nên độ dài cạnh là $\sqrt{3\,600} = 60 \ (\text{m})$

c) Đổi $1$ ha $= 10\,000$ m$^2$. Vì $100^2 = 10\,000$ nên độ dài cạnh là $\sqrt{10\,000} = 100 \ (\text{m})$

Bài 2.10 (trang 32)

Đề bài: Sử dụng máy tính cầm tay tìm căn bậc hai số học của các số sau rồi làm tròn các kết quả với độ chính xác $0{,}005$:

a) $3$; b) $41$; c) $2\,021$

Lời giải:

Độ chính xác $0{,}005$ tương ứng với việc làm tròn đến hàng phần trăm. Bấm máy tính cầm tay rồi làm tròn:

a) $\sqrt{3} = 1{,}732050\ldots \approx 1{,}73$

b) $\sqrt{41} = 6{,}403124\ldots \approx 6{,}40$

c) $\sqrt{2\,021} = 44{,}9555\ldots \approx 44{,}96$

Bài 2.11 (trang 32)

Đề bài: Biết rằng bình phương độ dài đường chéo của một hình chữ nhật bằng tổng các bình phương độ dài hai cạnh của nó. Một hình chữ nhật có chiều dài là $8$ dm và chiều rộng là $5$ dm. Độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu đềximét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Gọi $d$ (dm) là độ dài đường chéo của hình chữ nhật. Theo đề bài, bình phương độ dài đường chéo bằng tổng các bình phương hai cạnh:

$$d^2 = 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89$$

Do đó $d$ là căn bậc hai số học của $89$. Bấm máy tính cầm tay:

$$d = \sqrt{89} = 9{,}433\ldots$$

Làm tròn đến hàng phần mười (chữ số đứng sau là $3 < 5$ nên giữ nguyên):

$$d \approx 9{,}4 \ (\text{dm})$$

Vậy độ dài đường chéo của hình chữ nhật khoảng $9{,}4$ dm.

Bài 2.12 (trang 32)

Đề bài: Để lát một mảnh sân hình vuông có diện tích $100$ m$^2$, người ta cần dùng bao nhiêu viên gạch hình vuông có cạnh dài $50$ cm (coi các mạch ghép là không đáng kể)?

Lời giải:

Trước hết đổi cạnh viên gạch về cùng đơn vị mét: $50$ cm $= 0{,}5$ m. Diện tích mỗi viên gạch hình vuông là:

$$0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \ (\text{m}^2)$$

Số viên gạch cần dùng bằng diện tích mảnh sân chia cho diện tích một viên gạch:

$$100 : 0{,}25 = 400 \ (\text{viên})$$

Vậy cần dùng $400$ viên gạch.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du