Quy ước kí hiệu: $a \vdots b$ đọc là “$a$ chia hết cho $b$”; $a \not\vdots b$ đọc là “$a$ không chia hết cho $b$”.

1. Quan hệ chia hết

Câu hỏi 1 (trang 30)

Đề bài: Tìm kí hiệu thích hợp ($\vdots$ hoặc $\not\vdots$) thay cho dấu “?”:

$$24 \text{ ? } 6; \qquad 45 \text{ ? } 10; \qquad 35 \text{ ? } 5; \qquad 42 \text{ ? } 4$$

Lời giải:

Ta thực hiện phép chia để xem có dư hay không.

• $24 : 6 = 4$, không dư $\Rightarrow 24 \vdots 6$.
• $45 : 10 = 4$ dư $5$ (còn dư) $\Rightarrow 45 \not\vdots 10$.
• $35 : 5 = 7$, không dư $\Rightarrow 35 \vdots 5$.
• $42 : 4 = 10$ dư $2$ (còn dư) $\Rightarrow 42 \not\vdots 4$.

Câu hỏi 2 (trang 30)

Đề bài: Bạn Vuông nói “$5$ là ước của $15$”, bạn Tròn nói “$6$ là ước của $15$”. Bạn nào đúng?

Lời giải:

Ta nhớ lại: $b$ là ước của $a$ khi $a \vdots b$.

• Xét bạn Vuông: $15 : 5 = 3$, không dư, tức $15 \vdots 5$. Vậy $5$ là ước của $15$ $\Rightarrow$ bạn Vuông đúng.
• Xét bạn Tròn: $15 : 6 = 2$ dư $3$, tức $15 \not\vdots 6$. Vậy $6$ không phải ước của $15$ $\Rightarrow$ bạn Tròn sai.

Hoạt động 1 (trang 31)

Đề bài: Lần lượt chia $12$ cho các số từ $1$ đến $12$, em hãy viết tập hợp tất cả các ước của $12$.

Lời giải:

Ta lần lượt chia $12$ cho các số từ $1$ đến $12$, số nào chia hết thì đó là ước:

• $12 : 1 = 12$ ✓
• $12 : 2 = 6$ ✓
• $12 : 3 = 4$ ✓
• $12 : 4 = 3$ ✓
• $12 : 5$ → không chia hết ✗
• $12 : 6 = 2$ ✓
• $12 : 7;\ 8;\ 9;\ 10;\ 11$ → đều không chia hết ✗
• $12 : 12 = 1$ ✓

Vậy tập hợp các ước của $12$ là:

$$Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}$$

Luyện tập 1 (trang 31)

Đề bài:

a) Hãy tìm tất cả các ước của $20$;

b) Hãy tìm tất cả các bội nhỏ hơn $50$ của $4$.

Lời giải:

a) Lần lượt chia $20$ cho các số từ $1$ đến $20$, giữ lại những số chia hết:

$$20 : 1 = 20;\quad 20 : 2 = 10;\quad 20 : 4 = 5;\quad 20 : 5 = 4;\quad 20 : 10 = 2;\quad 20 : 20 = 1$$

Vậy: $Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}$.

b) Muốn tìm bội của $4$, ta nhân $4$ lần lượt với $0; 1; 2; 3; \ldots$ và dừng lại khi kết quả không còn nhỏ hơn $50$:

$$4 \cdot 0 = 0;\ 4 \cdot 1 = 4;\ 4 \cdot 2 = 8;\ \ldots;\ 4 \cdot 12 = 48;\ 4 \cdot 13 = 52 \ (\geq 50, \text{ dừng lại})$$

Vậy các bội nhỏ hơn $50$ của $4$ là: $0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48$.

Thử thách nhỏ (trang 31)

Đề bài: Hãy tìm ba ước khác nhau của $12$ sao cho tổng của chúng bằng $12$.

Lời giải:

Trước hết ta đã biết các ước của $12$ là: $1; 2; 3; 4; 6; 12$.

