Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
Bài tập (trang 19)
Bài 6.27 (trang 19)
Đề bài: Các giá trị của hai đại lượng $x$ và $y$ được cho bởi bảng sau đây:
| $x$ | $0{,}5$ | $1$ | $1{,}5$ | $2$ | $2{,}5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $2{,}5$ | $5$ | $7{,}5$ | $10$ | $12{,}5$ |
Hỏi hai đại lượng $x$ và $y$ có quan hệ tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch không? Viết công thức liên hệ giữa $x$ và $y$.
Lời giải:
Để biết $x$ và $y$ có tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch hay không, ta tính tỉ số $\dfrac{y}{x}$ và tích $x \cdot y$ ở từng cặp giá trị tương ứng.
Xét tỉ số $\dfrac{y}{x}$:
$$\dfrac{2{,}5}{0{,}5} = 5; \quad \dfrac{5}{1} = 5; \quad \dfrac{7{,}5}{1{,}5} = 5; \quad \dfrac{10}{2} = 5; \quad \dfrac{12{,}5}{2{,}5} = 5.$$
Tất cả các tỉ số $\dfrac{y}{x}$ đều bằng $5$. Vậy $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $5$.
Công thức liên hệ giữa $x$ và $y$ là: $y = 5x$.
Bài 6.28 (trang 19)
Đề bài: Cho ba đại lượng $x$, $y$, $z$. Tìm mối quan hệ giữa hai đại lượng $x$ và $z$, biết rằng:
a) $x$ và $y$ tỉ lệ thuận, $y$ và $z$ tỉ lệ thuận;
b) $x$ và $y$ tỉ lệ thuận, $y$ và $z$ tỉ lệ nghịch;
c) $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch, $y$ và $z$ tỉ lệ nghịch.
Lời giải:
a) Vì $x$ và $y$ tỉ lệ thuận nên có hằng số $a \neq 0$ sao cho $x = a \cdot y$.
Vì $y$ và $z$ tỉ lệ thuận nên có hằng số $b \neq 0$ sao cho $y = b \cdot z$.
Thay $y = b \cdot z$ vào $x = a \cdot y$, ta được:
$$x = a \cdot (b \cdot z) = (a \cdot b) \cdot z.$$
Vì $a \neq 0$ và $b \neq 0$ nên $a \cdot b \neq 0$. Vậy $x$ và $z$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận theo hệ số tỉ lệ $a \cdot b$.
b) Vì $x$ và $y$ tỉ lệ thuận nên có hằng số $a \neq 0$ sao cho $x = a \cdot y$.
Vì $y$ và $z$ tỉ lệ nghịch nên có hằng số $b \neq 0$ sao cho $y = \dfrac{b}{z}$.
Thay $y = \dfrac{b}{z}$ vào $x = a \cdot y$, ta được:
$$x = a \cdot \dfrac{b}{z} = \dfrac{a \cdot b}{z}.$$
Vì $a \cdot b \neq 0$ nên $x$ và $z$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ $a \cdot b$.
c) Vì $x$ và $y$ tỉ lệ nghịch nên có hằng số $a \neq 0$ sao cho $x = \dfrac{a}{y}$ (hay $x \cdot y = a$).
Vì $y$ và $z$ tỉ lệ nghịch nên có hằng số $b \neq 0$ sao cho $y = \dfrac{b}{z}$.
Thay $y = \dfrac{b}{z}$ vào $x = \dfrac{a}{y}$, ta được:
$$x = \dfrac{a}{\dfrac{b}{z}} = a \cdot \dfrac{z}{b} = \dfrac{a}{b} \cdot z.$$
Vì $\dfrac{a}{b} \neq 0$ nên $x$ và $z$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{a}{b}$.
Bài 6.29 (trang 19)
Đề bài: Để thu được một loại đồng thau, người ta pha chế đồng và kẽm nguyên chất theo tỉ lệ $6 : 4$. Tính khối lượng đồng và kẽm nguyên chất cần thiết để sản xuất $150$ kg đồng thau.
Lời giải:
Gọi khối lượng đồng và kẽm nguyên chất cần thiết lần lượt là $x$ và $y$ (kg); điều kiện $x, y > 0$.
Vì đồng thau được pha từ đồng và kẽm nên tổng khối lượng đồng và kẽm bằng khối lượng đồng thau:
$$x + y = 150.$$
Vì đồng và kẽm được pha theo tỉ lệ $6 : 4$ nên:
$$\dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{4}.$$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
$$\dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{x + y}{6 + 4} = \dfrac{150}{10} = 15.$$
Từ đây tính được:
$$x = 15 \cdot 6 = 90 \text{ (kg)}; \qquad y = 15 \cdot 4 = 60 \text{ (kg).}$$
Vậy cần $90$ kg đồng và $60$ kg kẽm nguyên chất để sản xuất $150$ kg đồng thau.
Bài 6.30 (trang 19)
Đề bài: Với thời gian để một thợ lành nghề làm được $12$ sản phẩm thì người thợ học việc chỉ làm được $8$ sản phẩm. Hỏi người thợ học việc phải mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm trong $48$ giờ?
