Bài tập cuối chương IV (trang 86)

Bài 4.33 (trang 86)

Đề bài: Tính các số đo $x$, $y$ trong các tam giác dưới đây (H.4.75)

Lời giải:

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng $180^\circ$ cho từng tam giác

Tam giác thứ nhất (ba góc lần lượt là $x$, $x + 20^\circ$, $x + 10^\circ$):

$$x + (x + 20^\circ) + (x + 10^\circ) = 180^\circ$$

$$3x + 30^\circ = 180^\circ$$

$$3x = 150^\circ$$

Suy ra $x = 50^\circ$

Tam giác thứ hai (ba góc lần lượt là $y$, $60^\circ$, $2y$):

$$y + 60^\circ + 2y = 180^\circ$$

$$3y = 120^\circ$$

Suy ra $y = 40^\circ$

Vậy $x = 50^\circ$ và $y = 40^\circ$

Bài 4.34 (trang 86)

Đề bài: Trong Hình 4.76, có $AM = BM$, $AN = BN$. Chứng minh rằng $\widehat{MAN} = \widehat{MBN}$

Lời giải:

Xét $\triangle MNA$ và $\triangle MNB$ có:

$$AM = BM \quad (\text{giả thiết})$$

$$AN = BN \quad (\text{giả thiết})$$

$$MN \text{ là cạnh chung}$$

Do đó:

$$\triangle MNA = \triangle MNB \ (\text{c.c.c})$$

Suy ra $\widehat{MAN} = \widehat{MBN}$ (hai góc tương ứng)

Bài 4.35 (trang 86)

Đề bài: Trong Hình 4.77, có $AO = BO$, $\widehat{OAM} = \widehat{OBN}$. Chứng minh rằng $AM = BN$

Lời giải:

Quan sát Hình 4.77, hai tam giác $OAM$ và $OBN$ có chung đỉnh $O$, đồng thời chung một góc tại $O$

Xét $\triangle OAM$ và $\triangle OBN$ có:

$$\widehat{OAM} = \widehat{OBN} \quad (\text{giả thiết})$$

$$AO = BO \quad (\text{giả thiết})$$

$$\widehat{O} \text{ là góc chung}$$

Do đó:

$$\triangle OAM = \triangle OBN \ (\text{g.c.g})$$

Suy ra $AM = BN$ (hai cạnh tương ứng)

Bài 4.36 (trang 86)

Đề bài: Trong Hình 4.78, ta có $AN = BM$, $\widehat{BAN} = \widehat{ABM}$. Chứng minh rằng $\widehat{BAM} = \widehat{ABN}$

Lời giải:

Xét $\triangle ANB$ và $\triangle BMA$ có:

$$AN = BM \quad (\text{giả thiết})$$

$$\widehat{NAB} = \widehat{MBA} \quad (\text{giả thiết} – \text{chính là } \widehat{BAN} = \widehat{ABM})$$

$$AB \text{ là cạnh chung}$$

Do đó:

$$\triangle ANB = \triangle BMA \ (\text{c.g.c})$$

Suy ra $\widehat{ABN} = \widehat{BAM}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $\widehat{BAM} = \widehat{ABN}$

Bài 4.37 (trang 86)

Đề bài: Cho $M$, $N$ là hai điểm phân biệt nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ sao cho $AM = AN$. Chứng minh rằng $MB = NB$ và góc $\widehat{AMB}$ bằng góc $\widehat{ANB}$

Lời giải:

Vì $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $M$ cách đều hai mút $A$ và $B$, tức $MA = MB$. Tương tự, $N$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $NA = NB$

Theo giả thiết $AM = AN$, kết hợp với hai kết quả trên:

$$MA = MB = NA = NB$$

Suy ra $MB = NB$

Chứng minh $\widehat{AMB} = \widehat{ANB}$: Xét $\triangle AMB$ và $\triangle ANB$ có:

$$MA = NA \quad (\text{giả thiết})$$

$$MB = NB \quad (\text{chứng minh trên})$$

$$AB \text{ là cạnh chung}$$

Do đó:

$$\triangle AMB = \triangle ANB \ (\text{c.c.c})$$

Suy ra $\widehat{AMB} = \widehat{ANB}$ (hai góc tương ứng)

Vậy $MB = NB$ và $\widehat{AMB} = \widehat{ANB}$

Bài 4.38 (trang 86)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A} = 120^\circ$. Trên cạnh $BC$ lấy hai điểm $M$, $N$ sao cho $MA$, $NA$ lần lượt vuông góc với $AB$, $AC$. Chứng minh rằng:

a) $\triangle BAM = \triangle CAN$

b) Các tam giác $ANB$, $AMC$ lần lượt cân tại $N$, $M$

Lời giải:

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{B} = \widehat{C}$, đồng thời $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ – \widehat{A} = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ$. Suy ra:

$$\widehat{B} = \widehat{C} = 30^\circ$$

a) Vì $MA \perp AB$ tại $A$ nên $\triangle BAM$ vuông tại $A$ với $\widehat{BAM} = 90^\circ$. Vì $NA \perp AC$ tại $A$ nên $\triangle CAN$ vuông tại $A$ với $\widehat{CAN} = 90^\circ$

