Phần Bài tập cuối chương II ôn lại toàn bộ kiến thức từ Bài 8 đến Bài 12: tính chất chia hết, dấu hiệu chia hết, số nguyên tố, ƯCLN và BCNN. Dưới đây là lời giải chi tiết, trình bày từng bước để các em dễ theo dõi.

Quy ước kí hiệu: $a \vdots b$ đọc là “$a$ chia hết cho $b$”; $a \not\vdots b$ đọc là “$a$ không chia hết cho $b$”. $ƯCLN(a, b)$, $BCNN(a, b)$ lần lượt là ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất.

Bài tập (trang 55)

Bài 2.53 (trang 55)

Đề bài: Tìm $x \in {50; 108; 189; 1\ 234; 2\ 019; 2\ 020}$ sao cho:

a) $x – 12$ chia hết cho $2$; $\qquad$ b) $x – 27$ chia hết cho $3$;

c) $x + 20$ chia hết cho $5$; $\qquad$ d) $x + 36$ chia hết cho $9$.

Lời giải:

a) Ta thấy $12 \vdots 2$. Theo tính chất chia hết của một hiệu, $(x – 12) \vdots 2$ khi và chỉ khi $x \vdots 2$, tức là $x$ là số chẵn. Trong tập đã cho, các số chẵn là:

$$x \in {50; 108; 1\ 234; 2\ 020}$$

b) Ta thấy $27 \vdots 3$. Vậy $(x – 27) \vdots 3$ khi và chỉ khi $x \vdots 3$ (tổng các chữ số chia hết cho $3$). Xét từng số:

• $50$: tổng $5 \not\vdots 3$; $\quad$ $108$: tổng $9 \vdots 3$ ✓; $\quad$ $189$: tổng $18 \vdots 3$ ✓;
• $1\ 234$: tổng $10 \not\vdots 3$; $\quad$ $2\ 019$: tổng $12 \vdots 3$ ✓; $\quad$ $2\ 020$: tổng $4 \not\vdots 3$.

$$x \in {108; 189; 2\ 019}$$

c) Ta thấy $20 \vdots 5$. Vậy $(x + 20) \vdots 5$ khi và chỉ khi $x \vdots 5$ (tận cùng là $0$ hoặc $5$). Trong tập đã cho:

$$x \in {50; 2\ 020}$$

d) Ta thấy $36 \vdots 9$. Vậy $(x + 36) \vdots 9$ khi và chỉ khi $x \vdots 9$ (tổng các chữ số chia hết cho $9$). Xét từng số:

• $50$: tổng $5 \not\vdots 9$; $\quad$ $108$: tổng $9 \vdots 9$ ✓; $\quad$ $189$: tổng $18 \vdots 9$ ✓;
• $1\ 234$: tổng $10 \not\vdots 9$; $\quad$ $2\ 019$: tổng $12 \not\vdots 9$; $\quad$ $2\ 020$: tổng $4 \not\vdots 9$.

$$x \in {108; 189}$$

Bài 2.54 (trang 55)

Đề bài: Thực hiện phép tính sau rồi phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố:

a) $14^2 + 5^2 + 2^2$; $\qquad$ b) $400 : 5 + 40$.

Lời giải:

a) Tính giá trị biểu thức:

$$14^2 + 5^2 + 2^2 = 196 + 25 + 4 = 225$$

Phân tích $225$ ra thừa số nguyên tố: $225 \xrightarrow{:3} 75 \xrightarrow{:3} 25 \xrightarrow{:5} 5 \xrightarrow{:5} 1$.

$$225 = 3^2 \cdot 5^2$$

b) Tính giá trị biểu thức (thực hiện phép chia trước, phép cộng sau):

$$400 : 5 + 40 = 80 + 40 = 120$$

Phân tích $120$ ra thừa số nguyên tố: $120 \xrightarrow{:2} 60 \xrightarrow{:2} 30 \xrightarrow{:2} 15 \xrightarrow{:3} 5 \xrightarrow{:5} 1$.

$$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$$

Bài 2.55 (trang 55)

Đề bài: Tìm $ƯCLN$ và $BCNN$ của:

a) $21$ và $98$; $\qquad$ b) $36$ và $54$.

