1. Khái niệm số thực và trục số thực

Luyện tập 1 (trang 33)

Đề bài:

a) Cách viết nào sau đây là đúng: $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$; $\pi \in \mathbb{I}$; $15 \in \mathbb{R}$?

b) Viết số đối của các số: $5{,}08(299)$; $-\sqrt{5}$.

Lời giải:

a) Ta xét từng cách viết:

$\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$ là sai, vì $\sqrt{2}$ là số vô tỉ nên không thuộc tập số hữu tỉ $\mathbb{Q}$

$\pi \in \mathbb{I}$ là đúng, vì $\pi$ là số vô tỉ (tập số vô tỉ kí hiệu là $\mathbb{I}$)

$15 \in \mathbb{R}$ là đúng, vì $15$ là số thực

b) Số đối của một số $a$ là $-a$:

Số đối của $5{,}08(299)$ là $-5{,}08(299)$

Số đối của $-\sqrt{5}$ là $\sqrt{5}$

Câu hỏi (trang 34)

Đề bài: Điểm nào trong Hình 2.4 biểu diễn số $-\sqrt{2}$? Em có nhận xét gì về các điểm biểu diễn của hai số đối nhau?

Lời giải:

Quan sát Hình 2.4, số $-\sqrt{2}$ được biểu diễn bởi điểm $N$ (nằm bên trái gốc $O$, trong khoảng giữa $-2$ và $-1$).

Nhận xét: hai số đối nhau (chẳng hạn $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$) được biểu diễn bởi hai điểm nằm về hai phía của gốc $O$ và cách đều gốc $O$.

Luyện tập 2 (trang 34)

Đề bài: Cho biết nếu một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng $1$ và $3$ thì cạnh huyền của tam giác bằng $\sqrt{10}$. Em hãy vẽ điểm biểu diễn số $-\sqrt{10}$ trên trục số.

Lời giải:

Đây là hoạt động dựng hình. Cách làm:

Trước hết dựng một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng $1$ và $3$ thì cạnh huyền của nó bằng $\sqrt{10}$.

Dùng compa lấy độ dài bằng cạnh huyền $\sqrt{10}$, đặt một đầu compa ở gốc $O$ rồi quay sang bên trái (phía số âm) để xác định điểm biểu diễn số $-\sqrt{10}$. Vì $\sqrt{10} \approx 3{,}16$ nên điểm $-\sqrt{10}$ nằm giữa $-4$ và $-3$ trên trục số.

2. Thứ tự trong tập hợp các số thực

Luyện tập 3 (trang 35)

Đề bài: So sánh:

a) $1{,}313233\ldots$ và $1{,}(32)$; b) $\sqrt{5}$ và $2{,}36$

Lời giải:

a) Viết $1{,}(32) = 1{,}323232\ldots$ rồi so sánh hai số thập phân theo từng hàng. Phần nguyên và hàng phần mười đều bằng nhau ($1{,}3\ldots$). Đến hàng phần trăm: số thứ nhất là $1$ (trong $1{,}31\ldots$), số thứ hai là $2$ (trong $1{,}32\ldots$). Vì $1 < 2$ nên:

$$1{,}313233\ldots < 1{,}(32)$$

b) Ta viết $2{,}36 = \sqrt{2{,}36^2} = \sqrt{5{,}5696}$. Vì $5 < 5{,}5696$ nên theo tính chất “nếu $0 < a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$”:

$$\sqrt{5} < \sqrt{5{,}5696} = 2{,}36$$

Vậy $\sqrt{5} < 2{,}36$.

3. Giá trị tuyệt đối của một số thực

Hoạt động 1 (trang 35)

Đề bài: Biểu diễn các số $3$ và $-2$ trên trục số rồi cho biết mỗi điểm ấy nằm cách gốc $O$ bao nhiêu đơn vị.

Lời giải:

Trên trục số, điểm biểu diễn số $3$ nằm bên phải gốc $O$ và cách gốc $O$ một khoảng $3$ đơn vị. Điểm biểu diễn số $-2$ nằm bên trái gốc $O$ và cách gốc $O$ một khoảng $2$ đơn vị.

Hoạt động 2 (trang 35)

Đề bài: Không vẽ hình, hãy cho biết khoảng cách của mỗi điểm sau đến gốc $O$: $-4$; $-1$; $0$; $1$; $4$.

