Bài tập (trang 71)

Bài 9.14 (trang 71)

Đề bài: Hãy giải thích: Nếu $M$ là một điểm tuỳ ý nằm trên cạnh $BC$ hoặc $CD$ của hình vuông $ABCD$ thì độ dài đoạn thẳng $AM$ luôn lớn hơn hoặc bằng độ dài cạnh của hình vuông đó (H.9.21).

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh của hình vuông $ABCD$ là $a$. Ta xét hai trường hợp về vị trí của $M$.

Trường hợp 1: $M$ nằm trên cạnh $BC$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB \perp BC$ tại $B$. Do đó:

$AB$ là đường vuông góc kẻ từ $A$ đến đường thẳng $BC$ (với $B$ là chân đường vuông góc).

$AM$ là đoạn nối $A$ với một điểm $M$ trên đường thẳng $BC$ (có thể $M$ trùng $B$ hoặc khác $B$).

Nếu $M$ trùng $B$ thì $AM = AB = a$. Nếu $M$ khác $B$ thì $AM$ là đường xiên kẻ từ $A$ đến $BC$, theo định lí “đường vuông góc ngắn hơn đường xiên”, ta có $AM > AB = a$.

Tóm lại trường hợp này: $AM \geq a$.

Trường hợp 2: $M$ nằm trên cạnh $CD$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD \perp DC$ tại $D$. Do đó:

$AD$ là đường vuông góc kẻ từ $A$ đến đường thẳng $CD$ (với $D$ là chân đường vuông góc).

$AM$ là đoạn nối $A$ với một điểm $M$ trên đường thẳng $CD$.

Nếu $M$ trùng $D$ thì $AM = AD = a$. Nếu $M$ khác $D$ thì $AM$ là đường xiên kẻ từ $A$ đến $CD$, nên $AM > AD = a$.

Tóm lại trường hợp này: $AM \geq a$.

Vậy trong cả hai trường hợp, $AM$ luôn lớn hơn hoặc bằng độ dài cạnh của hình vuông.

Bài 9.15 (trang 71)

Đề bài: Hỏi có tam giác nào với độ dài ba cạnh là $2{,}5$ cm; $3{,}4$ cm và $6$ cm không? Vì sao?

Lời giải:

Áp dụng Chú ý: chỉ cần kiểm tra tổng hai cạnh nhỏ hơn có lớn hơn cạnh lớn nhất hay không.

Cạnh lớn nhất là $6$ cm, hai cạnh còn lại là $2{,}5$ cm và $3{,}4$ cm. Ta có:

$$2{,}5 + 3{,}4 = 5{,}9 < 6.$$

Vì tổng hai cạnh nhỏ hơn ($2{,}5$ cm và $3{,}4$ cm) lại nhỏ hơn cạnh lớn nhất ($6$ cm) nên ba độ dài này không thoả mãn bất đẳng thức tam giác.

Vậy không có tam giác nào với độ dài ba cạnh là $2{,}5$ cm; $3{,}4$ cm và $6$ cm.

Bài 9.16 (trang 71)

Đề bài: Tính chu vi của tam giác cân biết hai cạnh của nó có độ dài là $2$ cm và $5$ cm.

Lời giải:

Tam giác cân có hai cạnh bằng nhau. Hai cạnh đã cho là $2$ cm và $5$ cm, nên cạnh thứ ba của tam giác cân phải bằng một trong hai cạnh này. Ta xét hai trường hợp.

Trường hợp 1: Cạnh thứ ba dài $2$ cm (tức tam giác cân có hai cạnh dài $2$ cm và một cạnh dài $5$ cm).

Ba cạnh là $2$ cm, $2$ cm, $5$ cm. Kiểm tra bất đẳng thức tam giác:

$$2 + 2 = 4 < 5.$$

Vì tổng hai cạnh $2$ cm và $2$ cm nhỏ hơn cạnh $5$ cm, nên ba độ dài này không thoả mãn bất đẳng thức tam giác. Trường hợp này bị loại.

Trường hợp 2: Cạnh thứ ba dài $5$ cm (tức tam giác cân có hai cạnh dài $5$ cm và một cạnh dài $2$ cm).

Ba cạnh là $2$ cm, $5$ cm, $5$ cm. Kiểm tra bất đẳng thức tam giác:

$$2 + 5 = 7 > 5.$$

Thoả mãn, nên ba độ dài này là ba cạnh của một tam giác cân.