Lời giải:

a) Phân tích: $21 = 3 \cdot 7$; $\quad 98 = 2 \cdot 7^2$.

• $ƯCLN$: thừa số chung là $7$ (mũ nhỏ nhất $1$) $\Rightarrow ƯCLN(21, 98) = 7$.
• $BCNN$: thừa số chung và riêng, mũ lớn nhất là $2;\ 3;\ 7^2$ $\Rightarrow BCNN(21, 98) = 2 \cdot 3 \cdot 7^2 = 294$.

b) Phân tích: $36 = 2^2 \cdot 3^2$; $\quad 54 = 2 \cdot 3^3$.

• $ƯCLN$: thừa số chung là $2$ (mũ nhỏ nhất $1$) và $3$ (mũ nhỏ nhất $2$) $\Rightarrow ƯCLN(36, 54) = 2 \cdot 3^2 = 18$.
• $BCNN$: mũ lớn nhất là $2^2$ và $3^3$ $\Rightarrow BCNN(36, 54) = 2^2 \cdot 3^3 = 108$.

Bài 2.56 (trang 55)

Đề bài: Các phân số sau đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

a) $\dfrac{27}{123}$; $\qquad$ b) $\dfrac{33}{77}$.

Lời giải:

a) Tìm $ƯCLN(27, 123)$: $27 = 3^3$; $\ 123 = 3 \cdot 41$. Thừa số chung là $3$ (mũ $1$), nên $ƯCLN(27, 123) = 3$.

Vì $ƯCLN = 3 \neq 1$ nên phân số chưa tối giản. Chia cả tử và mẫu cho $3$:

$$\frac{27}{123} = \frac{27 : 3}{123 : 3} = \frac{9}{41}$$

Kiểm tra: $41$ là số nguyên tố và không chia hết $9$, nên $ƯCLN(9, 41) = 1$, $\dfrac{9}{41}$ là phân số tối giản.

b) Tìm $ƯCLN(33, 77)$: $33 = 3 \cdot 11$; $\ 77 = 7 \cdot 11$. Thừa số chung là $11$, nên $ƯCLN(33, 77) = 11$.

Vì $ƯCLN = 11 \neq 1$ nên chưa tối giản. Chia cả tử và mẫu cho $11$:

$$\frac{33}{77} = \frac{33 : 11}{77 : 11} = \frac{3}{7}$$

Kiểm tra: $ƯCLN(3, 7) = 1$ nên $\dfrac{3}{7}$ là phân số tối giản.

Bài 2.57 (trang 55)

Đề bài: Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{5}{12} + \dfrac{3}{16}$; $\qquad$ b) $\dfrac{4}{15} – \dfrac{2}{9}$.

Lời giải:

a) Tìm mẫu chung là $BCNN(12, 16)$: $12 = 2^2 \cdot 3$; $\ 16 = 2^4$, nên $BCNN(12, 16) = 2^4 \cdot 3 = 48$.

Thừa số phụ: $48 : 12 = 4$; $\ 48 : 16 = 3$. Quy đồng rồi cộng:

$$\frac{5}{12} + \frac{3}{16} = \frac{5 \cdot 4}{48} + \frac{3 \cdot 3}{48} = \frac{20}{48} + \frac{9}{48} = \frac{29}{48}$$

(Kiểm tra: $ƯCLN(29, 48) = 1$ nên $\dfrac{29}{48}$ đã tối giản.)

b) Tìm mẫu chung là $BCNN(15, 9)$: $15 = 3 \cdot 5$; $\ 9 = 3^2$, nên $BCNN(15, 9) = 3^2 \cdot 5 = 45$.