Bây giờ ta thử chọn ra ba ước khác nhau trong các số trên sao cho cộng lại bằng $12$. Thử với các số $2, 4, 6$:

$$2 + 4 + 6 = 12 \ ✓$$

Vậy ba ước cần tìm là $2;\ 4;\ 6$.

2. Tính chất chia hết của một tổng

Hoạt động 3 (trang 31)

Đề bài: Viết hai số chia hết cho $5$. Tổng của chúng có chia hết cho $5$ không?

Lời giải:

Ta chọn hai số chia hết cho $5$, chẳng hạn $10$ và $15$ (đều chia hết cho $5$).

Tổng của chúng: $10 + 15 = 25$. Mà $25 : 5 = 5$, không dư, nên $25 \vdots 5$.

Vậy tổng của chúng chia hết cho $5$.

Hoạt động 4 (trang 31)

Đề bài: Viết ba số chia hết cho $7$. Tổng của chúng có chia hết cho $7$ không?

Lời giải:

Ta chọn ba số chia hết cho $7$, chẳng hạn $7;\ 14;\ 21$.

Tổng của chúng: $7 + 14 + 21 = 42$. Mà $42 : 7 = 6$, không dư, nên $42 \vdots 7$.

Vậy tổng của chúng chia hết cho $7$.

Hoạt động 2 (trang 32)

Đề bài: Bằng cách nhân $8$ với $0; 1; 2; \ldots$, em hãy viết các bội của $8$ nhỏ hơn $80$.

Lời giải:

Ta nhân $8$ lần lượt với $0; 1; 2; \ldots$ và dừng lại khi kết quả không còn nhỏ hơn $80$:

$$8 \cdot 0 = 0;\ 8 \cdot 1 = 8;\ 8 \cdot 2 = 16;\ \ldots;\ 8 \cdot 9 = 72;\ 8 \cdot 10 = 80 \ (\geq 80, \text{ dừng lại})$$

Vậy các bội của $8$ nhỏ hơn $80$ là: $0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72$.

Luyện tập 2 (trang 32)

Đề bài: Không thực hiện phép tính, hãy cho biết:

a) $24 + 48$ có chia hết cho $4$ không? Vì sao?

b) $48 + 12 – 36$ có chia hết cho $6$ không? Vì sao?

Lời giải:

a) Xét từng số hạng:

• $24 \vdots 4$ (vì $24 = 4 \cdot 6$);
• $48 \vdots 4$ (vì $48 = 4 \cdot 12$).

Cả hai số hạng đều chia hết cho $4$. Theo Tính chất 1, tổng chia hết cho $4$:

$$(24 + 48) \vdots 4$$

b) Xét từng số:

• $48 \vdots 6$ (vì $48 = 6 \cdot 8$);
• $12 \vdots 6$ (vì $12 = 6 \cdot 2$);
• $36 \vdots 6$ (vì $36 = 6 \cdot 6$).

Cả ba số đều chia hết cho $6$. Theo Tính chất 1 (cũng đúng với phép trừ):

$$(48 + 12 – 36) \vdots 6$$

Vận dụng 1 (trang 32)

Đề bài: Hãy tìm $x$ thuộc tập ${1; 14; 16; 22; 28}$, biết tổng $21 + x$ chia hết cho $7$.

Lời giải:

Ta thấy $21 \vdots 7$ (vì $21 = 7 \cdot 3$).

Tổng $21 + x$ có một số hạng là $21$ đã chia hết cho $7$. Theo các tính chất chia hết, tổng $21 + x$ chia hết cho $7$ khi và chỉ khi $x$ cũng chia hết cho $7$.

Xét từng số trong tập ${1; 14; 16; 22; 28}$:

• $1 \not\vdots 7$;
• $14 \vdots 7$ (vì $14 = 7 \cdot 2$) ✓;
• $16 \not\vdots 7$;
• $22 \not\vdots 7$;
• $28 \vdots 7$ (vì $28 = 7 \cdot 4$) ✓.

Vậy $x = 14$ hoặc $x = 28$.