Lời giải:

Khoảng cách từ mỗi điểm đến gốc $O$ là một số không âm:

Điểm $-4$ cách gốc $O$ một khoảng $4$ đơn vị

Điểm $-1$ cách gốc $O$ một khoảng $1$ đơn vị

Điểm $0$ cách gốc $O$ một khoảng $0$ đơn vị

Điểm $1$ cách gốc $O$ một khoảng $1$ đơn vị

Điểm $4$ cách gốc $O$ một khoảng $4$ đơn vị

Câu hỏi (trang 35)

Đề bài: Từ HĐ1 và HĐ2, hãy tìm giá trị tuyệt đối của các số: $3$; $-2$; $0$; $4$ và $-4$.

Lời giải:

Giá trị tuyệt đối của một số chính là khoảng cách từ điểm biểu diễn số đó đến gốc $O$. Dựa vào HĐ1 và HĐ2:

$$|3| = 3;\quad |-2| = 2;\quad |0| = 0;\quad |4| = 4;\quad |-4| = 4$$

Câu hỏi (trang 36)

Đề bài: Minh viết $|-2{,}5| = -2{,}5$ đúng hay sai?

Lời giải:

Minh viết sai. Giá trị tuyệt đối của một số luôn là số không âm (vì nó là một khoảng cách). Giá trị tuyệt đối của số âm $-2{,}5$ bằng số đối của nó:

$$|-2{,}5| = 2{,}5$$

Luyện tập 4 (trang 36)

Đề bài: Tính:

a) $|-2{,}3|$; b) $\left|\dfrac{7}{5}\right|$; c) $|-11|$; d) $\left|-\sqrt{8}\right|$

Lời giải:

Ta dùng quy tắc: giá trị tuyệt đối của số dương (hoặc $0$) là chính nó; giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.

a) $-2{,}3$ là số âm nên $|-2{,}3| = 2{,}3$

b) $\dfrac{7}{5}$ là số dương nên $\left|\dfrac{7}{5}\right| = \dfrac{7}{5}$

c) $-11$ là số âm nên $|-11| = 11$

d) $-\sqrt{8}$ là số âm nên $\left|-\sqrt{8}\right| = \sqrt{8}$

Thử thách nhỏ (trang 36)

Đề bài: Liệt kê các phần tử của tập hợp $A = {x \mid x \in \mathbb{Z}, |x| < 5}$.

Lời giải:

Ta cần tìm các số nguyên $x$ có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn $5$, tức là các số nguyên cách gốc $O$ một khoảng nhỏ hơn $5$ đơn vị. Đó là các số nguyên $x$ thỏa mãn $-5 < x < 5$:

$$A = {-4;\ -3;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4}$$

Bài tập (trang 36)

Bài 2.13 (trang 36)

Đề bài: Xét tập hợp $A = \left\{7{,}1;\ -2{,}(61);\ 0;\ 5{,}14;\ \dfrac{4}{7};\ \sqrt{15};\ -\sqrt{81}\right\}$. Bằng cách liệt kê các phần tử, hãy viết tập hợp $B$ gồm các số hữu tỉ thuộc tập $A$ và tập hợp $C$ gồm các số vô tỉ thuộc tập $A$.

Lời giải:

Ta xét từng phần tử xem nó là số hữu tỉ hay số vô tỉ:

$7{,}1$ là số thập phân hữu hạn nên là số hữu tỉ

$-2{,}(61)$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên là số hữu tỉ

$0$ là số hữu tỉ

$5{,}14$ là số thập phân hữu hạn nên là số hữu tỉ

$\dfrac{4}{7}$ là phân số nên là số hữu tỉ

$\sqrt{15}$ là số vô tỉ (vì $15$ không phải là số chính phương)

$-\sqrt{81} = -9$ là số hữu tỉ

Vậy:

$$B = \left\{7{,}1;\ -2{,}(61);\ 0;\ 5{,}14;\ \dfrac{4}{7};\ -\sqrt{81}\right\}$$

$$C = \left\{\sqrt{15}\right\}$$

Bài 2.14 (trang 36)

Đề bài: Gọi $A’$ là tập hợp các số đối của các số thuộc tập hợp $A$ trong Bài tập 2.13. Liệt kê các phần tử của $A’$.