Thừa số phụ: $45 : 15 = 3$; $\ 45 : 9 = 5$. Quy đồng rồi trừ:

$$\frac{4}{15} – \frac{2}{9} = \frac{4 \cdot 3}{45} – \frac{2 \cdot 5}{45} = \frac{12}{45} – \frac{10}{45} = \frac{2}{45}$$

(Kiểm tra: $ƯCLN(2, 45) = 1$ nên $\dfrac{2}{45}$ đã tối giản.)

Bài 2.58 (trang 55)

Đề bài: Có $12$ quả cam, $18$ quả xoài và $30$ quả bơ. Mẹ muốn Mai chia đều mỗi loại quả đó vào các túi quà sao cho mỗi túi đều có cả cam, xoài và bơ. Hỏi Mai có thể chia được nhiều nhất là mấy túi quà?

Lời giải:

Để chia đều cả ba loại quả vào các túi, số túi phải là ước chung của $12; 18; 30$. Muốn nhiều nhất thì số túi $= ƯCLN(12, 18, 30)$.

Phân tích: $12 = 2^2 \cdot 3$; $\ 18 = 2 \cdot 3^2$; $\ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Thừa số chung của cả ba số: $2$ (mũ nhỏ nhất $1$) và $3$ (mũ nhỏ nhất $1$).

$$ƯCLN(12, 18, 30) = 2 \cdot 3 = 6$$

Vậy Mai chia được nhiều nhất $6$ túi quà. Khi đó mỗi túi có:

• Cam: $12 : 6 = 2$ quả; $\quad$ Xoài: $18 : 6 = 3$ quả; $\quad$ Bơ: $30 : 6 = 5$ quả.

Bài 2.59 (trang 55)

Đề bài: Bác Nam định kì $3$ tháng một lần thay dầu, $6$ tháng một lần xoay lốp xe ô tô của mình. Hỏi nếu bác ấy làm hai việc đó cùng lúc vào tháng $4$ năm nay, thì lần gần nhất tiếp theo bác ấy sẽ cùng làm hai việc đó vào tháng nào?

Lời giải:

Số tháng kể từ tháng $4$ đến lần thay dầu là bội của $3$; đến lần xoay lốp là bội của $6$. Để bác Nam cùng làm hai việc, số tháng phải là bội chung của $3$ và $6$. Lần gần nhất ứng với BCNN.

Ta thấy $6 \vdots 3$ nên đây là trường hợp đặc biệt: $BCNN(3, 6) = 6$.

Vậy sau $6$ tháng nữa hai việc lại trùng nhau. Tháng $4$ cộng thêm $6$ tháng là tháng $10$ (cùng năm).

Bài 2.60 (trang 55)

Đề bài: Biết rằng $79$ và $97$ là hai số nguyên tố. Hãy tìm $ƯCLN$ và $BCNN$ của hai số này.

Lời giải:

Vì $79$ và $97$ là hai số nguyên tố khác nhau nên chúng không có thừa số nguyên tố chung. Do đó:

• $ƯCLN(79, 97) = 1$;
• $BCNN(79, 97) = 79 \cdot 97 = 7\ 663$.

Bài 2.61 (trang 55)

Đề bài: Biết hai số $3^a \cdot 5^2$ và $3^3 \cdot 5^b$ có $ƯCLN$ là $3^3 \cdot 5^2$ và $BCNN$ là $3^4 \cdot 5^3$. Tìm $a$ và $b$.

Lời giải:

Ta nhớ: khi tìm ƯCLN lấy số mũ nhỏ nhất, khi tìm BCNN lấy số mũ lớn nhất của mỗi thừa số.

Xét thừa số $3$: ở hai số, số mũ của $3$ là $a$ và $3$.

