1. Mở rộng khái niệm phân số

Câu hỏi (trang 5)

Đề bài: Cách viết nào sau đây cho ta một phân số? Cho biết tử và mẫu của phân số đó.

$$\dfrac{2{,}5}{-4}; \qquad \dfrac{0}{7}; \qquad \dfrac{3}{-8}; \qquad \dfrac{4}{0}.$$

Lời giải:

Nhớ lại: $\dfrac{a}{b}$ là phân số khi $a$ và $b$ đều là số nguyên và $b \neq 0$. Ta xét từng cách viết:

• $\dfrac{2{,}5}{-4}$: không phải phân số, vì tử số $2{,}5$ không phải là số nguyên.
• $\dfrac{0}{7}$: là phân số. Tử số là $0$, mẫu số là $7$ (cả hai đều là số nguyên và mẫu khác $0$).
• $\dfrac{3}{-8}$: là phân số. Tử số là $3$, mẫu số là $-8$.
• $\dfrac{4}{0}$: không phải phân số, vì mẫu số bằng $0$ (không thể chia cho $0$).

Kết luận: Hai cách viết cho ta phân số là $\dfrac{0}{7}$ và $\dfrac{3}{-8}$.

Luyện tập 1 (trang 5)

Đề bài: Viết kết quả của các phép chia sau dưới dạng phân số: a) $4 : 9$; b) $(-2) : 7$; c) $8 : (-3)$.

Lời giải:

Nhớ rằng phân số $\dfrac{a}{b}$ chính là kết quả của phép chia $a$ cho $b$. Vì vậy ta chỉ cần lấy số bị chia làm tử, số chia làm mẫu:

• a) $4 : 9 = \dfrac{4}{9}$.
• b) $(-2) : 7 = \dfrac{-2}{7}$.
• c) $8 : (-3) = \dfrac{8}{-3}$.

Tranh luận (trang 4, 5)

Đề bài: Em nghĩ sao về hai ý kiến của Vuông và Tròn? Ai đúng, ai sai?

• Vuông nói: “Mọi số nguyên đều có thể viết dưới dạng phân số.”
• Tròn nói: “Số nguyên sao có thể là một phân số được!!!”

Lời giải:

Bạn Vuông đúng, bạn Tròn sai.

Lí do: Mỗi số nguyên $a$ đều có thể viết thành phân số $\dfrac{a}{1}$ (vì $a$ là số nguyên và mẫu số $1 \neq 0$).

Chẳng hạn:

$$5 = \dfrac{5}{1}; \qquad -7 = \dfrac{-7}{1}; \qquad 0 = \dfrac{0}{1}.$$

Vậy mọi số nguyên đều viết được dưới dạng phân số.

2. Hai phân số bằng nhau

Hoạt động 1 (trang 5)

Đề bài: Viết phân số biểu thị phần tô màu trong mỗi hình (Hình 6.1).

Lời giải:

Ta đếm: hình được chia thành mấy phần bằng nhau (đó là mẫu số) và có mấy phần được tô màu (đó là tử số).

• Hình a) được chia thành $3$ phần bằng nhau, tô màu $2$ phần $\rightarrow$ phân số $\dfrac{2}{3}$.
• Hình b) được chia thành $6$ phần bằng nhau, tô màu $4$ phần $\rightarrow$ phân số $\dfrac{4}{6}$.

Hoạt động 2 (trang 5)

Đề bài: Dựa vào hình vẽ, em hãy so sánh các phân số nhận được.

Lời giải:

Hai hình chữ nhật có cùng kích thước. Nhìn vào hình, ta thấy phần được tô màu của hai hình bằng nhau (cùng một lượng diện tích). Do đó hai phân số biểu thị phần tô màu cũng bằng nhau:

$$\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}.$$

Nhận xét: Hai phân số bằng nhau có cùng giá trị.

Hoạt động 3 (trang 5)

Đề bài: Em hãy tìm các cặp phân số bằng nhau trong các phân số sau:

$$\dfrac{2}{5}; \qquad \dfrac{1}{3}; \qquad \dfrac{3}{9}; \qquad \dfrac{4}{10}.$$

Lời giải:

Ta để ý: nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số thì được một phân số bằng nó.

• Từ $\dfrac{2}{5}$, nhân cả tử và mẫu với $2$: $\dfrac{2 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{4}{10}$. Vậy $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}$.
• Từ $\dfrac{1}{3}$, nhân cả tử và mẫu với $3$: $\dfrac{1 \times 3}{3 \times 3} = \dfrac{3}{9}$. Vậy $\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{9}$.

Các cặp phân số bằng nhau là: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}$ và $\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{9}$.

