Bài tập (trang 46)

Bài 7.42 (trang 46)

Đề bài: Một hãng taxi quy định giá cước như sau: $0{,}5$ km đầu tiên giá $8\,000$ đồng; tiếp theo cứ mỗi kilômét giá $11\,000$ đồng. Giả sử một người thuê xe đi $x$ (kilômét).

a) Chứng tỏ rằng biểu thức biểu thị số tiền mà người đó phải trả là một đa thức. Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.

b) Giá trị của đa thức tại $x = 9$ nói lên điều gì?

Lời giải:

a) Em phân tích quãng đường đi $x$ km thành hai phần để tính tiền:

Phần $0{,}5$ km đầu tiên có giá cố định: $8\,000$ đồng.

Phần còn lại có quãng đường là $(x – 0{,}5)$ km, tính giá $11\,000$ đồng/km, nên số tiền là $11\,000 \cdot (x – 0{,}5)$ đồng.

Tổng số tiền phải trả là:

$$8\,000 + 11\,000 \cdot (x – 0{,}5) = 8\,000 + 11\,000x – 11\,000 \cdot 0{,}5$$

$$= 8\,000 + 11\,000x – 5\,500 = 11\,000x + 2\,500 \text{ (đồng).}$$

Biểu thức $11\,000x + 2\,500$ là một đa thức một biến (theo biến $x$). Hạng tử có bậc cao nhất là $11\,000x$ (bậc $1$), hạng tử bậc $0$ là $2\,500$. Do đó:

Bậc của đa thức: $1$.

Hệ số cao nhất: $11\,000$.

Hệ số tự do: $2\,500$.

b) Thay $x = 9$ vào đa thức $11\,000x + 2\,500$:

$$11\,000 \cdot 9 + 2\,500 = 99\,000 + 2\,500 = 101\,500 \text{ (đồng).}$$

Ý nghĩa: nếu người đó thuê xe đi $9$ km thì phải trả $101\,500$ đồng.

Bài 7.43 (trang 46)

Đề bài: Cho đa thức bậc hai $F(x) = ax^2 + bx + c$, trong đó $a$, $b$ và $c$ là những số với $a \neq 0$.

a) Cho biết $a + b + c = 0$. Giải thích tại sao $x = 1$ là một nghiệm của $F(x)$.

b) Áp dụng, hãy tìm một nghiệm của đa thức bậc hai $2x^2 – 5x + 3$.

Lời giải:

a) Em nhớ định nghĩa nghiệm của đa thức (Bài 25): nếu tại $x = a$, đa thức $F(x)$ có giá trị bằng $0$ (tức $F(a) = 0$) thì $a$ là một nghiệm của $F(x)$.

Thay $x = 1$ vào $F(x) = ax^2 + bx + c$:

$$F(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c.$$

Theo giả thiết $a + b + c = 0$, nên $F(1) = 0$. Do đó $x = 1$ là một nghiệm của $F(x)$.

b) Đa thức bậc hai $2x^2 – 5x + 3$ có $a = 2$, $b = -5$ và $c = 3$. Tính tổng:

$$a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0.$$

Vì $a + b + c = 0$, áp dụng kết quả câu a), $x = 1$ là một nghiệm của đa thức $2x^2 – 5x + 3$.

Kiểm tra: Thay $x = 1$ vào đa thức:

$$2 \cdot 1^2 – 5 \cdot 1 + 3 = 2 – 5 + 3 = 0 ;\checkmark.$$

Vậy $x = 1$ là một nghiệm của $2x^2 – 5x + 3$.

Bài 7.44 (trang 46)

Đề bài: Cho đa thức $A = x^4 + x^3 – 2x – 2$.

a) Tìm đa thức $B$ sao cho $A + B = x^3 + 3x + 1$.

b) Tìm đa thức $C$ sao cho $A – C = x^5$.

c) Tìm đa thức $D$, biết rằng $D = (2x^2 – 3) \cdot A$.

d) Tìm đa thức $P$ sao cho $A = (x + 1) \cdot P$.

e) Có hay không một đa thức $Q$ sao cho $A = (x^2 + 1) \cdot Q$?