• ƯCLN có $3^3$ nên số mũ nhỏ nhất của ${a; 3}$ bằng $3$, suy ra $a \geq 3$.
• BCNN có $3^4$ nên số mũ lớn nhất của ${a; 3}$ bằng $4$. Vì $3 < 4$ nên số mũ lớn nhất phải là $a$, tức $a = 4$.

Xét thừa số $5$: ở hai số, số mũ của $5$ là $2$ và $b$.

• ƯCLN có $5^2$ nên số mũ nhỏ nhất của ${2; b}$ bằng $2$, suy ra $b \geq 2$.
• BCNN có $5^3$ nên số mũ lớn nhất của ${2; b}$ bằng $3$. Vì $2 < 3$ nên số mũ lớn nhất phải là $b$, tức $b = 3$.

Vậy $a = 4$ và $b = 3$.

Bài 2.62 (trang 55)

Đề bài: Bài toán cổ (bài toán dạng thơ). Một bác chăn vịt muốn xếp đàn vịt thành hàng cho đều, và nhận thấy:

• Xếp hàng $2$ thì chưa vừa $\Rightarrow$ số vịt không chia hết cho $2$ (là số lẻ);
• Xếp hàng $3$ thì còn thừa $1$ con $\Rightarrow$ số vịt chia $3$ dư $1$;
• Xếp hàng $4$ thì chưa tròn $\Rightarrow$ số vịt không chia hết cho $4$;
• Xếp hàng $5$ thì thiếu $1$ con mới đầy $\Rightarrow$ thêm $1$ con nữa thì chia hết cho $5$;
• Xếp hàng $7$ thì vừa đẹp $\Rightarrow$ số vịt chia hết cho $7$.

Biết số vịt chưa đến $200$ con. Hỏi đàn vịt có bao nhiêu con?

Lời giải:

Gọi $x$ là số vịt ($x$ là số tự nhiên, $x < 200$). Ta lần lượt dùng các điều kiện để thu hẹp dần.

Bước 1 – Dùng điều kiện hàng $5$ và hàng $2$: “Xếp hàng $5$ thiếu $1$ con mới đầy” nghĩa là $(x + 1) \vdots 5$, nên $x$ có chữ số tận cùng là $4$ hoặc $9$. Mà $x$ lẻ (không chia hết cho $2$) nên chữ số tận cùng của $x$ phải là $9$.

Bước 2 – Dùng điều kiện hàng $7$: $x \vdots 7$. Ta tìm các bội của $7$ nhỏ hơn $200$ có tận cùng là $9$:

$$7 \cdot 7 = 49; \qquad 7 \cdot 17 = 119; \qquad 7 \cdot 27 = 189$$

Vậy $x \in {49; 119; 189}$.

Bước 3 – Dùng điều kiện hàng $3$: $x$ chia $3$ dư $1$. Kiểm tra ba số trên:

• $49 = 3 \cdot 16 + 1$ $\Rightarrow$ dư $1$ ✓
• $119 = 3 \cdot 39 + 2$ $\Rightarrow$ dư $2$ ✗
• $189 = 3 \cdot 63$ $\Rightarrow$ dư $0$ ✗

Chỉ còn $x = 49$.

Bước 4 – Kiểm tra lại tất cả điều kiện với $x = 49$:

• Hàng $2$: $49$ lẻ, không chia hết cho $2$ — chưa vừa ✓
• Hàng $3$: $49 = 3 \cdot 16 + 1$ — thừa $1$ con ✓
• Hàng $4$: $49 = 4 \cdot 12 + 1$ — chưa tròn ✓
• Hàng $5$: $49 = 5 \cdot 9 + 4$, thêm $1$ con là $50 \vdots 5$ — thiếu $1$ con ✓
• Hàng $7$: $49 = 7 \cdot 7$ — vừa đẹp ✓
• $49 < 200$ ✓

Vậy đàn vịt có $49$ con.

Thầy Võ Văn Trung

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THCS

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ A2

Kinh nghiệm: 10+ năm kinh nghiệm tại Trường THCS Nguyễn Du