Lời giải:
Gọi $t$ (giờ) là thời gian người thợ học việc cần để hoàn thành khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm trong $48$ giờ ($t > 0$).
Trong cùng một khoảng thời gian, thợ lành nghề làm được $12$ sản phẩm còn thợ học việc làm được $8$ sản phẩm, nên năng suất hai người tỉ lệ với $12$ và $8$.
Để cùng làm xong một khối lượng công việc, thời gian làm việc tỉ lệ nghịch với năng suất, tức là tích (năng suất) $\cdot$ (thời gian) là không đổi (bằng khối lượng công việc). Do đó:
$$12 \cdot 48 = 8 \cdot t.$$
Đẳng thức trên có dạng $ad = bc$, từ đó ta lập được tỉ lệ thức:
$$\dfrac{t}{48} = \dfrac{12}{8}.$$
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức:
$$t = \dfrac{48 \cdot 12}{8} = \dfrac{576}{8} = 72 \text{ (giờ).}$$
Vậy người thợ học việc cần $72$ giờ để hoàn thành khối lượng công việc đó.
Bài 6.31 (trang 19)
Đề bài: Học sinh khối lớp 7 đã quyên góp được một số sách nộp cho thư viện. Sĩ số của các lớp 7A, 7B, 7C, 7D tương ứng là $38; 39; 40$ và $40$ em. Biết rằng số sách quyên góp được tỉ lệ với số học sinh của lớp và lớp 7D góp được nhiều hơn lớp 7A là $4$ quyển sách. Hỏi mỗi lớp quyên góp được bao nhiêu quyển sách?
Lời giải:
Gọi số sách quyên góp được của các lớp 7A, 7B, 7C, 7D lần lượt là $a$, $b$, $c$, $d$ (quyển); điều kiện $a, b, c, d$ là số nguyên dương.
Vì số sách quyên góp tỉ lệ với số học sinh của lớp nên:
$$\dfrac{a}{38} = \dfrac{b}{39} = \dfrac{c}{40} = \dfrac{d}{40}.$$
Theo đề bài, lớp 7D góp nhiều hơn lớp 7A là $4$ quyển sách, tức là $d – a = 4$.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho hiệu (lấy tỉ số của lớp 7D trừ tỉ số của lớp 7A):
$$\dfrac{a}{38} = \dfrac{b}{39} = \dfrac{c}{40} = \dfrac{d}{40} = \dfrac{d – a}{40 – 38} = \dfrac{4}{2} = 2.$$
Từ đây tính được:
$$a = 2 \cdot 38 = 76; \quad b = 2 \cdot 39 = 78; \quad c = 2 \cdot 40 = 80; \quad d = 2 \cdot 40 = 80.$$
Vậy lớp 7A quyên góp được $76$ quyển, lớp 7B quyên góp được $78$ quyển, lớp 7C và lớp 7D đều quyên góp được $80$ quyển sách.
Bài 6.32 (trang 19)
Đề bài: Thư viện của một trường Trung học cơ sở mua ba đầu sách tham khảo môn Toán lớp 6, lớp 7 và lớp 8, tổng cộng $121$ cuốn. Giá của mỗi cuốn sách tham khảo môn Toán lớp 6, lớp 7 và lớp 8 lần lượt là $40$ nghìn đồng, $45$ nghìn đồng và $50$ nghìn đồng. Hỏi thư viện đó mua bao nhiêu cuốn sách tham khảo môn Toán mỗi loại, biết rằng số tiền dùng để mua mỗi loại sách đó là như nhau?
Lời giải:
Gọi số cuốn sách tham khảo môn Toán lớp 6, lớp 7 và lớp 8 mà thư viện mua lần lượt là $x$, $y$, $z$ (cuốn); điều kiện $x, y, z$ là số nguyên dương.
Vì tổng cộng có $121$ cuốn nên:
$$x + y + z = 121.$$
Số tiền dùng để mua mỗi loại sách lần lượt là $40x$, $45y$, $50z$ (nghìn đồng). Vì số tiền dùng để mua mỗi loại là như nhau nên:
$$40x = 45y = 50z.$$
Chia cả ba biểu thức cho $1\,800$ (là BCNN của $40$, $45$ và $50$):
$$\dfrac{40x}{1\,800} = \dfrac{45y}{1\,800} = \dfrac{50z}{1\,800} ;\Longleftrightarrow; \dfrac{x}{45} = \dfrac{y}{40} = \dfrac{z}{36}.$$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
$$\dfrac{x}{45} = \dfrac{y}{40} = \dfrac{z}{36} = \dfrac{x + y + z}{45 + 40 + 36} = \dfrac{121}{121} = 1.$$
Từ đây tính được:
$$x = 1 \cdot 45 = 45; \quad y = 1 \cdot 40 = 40; \quad z = 1 \cdot 36 = 36.$$
Vậy thư viện mua $45$ cuốn sách Toán lớp 6, $40$ cuốn sách Toán lớp 7 và $36$ cuốn sách Toán lớp 8.
Thầy Võ Văn Trung
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2
Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du