Lời giải:

a) Từ $A + B = x^3 + 3x + 1$, ta có $B = (x^3 + 3x + 1) – A$. Tính:

$$B = (x^3 + 3x + 1) – (x^4 + x^3 – 2x – 2)$$

$$= x^3 + 3x + 1 – x^4 – x^3 + 2x + 2 \quad \text{(đổi dấu các hạng tử của } A\text{)}$$

$$= -x^4 + (x^3 – x^3) + (3x + 2x) + (1 + 2)$$

$$= -x^4 + 5x + 3.$$

Vậy $B = -x^4 + 5x + 3$.

b) Từ $A – C = x^5$, ta có $C = A – x^5$. Tính:

$$C = (x^4 + x^3 – 2x – 2) – x^5 = -x^5 + x^4 + x^3 – 2x – 2.$$

Vậy $C = -x^5 + x^4 + x^3 – 2x – 2$.

c) Tính $D = (2x^2 – 3)(x^4 + x^3 – 2x – 2)$ bằng cách nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với toàn bộ đa thức thứ hai:

$$2x^2 \cdot (x^4 + x^3 – 2x – 2) = 2x^6 + 2x^5 – 4x^3 – 4x^2.$$

$$-3 \cdot (x^4 + x^3 – 2x – 2) = -3x^4 – 3x^3 + 6x + 6.$$

Cộng hai kết quả lại, gộp các hạng tử cùng bậc:

Bậc $6$: $2x^6$.

Bậc $5$: $2x^5$.

Bậc $4$: $-3x^4$.

Bậc $3$: $-4x^3 – 3x^3 = -7x^3$.

Bậc $2$: $-4x^2$.

Bậc $1$: $6x$.

Bậc $0$: $6$.

Vậy $D = 2x^6 + 2x^5 – 3x^4 – 7x^3 – 4x^2 + 6x + 6$.

d) Từ $A = (x + 1) \cdot P$, ta có $P = A : (x + 1) = (x^4 + x^3 – 2x – 2) : (x + 1)$.

Để dễ đặt tính, ta viết đa thức bị chia là $x^4 + x^3 + 0x^2 – 2x – 2$ (thêm hạng tử $0x^2$).

Thực hiện phép chia theo từng bước:

Bước 1: $x^4 : x = x^3$ (hạng tử đầu tiên của thương).

Bước 2: $x^3 \cdot (x + 1) = x^4 + x^3$.

Bước 3: Lấy đa thức bị chia trừ tích vừa tính:

$$(x^4 + x^3 + 0x^2 – 2x – 2) – (x^4 + x^3) = 0x^2 – 2x – 2 = -2x – 2 ;;(\text{dư thứ nhất}).$$

Bước 4: Dư $-2x – 2$ có bậc $1$, bằng bậc của đa thức chia, nên ta tiếp tục. $-2x : x = -2$ (hạng tử tiếp theo của thương).

Bước 5: $-2 \cdot (x + 1) = -2x – 2$.

Bước 6: $(-2x – 2) – (-2x – 2) = 0$.

Dư cuối cùng bằng $0$, phép chia kết thúc. Thương là $x^3 – 2$ (giữa $x^3$ và $-2$ không có hạng tử $x^2$ hay $x$ vì các hệ số đó bằng $0$).

Vậy $P = x^3 – 2$.

Kiểm tra: $(x + 1)(x^3 – 2) = x^4 – 2x + x^3 – 2 = x^4 + x^3 – 2x – 2 = A$ $\checkmark$.

e) Để biết có hay không đa thức $Q$ sao cho $A = (x^2 + 1) \cdot Q$, ta thực hiện phép chia $A : (x^2 + 1)$ và kiểm tra xem dư có bằng $0$ hay không.

Viết đa thức bị chia là $x^4 + x^3 + 0x^2 – 2x – 2$ (thêm hạng tử $0x^2$).

Bước 1: $x^4 : x^2 = x^2$.

Bước 2: $x^2 \cdot (x^2 + 1) = x^4 + x^2$.

Bước 3: $(x^4 + x^3 + 0x^2 – 2x – 2) – (x^4 + x^2) = x^3 – x^2 – 2x – 2$ (dư thứ nhất).

Bước 4: $x^3 : x^2 = x$.

Bước 5: $x \cdot (x^2 + 1) = x^3 + x$.