Xét $\triangle BAM$ (vuông tại $A$) và $\triangle CAN$ (vuông tại $A$) có:

$$\widehat{BAM} = \widehat{CAN} \quad (= 90^\circ)$$

$$AB = AC \quad (\triangle ABC \text{ cân tại } A)$$

$$\widehat{B} = \widehat{C} \quad (= 30^\circ)$$

Do đó:

$$\triangle BAM = \triangle CAN \ (\text{g.c.g})$$

b) Chứng minh $\triangle AMC$ cân tại $M$:

Trong $\triangle ABM$ vuông tại $A$, áp dụng định lí tổng ba góc:

$$\widehat{B} + \widehat{BAM} + \widehat{AMB} = 180^\circ$$

$$30^\circ + 90^\circ + \widehat{AMB} = 180^\circ$$

Suy ra $\widehat{AMB} = 60^\circ$

Vì $M$ nằm giữa $B$ và $C$ trên đoạn $BC$, hai góc $\widehat{AMB}$ và $\widehat{AMC}$ là hai góc kề bù:

$$\widehat{AMC} = 180^\circ – \widehat{AMB} = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ$$

Trong $\triangle AMC$, áp dụng định lí tổng ba góc:

$$\widehat{AMC} + \widehat{MAC} + \widehat{C} = 180^\circ$$

$$120^\circ + \widehat{MAC} + 30^\circ = 180^\circ$$

Suy ra $\widehat{MAC} = 30^\circ$

Tam giác $AMC$ có $\widehat{MAC} = \widehat{C} = 30^\circ$ (hai góc bằng nhau) nên $\triangle AMC$ cân tại $M$

Chứng minh $\triangle ANB$ cân tại $N$:

Lập luận hoàn toàn tương tự cho $\triangle CAN$ vuông tại $A$:

$$\widehat{C} + \widehat{CAN} + \widehat{ANC} = 180^\circ$$

$$30^\circ + 90^\circ + \widehat{ANC} = 180^\circ$$

Suy ra $\widehat{ANC} = 60^\circ$. Vì $N$ nằm giữa $B$ và $C$ trên đoạn $BC$, hai góc $\widehat{ANC}$ và $\widehat{ANB}$ kề bù, nên:

$$\widehat{ANB} = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ$$

Trong $\triangle ANB$:

$$\widehat{ANB} + \widehat{NAB} + \widehat{B} = 180^\circ$$

$$120^\circ + \widehat{NAB} + 30^\circ = 180^\circ$$

Suy ra $\widehat{NAB} = 30^\circ$

Tam giác $ANB$ có $\widehat{NAB} = \widehat{B} = 30^\circ$ (hai góc bằng nhau) nên $\triangle ANB$ cân tại $N$

Bài 4.39 (trang 86)

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B} = 60^\circ$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ sao cho $\widehat{CAM} = 30^\circ$. Chứng minh rằng:

a) Tam giác $CAM$ cân tại $M$

b) Tam giác $BAM$ là tam giác đều

c) $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$

Lời giải:

a) Áp dụng định lí tổng ba góc trong $\triangle ABC$:

$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$$

$$90^\circ + 60^\circ + \widehat{C} = 180^\circ$$

Suy ra $\widehat{C} = 30^\circ$

Trong tam giác $CAM$, ta có $\widehat{MAC} = \widehat{CAM} = 30^\circ$ (giả thiết) và $\widehat{C} = 30^\circ$. Vì $\widehat{MAC} = \widehat{C}$ (hai góc bằng nhau) nên $\triangle CAM$ cân tại $M$

b) Áp dụng định lí tổng ba góc trong $\triangle CAM$:

$$\widehat{C} + \widehat{CAM} + \widehat{CMA} = 180^\circ$$

$$30^\circ + 30^\circ + \widehat{CMA} = 180^\circ$$

Suy ra $\widehat{CMA} = 120^\circ$

Vì $M$ nằm giữa $B$ và $C$ trên đoạn $BC$, hai góc $\widehat{CMA}$ và $\widehat{BMA}$ là hai góc kề bù:

$$\widehat{BMA} = 180^\circ – \widehat{CMA} = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ$$

Trong $\triangle BAM$, áp dụng định lí tổng ba góc:

$$\widehat{B} + \widehat{BMA} + \widehat{BAM} = 180^\circ$$

$$60^\circ + 60^\circ + \widehat{BAM} = 180^\circ$$

Suy ra $\widehat{BAM} = 60^\circ$

Tam giác $BAM$ có cả ba góc bằng $60^\circ$ ($\widehat{B} = \widehat{BMA} = \widehat{BAM} = 60^\circ$) nên $\triangle BAM$ là tam giác đều

c) Từ câu b), $\triangle BAM$ đều nên ba cạnh bằng nhau:

$$AB = BM = AM$$

Từ câu a), $\triangle CAM$ cân tại $M$ nên hai cạnh bên bằng nhau:

$$MA = MC$$

Kết hợp $BM = AM$ (từ tam giác đều) và $AM = MC$ (từ tam giác cân), suy ra:

$$BM = MC$$

Mà $M$ nằm giữa $B$ và $C$ trên đoạn $BC$, nên $M$ là trung điểm của đoạn $BC$

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du