Hoạt động 4 (trang 6)

Đề bài: Với mỗi cặp phân số bằng nhau trên, nhân tử số của phân số này với mẫu số của phân số kia rồi so sánh kết quả.

Lời giải:

Ta lấy tử của phân số này nhân với mẫu của phân số kia (gọi là nhân chéo):

• Cặp $\dfrac{2}{5}$ và $\dfrac{4}{10}$: $\quad 2 \times 10 = 20$ và $5 \times 4 = 20$. Hai tích bằng nhau.
• Cặp $\dfrac{1}{3}$ và $\dfrac{3}{9}$: $\quad 1 \times 9 = 9$ và $3 \times 3 = 9$. Hai tích bằng nhau.

Nhận xét (quy tắc bằng nhau của hai phân số):

$$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \quad \text{nếu} \quad a \cdot d = b \cdot c.$$

Luyện tập 2 (trang 6)

Đề bài: Các cặp phân số sau đây có bằng nhau không? a) $\dfrac{-3}{5}$ và $\dfrac{9}{-15}$; b) $\dfrac{-1}{-4}$ và $\dfrac{1}{4}$.

Lời giải:

Ta dùng quy tắc nhân chéo: tính hai tích chéo rồi so sánh.

a) Xét $\dfrac{-3}{5}$ và $\dfrac{9}{-15}$:

• Tích thứ nhất: $(-3) \times (-15) = 45$.
• Tích thứ hai: $5 \times 9 = 45$.

Hai tích bằng nhau ($45 = 45$), nên $\dfrac{-3}{5} = \dfrac{9}{-15}$.

b) Xét $\dfrac{-1}{-4}$ và $\dfrac{1}{4}$:

• Tích thứ nhất: $(-1) \times 4 = -4$.
• Tích thứ hai: $(-4) \times 1 = -4$.

Hai tích bằng nhau ($-4 = -4$), nên $\dfrac{-1}{-4} = \dfrac{1}{4}$.

3. Tính chất cơ bản của phân số

Hoạt động 5 (trang 6)

Đề bài: a) Cho biết các phân số $\dfrac{1}{2};\ \dfrac{2}{4};\ \dfrac{8}{16}$ có bằng nhau không? b) Thay các dấu “?” trong hình bằng số thích hợp rồi rút ra nhận xét.

Lời giải:

a) Ta dùng nhân chéo để kiểm tra:

• $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{2}{4}$: $\ 1 \times 4 = 4$ và $2 \times 2 = 4$. Bằng nhau $\rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$.
• $\dfrac{2}{4}$ và $\dfrac{8}{16}$: $\ 2 \times 16 = 32$ và $4 \times 8 = 32$. Bằng nhau $\rightarrow \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{16}$.

Vậy ba phân số bằng nhau: $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{8}{16}$.

b) Quan sát để tìm số phải nhân:

• Từ $\dfrac{1}{2}$ sang $\dfrac{2}{4}$: tử và mẫu đều nhân với $2$ ($1 \times 2 = 2$ và $2 \times 2 = 4$). Vậy ô “?” là $2$.
• Từ $\dfrac{2}{4}$ sang $\dfrac{8}{16}$: tử và mẫu đều nhân với $4$ ($2 \times 4 = 8$ và $4 \times 4 = 16$). Vậy ô “?” là $4$.

Nhận xét: Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số (khác $0$) thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Hoạt động 6 (trang 6)

Đề bài: Nhân cả tử và mẫu của phân số $\dfrac{-3}{2}$ với $(-5)$ ta được phân số nào? Phân số vừa tìm được có bằng phân số $\dfrac{-3}{2}$ không?

Lời giải:

Nhân cả tử và mẫu với $(-5)$:

$$\dfrac{-3}{2} = \dfrac{(-3) \times (-5)}{2 \times (-5)} = \dfrac{15}{-10}.$$

Kiểm tra lại bằng nhân chéo: $(-3) \times (-10) = 30$ và $2 \times 15 = 30$. Hai tích bằng nhau.

Vậy phân số tìm được là $\dfrac{15}{-10}$, và có bằng phân số $\dfrac{-3}{2}$.

Hoạt động 7 (trang 6)

Đề bài: Chia cả tử và mẫu của phân số $\dfrac{-28}{21}$ cho $7$ ta được phân số nào? Phân số vừa tìm được có bằng phân số $\dfrac{-28}{21}$ không?

Lời giải:

Vì $7$ là ước chung của $28$ và $21$, ta chia cả tử và mẫu cho $7$:

$$\dfrac{-28}{21} = \dfrac{(-28) : 7}{21 : 7} = \dfrac{-4}{3}.$$

Kiểm tra lại bằng nhân chéo: $(-28) \times 3 = -84$ và $21 \times (-4) = -84$. Hai tích bằng nhau.