Bước 6: $(x^3 – x^2 – 2x – 2) – (x^3 + x) = -x^2 – 3x – 2$ (dư thứ hai).

Bước 7: $-x^2 : x^2 = -1$.

Bước 8: $-1 \cdot (x^2 + 1) = -x^2 – 1$.

Bước 9: $(-x^2 – 3x – 2) – (-x^2 – 1) = -3x – 1$ (dư thứ ba).

Dư $-3x – 1$ có bậc $1$, nhỏ hơn bậc $2$ của $(x^2 + 1)$, phép chia kết thúc.

Vì dư $-3x – 1 \neq 0$ nên $A$ không chia hết cho $(x^2 + 1)$. Do đó không có đa thức $Q$ nào sao cho $A = (x^2 + 1) \cdot Q$.

Bài 7.45 (trang 46)

Đề bài: Cho đa thức $P(x)$. Giải thích tại sao nếu có đa thức $Q(x)$ sao cho $P(x) = (x – 3) \cdot Q(x)$ (tức là $P(x)$ chia hết cho $x – 3$) thì $x = 3$ là một nghiệm của $P(x)$.

Lời giải:

Em áp dụng định nghĩa nghiệm của đa thức (Bài 25): nếu tại $x = a$, đa thức $P(x)$ có giá trị bằng $0$, tức $P(a) = 0$, thì $a$ là một nghiệm của $P(x)$.

Theo giả thiết $P(x) = (x – 3) \cdot Q(x)$. Thay $x = 3$ vào hai vế:

$$P(3) = (3 – 3) \cdot Q(3) = 0 \cdot Q(3) = 0.$$

Vì $P(3) = 0$ nên theo định nghĩa nghiệm, $x = 3$ là một nghiệm của $P(x)$.

Vậy nếu $P(x)$ chia hết cho $x – 3$ thì $x = 3$ chắc chắn là một nghiệm của $P(x)$.

Bài 7.46 (trang 46)

Đề bài: Hai bạn Tròn và Vuông tranh luận với nhau như sau:

• Tròn: Đa thức $M(x) = x^3 + 1$ có thể viết được thành tổng của hai đa thức bậc hai.
• Vuông: Không thể như thế được. Nhưng $M(x)$ có thể viết được thành tổng của hai đa thức bậc bốn.

Hãy cho biết ý kiến của em và nêu một ví dụ minh hoạ.

Lời giải:

Ý kiến về Tròn: Tròn nói không đúng.

Lí do: giả sử $M(x) = A(x) + B(x)$ với $A(x)$ và $B(x)$ đều là đa thức bậc $2$. Khi đó cả $A(x)$ và $B(x)$ đều không có hạng tử bậc $3$ (hệ số của $x^3$ trong mỗi đa thức bằng $0$). Cộng hai đa thức lại, hệ số của $x^3$ trong tổng vẫn bằng $0 + 0 = 0$, tức là $A(x) + B(x)$ không có hạng tử bậc $3$.

Nhưng $M(x) = x^3 + 1$ có hạng tử bậc $3$ với hệ số $1 \neq 0$. Mâu thuẫn! Vậy không thể viết $M(x)$ thành tổng của hai đa thức bậc $2$.

Ý kiến về Vuông: Vuông nói đúng.

Lí do: nếu $A(x)$ và $B(x)$ đều là đa thức bậc $4$, thì khi cộng lại, các hạng tử bậc $4$ có thể triệt tiêu nhau (nếu hệ số của $x^4$ ở hai đa thức là số đối nhau), khiến tổng có bậc nhỏ hơn $4$, thậm chí bằng bậc $3$ như $M(x)$.

Ví dụ minh hoạ: Chọn

$$A(x) = x^4 + x^3 \quad \text{và} \quad B(x) = -x^4 + 1.$$

Cả $A(x)$ và $B(x)$ đều là đa thức bậc $4$ (vì hệ số của $x^4$ trong mỗi đa thức đều khác $0$).

Cộng hai đa thức:

$$A(x) + B(x) = (x^4 + x^3) + (-x^4 + 1) = (x^4 – x^4) + x^3 + 1 = x^3 + 1 = M(x). ;\checkmark$$

Vậy ta có thể viết $M(x) = x^3 + 1 = (x^4 + x^3) + (-x^4 + 1)$ — đúng như Vuông nói.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du