Thứ tự của các số tự nhiên

Hoạt động 1 (trang 13)

Đề bài: Trong hai điểm $5$ và $8$ trên tia số, điểm nào nằm bên trái, điểm nào nằm bên phải điểm kia?

Lời giải:

Trên tia số, số nào nhỏ hơn thì điểm biểu diễn nằm ở bên trái, số nào lớn hơn thì nằm ở bên phải.

Vì $5 < 8$ nên:

• Điểm $5$ nằm bên trái điểm $8$.
• Điểm $8$ nằm bên phải điểm $5$.

Hoạt động 2 (trang 13)

Đề bài: Điểm biểu diễn số tự nhiên nào nằm ngay bên trái điểm $8$? Điểm biểu diễn số tự nhiên nào nằm ngay bên phải điểm $8$?

Lời giải:

• Điểm nằm ngay bên trái điểm $8$ là điểm biểu diễn số liền trước của $8$. Đó là số $8 – 1 = 7$, tức là điểm $7$.
• Điểm nằm ngay bên phải điểm $8$ là điểm biểu diễn số liền sau của $8$. Đó là số $8 + 1 = 9$, tức là điểm $9$.

Hoạt động 3 (trang 13)

Đề bài: Cho $n$ là một số tự nhiên nhỏ hơn $7$. Theo em, điểm $n$ nằm bên trái hay bên phải điểm $7$?

Lời giải:

Đề cho $n$ là số tự nhiên nhỏ hơn $7$, tức là $n < 7$.

Mà trên tia số, số nhỏ hơn thì điểm của nó nằm bên trái. Vì $n < 7$ nên điểm $n$ nằm bên trái điểm $7$.

Luyện tập (trang 14)

Đề bài:

a) Hãy so sánh hai số tự nhiên sau đây, dùng kí hiệu “$<$” hay “$>$” để viết kết quả:

$$m = 12\ 036\ 001 \quad \text{và} \quad n = 12\ 035\ 987$$

b) Trên tia số (nằm ngang), trong hai điểm $m$ và $n$, điểm nào nằm trước?

Lời giải:

a) Hai số $m$ và $n$ đều có $8$ chữ số, nên ta so sánh từng cặp chữ số ở cùng một hàng, kể từ trái sang phải, cho đến khi gặp cặp chữ số đầu tiên khác nhau.

So sánh lần lượt: hàng chục triệu, triệu, trăm nghìn, chục nghìn đều bằng nhau. Đến hàng nghìn: $6 > 5$ nên ta dừng lại và kết luận:

$$m > n \quad \text{hay} \quad 12\ 036\ 001 > 12\ 035\ 987$$

b) Trên tia số nằm ngang, số nhỏ hơn thì điểm của nó nằm trước (bên trái). Vì $n < m$ nên điểm $n$ nằm trước điểm $m$.

Vận dụng (trang 14)

Đề bài: Theo dõi kết quả bán hàng trong ngày của một cửa hàng, người ta nhận thấy:

• Số tiền thu được vào buổi sáng nhiều hơn vào buổi chiều;
• Số tiền thu được vào buổi tối ít hơn vào buổi chiều.

Hãy so sánh số tiền thu được (đều là số tự nhiên) của cửa hàng đó vào buổi sáng và buổi tối.

Lời giải:

Gọi số tiền thu được vào buổi sáng, buổi chiều, buổi tối lần lượt là $x,\ y,\ z$ (đều là số tự nhiên).

Theo đề bài:

• Buổi sáng nhiều hơn buổi chiều: $x > y$ … (1)
• Buổi tối ít hơn buổi chiều: $z < y$, tức là $y > z$ … (2)

Từ (1) và (2) ta có $x > y$ và $y > z$. Áp dụng tính chất bắc cầu, suy ra:

$$x > z$$

Vậy số tiền thu được vào buổi sáng nhiều hơn số tiền thu được vào buổi tối.

Các kí hiệu ≤ và ≥

Câu hỏi (trang 14)

Đề bài: Trong các số $3; 5; 8; 9$, số nào thuộc tập hợp $A = {x \in \mathbb{N} \mid x \geq 5}$, số nào thuộc tập hợp $B = {x \in \mathbb{N} \mid x \leq 5}$?

Lời giải:

Ta nhớ lại: $x \geq 5$ nghĩa là “$x$ lớn hơn hoặc bằng $5$”; $x \leq 5$ nghĩa là “$x$ nhỏ hơn hoặc bằng $5$”. Bây giờ xét từng số $3; 5; 8; 9$.

Xét tập $A$ (điều kiện $x \geq 5$):

• $3 \geq 5$? Sai $\rightarrow 3 \notin A$.
• $5 \geq 5$? Đúng (vì $5 = 5$) $\rightarrow 5 \in A$.
• $8 \geq 5$? Đúng $\rightarrow 8 \in A$.
• $9 \geq 5$? Đúng $\rightarrow 9 \in A$.

Vậy các số thuộc $A$ là: $5; 8; 9$.

Xét tập $B$ (điều kiện $x \leq 5$):

• $3 \leq 5$? Đúng $\rightarrow 3 \in B$.
• $5 \leq 5$? Đúng (vì $5 = 5$) $\rightarrow 5 \in B$.
• $8 \leq 5$? Sai $\rightarrow 8 \notin B$.
• $9 \leq 5$? Sai $\rightarrow 9 \notin B$.

Vậy các số thuộc $B$ là: $3; 5$.