Hoạt động 5 (trang 32)

Đề bài: Hãy viết hai số, trong đó một số chia hết cho $5$ và số còn lại không chia hết cho $5$. Tổng của chúng có chia hết cho $5$ không?

Lời giải:

Ta chọn $10$ (chia hết cho $5$) và $7$ (không chia hết cho $5$).

Tổng của chúng: $10 + 7 = 17$. Mà $17 : 5 = 3$ dư $2$, nên $17 \not\vdots 5$.

Vậy tổng của chúng không chia hết cho $5$.

Hoạt động 6 (trang 32)

Đề bài: Hãy viết ba số, trong đó hai số chia hết cho $4$ và số còn lại không chia hết cho $4$. Tổng của chúng có chia hết cho $4$ không?

Lời giải:

Ta chọn $8$ và $12$ (đều chia hết cho $4$) cùng với $5$ (không chia hết cho $4$).

Tổng của chúng: $8 + 12 + 5 = 25$. Mà $25 : 4 = 6$ dư $1$, nên $25 \not\vdots 4$.

Vậy tổng của chúng không chia hết cho $4$.

Luyện tập 3 (trang 33)

Đề bài: Không thực hiện phép tính, hãy cho biết:

a) $20 + 81$ có chia hết cho $5$ không? Vì sao?

b) $34 + 28 – 12$ có chia hết cho $4$ không? Vì sao?

Lời giải:

a) Xét từng số hạng:

• $20 \vdots 5$ (vì $20 = 5 \cdot 4$);
• $81 \not\vdots 5$ (vì $81 = 5 \cdot 16 + 1$).

Có đúng một số hạng ($81$) không chia hết cho $5$, số hạng còn lại chia hết. Theo Tính chất 2:

$$(20 + 81) \not\vdots 5$$

b) Xét từng số:

• $34 \not\vdots 4$ (vì $34 = 4 \cdot 8 + 2$);
• $28 \vdots 4$ (vì $28 = 4 \cdot 7$);
• $12 \vdots 4$ (vì $12 = 4 \cdot 3$).

Có đúng một số ($34$) không chia hết cho $4$, các số còn lại đều chia hết. Theo Tính chất 2 (cũng đúng với phép trừ):

$$(34 + 28 – 12) \not\vdots 4$$

Vận dụng 2 (trang 33)

Đề bài: Tìm $x$ thuộc tập ${5; 25; 39; 54}$ sao cho tổng $20 + 45 + x$ không chia hết cho $5$.

Lời giải:

Ta thấy $20 \vdots 5$ và $45 \vdots 5$, nên hai số hạng $20$ và $45$ đã chia hết cho $5$.

Khi đó, để tổng $20 + 45 + x$ không chia hết cho $5$, thì số hạng còn lại $x$ phải không chia hết cho $5$ (theo Tính chất 2).

Xét từng số trong tập ${5; 25; 39; 54}$:

• $5 \vdots 5$ (loại, vì chia hết);
• $25 \vdots 5$ (loại);
• $39 \not\vdots 5$ ✓;
• $54 \not\vdots 5$ ✓.

Vậy $x = 39$ hoặc $x = 54$.

Bài tập (trang 33)

Bài 2.1 (trang 33)

Đề bài: Hãy tìm các ước của mỗi số sau: $30;\ 35;\ 17$.

Lời giải:

Ta lần lượt chia mỗi số cho các số từ $1$ đến chính nó, giữ lại các số chia hết.

• Ước của $30$: $30 : 1; 30 : 2; 30 : 3; 30 : 5; 30 : 6; 30 : 10; 30 : 15; 30 : 30$ đều chia hết.

$$Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}$$

• Ước của $35$: chỉ có $1; 5; 7; 35$ chia hết.

$$Ư(35) = {1; 5; 7; 35}$$

• Ước của $17$: $17$ chỉ chia hết cho $1$ và chính nó.

$$Ư(17) = {1; 17}$$

Bài 2.2 (trang 33)

Đề bài: Trong các số sau, số nào là bội của $4$? $16;\ 24;\ 35$.