Lời giải:

Ta tìm số đối của từng phần tử trong $A = \left\{7{,}1;\ -2{,}(61);\ 0;\ 5{,}14;\ \dfrac{4}{7};\ \sqrt{15};\ -\sqrt{81}\right\}$:

Số đối của $7{,}1$ là $-7{,}1$; số đối của $-2{,}(61)$ là $2{,}(61)$; số đối của $0$ là $0$; số đối của $5{,}14$ là $-5{,}14$; số đối của $\dfrac{4}{7}$ là $-\dfrac{4}{7}$; số đối của $\sqrt{15}$ là $-\sqrt{15}$; số đối của $-\sqrt{81}$ là $\sqrt{81}$.

Vậy:

$$A’ = \left\{-7{,}1;\ 2{,}(61);\ 0;\ -5{,}14;\ -\dfrac{4}{7};\ -\sqrt{15};\ \sqrt{81}\right\}$$

Bài 2.15 (trang 36)

Đề bài: Các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ trong hình sau biểu diễn những số thực nào?

Lời giải:

Ta dựa vào các vạch chia trên mỗi trục số để đọc giá trị mỗi điểm.

a) Đoạn từ gốc $O$ (số $0$) đến số $1$ (một đơn vị) được chia thành $10$ đoạn bằng nhau, rồi mỗi đoạn lại được chia đôi, nên một đơn vị được chia thành $20$ đoạn nhỏ bằng nhau. Mỗi đoạn nhỏ (đơn vị mới) bằng $\dfrac{1}{20}$ đơn vị cũ.

Điểm $A$ nằm bên phải gốc $O$, cách $O$ một khoảng bằng $13$ đoạn nhỏ nên $A$ biểu diễn số $\dfrac{13}{20}$

Điểm $B$ nằm bên phải gốc $O$, cách $O$ một khoảng bằng $19$ đoạn nhỏ nên $B$ biểu diễn số $\dfrac{19}{20}$

b) Ta có $4{,}7 – 4{,}6 = 0{,}1$. Đoạn $0{,}1$ này được chia thành $20$ phần bằng nhau, nên mỗi đoạn nhỏ (đơn vị mới) bằng $0{,}1 : 20 = 0{,}005$.

Điểm $C$ nằm bên phải điểm $4{,}6$, cách điểm $4{,}6$ một khoảng bằng $3$ đoạn nhỏ nên $C$ biểu diễn số $4{,}6 + 3 \cdot 0{,}005 = 4{,}615$

Điểm $D$ nằm bên phải điểm $4{,}6$, cách điểm $4{,}6$ một khoảng bằng $13$ đoạn nhỏ nên $D$ biểu diễn số $4{,}6 + 13 \cdot 0{,}005 = 4{,}665$

Bài 2.16 (trang 36)

Đề bài: Tính:

a) $|-3{,}5|$; b) $\left|\dfrac{-4}{9}\right|$; c) $|0|$; d) $|2{,}0(3)|$

Lời giải:

a) $-3{,}5$ là số âm nên $|-3{,}5| = 3{,}5$

b) $\dfrac{-4}{9}$ là số âm nên $\left|\dfrac{-4}{9}\right| = \dfrac{4}{9}$

c) $|0| = 0$

d) $2{,}0(3)$ là số dương nên $|2{,}0(3)| = 2{,}0(3)$

Bài 2.17 (trang 36)

Đề bài: Xác định dấu và giá trị tuyệt đối của mỗi số sau:

a) $a = 1{,}25$; b) $b = -4{,}1$; c) $c = -1{,}414213562\ldots$

Lời giải:

a) Số $a = 1{,}25$ mang dấu dương (vì $a > 0$); giá trị tuyệt đối là $|a| = 1{,}25$

b) Số $b = -4{,}1$ mang dấu âm (vì $b < 0$); giá trị tuyệt đối là $|b| = 4{,}1$

c) Số $c = -1{,}414213562\ldots$ mang dấu âm (vì $c < 0$); giá trị tuyệt đối là $|c| = 1{,}414213562\ldots$

Bài 2.18 (trang 36)

Đề bài: Tìm tất cả các số thực $x$ thỏa mãn điều kiện $|x| = 2{,}5$.

Lời giải:

$|x| = 2{,}5$ nghĩa là điểm biểu diễn $x$ cách gốc $O$ một khoảng $2{,}5$ đơn vị. Trên trục số có hai điểm như vậy: một điểm ở bên phải và một điểm ở bên trái gốc $O$. Do đó:

$$x = 2{,}5 \quad \text{hoặc} \quad x = -2{,}5$$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du