Vậy phân số tìm được là $\dfrac{-4}{3}$, và có bằng phân số $\dfrac{-28}{21}$.

Luyện tập 3 (trang 7)

Đề bài: Tìm những cặp phân số bằng nhau trong các phân số sau và sử dụng tính chất cơ bản của phân số để giải thích kết luận:

$$\dfrac{1}{5}; \qquad \dfrac{-10}{55}; \qquad \dfrac{3}{15}; \qquad \dfrac{-2}{11}.$$

Lời giải:

Ta rút gọn từng phân số về dạng đơn giản nhất (chia cả tử và mẫu cho ước chung):

• $\dfrac{1}{5}$: đã tối giản.
• $\dfrac{-10}{55}$: chia cả tử và mẫu cho $5$: $\ \dfrac{(-10) : 5}{55 : 5} = \dfrac{-2}{11}$.
• $\dfrac{3}{15}$: chia cả tử và mẫu cho $3$: $\ \dfrac{3 : 3}{15 : 3} = \dfrac{1}{5}$.
• $\dfrac{-2}{11}$: đã tối giản.

So sánh kết quả, ta được các cặp phân số bằng nhau:

$$\dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{15} \quad \text{và} \quad \dfrac{-10}{55} = \dfrac{-2}{11}.$$

Luyện tập 4 (trang 7)

Đề bài: Trong các phân số $\dfrac{11}{23};\ \dfrac{-24}{15}$, phân số nào là phân số tối giản? Nếu chưa là phân số tối giản, hãy rút gọn chúng.

Lời giải:

Một phân số là tối giản khi tử và mẫu không còn ước chung nào khác $1$ và $-1$.

• $\dfrac{11}{23}$: $11$ và $23$ không có ước chung nào khác $1$, nên đây là phân số tối giản.
• $\dfrac{-24}{15}$: $24$ và $15$ có ước chung là $3$, nên chưa tối giản. Ta rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho $3$:

$$\dfrac{-24}{15} = \dfrac{(-24) : 3}{15 : 3} = \dfrac{-8}{5}.$$

Phân số $\dfrac{-8}{5}$ là tối giản vì $8$ và $5$ không có ước chung nào khác $1$.

Thử thách nhỏ (trang 7)

Đề bài: Việt đang chơi trò chơi dò đường. Việt chỉ được di chuyển giữa các ô theo đường kẻ và đi qua các ô chứa phân số bằng phân số $\dfrac{-3}{4}$. Em hãy giúp Việt tìm đường đến kho báu.

Lời giải:

Trước hết, ta tìm xem những ô nào chứa phân số bằng $\dfrac{-3}{4}$ (dùng cách rút gọn về $\dfrac{-3}{4}$):

• $\dfrac{-9}{12} = \dfrac{(-9):3}{12:3} = \dfrac{-3}{4}$. ✓
• $\dfrac{-15}{20} = \dfrac{(-15):5}{20:5} = \dfrac{-3}{4}$. ✓
• $\dfrac{-33}{44} = \dfrac{(-33):11}{44:11} = \dfrac{-3}{4}$. ✓
• $\dfrac{-27}{36} = \dfrac{(-27):9}{36:9} = \dfrac{-3}{4}$. ✓ (nhưng ô này nằm ở góc, không dẫn được tới kho báu)

Các ô còn lại như $\dfrac{-16}{25}$, $\dfrac{-9}{14}$, $\dfrac{6}{13}$ đều không bằng $\dfrac{-3}{4}$ nên Việt không được đi qua.

Đi từ ô Bắt đầu theo các ô hợp lệ và liền kề nhau, ta tìm được đường đến kho báu:

$$\text{Bắt đầu} ;\rightarrow; \dfrac{-9}{12} ;\rightarrow; \dfrac{-15}{20} ;\rightarrow; \dfrac{-33}{44} ;\rightarrow; \text{Kho báu}.$$

Bài tập (trang 8)

Bài 6.1 (trang 8)

Đề bài: Hoàn thành bảng sau.

Lời giải:

Ta dựa vào: cách đọc phân số, tử số (số trên), mẫu số (số dưới). Riêng dòng có sẵn cách đọc thì viết lại thành phân số; dòng có sẵn tử và mẫu thì ghép lại thành phân số.

Bài 6.2 (trang 8)

Đề bài: Thay dấu “?” bằng số thích hợp: a) $\dfrac{1}{2} = \dfrac{?}{8}$; b) $\dfrac{-6}{9} = \dfrac{18}{?}$.