Lời giải:

Một số là bội của $4$ khi nó chia hết cho $4$. Ta kiểm tra từng số:

• $16 : 4 = 4$, không dư $\Rightarrow 16$ là bội của $4$.
• $24 : 4 = 6$, không dư $\Rightarrow 24$ là bội của $4$.
• $35 : 4 = 8$ dư $3 \Rightarrow 35$ không là bội của $4$.

Vậy các số là bội của $4$ là: $16$ và $24$.

Bài 2.3 (trang 33)

Đề bài: Tìm các số tự nhiên $x, y$ sao cho:

a) $x \in B(7)$ và $x < 70$;

b) $y \in Ư(50)$ và $y > 5$.

Lời giải:

a) $x$ là bội của $7$ và nhỏ hơn $70$. Ta nhân $7$ lần lượt với $0; 1; 2; \ldots$ rồi lấy các kết quả nhỏ hơn $70$:

$$x \in {0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63}$$

(Số $7 \cdot 10 = 70$ không nhỏ hơn $70$ nên không lấy.)

b) $y$ là ước của $50$ và lớn hơn $5$. Trước hết tìm tất cả các ước của $50$:

$$Ư(50) = {1; 2; 5; 10; 25; 50}$$

Trong đó các số lớn hơn $5$ là: $y \in {10; 25; 50}$.

Bài 2.4 (trang 33)

Đề bài: Không thực hiện phép tính, hãy cho biết tổng nào sau đây chia hết cho $5$?

a) $15 + 1\ 975 + 2\ 019$;

b) $20 + 90 + 2\ 025 + 2\ 050$.

Lời giải:

Ta nhớ một số chia hết cho $5$ khi chữ số tận cùng của nó là $0$ hoặc $5$.

a) Xét từng số hạng:

• $15 \vdots 5$ (tận cùng là $5$);
• $1\ 975 \vdots 5$ (tận cùng là $5$);
• $2\ 019 \not\vdots 5$ (tận cùng là $9$).

Có đúng một số hạng ($2\ 019$) không chia hết cho $5$. Theo Tính chất 2: $(15 + 1\ 975 + 2\ 019) \not\vdots 5$.

b) Xét từng số hạng:

• $20 \vdots 5$; $\ 90 \vdots 5$; $\ 2\ 025 \vdots 5$; $\ 2\ 050 \vdots 5$ (tất cả đều tận cùng là $0$ hoặc $5$).

Tất cả các số hạng đều chia hết cho $5$. Theo Tính chất 1: $(20 + 90 + 2\ 025 + 2\ 050) \vdots 5$.

Vậy tổng ở câu b) chia hết cho $5$.

Bài 2.5 (trang 33)

Đề bài: Không thực hiện phép tính, hãy cho biết hiệu nào sau đây chia hết cho $8$?

a) $100 – 40$;

b) $80 – 16$.

Lời giải:

a) Xét từng số:

• $100 \not\vdots 8$ (vì $100 = 8 \cdot 12 + 4$);
• $40 \vdots 8$ (vì $40 = 8 \cdot 5$).

Có đúng một số ($100$) không chia hết cho $8$. Theo Tính chất 2 (đúng với phép trừ): $(100 – 40) \not\vdots 8$.

b) Xét từng số:

• $80 \vdots 8$ (vì $80 = 8 \cdot 10$);
• $16 \vdots 8$ (vì $16 = 8 \cdot 2$).

Cả hai số đều chia hết cho $8$. Theo Tính chất 1: $(80 – 16) \vdots 8$.

Vậy hiệu ở câu b) chia hết cho $8$.

Bài 2.6 (trang 33)

Đề bài: Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) $219 \cdot 7 + 8$ chia hết cho $7$;

b) $8 \cdot 12 + 9$ chia hết cho $3$.

Lời giải:

a) Xét tổng $219 \cdot 7 + 8$:

• Số hạng $219 \cdot 7$: trong tích có thừa số $7 \vdots 7$ nên $219 \cdot 7 \vdots 7$.
• Số hạng $8$: $8 \not\vdots 7$.