Chu vi của tam giác này là:

$$2 + 5 + 5 = 12 \text{ (cm).}$$

Vậy chu vi của tam giác cân đó là $12$ cm.

Bài 9.17 (trang 71)

Đề bài: Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng $7$ cm và $2$ cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó theo xentimét là một số tự nhiên lẻ.

Lời giải:

Gọi $a$ (cm) là độ dài cạnh còn lại của tam giác ($a > 0$).

Áp dụng Nhận xét $b – c < a < b + c$ với hai cạnh đã biết là $7$ cm và $2$ cm:

$$7 – 2 < a < 7 + 2 ;\Longleftrightarrow; 5 < a < 9.$$

Mà $a$ là số tự nhiên lẻ, nên $a$ là số lẻ thuộc khoảng $(5; 9)$. Các số tự nhiên trong khoảng $(5; 9)$ là $6, 7, 8$, trong đó chỉ có $7$ là số lẻ.

Vậy $a = 7$, tức là cạnh còn lại của tam giác dài $7$ cm.

Bài 9.18 (trang 71)

Đề bài: Biết hai cạnh của tam giác có độ dài $a$ và $b$. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, hãy giải thích tại sao chu vi của tam giác đó lớn hơn $2a$ và nhỏ hơn $2(a + b)$.

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh thứ ba của tam giác là $c$ ($c > 0$). Khi đó chu vi tam giác là $a + b + c$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác có ba cạnh $a$, $b$, $c$:

$$a < b + c \quad (1)$$

$$c < a + b \quad (2)$$

Chứng minh chu vi $> 2a$:

Từ $(1)$: $a < b + c$. Cộng cả hai vế với $a$:

$$a + a < a + b + c ;\Longleftrightarrow; 2a < a + b + c = \text{chu vi}.$$

Vậy chu vi tam giác lớn hơn $2a$.

Chứng minh chu vi $< 2(a + b)$:

Từ $(2)$: $c < a + b$. Cộng cả hai vế với $a + b$:

$$a + b + c < a + b + a + b = 2(a + b).$$

Tức là chu vi $< 2(a + b)$.

Vậy chu vi tam giác lớn hơn $2a$ và nhỏ hơn $2(a + b)$ (đpcm).

Bài 9.19 (trang 71)

Đề bài: Hai khu vườn $A$ và $B$ nằm về một phía của con kênh $d$. Hãy xác định bên bờ kênh cùng phía với $A$ và $B$, một điểm $C$ để đặt máy bơm nước từ kênh tưới cho hai khu vườn sao cho tổng độ dài đường ống dẫn nước từ máy bơm đến hai khu vườn là ngắn nhất.

(HD: Gọi $B’$ là điểm sao cho $d$ là đường trung trực của $BB’$ (H.9.22). Khi đó $CB = CB’$. Xem Vận dụng, Bài 33.)

Lời giải:

Theo gợi ý, gọi $B’$ là điểm sao cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BB’$. Khi đó $B’$ nằm khác phía với $B$ qua $d$, tức là $B’$ ở phía bên kia của con kênh so với $A$ và $B$.

Vì $C$ là điểm bất kì trên $d$ và $d$ là đường trung trực của $BB’$, theo tính chất đường trung trực của đoạn thẳng:

$$CB = CB’.$$

Do đó:

$$CA + CB = CA + CB’.$$

Bài toán quy về: tìm $C$ trên $d$ sao cho $CA + CB’$ nhỏ nhất. Vì $A$ và $B’$ nằm ở hai phía khác nhau của $d$, nên đoạn thẳng $AB’$ cắt $d$ tại một điểm — gọi điểm đó là $C_0$.

Trường hợp $C$ trùng $C_0$ (tức $C$ nằm trên đoạn thẳng $AB’$): $A$, $C$, $B’$ thẳng hàng và $C$ nằm giữa $A$ và $B’$, nên $CA + CB’ = AB’$.

Trường hợp $C$ là điểm khác trên $d$ ($C \neq C_0$): Ba điểm $A$, $C$, $B’$ không thẳng hàng. Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác $ACB’$:

$$CA + CB’ > AB’.$$

Kết hợp hai trường hợp, $CA + CB’ \geq AB’$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $C$ trùng $C_0$.

Vậy $CA + CB$ nhỏ nhất khi $C$ trùng $C_0$, tức là $C$ là giao điểm của đoạn thẳng $AB’$ với đường thẳng $d$ (trong đó $B’$ là điểm đối xứng với $B$ qua $d$).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du