Lưu ý: Số $5$ thoả mãn cả hai điều kiện nên $5$ vừa thuộc $A$, vừa thuộc $B$.

Bài tập (trang 14)

Bài 1.13 (trang 14)

Đề bài: Viết thêm các số liền trước và liền sau của hai số $3\ 532$ và $3\ 529$ để được sáu số tự nhiên, rồi sắp xếp sáu số tự nhiên đó theo thứ tự từ bé đến lớn.

Lời giải:

Ta nhớ: số liền trước thì trừ $1$, số liền sau thì cộng $1$.

• Số $3\ 532$: liền trước là $3\ 532 – 1 = 3\ 531$; liền sau là $3\ 532 + 1 = 3\ 533$.
• Số $3\ 529$: liền trước là $3\ 529 – 1 = 3\ 528$; liền sau là $3\ 529 + 1 = 3\ 530$.

Sáu số tự nhiên thu được là: $3\ 531;\ 3\ 532;\ 3\ 533;\ 3\ 528;\ 3\ 529;\ 3\ 530$.

Sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn:

$$3\ 528 < 3\ 529 < 3\ 530 < 3\ 531 < 3\ 532 < 3\ 533$$

Bài 1.14 (trang 14)

Đề bài: Cho ba số tự nhiên $a, b, c$, trong đó $a$ là số nhỏ nhất. Biết rằng trên tia số, điểm $b$ nằm giữa hai điểm $a$ và $c$. Hãy dùng kí hiệu “$<$” để mô tả thứ tự của ba số $a, b, c$. Cho ví dụ bằng số cụ thể.

Lời giải:

Trên tia số, số nhỏ hơn nằm bên trái, số lớn hơn nằm bên phải.

• Vì $a$ là số nhỏ nhất nên điểm $a$ nằm ngoài cùng bên trái.
• Điểm $b$ nằm giữa $a$ và $c$, nên $b$ lớn hơn $a$ nhưng nhỏ hơn $c$.

Do đó thứ tự của ba số là:

$$a < b < c$$

Ví dụ: Lấy $a = 2,\ b = 5,\ c = 8$, ta có $2 < 5 < 8$ (điểm $5$ nằm giữa điểm $2$ và điểm $8$).

Bài 1.15 (trang 14)

Đề bài: Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau:

a) $M = {x \in \mathbb{N} \mid 10 \leq x < 15}$

b) $K = {x \in \mathbb{N}^* \mid x \leq 3}$

c) $L = {x \in \mathbb{N} \mid x \leq 3}$

Lời giải:

a) Điều kiện $10 \leq x < 15$ nghĩa là $x$ lớn hơn hoặc bằng $10$, và nhỏ hơn $15$ (không lấy $15$). Vậy $x$ nhận các giá trị: $10, 11, 12, 13, 14$.

$$M = {10; 11; 12; 13; 14}$$

b) Vì $x \in \mathbb{N}^*$ nên $x$ là số tự nhiên khác $0$, tức $x \geq 1$. Kết hợp với $x \leq 3$, ta được $x$ nhận các giá trị: $1, 2, 3$.

$$K = {1; 2; 3}$$

c) Vì $x \in \mathbb{N}$ nên $x \geq 0$. Kết hợp với $x \leq 3$, ta được $x$ nhận các giá trị: $0, 1, 2, 3$.

$$L = {0; 1; 2; 3}$$

So sánh: Tập $L$ có thêm số $0$ so với tập $K$, vì $\mathbb{N}$ có số $0$ còn $\mathbb{N}^*$ thì không.

Bài 1.16 (trang 14)

Đề bài: Ba bạn An, Bắc, Cường dựng cố định một cây sào thẳng đứng rồi đánh dấu chiều cao của các bạn lên đó bởi ba điểm. Cường đặt tên các điểm đó theo thứ tự từ dưới lên là $A, B, C$ và giải thích rằng điểm $A$ ứng với chiều cao của bạn An, $B$ ứng với chiều cao bạn Bắc và $C$ ứng với chiều cao của Cường. Biết rằng bạn An cao $150$ cm, bạn Bắc cao $153$ cm, bạn Cường cao $148$ cm. Theo em, Cường giải thích như thế có đúng không? Nếu không thì phải sửa như nào cho đúng?

Lời giải:

Vì các điểm được đánh dấu theo chiều cao, nên điểm ở thấp ứng với bạn thấp, điểm ở cao ứng với bạn cao.

Trước hết, ta so sánh chiều cao ba bạn:

$$148 < 150 < 153$$

tức là: Cường ($148$ cm) thấp nhất, rồi đến An ($150$ cm), cao nhất là Bắc ($153$ cm).

Cường lại đặt tên các điểm từ dưới lên là $A, B, C$ (điểm $A$ thấp nhất, $C$ cao nhất) và gán: $A$ – An, $B$ – Bắc, $C$ – Cường. Nghĩa là Cường cho rằng An thấp nhất và Cường cao nhất. Điều này không khớp với chiều cao thực tế.

Vậy Cường giải thích chưa đúng.

Sửa lại cho đúng theo thứ tự từ dưới (thấp) lên trên (cao):

• Điểm $A$ (thấp nhất) ứng với bạn Cường ($148$ cm).
• Điểm $B$ (ở giữa) ứng với bạn An ($150$ cm).
• Điểm $C$ (cao nhất) ứng với bạn Bắc ($153$ cm).

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du