Có đúng một số hạng ($8$) không chia hết cho $7$. Theo Tính chất 2: $(219 \cdot 7 + 8) \not\vdots 7$.

Vậy khẳng định a) sai.

b) Xét tổng $8 \cdot 12 + 9$:

• Số hạng $8 \cdot 12$: trong tích có thừa số $12 \vdots 3$ nên $8 \cdot 12 \vdots 3$.
• Số hạng $9$: $9 \vdots 3$.

Cả hai số hạng đều chia hết cho $3$. Theo Tính chất 1: $(8 \cdot 12 + 9) \vdots 3$.

Vậy khẳng định b) đúng.

Bài 2.7 (trang 33)

Đề bài: Cô giáo muốn chia đều $40$ học sinh thành các nhóm để thực hiện các dự án học tập. Hoàn thành bảng sau (bỏ trống trong trường hợp không chia được).

Lời giải:

Để chia đều $40$ học sinh, ta lấy $40$ chia cho số nhóm (hoặc chia cho số người ở mỗi nhóm). Nếu phép chia hết thì điền được, nếu không chia hết thì bỏ trống.

• $40 : 4 = 10$ → $4$ nhóm, mỗi nhóm $10$ người.
• $40 : 8 = 5$ → $5$ nhóm, mỗi nhóm $8$ người.
• $40 : 6 = 6$ dư $4$ → không chia hết, bỏ trống.
• $40 : 8 = 5$ → $8$ nhóm, mỗi nhóm $5$ người.
• $40 : 4 = 10$ → $10$ nhóm, mỗi nhóm $4$ người.

Bài 2.8 (trang 33)

Đề bài: Đội thể thao của trường có $45$ vận động viên. Huấn luyện viên muốn chia thành các nhóm để tập luyện sao cho mỗi nhóm có ít nhất $2$ người và không quá $10$ người. Biết rằng các nhóm có số người như nhau, em hãy giúp huấn luyện viên chia nhé.

Lời giải:

Vì các nhóm có số người như nhau nên số người mỗi nhóm phải là ước của $45$.

Trước hết tìm các ước của $45$:

$$Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}$$

Đề yêu cầu mỗi nhóm có ít nhất $2$ người và không quá $10$ người, tức là số người mỗi nhóm $\geq 2$ và $\leq 10$. Trong các ước trên, các số thoả mãn là: $3;\ 5;\ 9$.

Vậy có $3$ cách chia:

• Mỗi nhóm $3$ người $\Rightarrow$ có $45 : 3 = 15$ nhóm.
• Mỗi nhóm $5$ người $\Rightarrow$ có $45 : 5 = 9$ nhóm.
• Mỗi nhóm $9$ người $\Rightarrow$ có $45 : 9 = 5$ nhóm.

Bài 2.9 (trang 33)

Đề bài:

a) Tìm $x$ thuộc tập ${23; 24; 25; 26}$, biết $56 – x$ chia hết cho $8$;

b) Tìm $x$ thuộc tập ${22; 24; 45; 48}$, biết $60 + x$ không chia hết cho $6$.

Lời giải:

a) Ta thấy $56 \vdots 8$ (vì $56 = 8 \cdot 7$). Hiệu $56 – x$ chia hết cho $8$ khi $x$ cũng chia hết cho $8$. Xét từng số:

• $23 \not\vdots 8$;
• $24 \vdots 8$ (vì $24 = 8 \cdot 3$) ✓;
• $25 \not\vdots 8$;
• $26 \not\vdots 8$.

Vậy $x = 24$.

b) Ta thấy $60 \vdots 6$ (vì $60 = 6 \cdot 10$). Để tổng $60 + x$ không chia hết cho $6$, thì $x$ phải không chia hết cho $6$. Xét từng số:

• $22 \not\vdots 6$ ✓;
• $24 \vdots 6$ (loại);
• $45 \not\vdots 6$ ✓;
• $48 \vdots 6$ (loại).

Vậy $x = 22$ hoặc $x = 45$.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du