Lời giải:

a) Quan sát mẫu số: từ $2$ sang $8$ là nhân với $4$ (vì $2 \times 4 = 8$). Theo tính chất cơ bản, tử số cũng phải nhân với $4$:

$$1 \times 4 = 4.$$

Vậy $\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}$, tức ô “?” là $4$.

b) Quan sát tử số: từ $-6$ sang $18$ là nhân với $(-3)$ (vì $(-6) \times (-3) = 18$). Theo tính chất cơ bản, mẫu số cũng phải nhân với $(-3)$:

$$9 \times (-3) = -27.$$

Vậy $\dfrac{-6}{9} = \dfrac{18}{-27}$, tức ô “?” là $-27$.

Bài 6.3 (trang 8)

Đề bài: Viết mỗi phân số sau đây thành phân số bằng nó và có mẫu dương: $\dfrac{8}{-11};\ \dfrac{-5}{-9}$.

Lời giải:

Cách làm: nhân cả tử và mẫu với $(-1)$ (tức đổi dấu cả tử lẫn mẫu) để mẫu trở thành số dương.

• $\dfrac{8}{-11} = \dfrac{8 \times (-1)}{(-11) \times (-1)} = \dfrac{-8}{11}$.
• $\dfrac{-5}{-9} = \dfrac{(-5) \times (-1)}{(-9) \times (-1)} = \dfrac{5}{9}$.

Bài 6.4 (trang 8)

Đề bài: Rút gọn các phân số sau: $\dfrac{-12}{-4};\ \dfrac{7}{-35};\ \dfrac{-9}{27}$.

Lời giải:

Khi mẫu âm, ta đưa mẫu về dương trước (đổi dấu cả tử và mẫu), rồi chia cả tử và mẫu cho ước chung.

• $\dfrac{-12}{-4} = \dfrac{12}{4} = \dfrac{12 : 4}{4 : 4} = \dfrac{3}{1} = 3$.
• $\dfrac{7}{-35} = \dfrac{-7}{35} = \dfrac{(-7) : 7}{35 : 7} = \dfrac{-1}{5}$.
• $\dfrac{-9}{27} = \dfrac{(-9) : 9}{27 : 9} = \dfrac{-1}{3}$.

Bài 6.5 (trang 8)

Đề bài: Viết các số đo thời gian sau đây theo đơn vị giờ, dưới dạng phân số tối giản: $15$ phút; $90$ phút.

Lời giải:

Nhớ rằng $1$ giờ $= 60$ phút, nên $x$ phút $= \dfrac{x}{60}$ giờ. Sau đó ta rút gọn về tối giản.

• $15$ phút $= \dfrac{15}{60}$ giờ $= \dfrac{15 : 15}{60 : 15} = \dfrac{1}{4}$ giờ.
• $90$ phút $= \dfrac{90}{60}$ giờ $= \dfrac{90 : 30}{60 : 30} = \dfrac{3}{2}$ giờ.

Bài 6.6 (trang 8)

Đề bài: Một vòi nước chảy vào một bể không có nước, sau $40$ phút thì đầy bể. Hỏi sau $10$ phút, lượng nước đã chảy chiếm bao nhiêu phần bể?

Lời giải:

Sau $40$ phút thì đầy $1$ bể, nên sau $10$ phút lượng nước chiếm số phần bể là:

$$\dfrac{10}{40} = \dfrac{10 : 10}{40 : 10} = \dfrac{1}{4}.$$

Vậy sau $10$ phút, lượng nước đã chảy chiếm $\dfrac{1}{4}$ bể.

Bài 6.7 (trang 8)

Đề bài: Hà Linh tham gia một cuộc thi sáng tác và nhận được phần thưởng là $200\,000$ đồng. Bạn mua một món quà tặng sinh nhật mẹ hết $80\,000$ đồng. Hỏi Hà Linh đã tiêu hết bao nhiêu phần số tiền mình được thưởng?

Lời giải:

Số tiền đã tiêu so với số tiền được thưởng là một phân số có tử là số tiền tiêu, mẫu là số tiền thưởng:

$$\dfrac{80\,000}{200\,000}.$$

Ta rút gọn phân số này. Trước hết chia cả tử và mẫu cho $10\,000$:

$$\dfrac{80\,000}{200\,000} = \dfrac{8}{20}.$$

Tiếp tục chia cả tử và mẫu cho $4$:

$$\dfrac{8}{20} = \dfrac{8 : 4}{20 : 4} = \dfrac{2}{5}.$$

Vậy Hà Linh đã tiêu hết $\dfrac{2}{5}$ số tiền mình được thưởng.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du